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\topmatter 
\title \BTIT L\btit AGRANGE--\BTIT I\btit NVERSION\endtitle
\author Josef Hofbauer
\endauthor 
\affil 
Institut f\"ur Mathematik der Universit\"at Wien,\\
Strudlhofgasse 4, A-1090 Wien, Austria.\\
\endaffil
\endtopmatter
\rightheadtext{Lagrange Inversion}
\document



\subhead 1. Die Lagrangesche Inversionsformel  \endsubhead  
Die Lagrangesche Inversionsformel l\"a\3t sich beispielsweise in der
folgenden Art formulieren:\newline
Sei $g(x)= \frac {x} {\varphi (x)}$ eine (formale) Potenzreihe
(f.P.R.) in $x$
mit $\varphi (0)\neq 0$ und $f(x)$ eine f.P.R., die man nach den
Potenzen von $g(x)$ entwickelt:
$$f(x)=f(0)+\suml _{k=1} ^{\infty} c_k\, g(x)^k = f(0)+\suml _{k=1}
^{\infty} c_k \frac {x^k} {\varphi (x)^k }. \tag 1.1 $$
Dann sind die Koeffizienten $c_k$ durch folgende Formeln gegeben:

\noindent
{\it 1. Version der Lagrangeschen Formel}:
$$c_n = \frac {1} {n} f'(x) g(x)^{-n}\big\vert_{x^{-1}}=\frac {1}
{n}f'(x)\varphi (x)^n\big\vert_{x^{n-1}} .\tag I $$

\noindent
{\it 2. Version der Lagrangeschen Formel}:
$$c_n= f(x)g'(x)g(x)^{-n-1}\big\vert_{x^{-1}}= f(x)g'(x)\varphi
(x)^{n+1}\big\vert_{x^n}   .\tag II $$
Dabei bedeutet $h(x)\vert_{x^n}$ den Koeffizienten von $x^n$ in der
formalen Potenz- oder Laurentreihe $h(x)$. F\"ur $h(x)\vert_{x^{-1}}$
werden wir manchmal auch Res $h(x)$ und sp\"ater $M(h(x)dx)$ schreiben.

W\"ahlt man in (1.1) $f(x)=x$, so erh\"alt man die Koeffizienten der zu
$g(x)$ (bez\"uglich Komposition ) inversen Potenzreihe.

Einer der einfachsten Beweise der Lagrangeschen Inversionsformel ist
der folgende:
Wir zeigen zun\"achst


\proclaim{Lemma 1} Ist $g(x)$ wie oben eine f.P.R. der Ordnung 1 (wie
\"ublich ist die {\it Ordnung\/} einer formalen Potenzreihe $g(x)$ definitionsgem\"a\3
der kleinste Index $s$, soda\3 der Koeffizient von $x^s$ in $g(x)$
nicht verschwindet),
dann gilt f\"ur beliebige ganze Zahlen $n$
$$\frac {g'(x)} {g^{n+1}(x)}\Big\vert_{ x^{-1}}= \de_{n0}.\tag1.2$$
\endproclaim


\demo{Beweis} 
Ist n\"amlich $n\neq 0$, dann ist $g(x)g(x)^{-n+1}=-\frac
{1} {n}(g(x)^{-n})'$ und hat daher als Ableitung einer formalen
Laurentreihe das Residuum $0$. F\"ur $n=0$ ist
$$\frac {g'(x)} {g(x)}=\frac {1} {x}-\frac {\varphi'(x)} {\varphi
(x)},$$
und da der zweite Summand wegen $\varphi (0)\neq 0$ eine f.P.R. ist,
ist das Residuum $=1$.

Um jetzt die 1.~Version zu beweisen, leiten wir die Entwicklung (1.1)
ab:
$$f'(x)=\suml _{k=1} ^{\infty}c_k\cdot  k\cdot g(x)^{k-1}g'(x),$$
dividieren durch $g(x)^n$ und nehmen das Residuum:
$$\Res f'(x)g(x)^{-n}=\Res \suml _{k=0} ^{\infty} c_k\cdot k\cdot
g'(x)g(x)^{-n+k-1}=nc_n$$
wegen Lemma~1.

F\"ur die 2.~Version multiplizieren wir (1.1) blo\3 mit
$g'(x)g(x)^{-n-1}$, bestimmen das Residuum und wenden wieder Lemma~1
an:
$$\Res f(x)g'(x)g(x)^{-n-1}=\Res \suml _{k=1} ^{\infty} c_k g'(x)g(x)^{-n+k-1}=
c_n.$$
Damit sind (I) und (II) gezeigt.
\enddemo 

\example{Beispiele}

(1) Die zu $g(x)=xe^{-ax}$ inverse Reihe ist
$$G(z)=\suml _{n=1} ^{\infty} \frac {(an)^{n-1}} {n!}z^n, \tag 1.3 $$
weil man aus (I) f\"ur $f(x)=x$ und $\varphi (x)=e^{ax}$  
$$c_n=\frac {1} {n}e^{ax}\big\vert_{x^{n-1}}=\frac {(an)^{n-1}} {n!}$$
erh\"alt.

(2) Es gelten die Entwicklungen
$$e^{xz}=\suml _{k=0} ^{\infty}\frac {x(x+ak)^{k-1}} {k!}(ze^{-az})^k
\tag 1.4$$
und
$$\frac {e^{xz}} {1-az}=\suml _{k=0} ^{\infty}\frac {(x+ak)^k}
{k!}(ze^{-az})^k .\tag 1.5$$

Multipliziert man (1.4) mit $e^{yz}$ und vergleicht die Koeffizienten
von $z^n$, erh\"alt man {\it Abels Identit\"at}:
$$(x+y)^n=\suml _{k=0} ^{n}\binom n k x (x+ak)^{k-1}(y-ak)^{n-k} .\tag 1.6 $$

(3) Es gilt
$$(1+z)^a=\suml _{k=0} ^{\infty}G_k (a,b)(z(1+z)^b)^k $$
mit
$$G_n (a,b)=\frac {1} {n}a(1+z)^{a-1}(1+z)^{-nb}\big\vert_{z^{n-1}}=\frac
{a} {n}\binom {a-1-nb} {n-1}=\frac {a} {a-bn}\binom {a-bn} n$$
Aus $(1+z)^{a+c}=(1+z)^a(1+z)^c$ folgt dann
$$G_n(a+c,b)=\suml _{k=0} ^{n}G_k (a,b)G_{n-k}(c,b) .\tag 1.7$$
\endexample


\subhead 2. Anwendungen in der Kombinatorik\endsubhead
Eine der sch\"onsten Anwendungen der Lagrangeschen Formel auf ein
kombinatorisches Problem ist die Herleitung von Cayleys Formel f\"ur
die Anzahl der Wurzelb\"aume. Ein {\it Wurzelbaum\/} ist ein Baum, dessen
Knoten durchnumeriert sind, wobei ein Knoten --- die Wurzel ---
ausgezeichnet ist.

Sei $b_n$ die Anzahl der Wurzelb\"aume \"uber der Knotenmenge
$\{1,2,\dots,n\}$ und 
$$s(t)=\suml _{n=1} ^{\infty}\frac {b_n} {n!}t^n.$$
Bezeichnen wir au\3erdem mit $w_n$ die Anzahl der {\it
Wurzelw\"alder\/} (=
Graphen, deren Komponenten Wurzelb\"aume sind) \"uber $\{1,2,\dots,n\}$.
Aus der Exponentialformel folgt dann
$$1+\suml _{n=1} ^{\infty}\frac {w_n} {n!}t^n =e^{s(t)}.$$
Nun gilt aber $(n+1)w_n = s_{n+1}$: Denn aus jedem Wurzelbaum mit
$n+1$ Knoten entsteht durch Weglassen der Wurzel ein Wurzelwalds mit
$n$ Knoten. Korrigiert man jetzt noch die Numerierung, indem man dem 
$(n+1)$-ten Knoten die Nummer der weggelassenen Wurzel gibt, so wird
aus der $1:1$ Abbildung eine $(n+1):1$-Abbildung.
Daher ist $s(t)=te^{s(t)}$ oder $t=se^{-s}$.
Aus (1.3) folgt also
$$s(t)=\suml _{n=1} ^{\infty}\frac {n^{n-1}} {n!}t^n,$$
und somit $b_n=n^{n-1}$.

Ein anderer Problemkreis, bei dem die Lagrangesche Inversionsformel
n\"utzlich, wenn auch nicht notwendig ist, sind die {\it
Catalanzahlen\/}. Bei
den meisten kombinatorischen Fragestellungen, bei denen die
Catalanzahlen $C_n$ auftauchen, z.B. Anzahl der Triangulierungen
eines $(n+2)$-Ecks, Anzahl der bin\"aren B\"aume mit $n$ Stellen,
Anzahl der verschiedenen Klammerungen eines Produktes von $n+1$
Faktoren, Anzahl der Wege im $\R^2$, die $(0,0)$ mit $(2n,0)$
verbinden und oberhalb der $x$-Achse verlaufen, usw\., erh\"alt man
durch eine einfache \"Uberlegung die Rekursionsformel
$$C_{n+1}= \suml _{k=0} ^{n} C_k C_{n-k}, \quad C_0=1 .\tag 2.1$$

Um die $C_n$ explizit zu berechnen, betrachtet man die erzeugende
Funktion
$$f(x)=\suml _{n=0} ^{\infty}C_n x^n .\tag 2.2$$
Aus (2.1) folgt dann
$$\frac {f(x)-1} {x}=f(x)^2 .\tag 2.3 $$
Daraus kann man analog zum vorigen Beispiel die Koeffizienten $C_n$
berechnen. Dazu setzen wir z.B\. $f(x)=1+y(x)$, soda\3 (2.3) zu 
$$y=x(1+y)^2 \text {\quad oder\quad } x=y (1+y)^{-2}$$
wird. In (2.2) eingesetzt ergibt das 
$$y=\suml _{n=1} ^{\infty}C_n \frac {y^n} {(1+y)^{2n}},\tag 2.5$$
woraus mittels (I)
$$C_n=\frac {1} {n}(1+y)^{2n}\big\vert_{y^{n-1}}=\frac {1} {n}\binom
{2n}{n-1}=\frac {1} {n+1}\binom {2n} n
\text { folgt }.$$

H\"atten wir $z=xf(x)=\suml _{n=1} ^{\infty}C_{n-1}x^n$ gesetzt, so
erhielten wir aus (2.3)
$$z-x=z^2 \text { oder } x=z(1-z),$$
also die zu (2.5) analoge Entwicklung
$$z=\suml _{n=1} ^{\infty}C_{n-1}z^n (1-z)^n, \tag 2.6 $$
woraus genauso $C_n=\frac {1} {n+1} \binom {2n} n  $ folgt.


