Publ. I.R.M.A. Strasbourg, 1984, 229/S–08 Actes 8^{e} Séminaire Lotharingien, p. 27–29

EINE BEMERKUNG ÜBER HOMOGENE MENGEN

IN ENDLICHEN GRUPPEN

Adalbert KERBER

G. KREWERAS betrachtete in seinem Vortrag homogene Mengen, die er wie folgt definierte. Ist (M, ·) eine Menge mit innerer Verknüpfung, m ∈ M, dann sei

d(m) := |{(x, y) ∈ t^{2} | x.y = m}|.

Ist diese Funktion d(−) konstant auf T ⊆ M, so heißt T homogen. Ein Beispiel hierfür is die Menge T der n-Zyklen in der symmetrischen Gruppe S_{n}. Das folgt aus der Tatsache, daß diese Menge eine Konjugiertenklasse ist (Bermerkung von PLESKEN : jede Teilmenge T, auf der eine Gruppe von Automorphismen von M transitiv operiert, ist homogen !).

Genauer noch kann man für endliche Gruppen M sogar einen expliziten Ausdruck für d(−) angeben, wenn T eine Konjugiertenklasse ist. Die Funktion d(−) ergibt sich dabei als Linearkombination von gewöhnlichen irreduziblen Charakteren, also Klassenfunktionen, was die Homogenität von Konjugiertenklassen bestätigt.

Der gewünschte Ausdruck ist eine direkte Konsequenz des folgenden wesentlich allgemeineren Satzes ([1], vgl. auch [2] (5.3.46) oder [3] für weitere Details) :

Satz. — Ist G eine endliche Gruppe, h ∈ G, und sind für 1 ≤ j ≤ k C_{j} Konjugiertenklassen von G, m_{j} und n_{j} natürliche Zahlen, dann ist die Anzahl der Lösungen (g_{1}, …, g_{k}) ∈ G^{k} der Gleichung

g_{1}^{n_{1}} … g_{k}^{n_{k}} = h,

mit den Nebenbedingungen g_{j}^{m_{j}} ∈ C_{j} gleich

∑_{i=1}^{s} \frac{f^{i}}{|G|} ∏_{j=1}^{k}(\frac{1}{f^{i}} ∑_{g_{j}} ζ^{i}(g_{j}^{n_{j}}))ζ^{i}(h^{−1}) (g_{j}^{m_{j}} ∈ C_{j}).

Dabei sind ζ^{1}, …, ζ^{s} die gewöhnlichen irreduziblen Charaktere von G, f^{i} deren Dimensionen : f^{i} = ζ^{i}(1).

A. KERBER

Daraus ergibt sich als Spezialfall unmittelbar die

Forgerung. — Ist T := C eine Konjugiertenklasse von G, dann ist für jedes t ∈ T

d(t) = \frac{|T |^{2}}{|G|} ∑_{i} \frac{ζ^{i}(t)^{2} ζ^{i}(t^{−1})}{f^{i}}.

Für die Klasse der n-Zyklen in S_{n} vereinfacht sich dies weiter dadurch, daß die einzigen irreduziblen Charaktere, die dort einen Wert ±1 haben, die Charaktere ζ^{(n−r,1^{r})} zu hakenförmigen Partitionen (n−r, 1^{r}) sind. Für diese gilt

ζ^{(n−r,1^{r})}((1 … n)) = (−1)^{r}, ζ^{(n−r,1^{r})}(1) = \binom{n − 1}{r}.

Das ergibt mit |T | = (n − 1)!

Folgerung. — Man hat d((1 … n)) = \frac{(n − 1)!}{n} ∑_{r=0}^{n−1}(−1)^{r}\binom{n − 1}{r}^{−1}.

Mit Hilfe des Ausdrucks für die alternierende Summe von Inversen von Binomialkoeffizienten, auf den BARON hinwies und für den dann ANDREWS und HOFBAUER Herleitungen angaben, folgt schießlich

d((1 … n)) = \{ \begin{matrix}\frac{2(n − 1)!}{n + 1}, & falls n ungerade ; \\ 0, & sonst. \end{matrix}

Eine von vornherein speziell auf S_{n} zugeschnittene Herleitung dieses Ergebnisses findet man auch in [4].

HOMOGENE MENGEN

LITERATUR

[1] Kerber (A.) u. Wagner (B.). — Gleichungen in endlichen Gruppen, Archiv d. Math., t. 35, 1980, p. 252–262.

[2] James (G.D.) u. Kerber (A.). — The representation theory of the symmetric group. — Addison-Wesley, 1981.

[3] Kerber (A.) u. Thürlings (K.-J.). — Symmetrieklassen von Funktionen und ihre Abzählungstheorie II, Bayreuther Math. Schriften (in Vorbereitung).

[4] Stanley (R.). — Factorization of permutations into n-cycles, Discrete Math., t. 37, 1981, p. 255–262.

Adalbert Kerber,

Lehrstuhl II für Mathematik, Universität Bayreuth, Postfach 3008, D-8580 Bayreuth.