\subhead 3. Die mehrdimensionale Verallgemeinerung von Jacobi--Good\endsubhead
Wir verwenden die \"ubliche Multiindexschreibweise. Eine f.P.R. in den
$s$ Variablen $\bx=(x_1,\dots, x_s)$ ist eine Reihe
$$f(\bx)=f(x_1,\dots, x_s)=\suml _{\bk\geq \bO} a_\bk \bx^\bk = \suml
_{k_{1},\dots,k_s\geq
0 } a_{k_{1}\dots k_s} \, x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}}\cdots
x_{s}^{k_{s}}  .$$

Eine {\it formale Laurentreihe\/} (f.L.R.) sei eine Reihe der Form
$$f(\bx)=\suml _{\bk\geq \bn} a_\bk \bx^\bk = \suml _{k_1\geq
n_1,\dots,k_s\geq n_s} a_{k_{1}\dots
k_s}\, x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{s}^{k_{s}} ,$$
f\"ur einen Multiindex $\bn\in \Z^s$.

Wir betrachten jetzt ein System $g=(g_{i})_{1\leq i\leq s}$ von
f.P.R. in der $s$-dimensionalen Variablen $\bx$, das der Einfachheit
halber von der Form
$$g_i(\bx)=\frac {x_i} {\varphi_i (\bx)} \tag 3.1 $$
ist, wobei $\varphi_i (\bx)$ eine f.P.R. mit $\varphi_i (\bO) \neq 0$
ist. (Es w\"urde gen\"ugen, da\3 die Jacobische von $g$ im Nullpunkt eine
Diagonalmatrix ist. Man m\"u\3te nur die f.L.R. etwas allgemeiner
definieren, damit die folgenden \"Uberlegungen sinnvoll bleiben.) Man
kann zu (1.1) analoge Entwicklungen betrachten:
$$f(\bx)=f(\bO)+\suml _{\bk>\bO} c_\bk g(\bx)^\bk = f(\bO)+ 
\suml  c_{k_{1}\dots k_{s}}
g_1 (\bx)^{k_{1}}\cdots g_s(\bx)^{k_{s}}.$$
Dann gilt das folgende mehrdimensionale Analogon der zweiten Version
der Lagrangeformel (von der 1.~Version sind nur \"au\3erst komplizierte
Verallgemeinerungen bekannt):
$$c_\bn=f(\bx) \cdot \det \frac {\partial g} {\partial \bx} \cdot g(\bx)^{-\bn-\bold
{e}}\big\vert_{\bx^{- \bold {e}}}=f(\bx)\cdot \det \frac {\partial g} {\partial \bx}\cdot
\varphi (\bx)^{\bn+ \bold {e}}\big\vert_{\bx^{\bn}}.\tag 3.2$$
Dabei ist $\e=(1,1,\dots, 1)$.
Im Vergleich mit (II) ist die Ableitung $g'(x)$ durch die
Funktionaldeterminante $\det\frac {\partial g} {\partial\bx}$ des
Systems $g$ ersetzt.

Der folgende Beweis stammt von J.~Cigler. 

Offensichtlich war der entscheidende Schritt im eindimensionalen Fall
das Lemma~1. Wir m\"ussen jetzt also zeigen:


\proclaim{Lemma 2} Sei $g$ wie in {\rm(3.1)}. Dann ist
$$\det \frac {\partial g} {\partial \bx}\cdot g(\bx)^{-\bn-{\bold e}}\big\vert_{\bx^{-{\bold
e}}}=\de_{\bn,\bO} .$$
\endproclaim

Die Relation (1.2) ist \"aquivalent mit
$$f(g(x))g'(x)\big\vert_{x^{-1}}=f(x)\big\vert_{x^{-1}} \text { f\"ur beliebige
f.L.R. } f(x) .\tag 3.3 $$
Das erinnert an die Substitutionsformel f\"ur Integrale. Der
Zusammenhang damit wird klar, wenn man den Koeffizienten von
$x^{-1}$
also das Residuum, durch das bekannte Kurvenintegral darstellt. Das
legt auch nahe, da\3 im Mehrdimensionalen $g'(x)$ durch die
Funktionaldeterminante ersetzt wird. Um diesen Zusammenhang besser
hervorzuheben, erweist sich eine neue Notation als zweckm\"a\3ig:
Statt $f(x)\vert_{x^{-1}}$ schreiben wir $M(f(x)dx)$. Das lineare
Funktional $M$ entspricht also dem Kurvenintegral\linebreak $\frac {1} {2\pi
i}\oint f(z)\,dz $. Die Integralschreibweise wollen wir aber im
Hinblick auf unsere formalen Potenzreihen vermeiden. Wir definieren
also
$$M(f(\bx)d\bx)=M(f(x_1,\dots,x_s)\,dx_1 \wedge dx_2 \wedge \cdots \wedge
dx_s):=f(\bx)\big\vert_{\bx^{-\e}}.\tag 3.4$$
Genaugenommen w\"ahlen wir $M$ also als lineares Funktional auf den
alternierenden Differentialformen von Dimension und Grad $s$ (die wir
hier allerdings als Modul \"uber den f.L.R. statt den
$C^{\infty}$-Funktionen auffassen).
\demo{Beweis von Lemma 2}
F\"ur eine f.L.R. $g(\bx)$ sei
$$dg=\suml _{j=1} ^{s} \frac {\partial g} {\partial x_j} \,dx_j.$$
Daraus folgt
$$\align
dg_1\wedge dg_2 \wedge \cdots \wedge dg_s &= \Big(\suml _{j} \frac {\partial
g_1} {\partial x_j} dx_j\Big)\wedge \cdots \wedge \Big(\suml _{j} \frac {\partial g_s}
{\partial x_j}dx_j\Big)\tag 3.5\\
& = \det \(\frac
{\partial g_i} {\partial x_j}\) \cdot dx_1 \wedge\cdots \wedge dx_s.
\endalign$$

Wir zeigen zun\"achst f\"ur beliebige f.L.R. $g_1,\dots ,g_s$
$$M(dg_1 \wedge \cdots \wedge dg_s)= 0. \tag 3.6$$
Da alles linear ist, brauchen wir nur den Fall
$$g_i (\bx)= \bx^{\bk_{i}}=x_{1}^{k_{i1}}x_{2}^{k_{i2}}\cdots x_{s}^{k_{is}}$$
betrachten. Dann ist $\partial g_i (\bx)/\partial x_j = k_{ij}
\bx^{\bk_{i}}/x_j$ und
$$\det \frac {\partial g} {\partial \bx}= \bx^{\bk_{1}+\cdots + \bk_{s}}
\det \(\frac {k_{ij}}
{x_j}\)=\bx^{\bk_{1}+ \cdots + \bk_{s}-\bold {e}}\det (k_{ij}).$$

Ist $\bk_1 +\cdots + \bk_s = 0$, dann verschwindet auch $\det (k_{ij})$,
weil die Zeilensumme $=0$ ist. Damit ist (3.6) gezeigt.

Weiters gilt f\"ur beliebige $g_1,\dots ,g_s$
$$M (\frac {dx_1} {x_k}\wedge \cdots \wedge \frac {dx_k} {x_k}\wedge
dg_{k+1}\wedge \cdots \wedge dg_s)=0 \text { f\"ur }k<s .\tag 3.7$$
Dieser Ausdruck ist n\"amlich laut Definition gleich
$$M(\frac {1} {x_1\cdots x_k}\cdot D(\bx)\cdot dx_1 \wedge \cdots \wedge
dx_s)\text { mit }D(\bx)= \det (\partial g_i/\partial x_j)_{k<i,j\leq s},$$
und diese Determinante hat wegen (3.6) keinen $\frac {1} {x_{k+1}
\cdots x_{s} }$-Term.

Sind jetzt $g_1,\dots , g_k$ von der speziellen Form (3.1), die
weiteren $g_{k+1},\dots , g_s $ jedoch noch beliebige f.L.R., so gilt
auch
$$M(\frac {dg_1} {g_1}\wedge \cdots \wedge \frac {dg_k} {g_k}\wedge
dg_{k+1}\wedge \cdots \wedge dg_s)=0 \text { f\"ur } k<s .\tag 3.8$$
Das folgt wegen
$$\frac {dg_i} {g_i}=\frac {dx_i} {x_i}-d(\log \varphi_i)\text { f\"ur
}i\leq k \tag 3.9$$
durch Induktion nach $k$ aus (3.7).

F\"ur $k=s$ gilt jedoch, falls jetzt alle $g_i$ (3.1) erf\"ullen,
$$M (\frac {dg_1} {g_1}\wedge \cdots \wedge \frac {dg_s}
{g_s})=1.\tag3.10$$
Das zeigt man ebenfalls mit (3.9). Damit ist der Fall $\bn=\bO$ im Lemma~2 
erledigt.

Sei jetzt $\bn\neq \bO$. F\"ur jedes $i$ mit $n_i \neq 0$ ist dann
$$g_i^{-n_{i}-1}dg_i = - \frac {1} {n_i}d(g_i^{-n_{i}}).$$
Die Behauptung $M(g^{-\bn-\e}dg_1 \wedge \cdots \wedge dg_s)=0$ reduziert
sich daher auf den Typ (3.8). Damit ist das Lemma~2 vollst\"andig
gezeigt, und analog zum eindimensionalen Fall folgt die Formel von
Lagrange--Good (3.2).
\enddemo
Als typische Anwendung wollen wir daraus das Master--Theorem von MacMahon [29] herleiten:



\proclaim
{Master--Theorem} Sei $(a_{ij})_{1\leq i, j\leq s}$ eine
beliebige Matrix und 
$$D(\bx)=\det (\de_{ij}-a_{ij}x_j).$$
Dann ist der Koeffizient von $\bx^\bn$ in $\frac {1} {D(\bx)}$
gleich dem Koeffizienten von $x_1^{n_{1}}\cdots x_s^{n_{s}}$ in
$(a_{11}x_1+ \cdots + a_{1s}x_s)^{n_{1}}\cdots (a_{s1}x_1+ \cdots +
a_{ss}x_s)^{n_{s}}.$
\endproclaim


\demo{Beweis}Wir w\"ahlen $\varphi_i (\bx)=1+\suml _{j=1} ^{s} a_{ij}x_j$
und $f(\bx)=\frac {1} {D(g(\bx))}$.
Dann ist\linebreak $\partial \varphi_i/\partial x_j=a_{ij}$
und $\partial g_i/\partial x_j = (\de_{ij}-a_{ij} g_i)\varphi_i^{-1}$. Au\3erdem
gilt 
$$\det 
(\de_{ij}-a_{ij}x_i)=x_1 \cdots x_s \det \(\frac {\de_{ij}}
{x_i}-a_{ij}\)=x_1 \cdots x_s \det (\frac {\de_{ij}} {x_j}-a_{ij})=
\det (\de_{ij}-a_{ij}x_j).$$
Anwendung von (3.2) ergibt daher, da\3 der Koeffizient $c_\bn$ von
$g(\bx)^\bn$ in $\frac {1} {D(g(\bx))}$
$$c_\bn =\prodl _{i} \Big(1+\suml _{j} a_{ij}x_j\Big)^{n_{i}}
\Big\vert_{\bx^{\bn}}=\prodl
_{i} \Big(\suml _{j} a_{ij}x_j\Big)^{n_{i}}\Big\vert_{\bx^{\bn}}$$
ist.
\enddemo

Formel (3.2) wird meistens nach Good [19] benannt. Sie war aber
bereits Jacobi [23] bekannt. Weitere Beweise findet man in
[5, 20, 24, 34].



\subhead 4. Inverse Relationen\endsubhead
Das einfachste Paar inverser Relationen ist wohlbekannt:
$$a_n=\suml _{k=0} ^{n} \binom n k b_k \quad \Leftrightarrow \quad 
b_n = \suml _{k=0} ^{n} (-1)^{n-k} \binom n k a_k .\tag 4.1$$
An die 60 weitere derartige Relationen findet man, in verschiedene
Gruppen klassifiziert, bei Riordan [31], der ein Drittel seines
Buches diesem Themenkreis widmet. Er gibt aber jedesmal ad
hoc--Beweise und entwickelt keine gemeinsam zugrundeliegende Theorie.
Offensichtlich besagt ein solches Paar inverser Relationen
$$a_n=\suml _{k=0} ^{n}\al_{nk}b_k \quad \Leftrightarrow \quad b_n = \suml _{k=0}
^{n} \be_{nk}a_k, \tag 4.2$$
da\3 die beiden unendlichen Dreiecksmatrizen $(\al_{nk})$ und $(\be_{nk})$
zueinander invers sind:
$$\suml _{k} \al_{nk}\be_{km}=\de_{nm}=\suml_{k} \be_{nk}\al_{km} .\tag 4.3$$

Egoritschew [10] hat nun folgenden Ansatz zur Erzeugung inverser
Relationen untersucht:\newline
Seien $g(x), h(x)$ f.P.R. der Ordnung 1 und $f(x)$ eine f.P.R. der
Ordnung $0$, also mit $f(0)\neq 0$. Dann erh\"alt man ein Paar inverser
Relationen auf folgende Weise:
$$f(x)g(x)^k = \suml _{n=k} ^{\infty} \al_{nk} h(x)^n \quad
\Leftrightarrow\quad  
f(x)^{-1} h(x)^k = \suml _{n=k} ^{\infty} \be_{nk} g(x)^n .\tag 4.4$$
Die Koeffizienten $\al_{nk}, \be_{nk}$ dieser Entwicklungen lassen sich
nat\"urlich mittels der Lagrangeformel (II) sofort angeben:
$$\al_{nk}=M (\frac {f(x)g(x)^k h'(x)} {h(x)^{n+1}} dx)\quad \text
{und}\quad \be_{nk}=M(\frac {h(x)^k g'(x)} {f(x)g(x)^{n+1}} dx).\tag 4.5$$
Egoritschew hat dann festgestellt, da\3 die meisten bekannten
inversen Relationen, insbesondere {\it alle } in Riordan [31]
enthaltenen, unter dieses einfache Schema fallen.


\example{Beispiel}

(1)  $\al_{nk}=\dsize\binom {n+k} {k+p} $ (siehe [31,
Tafel~2.1.4]). Es gilt
$$\al_{nk}=\binom {n+p} {k+p} = M (\frac {(1+x)^{n+p}}
{x^{n-k+1}}dx).$$
Entsprechend (4.5) w\"ahlen wir $h(x)=\frac {x} {1+x}$, $g(x)=x$, und
wegen
$h'(x)=(1+x)^{-2}$ schlie\3lich $f(x)=(1+x)^{p+1}$.
$$\Rightarrow \be_{nk}=M(\frac {(1+x)^{-k-p-1}} {x^{n+1-k}}dx)=\binom
{-k-p-1} {n-k} = (-1)^{n-k}\binom {n+p} {n-k}.$$

(2) $\dsize\al_{nk}=\binom {p+qk-k} {n-k}$ ([31,
Tafel~2.2.1]). Es gilt
$$\al_{nk}=M (\frac {(1+x)^{p+qk-k}} {x^{n-k+1}}dx).$$
Hier w\"ahlen wir also $g(x)=x(1+x)^{q-1}$, $h(x)=x$,
$f(x)=(1+x)^p$.
$$\align 
\Rightarrow \be_{nk}&=M\(\frac {(1+x)^{q-1}+x(q-1)(1+x)^{q-2}}
{(1+x)^p(1+x)^{(q-1)(n+1)}x^{n-k+1}}dx\) \\
&=M\(\frac {(1+x)^{-n(q-1)-p-1}(1+qx)} {x^{n-k+1}}dx\)\\
&=\binom {-1-p-n(q-1)} {n-k}+ q \binom {-1-p-n(q-1)}
{n-k-1}\\
&=(-1)^{n-k}\binom {p+nq-k}{n-k}+(-1)^{n-k-1} q \binom
{p+nq-k-1}{n-k-1}\\
&=(-1)^{n-k}\binom {p+nq-k}{n-k}\frac {p+kq-k} {p+nq-k}.\\
\endalign$$


(3) $\dsize a_n=\suml _{k} ^{} \binom n k b_{n-ck}$ ([31,
Tafel~2.4.1]). Hier gilt
$$ \al_{n,n-ck}=\binom n k =M\(\frac {(1+x^{c})^{n}}
{x^{ck+1}}dx\) .$$
Wir w\"ahlen $g(x)=x$, $h(x)=\frac {x} {1+x^c}$, $h'(x)=\frac {1+x^c -cx^c}
{(1+x^c)^2}$,
$f(x)=\frac {1+x^c} {1+x^c -cx^c}$.
$$\align
\Rightarrow \be_{n,n-ck}&=M\(\frac {g'} {f\cdot g}\(\frac {h} {g}\)^n \frac
{dx} {h^{ck}}\)\\
&=M \(\frac {1+x^c -cx^c} {(1+x^c)^{n+1-ck}}\frac {dx}
{x^{1+ck}}\)\\
&=\binom {ck-n} k -c \binom {ck-n-1}{k-1}\\
&=(-1)^k \binom
{n-ck+k-1}{k}-c(-1)^{k-1}\binom {n-ck+k-1}{k-1}\\
&=(-1)^k \frac {n} {k} \binom {n-ck+k-1}{k-1}.
\endalign$$
\endexample

Ein Spezialfall, beziehungsweise blo\3 eine andere Schreibweise f\"ur inverse
Relationen, ist die {\it umbrale Inversion\/} von Polynomen.
Nehmen wir z.B. die {\it Gegenbauerpolynome\/} $C^{\la}_n (x)$, die durch die
erzeugende Funktion
$$\suml _{n=0} ^{\infty}C^{\la}_n (x)t^n=(1-2xt+t{^2})^{-\la} \tag 4.6$$
definiert sind.
Daraus lassen sich die $C^{\la}_n$ bekanntlich leicht berechnen:
$$C^{\la}_n(x)=\suml _{n=0} ^{[n/2]}(-1)^k \frac
{(\la)^{(n-k)}(2x)^{n-2k}} {k!\, (n-2k)!} .\tag 4.7$$
Hier und im Folgenden bedeutet das Symbol $(a)^{(n)}$ die aufsteigenden
Faktoriellen, $(a)^{(n)}:=a(a+1)\cdots(a+n-1)$.

Wir wollen nun umgekehrt $x^n$ nach den $C^{\la}_k (x)$ entwickeln.
Dazu schreiben wir (4.6) in der Form 
$$(1+t^{2})^{\la} \suml _{k} ^{} C^{\la}_k (x)t^k=(1-\frac {2tx}
{1+t^2})^{-\la}=\suml _{n} ^{} \frac
{(\la)^{(n)}} {n!}(2x)^n \frac {t^n} {(1+t^{2})^{n}}.$$
Diese Gleichung kann man als Entwicklung der Funktion auf der linken
Seite nach Potenzen von $\frac {t} {1+t^2}$ interpretieren. F\"ur die
Koeffizienten mu\3 daher nach (II) gelten:
$$\align 
\frac {(\la)^{(n)}} {n!}(2x)^n &=(1+t^2)^{\la}\cdot \suml _{k} ^{}
C^{\la}_{k}(x)t^k \cdot (1+t^{2})^{n+1} \frac {1+t^2-2t^2}
{(1+t^2)^{2}}\Big\vert_{t^{n}}\\
&=\suml _{k} ^{} C^{\la}_k(x)t^k \cdot (1+t^{2})^{\la +n-1}(1-t^2)\big\vert_{t^{n}}\\
&=\suml _{k} ^{} C^{\la}_{n-2k}(x)\[\binom {n+\la -1}k -\binom {n+\la
-1}{k-1}\]\\
&=\suml _{k} C^{\la}_{n-2k}(x) \binom {n+\la -1} {k} \frac {n+\la -2k}
{n+ \la -k}.
\endalign$$
$$\Rightarrow x^n = 2^{-n}n! \suml _{k} \frac {n+\la -2k} {k!\,(\la)^{
(n+1-k)}}C^{\la}_{n-2k}(x) .\tag 4.8 $$

Ein einfacheres Beispiel sind die {\it Laguerrepolynome}
$$L_{n}^{(\al)}(x)=\suml _{k=0} ^{n} \binom {n+\al}{n-k} \frac {n!}
{k!}(-x)^k \tag 4.9$$
mit der erzeugenden Funktion
$$\suml _{n=0} ^{\infty} \frac {L_{n}^{(\al)}(x)} {n!}t^n =
(1-t)^{-1-\al}e^{\frac {tx} {t-1}}.\tag 4.10$$
Man k\"onnte hier analog vorgehen. Diese Rechnung haben wir im
Wesentlichen aber
schon durchgef\"uhrt: Ein Blick auf Beispiel 1 zeigt sofort 
$$x^n= \suml _{k=0} ^{n}(-1)^k \binom {n+\al}{n-k}\frac {n!} {k!}
L_{k}^{(\al)}(x) .\tag 4.11$$
Auf dieselbe Weise lassen sich die meisten Inversionen der bekannten
speziellen Polynome herleiten.


\subhead 5. Folgen von Binomialtyp \endsubhead
Betrachten wir f\"ur eine f.P.R. $g(z)=z/\varphi (z)$ mit $\varphi (z)\neq 0$
die Entwicklung
$$e^{xz}=\suml _{n=0} ^{\infty} \frac {p_n (x)} {n!} g(z)^n .\tag 5.1$$
Dann ist offensichtlich $p_n(x)$ ein Polynom vom Grad $n$ in $x$ und
$p_n (0) = \de_{n0}$. Aus $e^{(x+y)z}= e^{xz}\cdot e^{yz}$ folgt
$$p_n (x+y)= \suml _{k=0} ^{n}\binom n k p_k (x)p_{n-k}(y), \tag 5.2$$
d.h. $(p_n)$ ist eine {\it Folge von Binomialtyp\/} (siehe [33]).

Bezeichnen wir mit $D$ den Differentiationsoperator nach $x$ und
wenden diesen auf (5.1) an, so folgt
$$ze^{xz}=\suml _{n} ^{} \frac {Dp_n (x)} {n!} g(z)^n,$$
und durch Iteration erh\"alt man 
$$g(z)e^{xz}=  \suml _{n} ^{} \frac {g(D)p_n (x)} {n!} g(z)^n.$$
Nach Division durch $g(z)$ erh\"alt man durch Koeffizientenvergleich
mit (5.1)
$$g(D)p_n (x)=np_{n-1}(x) .\tag 5.3$$
Au\3erdem sieht man leicht, da\3 diese Relation gemeinsam mit den
Anfangswerten $p_n(0)=\de_{n0}$ die Polynome $p_n (x)$
charakterisiert.



\example{Beispiel} 
F\"ur $g(z)=ze^{-az}$ haben wir in (1.4) als
Koeffizienten die Abelpolynome $A_n^{(a)}(x)=x(x+an)^{n-1}$
erhalten.
Diese erf\"ullen daher (5.2), und (5.3) besagt
$$De^{-aD}A_n^{(a)}(x)=D A_n^{(a)}(x-a)= n A_{n-1}^{(a)}(x).$$ 
\endexample

Aus der Entwicklung (5.1) erh\"alt man durch Anwendung der
La\-grange\-for\-mel:
$$\text {(I) }\Rightarrow \frac {p_n (x)} {n!}=\frac {1} {n} xe^{xt}\varphi
(t)^n\big\vert_{t^{n-1}}=\frac {x\cdot \varphi (D)^n x^{n-1}}
{n!},$$
da $a(D)\frac {x^n} {n!}=a(t)e^{xt}\big\vert_{t^{n}}$ f\"ur beliebige f.P.R.
$a(t)$. Also
$$p_n(x)=x\cdot \varphi (D)^n x^{n-1} .\tag 5.4$$
$\text {(II) }\Rightarrow p_n (x)=n!\, e^{xt}g'(t)\varphi
(t)^{n+1}\vert_{t^{n}}\text {, also }$
$$p_n (x)=g'(D)\varphi (D)^{n+1} x^n .\tag 5.5$$

Diese beiden wichtigen Formeln (5.4) und (5.5), die ,\kern-1pt,closed
forms`` aus [33, p.~695], sind also unmittelbare Folgerungen aus
der Lagrangeschen Inversionsformel.

Umgekehrt l\"a\3t sich aus ihnen (I) und (II) herleiten (siehe [5, 13,
32]):
Dazu fa\3t man die Entwicklung (1.1) als linearen Operator auf dem
Raum der Polynome auf:
$$f(D)=\suml _{k=0} ^{\infty} c_k \,g(D)^k.$$
Wendet man diesen Operator auf die Polynome $p_n(x)$ an, so gilt
wegen (5.3)
$$Lf(D)p_n = \suml _{k} ^{} c_k Lg(D)^k p_n = c_n \cdot n !,$$
wenn $Lp(x)=p(0) $ die Auswertung im Nullpunkt bezeichnet.
Setzt man nun f\"ur $p_n (x)$ (5.4) und (5.5) ein, erh\"alt man
$$
n!\,c_n=Lf(D) \,x\cdot \varphi (D)^n x^{n-1}=Lf'(D)\varphi (D)^n
x^{n-1}= (n-1)!\,f'(z)\varphi (z)^n\big\vert_{z^{n-1}}$$
beziehungsweise
$$n!\,c_n=Lf(D)g'(D)\varphi (D)^{n+1}x^n=n!\, f(z)g(z)\varphi
(z)^{n+1}\big\vert_{z^{n}}.
$$
Dabei wurden nur die trivialen Formeln
$$f(D)x-xf(D)=f'(D)\hskip1cm \text {und} \hskip1cm Lf(D)x^n =
n!\,f(z)\big\vert_{z^{n}}$$
verwendet.

Die Folgen vom Binomialtypen lassen sich nat\"urlich aufs
Mehrdimensionale verallgemeinern und das entsprechende Analogon von
(5.5) liefert dann die Lagrange--Good-Formel (3.2). Siehe dazu
[5, 20, 24] und [2] f\"ur den Fall nichtkommutierender Variable.

Weitere Beispiele f\"ur Folgen von Binomialtyp sind die oberen und
unteren Faktoriellen $(x)^{(n)}= x(x+1)\cdots (x+n-1)$ und
$(x)_n=x(x-1)\cdots (x-n+1)$, die Laguerrepolynome $L_{n}^{(\al)}(x)$ aus
(4.9) f\"ur $\al = -1$ und die Gouldpolynome $G_n (x,b)$ aus (1.7).

\medskip
Eine geringf\"ugige Verallgemeinerung sind die {\it Shefferpolynome}.
Sie entstehen als Koeffizienten in einer Entwicklung
$$f(z)e^{xz}=\suml _{n} ^{} \frac {s_{n}(x)} {n!}g(z)^n \tag 5.6$$
und haben ganz \"ahnliche Eigenschaften wie die $p_n (x)$.
Die wichtigsten Beispiele sind die Hermitepolynome und
Laguerrepolynome $L_{n}^{(\al)}(x)$ (f\"ur jedes $\al$).

Mit der Lagrangeschen Inversionsformel l\"a\3t sich (5.6)
verallgemeinern zu 
$$\suml _{n=0} ^{\infty} \frac {s_n (x+ny)} {n!} \(g(z)e^{-yz}\)^n =
f(z)e^{xz} \(1-y \frac {g(z)} {g'(z)}\)^{-1} .\tag 5.7$$

Zum Beweis braucht man blo\3 in (II) einsetzen und erh\"alt als
Koeffizienten
$$\frac {e^{(x+yn)z}f(z)g'(z)} {g(z)^{n+1}}\big\vert_{z^{n}}.$$
(II) auf (5.6) angewendet zeigt dann, da\3 dieser Ausdruck gleich $s_n
(x+nx)/n!$ ist.

Seien jetzt $s_n (x)$ durch (5.6) gegeben und eine Folge $p_n (x) $
vom Binomialtyp durch $\suml _{n} ^{} p_n (x)/n!\, h(z)^n=e^{xz}$. Wenn wir nun
die $p_n (x)$ nach den $s_k (x)$ entwickeln und umgekehrt, erhalten wir
ein Paar inverser Relationen:
$$\frac {p_n (x)} {n!}= \suml _{k=0} ^{n} \al_{nk} \frac {s_k (x)}
{k!} \text {\quad und\quad } \frac {s_n (x)} {n!}= \suml _{k=0} ^{n}\be_{nk}\frac
{p_k (x)} {k!} .\tag 5.8$$

Rota [33] hat mit diesem Ansatz einen eleganteren und einheitlicheren
Zugang zu Riordans inversen Relationen von Gould- und Abel-Typ
gefunden. Wegen 
$$e^{xz}= \suml _{n} ^{} \frac {p_n (x)} {n!} h(z)^n = \suml _{k} \frac {s_k
(x)} {k!} \suml _{n} \al_{nk} h(z)^n,$$
folgt durch Koeffizientenvergleich mit (5.6)
$$f(z)^{-1} g(z)^k=\suml _{n} ^{} \al_{nk} h(z)^n,$$
und analog
$$f(z) h(z)^k=\suml _{n}\be_{nk}g(z)^n.$$
Die inversen Relationen (5.8), die als Zusammenhangskoeffizienten
zwischen zwei Shefferpolynomen auftreten, sind also dieselben, die
man mit Egoritschews Methode erh\"alt. Insbersondere lassen sich daher
{\it alle } inversen Relationen von Riordan aus dem umbralen Kalk\"ul
herleiten (obwohl das in [33, Problem~1] f\"ur die Legendre und
Tschebischeff-Typen bestritten wird).


\subhead 6. Garsias $q$-Analogon\endsubhead
L.~Carlitz [3] gab 1973 folgendes sch\"one $q$-Analogon der
Lagrangeformeln im Spezialfall $\varphi (z)=1-z$ an:
$$f(z)=\suml _{n} ^{} c_n \frac {z^n} {(1-z)(1-qz)\cdots (1-q^{n-1}z)} \tag 6.1$$
mit
$$\align  c_n&=\frac {1} {[n]} f'(z)(1-z)(1-qz)\cdots
(1-q^{n-1}z)\big\vert_{z^{n-1}} \tag 6.2 \\
&=f(z)(1-z)(1-qz)\cdots (1-q^{n-2}z)\big\vert_{z^{n}}.
\endalign$$
(Hier steht $[n]$ f\"ur $(q^n-1)/(q-1)=1+q+\cdots+q^{n-1}$,
$f'(z)$ bezeichnet die  $q$-Ableitung $(f(qz)-f(z))/(q-1)z$. Siehe [8].)

Dieses \"uberaus sch\"one Beispiel war der Anla\3 f\"ur eine intensive Suche
nach einem $q$-Analogon der Lagrangeschen Inversionsformel. Heute
kennt man zwei verschiedenartige Theorien, die au\3er Carlitz's
Beispiel wenig Gemeinsames haben. Der naheliegende und zun\"achst (von
Andrews [1], Gessel [16], Garsia und Joni [12, 14]) untersuchte Ansatz
in der Form
$$f(z)=\suml _{k} ^{} c_k g(z)g(qz)\cdots g(q^{k-1}z) \tag 6.3$$
ist in formaler Hinsicht \"au\3erst befriedigend, die meisten
interessanten Dinge in dieser Theorie haben im klassischen Fall $q=1$
aber kein Gegenst\"uck.

Die andere Richtung (siehe [7, 18, 20, 22, 25]) leistet wahrscheinlich
eher das, was man sich anfangs erhofft hat:
neue $q$-Analoga f\"ur die Dinge zu liefern, die man mit der
klassischen Lagrangeformel behandeln kann, etwa $q$-Analoga der
inversen Relationen, Zusammenh\"ange mit den bekannten $q$-Analoga der
speziellen Polynome, etc.

Wenden wir uns zun\"achst dem Ansatz (6.3) zu. Diese Form der
,\kern-1pt,$q$-Potenzen`` von $g(z)$ hat folgende erstaunliche
Eigenschaft:

\proclaim{Satz} Es gibt zu jeder f.P.R. $g(z)$ {\rm(}der Ordnung
1{\rm)} eine
f.P.R. $G(z)$, soda\3 gilt:
$$\gather \suml _{k} ^{} a_k z^k = \suml _{k} ^{} b_k g(z)g(qz)\cdots g(q^{n-1}z) \tag
6.4\\
\Leftrightarrow \quad \suml _{k} ^{} a_k G(z)G(z/q)\cdots G(z/q^{k-1})=
\suml _{k} ^{} b_k z^k.
\endgather$$
$G(z)$ nennen wir die {\it $q$-Inverse\/} von $g(z)$. $g$ ist dann die $\frac
{1} {q}$-Inverse von $G$.
\endproclaim


\demo{Beweis} Sei
$$\align   z& = \suml _{n\geq 1} G_n \,g(z) g(qz)\cdots
g(q^{n-1}z)\quad \Rightarrow \quad G(z):= \suml _{n\geq 1} G_n z^n.\\
\Rightarrow z^2 &= \suml _{k} ^{} G_k \,g(z)g(qz)\cdots g(q^{k-1}z)q^{-k}\cdot
q^k z\\
&=\suml _{k} ^{} q^{-k}G_k \,g(z)\cdots g(q^{k-1}z)\cdot \suml _{l} ^{}
G_l g(q^k z)\cdots
g(q^{k+l-1}z)\\
&= \suml _{n}\Big(\suml _{k} q^{-k} G_k G_{n-k}\Big) g(z)\cdots g(q^{n-1}z)\\
\endalign$$
und 
$$\suml _{n} \Big(\suml _{k} ^{}  q^{-k}G_k G_{n-k}\Big) z^n
= \suml _{k} ^{} q^{-k} G_k z^k \cdot \suml _{l} ^{} G_l z^l 
= G(z)\cdot G(z/q), 
$$
usw.

Um f\"ur die Entwicklung (6.3) eine Lagrangeformel zu finden, brauchen
wir eine entsprechende Verallgemeinerung von Lemma~1.
\enddemo


\proclaim{Lemma 3} Es gibt {\rm(}genau{\rm)} eine f.P.R. $g^0 (z)$, so da\3 
$$M\(\frac {g^0 (z)dz} {g(z)g(z/q)\cdots g(z/q^n)}\)=\de_{n0} .\tag 6.5$$
\endproclaim
Dieses $g^0 (z)$ mu\3 also ein $q$-Analogon der Ableitung $g'(z)$
sein, es ist aber {\it nicht} die \"ubliche $q$-Ableitung. Wir werden
zwar einige Formeln f\"ur dieses $g^0 (z)$ herleiten, konkret
ausrechnen l\"a\3t es sich aber anscheinend nur in Carlitz's Beispiel. 


\demo{Beweis} Schreiben wir $g(z)=z/\varphi (z)$, so wird (6.5) zu
$$g^0(z)\varphi (z)\varphi (z/q)\cdots \varphi
(z/q^n)\big\vert_{z^{n}}=\de_{n0}.\tag6.6$$
Setzt man jetzt $g^0 (z)=\ga_0 + \ga_1 z+\ga_2 z^2+ \cdots$ 
unbestimmt an, dann
kann man daraus sukzessive die $\ga_n$ berechnen.
\medskip

Kehren wir jetzt zur Entwicklung (6.3) zur\"uck. Wir dividieren durch
$g(z)\cdots g(q^n z)$ und ersetzen $z$ durch $z/q^n$:
$$\multline
\Rightarrow \frac {f(z/q^n)} {g(z)g(z/q)\cdots g(z/q^n)}=\frac {c_0}
{g(z)\cdots g(z/q^n)}+ \frac {c_1} {g(z)\cdots g(z/q^{n-1})}+\cdots\\
+ \frac {c_n}
{g(z)}+ c_{n+1}+ c_{n+2}\,g(qz)+\cdots.
\endmultline$$
Durch Multiplikation mit $g^0 (z)$ folgt aus Lemma~3
$$c_n=M\(\frac {f(z/q^n)g^0 (z)dz} {g(z)g(z/q)\cdots g(z/q^n)}\)=q^n
M\(\frac
{f(z)g^0 (q^n z)dz} {g(z)g(qz)\cdots g(q^n z)}\) \tag 6.7$$
oder
$$c_n=q^{-\binom n 2} f(z)g^0 (q^n z)\varphi (z)\cdots \varphi (q^n
z)\big\vert_{z^{n}} .\tag 6.8$$
Das ist Garsias $q$-Analogon der 2.~Version der Lagrangeschen
Inversionsformel. Andrews [1] hat ein $q$-Analogon der 1.~Version
angegeben, das allerdings viel komplizierter ist, er stellt $c_n$
n\"amlich als $(n+1)\times (n+1)$-Determinante dar.

\medskip
Wir wollen noch zwei Formeln f\"ur $g^0(z)$ herleiten:
F\"ur $q=1$ gilt f\"ur die Koeffizienten $\ga_n$ von $g^0(z)=\suml 
_{n} ^{} \ga_n
z^n$
$$\ga_n = g'(z)\big\vert_{z^{n}}=M \(\frac {g'(z)dz} {z^{n+1}}\)=M\(\frac {dz}
{G(z)^{n+1}}\)$$
nach der Substitutionsformel (3.3), wenn $G(z)$ die zu $g(z)$ inverse
Potenzreihe ist. Daf\"ur lautet das $q$-Analogon:
$$\ga_n=M\(\frac {dz} {G(z)G(z/q)\cdots G(z/q^n)}\).\tag 6.9$$
\enddemo


\demo{Beweis} Ein Blick auf (6.4) zeigt, da\3 wir den Koeffizienten
$b_n$ jetzt auf zwei Arten berechnen k\"onnen. Das ergibt f\"ur beliebige
$b_n$ die Gleichnung
$$q^n M\(\frac {g^0 (q^n z)\suml _{k} ^{} a_k z^k } {g(z)\cdots g(q^n
z)}dz\)=M \(\frac
{\suml _{k} ^{}
a_k G(z)\cdots G(z/q^{k-1})} {z^{n+1}}dz\), \tag 6.10$$
ein $q$-Analogon der Substitutionsformel (3.3).

Setzen wir jetzt $ \suml_{k} a_k  z^k = g(z)\cdots g(q^n z)z^{-n-1}$,
so folgt wegen  (6.4)
$$\align 
&\hphantom{\Rightarrow z }g(z)\cdots g(q^nz)=\suml_{k} a_k z^{k+n+1}\\
&\Rightarrow z^{n+1} = \suml_{k} a_kG(z)\cdots G(z/q^{k+n}) \\
&\Rightarrow \frac {z^{n+1}q^{(n+1)^{2}}} {G(qz)\cdots G(q^{n+1}z)}=
\suml_{k}
a_k G(z)G(z/q)\cdots G(z/q^{k-1}).
\endalign$$

In (6.10) eingesetzt erhalten wir
$$q^n M\(\frac {g^0 (q^nz)} {z^{n+1}}dz\)=q^{(n+1)^{2}} M\(\frac {dz}
{G(qz)\cdots G(q^{n+1}z)}\)$$
also 
$$\ga_n = M \(\frac {dz} {G(z)G(z/q)\cdots G(z/q^n)}\).$$
\enddemo

F\"ur die zweite Formel brauchen wir noch etwas Notation, n\"amlich
Garsias ,\kern-1pt,roofing``  und ,\kern-1pt,starring``:
F\"ur f.P.R. $f(z)=\suml _{k} ^{} a_k z^k$ sei
$$\hat f(z)=\suml _{k} ^{} a_k q^{-\binom k 2} z^{k}$$
und, falls $a_0=1$, 
$$f^{\ast} (z)=f(z)f(qz)f(q^2 z)\cdots.$$
Dieses unendliche Produkt konvergiert f\"ur $\vert q\vert < 1$ oder
formal, wenn man $f^{\ast}(z)$ als f.P.R. mit rationalen Funktionen
in $q$ als Koeffizienten auffa\3t.
Dieses $f^{\ast}(z)$ ist auch die einzige f.P.R. mit $f^{\ast}(0)=1$
und
$$f(z)\cdot f^{\ast}(qz)=f^{\ast}(z).$$

Es gilt dann f\"ur $g(z)=z/\varphi (z)$ und $\varphi (0)=1$
$$g^0 (z)=\varphi^{\ast}(qz)\cdot \(\frac {1} {\hat \varphi ^\ast
(z/q)}\)\raise5pt\hbox{${\dsize\hat{}}$}.\tag 6.11$$


\demo{Beweis}Setzen wir $g^0(z)= \varphi^{\ast}(qz)\cdot \hat\psi (z) $ an.
Dann wird (6.6)
zu 
$$\varphi^{\ast}(z/q^n)\hat\psi(z)\vert_{z^{n}}=\de_{n0}.$$
Durch Einsetzen von $\varphi^{\ast}(z)=\suml _{n} ^{} \varphi_n z^n$ und $\psi
(z)=\suml _{n} ^{} \psi_n z^n $ sieht man erstaunt ein, da\3 diese Gleichung
\"aquivalent ist mit
$$\hat \varphi^{\ast } (z/q)\cdot \psi
(z)\big\vert_{z^{n}}=\de_{n0},$$
woraus schlie\3lich $\hat \varphi^{\ast} (z/q)\cdot \psi (z)=1$ folgt.
\enddemo

In [12] findet man noch eine F\"ulle solcher eigenartiger Identit\"aten
mit $^{\ast}$ und \ $\hat{} $, die wahrscheinlich das Reizvollste an
dieser Theorie sind, f\"ur $q=1$ aber ihren Sinn verlieren.

\medskip
Leider kann man all diese Formeln f\"ur $g^0 (z)$ anscheinend nur in
einem Fall konkret verwerten, n\"amlich f\"ur $\varphi (z)=1-z$, also
Carlitz's Beispiel:
Es ist dann
$$\varphi^{\ast}(z)=\prodl _{i=0} ^{\infty}(1-q^iz)=\suml _{n=0}
^{\infty}\frac {(-z)^n q^{\binom n 2}} {(1-q)(1-q^2)\cdots (1-q^n)},$$
daher
$$\hat \varphi^{\ast}(z)=\suml _{n} ^{} \frac {(-z)^n} {(1-q)\cdots (1-q^n)}, 
\quad \frac
{1} {\hat \varphi^{\ast}(z)}=\suml _{n} ^{} \frac {q^{\binom n 2 }z^n}
{(1-q)\cdots (1-q^n)}$$
$$\(\frac {1} {\hat \varphi^{\ast}(z)}\)\raise5pt\hbox{${\dsize\hat{} }$}=\suml _{n} ^{} \frac {q^{\binom n
2}z^n} {(1-q)\cdots (1-q^n)}=\prodl _{i=0} ^{\infty}(1-q^i z)^{-1}=\frac
{1} {\varphi^{\ast}(z)},$$
$$\Rightarrow g^0 (z)=\varphi^{\ast}(qz)\cdot
\varphi^{\ast}(z/q)^{-1}=\frac {1} {(1-z)(1-z/q)},$$
soda\3 (6.8) in diesem Fall wirklich (6.2) liefert.

Man kann auch ein $q$-Analogon der Folgen von Binomialtyp studieren:
Ausgehend von
$$e^{xz}=\suml _{n} ^{} \frac {p_n (x)} {n!}g(z)g(qz)\cdots g(q^{n-1}z)$$
lassen sich genauso wie in Kap.~5 die folgenden Formeln
herleiten:
$$\align 
p_n (x+y)&=\suml _{k} ^{} \binom n k p_n (x)  p_{n-k}(y/q^k)\\
\varepsilon g (D)p_n &= n p_{n-1}, \text {wobei } D \text { der gew\"ohnliche
Differentiations-}\\ 
&\hphantom{ = } \text{ operator und } \varepsilon f(x)=f(qx) \text { ist,}\\ 
p_n (x)&=q^{- \binom n 2 }g^0 (q^n D)\varphi (D)\cdots \varphi (q^n
D)x^{n-1}.
\endalign$$


\subhead 7. Ein allgemeiner Ansatz, weitere $q$-Analoga\endsubhead
Wir wollen uns jetzt mit allgemeineren Entwicklungen 
$$f(z)=\suml _{k} c_k g_k (z)  \tag 7.1$$
besch\"aftigen, wo $g_k (z)$  eine f.L.R. der Ordnung $k$ ist (die {\it
Ordnung\/} einer formalen Laurentreihe ist wie bei formalen
Potenzreihen definiert, siehe Lemma~1), und
versuchen, hier die Koeffizienten $c_k$ zu berechnen.

Dazu m\"u\3te man f.L.R. $G_n (z)$ der Ordnung $-n$ finden, soda\3 etwa
$$L\ g_k(z) G_n(z)=\de_{nk} \tag 7.2 $$
f\"ur alle ganzen Zahlen $n,k$
gilt. 
Dabei sei $L$ das lineare Funktional 
$$L f(z)=f(z)\vert_{z^{0}}=M\(\frac
{f(z)} {z}dz\).$$ Dann w\"urde f\"ur den Koeffizienten $c_n$ aus (7.1)
n\"amlich gelten:
$$c_n=L f(z)\ G_n(z) .\tag 7.3$$ 

F\"ur $g_k (z)=g(z)^k$ beispielsweise ist wegen Lemma~1
$$G_n(z)=\frac {zg'(z)} {g(z)^{n+1}}. \tag 7.4$$

Es stellt sich daher das Problem, ob man die $G_n (z)$ auch f\"ur
allgemeinere $g_k (z)$ explizit angeben kann. Mit der folgenden
Methode gelingt das in einigen wichtigen F\"allen.

Nehmen wir an, da\3 unsere Folge $g_n(z)$ die Eigenvektoren eines
Operators sind, beziehungsweise seien allgemeiner $U,V$ zwei lineare Operatoren
auf dem Raum der f.L.R., und es gelte f\"ur irgendwelche reellen Zahlen
$c_n$:
$$Ug_n=c_n Vg_n. \tag 7.5$$

$\langle a(z), b(z)\rangle  = L a (z)b(z)$ ist ein inneres Produkt auf den
f.L.R.

Ist $V$ bijektiv, dann gibt es eindeutig bestimmte f.L.R. $\tilde g_k(z)$
der Ordnung $-k$, die zu den $Vg_n (z)$ biorthogonal sind:
$$\align 
&\langle \tilde g_k, Vg_n\rangle =\de_{nk} \tag 7.6\\
\Rightarrow &\langle  \tilde g_k, Ug_n\rangle =c_n\langle \tilde g_k, Vg_n\rangle c_n \de_{nk}=c_k
\de_{nk}.\\
\Rightarrow &\langle  U^{\ast}\tilde g_k, g_n\rangle =c_k \langle  V^{\ast}g_k, g_n\rangle \\
\endalign$$
also:
$$U^{\ast}\tilde g_k=c_k V^{\ast}\tilde g_k \quad \text { und} \tag 7.7$$
$$G_k=V^{\ast}\tilde g_k \text {\quad erf\"ullt\quad } \langle G_k, g_n\rangle =
\de_{nk}.\tag7.8$$

Die Methode besteht also darin, zun\"achst Hilfsfunktionen $\tilde g_k (z)$
zu berechnen, die ein \"ahnliches Eigenwertsproblem wie die $g_n(z)$
(nur f\"ur die adjungierten Operatoren) erf\"ullen, und daraus kann man
dann die gesuchten $G_n$ konstruieren.


\subsubhead Beispiele f\"ur Operatoren\endsubsubhead
\roster
\item $\ep_q f(x)=f(qx)\quad \Rightarrow \quad \ep^{\ast}_q f(x)=f(\frac {x}
{q})$.
\item Multiplikationsoperator $U f(x)=a(x)f(x) $: $U=U^{\ast}$.
\item $U f(x)=x f'(x)\quad \Rightarrow \quad U^{\ast}f(x)= -xf'(x)$.
\endroster
Jetzt k\"onnen wir an Hand der klassischen Lagrangeformel zeigen, da\3
diese Methode \"uberhaupt funktioniert:
Die Potenzen $g_n(z)=g(z)^n$ erf\"ullen bekanntlich
$$g'_{n}(z)=ng_n (z)\cdot \frac {g'(z)}
{g(z)}.$$
Das ist eine Gleichung der Form (7.5), wenn wir z.B. $U=xD$,
$V=xg'(x)/g(x)$ und $c_n=n$ w\"ahlen.
Die $\tilde g_k (x)$ erf\"ullen daher nach (7.7)
$$\align 
\tilde g'_{k}(x)&=-k\tilde g_k (x)\frac {g'} {g} \text {\quad d.h. }\\
\tilde g_k (x)&=g(x)^{-k} \text {\quad und }\\
G_k (x)&=V^{\ast}\tilde g_k=x \frac {g'(x)} {g(x)^{k+1}}, \text { also genau
(7.4). } 
\endalign$$

Egoritschews Ansatz f\"ur inverse Relationen l\"a\3t sich nat\"urlich
leicht auf diese allgemeine Situation \"ubertragen: Betrachten wir
neben $(g_n)$ noch eine zweite Folge $(h_n)$ mit
$$Lh_n H_k=\de_{nk},$$
 dann ist 
$$\al_{nk}=L f(x)g_k(x)H_n(x)\hskip1cm  \be_{nk}=L f(x)^{-1} h_k (x)G_n (x)
\tag 7.9$$
ein Paar inverser Relationen, wie man aus den beiden Entwicklungen
$$\align 
f(x)g_k(x)&=\suml _{n} ^{} \al_{nk} h_n (x) \text { und }\\
f(x)^{-1} h_k(x)&=\suml _{n} ^{} \be_{nk} g_n (x)\\
\endalign$$
unmittelbar entnimmt.

\subsubhead Krattenthalers $q$-Analogon\endsubsubhead
Seien $\varphi_n, \psi_n$ zwei Folgen f.P.R. mit
$$\align 
\varphi'_n &=[n]\varphi_n (x)\varphi (x)\hskip1cm  (' \text { ist jetzt die }
q \text {-Ableitung }) \\ 
\psi'_n &= q^{-n} [n] \psi_n (qx) \psi (x) ,\tag 7.10
\endalign$$
und sei 
$$g_n(x)=\frac {x^n} {\varphi_n (x)\psi_n (x)} .\tag 7.11$$

F\"ur die Entwicklung (7.1) nach solchen ,\kern-1pt,$q$-Potenzen``
$g_n (x)$ konnte Krattenthaler [25, 26] folgende $q$-Lagrangeformel
zeigen:
$$\align
c_n&=\frac {1} {[n]}f'(x)\varphi_n (x)\psi _n(qx)\big\vert_{x^{n-1}} \tag
7.12\\
&=f(x)\varphi_n (\frac {x} {q})\psi_n (qx)\(1-\frac {x} {q}\varphi\(\frac {x}
{q}\)-x\psi (x)\)\Big\vert_{x^{n}} .\tag 7.13
\endalign$$

Zum Beweis schreiben wir (7.10) um in
$$\align 
\varphi_n(qx)&=\varphi_n (x)(1+(q^n-1)x\varphi(x))\\
\psi_n(x)&=\psi_n (qx) (1+(q^{-n}-1)x \psi(x)).\\
\Rightarrow \quad \frac {g_n (qx)} {g_n (x)}&=\frac {q^n+(1-q^n)x\psi(x)}
{1+(q^n-1)x \varphi(x)}
\endalign$$
$$\Rightarrow \quad g_n(qx)(1-x\varphi(x))-x\psi(x) g_n (x)=q^n [g_n(x)(1-x
\psi(x))-x\varphi (x)g_n
(qx)] .\tag 7.14$$
Diese Gleichung ist genau eine Eigenwertgleichung der Form (7.5).
Es folgt daher
$$\tilde g_n \(\frac {x} {q}\)\(1-\frac {x} {q}\varphi \(\frac {x}
{q}\)\)-x\psi (x)\tilde g_n (x)=q^n\[ \tilde g_n (x)(1-x\psi(x))-\frac {x}
{q}\varphi \(\frac {x} {q}\)\tilde g_n \(\frac {x} {q}\)\] .$$
Aus dieser $q$-Differenzgleichung f\"ur $\tilde g_n (x)$ ergibt sich 
$$\frac {\tilde g_n (\frac {x} {q})} {\tilde g_n (x)}= \frac {q^n +
(1-q^n)x \psi (x)} {1+(q^n-1)\frac {x} {q}\varphi (\frac {x} {q})}=
q^n \frac {\psi_n (x)} {\psi_n (qx)} \frac {\varphi_n (x/q)}
{\varphi_n (x)},$$
$$\Rightarrow \tilde g_n(x)=\frac {\varphi_n (x)\psi_n (qx)} {x^n} .\tag
7.15$$
Die zu $g_n (x)$ orthogonalen $G_n(x)$ errechnen sich nach (7.8) zu
$$\align 
G_n(x)&=(1-x\psi(x))\tilde g_n (x)-\frac {x} {q} \varphi \(\frac {x}
{q}\)
\tilde g_n \(\frac {x} {q}\)\\
&= x^{-n}\varphi_n\(\frac {x} {q}\)\psi_n (qx)\bigg\{(1-x\psi(x))\(1+(q^n-1)\frac
{x} {q}\varphi \(\frac {x} {q}\)\)\\
&\hskip2cm-\frac {x} {q}\varphi \(\frac {x}
{q}\)(q^n +(1-q^n)x\psi(x))\bigg\}\\
&=x^{-n}\varphi_n \(\frac {x} {q}\) \psi_n (qx)\(1-\frac {x} {q}\varphi
\(\frac
{x} {q}\)- x\psi (x)\).
\endalign$$
Das liefert wegen $c_n=Lf(x) G_n(x)$ das $q$-Analogon der 2.~Version
(7.13).

Die 1.~Version erh\"alt man aus der Beobachtung
$$\align 
g'_n (x)&= \(\frac {x^n} {\psi_n (x)}\)' \frac {1} {\varphi_n (x)}+\frac
{(qx)^n} {\psi_n (qx)} \(\frac {1} {\varphi_n (x)}\)'\\
&=\frac {[n]x^{n-1}} {\psi_n (x)} (1-x \psi(x)) \frac {1} {\varphi_(x)}-\frac
{(qx)^n} {\psi_n (qx)} \frac {[n] \varphi(x)} {\varphi_n (qx)}\\
&=\frac {[n]} {x} \{g_n (x) (1-x\psi(x))-x\varphi (x)g_n (qx) \}= \frac {[n]}
{x} Vg_n.
\endalign$$
Wegen (7.6) folgt daher
$$L g'_n (x) \frac {\tilde g_k (x)} {x} = [n]\de_{nk},$$
und somit
$$c_n=\frac {1} {[n]}f'(x)\varphi_n (x)\psi_n (qx)\big\vert_{x^{n-1}}.$$

Der urspr\"ungliche Beweis von Krattenthaler ist etwas eleganter: Er
erh\"alt die Orthogonalit\"atsrelationen direkt durch Ableiten des
Quotienten $g_k/g_n$. F\"ur einen weiteren Beweis mit Hilfe von
Polynomen (analog zu Kap.~5) siehe [21].

\medskip
Die Schwierigkeit bei diesem $q$-Analogon ist es, konkrete Beispiele
f\"ur Folgen $\varphi_n$ beziehungsweise $\psi_n$ mit (7.10) zu finden. Das
derzeit allgemeinste bekannte Beispiel ist
$$\varphi_n (x)=e_r ((a[n]+b)x^r)/e_r (bx^r),$$ 
wobei $e_r(x)$ die
$q^r$-Exponentialfunktion ist (siehe [8, \S~1.2]). $\psi_n (x) $
erh\"alt man daraus, indem man entweder $n$ durch $-n$ oder $q$ durch $\frac
{1} {q}$ ersetzt. F\"ur die Anwendungen reicht das aber vollkommen aus.

\medskip
Die wichtigsten Spezialf\"alle von Krattenthalers $q$-Lagrangeformel
sind:

(1) $\varphi_n (z)=(1-az)(1-qaz)\cdots (1-q^{n-1}az)$, 
$\psi_n\equiv1$.\newline
Das ist wieder Carlitz's Beispiel (6.1). Wegen $\varphi'_n (z)=-
[n]\varphi_n (z)\frac {a} {1-az}$ folgt aus (7.12) und (7.13) sofort
(6.2).

Betrachtet man eine zu (5.1) analoge Entwicklung, erh\"alt man als
Koeffizienten die $q$-Laguerrepolynome (siehe [6, 14]). Au\3erdem
liefert es folgendes $q$-Analogon der inversen Relation (Kap.~4,
Bsp.~1):
$$\al_{nk}=\bmatrix {n+p} \\{n+k}\endbmatrix,\quad \quad 
 \be_{nk}=(-1)^{n-k}{q}^{\binom {n-k} 2} 
\bmatrix {n+p} \\{n-k}\endbmatrix. $$

(2) $\varphi_n (z)=e(a[n]z)$, $\psi_n\equiv1 $ (Jackson [22], Cigler
[7]).
\newline
Damit l\"a\3t sich analog zu (Kap.~1, Bsp.~2) Jacksons $q$-Analogon
der Abelidentit\"at herleiten, es liefert die ,\kern-1pt,richtigen``
$q$-Analoga der Abelpolynome [7] und der inversen Relationen von
Abeltyp, z.B.
$$\al_{nk}=(-1)^{n-k}\bmatrix n \\k\endbmatrix[n+p]^{n-k},\quad \quad 
 \be_{nk}=q^{\binom {n-k}
2} \bmatrix n \\k\endbmatrix [n+p] [k+p]^{n-k-1}.$$

(3) $\varphi (z)= (1-az)(1-qaz)\cdots (1-q^{n-1}az)$,
$\psi_n (z)= (1-z/q)(1-z/q^2)\cdots (1-z/q^n)$.\newline
Dieses Beispiel h\"angt eng mit den $q$-Jacobi- und
$q$-Gegenbauerpolynomen zusammen. Gessel und Stanton [18] wenden es
auf Transformationen hypergeometrischer Reihen an. Krattenthaler
[25, 26] konnte damit \"uberzeugende $q$-Analoga der inversen
Relationen von Legendre- und Chebyshevtyp herleiten, etwa (vergleiche
Kap.~4, Bsp.~3).
$$a_n=\suml _{k} ^{} \bmatrix {n+p} \\k\endbmatrix b_{n-2k} \quad \Leftrightarrow \quad 
b_n = \suml _{k} ^{}
(-1)^k q^{\binom k 2 } \bmatrix {n+p-k} \\k\endbmatrix \frac {[n+p]} {[n+p-k]}
a_{n-2k}.$$
Schlie\3lich f\"uhrt es --- ausgehend von (2.5) --- zu einem
$q$-Analogon der Catalanzahlen (siehe Kap.~8).


\subsubhead Das $q$-Analogon von Gessel--Stanton\endsubsubhead
In [18] geben Gessel und Stanton ein $q$-Analogon der Lagrangeformel
f\"ur den Spezialfall $g(x)=x(1+x)^{-b-1}$ an, das au\3er in
Spezialf\"allen anscheinend nicht in Krattenthalers Ansatz (7.11)
enthalten ist. Im Wesentlichen bringen sie ein $q$-Analogon der
inversen Relation von Gouldtyp (Kap.~4. Bsp.~2). Sie betrachten (in
etwas anderer Notation): $g_k(x)=\suml _{n} ^{} \al_{nk}x^n$ mit
$$\al_{nk}= q^{-b(n-k)k}\frac {[a+bk-k]^{(n-k)}} {[n-k]_b!}.\tag 7.16$$
Dabei sei $[a]^{(n)}=[a][a+1]\cdots [a+n-1],$
$$[a]_b=\frac {q^{ab}-1} {q^b-1} = \frac {[ab]} {[b]}.$$
Man rechnet leicht nach, da\3
$$g_k(x)(1-q^{-kb} [b]\,x)=q^{-kb}g_k(q^b x)- xq^a \,[b]\, g_k (qx)$$
gilt, was wieder als Eigenwertgleichung
$$g_k(q^bx)+[b]\,x\ g_k (x)=q^{bk}(g_k(x)+xq^a \,[b]\,g_k(qx)) \tag 7.17$$
geschrieben werden kann.
$$\Rightarrow \tilde g_n(q^{-b}x)+[b]\,x\tilde g_n (x)=q^{bn}\(\tilde
g_n (x)+ \frac {x} {q}q^a \,[b]\,\tilde g_n \(\frac {x} {q}\)\).$$
Setzt man $\tilde g_n(x)=\suml _{k\leq n} \ga_{nk} x^{-k}$, erh\"alt man
durch Koeffizientenvergleich 
$$q^{bk}\ga_{nk}+[b]\,\ga_{n,k+1}=q^{bn}(\ga_{nk}+q^{a-1}\,[b]\,q^{k+1}
\ga_{n,k+1} )$$
$$\Rightarrow \frac {\ga_{nk}} {\ga_{n,k+1}}=[b]\frac {q^{a+bn+k}-1}
{q^{bk}-q^{bn}}=-q^{-kb}\frac {[a+bn+k]} {[n-k]_b}$$
$$\Rightarrow \ga_{nk}=\ga_{nn}\ q^{b \binom k 2 -b \binom n 2} \frac
{[a+bn+k]^{(n-k)}} {[n-k]_b!} (-1)^{n-k}.$$
Schlie\3lich ist
$$G_n(x)=\tilde g_n (x)+xq^{a-1}\,[b]\,\tilde g_n (x/q).$$
Setzt man $G_n(x)=\suml _{k\leq n} \be_{nk} x^{-k},$ so ist
$(\be_{nk})$ wegen
$$\de_{nk}=Lg_k (x)G_n (x)=L \suml _{j,i} ^{} \al_{jk}x^j \be_{ni}x^{-i}=\suml
_{i} ^{}
\be_{ni}\al_{ik}$$
genau die zu $(\al_{nk})$ inverse Matrix.

Man erh\"alt
$$\align
\be_{nk}&=\ga_{nk}+q^{a+k}\,[b]\,\ga_{n,k+1}\\
&=q^{b \binom k 2 -b \binom n 2 } (-1)^{n-k}\frac {[a+bn+k+1]^{(n-k-1)}}
{[n-k]_b!}\\
&\hskip1cm\times([a+bn+k]-[n-k]_b \,[b]\,q^{a+k+bk})\\
&= \frac {[a+bn+k+1]^{(n-k-1)}[a+bk+k]} {[n-k]_b!}q^{b \binom k 2 -b
\binom n 2 } (-1)^{n-k}  .\tag 7.18
\endalign$$

Wir haben somit zwei zueinander inverse Relationen (7.16) und (7.18).
Man kann das Ergebnis aber auch als Lagrangeformel f\"ur die
$g_k(x)=\suml _{n} ^{} \al_{nk}x^n$ auffassen: F\"ur den Koeffizienten $c_n$ in
der Entwicklung (7.1) einer Funktion $f(x)=\suml _{k} ^{} f_k x^k$ gilt
$$c_n =Lf(x)G_n (x)=\suml _{k} \be_{nk}f_k.$$


\subhead 8. $q$-Catalanzahlen\endsubhead
Ausgehend von den Entwicklungen (2.5) und (2.6) f\"ur die
Catalanzahlen, wollen wir jetzt zwei verschiedene $q$-Analoga der
Catalanzahlen studieren, die den beiden $q$-Lagrangeformeln von
Garsia und Krattenthaler ent\-spre\-chen.


\subsubhead Carlitz's $q$-Catalanzahlen\endsubsubhead
Wir definieren analog zu (2.6) $q$-Catalanzahlen $C_n=C_n(q)$ durch
(siehe [1]):
$$z= \suml _{n=1} ^{\infty} C_{n-1}z^n (1-z)(1-qz)\cdots (1-q^{n-1}z)
.\tag 8.1$$
Aus (6.4) beziehungsweise dessen Beweis folgt dann
$$z^2= \suml _{n=2} ^{\infty} \(\suml _{k+l=n}
C_{k-1}C_{l-1}q^{k(l-1)}\)z^n (1-z)\cdots (1-q^{n-1}z).$$
Andererseits folgt aus (8.1)
$$z=C_0z(1-z)+ \suml _{n=2} ^{\infty} C_{n-1}\  z^n (1-z)\cdots
(1-q^{n-1}z),$$
$C_0=1$ und eine andere Entwicklung von $z^2$, soda\3 man durch
Koeffizientenvergleich 
$$C_{n-1}=\suml _{k+l=n-2} C_k C_l \,q^{(k+1)l}$$
oder
$$C_{n+1}=\suml _{k=0} ^{n} C_k C_{n-k}\  q^{(k+1)(n-k)}  \tag 8.2$$
erh\"alt. Mit $C_n=q^{\binom n 2}\tilde C_n$ wird das zu
$$\tilde C_{n+1} = \suml _{k=0} ^{n}q^{-k} \tilde C_{ k} \tilde C_{n
-k}.$$
Diese $q$-Catalanzahlen erf\"ullen im Wesentlichen also das einfachste
$q$-Analogon der klassischen Rekursion (2.1) der Catalanzahlen.
F\"ur die ersten Werte erh\"alt man:
$$C_0=C_1=1,\ C_2=1+q,\ C_3=1+q+2q^2+q^3,\ C_4=
1+q+2q^2+3q^3+3q^4+3q^5+q^6,\ \dots $$

Das Analogon von (2.5) f\"uhrt, wie man sich leicht \"uberlegt, zu
denselben $q$-Ca\-ta\-lan\-zah\-len:
$$z=\suml _{n=1} ^{\infty} q^{\binom {n-1} 2} C_n \frac {z^n} {(1+z)
(1+qz)\cdots (1+q^{2n-1}z)}  .\tag 8.3$$

Eine explizite Formel f\"ur die $C_n$ ist allerdings nicht bekannt.
Daf\"ur gibt es noch eine sch\"one kombinatorische Interpretation: Sei
$\Cal C_n$ die Menge aller W\"orter mit $n$ Nullen und $n$ Einsern, wo
jeder Anfangsabschnitt mindestens so viele $0$ wie $1$ enth\"alt.
Diesen W\"ortern entsprechen Wege von $(0,0)$ nach $(2n,0)$, die nicht
unter die $x$-Achse gehen, wenn man jeder $0$ ein ansteigendes,
jeder $1$ ein absteigendes Wegst\"uck zuordnet. Bekanntlich ist $\vert
\Cal C_n\vert =C_n$. F\"ur das $q$-Analogon gilt jetzt:
$$C_n=\suml _{w\in \Cal C_{n}} q^{\inv w}  .\tag 8.4$$

Zum Beweis zerlegt man ein Wort $w\in \Cal C_{n+1}$ in der \"ublichen Weise
in
$$w=0w_1 1 w_2 \text { mit } w_1 \in \Cal C_k, w_2 \in \Cal C_{n-k}.$$
F\"ur die Anzahl der Inversionen von $w$ gilt dann
$$\inv w= \inv w_1 + \inv w_2 + (k+1) (n-k).$$
Daher erf\"ullt $\suml _{w\in \Cal C_n} q^{\inv w }$ dieselbe Rekursion
(8.2) wie die $C_n$.

\subsubhead Die $q$-Catalanzahlen $c_n (\la)$\endsubsubhead
Der 3.~Spezialfall von Krattenthalers $q$-Analogon der
Lagrangeformel legt es nahe, die Entwicklung (2.5) auch auf folgende
Weise zu verallgemeinern:
$$z=\suml _{n} ^{} \frac {c_n (\la)} {q^{\binom n 2}} \frac {z^n}
{(1+z/q^n)\cdots (1+z/q)(1+q^{\la}z)\cdots (1+q^{\la+n-1}z)} .\tag 8.5$$
Aus (7.12) folgt dann
$$\align 
q^{-\binom n 2} c_n (\la) &=\frac {1} {[n]} (1+z/q^{n-1})\cdots
(1+z)(1+q^{\la} z)\cdots (1+q^{\la+n-1}z)\big\vert_{z^{n-1}}  \\
&=\frac {1} {[n]} \suml _{k} \bmatrix n\\ k\endbmatrix 
q^{\binom k 2} (q^{-n+1}z)^k \suml_{l} 
\bmatrix n\\ l\endbmatrix q^{\binom l 2}(q^{\la}z)^l\big\vert_{z^{n-1}}\\
&=\frac {1} {[n]} \suml _{k} \bmatrix n\\ k\endbmatrix 
q^{\binom k 2 -k (n-1)+\la
(n-1-k)+ \binom {n-1-k} 2 } {\binom n {n-1-k}},\tag 8.6 \\
\endalign $$
und schlie\3lich
$$c_n(\la)=\frac {1} {[n]} \suml _{k} \bmatrix n \\k\endbmatrix
\bmatrix n\\ {k+1}\endbmatrix
q^{k^{2}+ \la k}.\tag 8.7$$
Die Summanden sind $q$-Analoga der {\it Runyonzahlen\/}
$r_{nk}=\frac {1} {n} \binom n k \binom n {k+1}$ aus [31, p.~17], sie
z\"ahlen die Wege von (0,0) bis (2n,0) \"uber der $x$-Achse mit $k$
,\kern-1pt,T\"alern``. 

F\"ur gewisse  $\la$ l\"a\3t sich (8.6) einfacher
berechnen: F\"ur $\la=1$ etwa gilt 
$$\align 
c_n (1)&= q^{\binom n 2} \frac {1} {[n]} (1+z/q^{n-1})\cdots (1+q^n
z)\big\vert_{z^{n-1}}\\
&=q^{\binom n 2} \frac {1} {[n]} \bmatrix {2n} \\{n-1} \endbmatrix q^{(-n+1)(n-1)+
\binom {n-1} 2}\\
&=\frac {1} {[n+1]} \bmatrix {2n} \\n\endbmatrix, \tag 8.8
\endalign$$
also das naheliegendste $q$-Analogon der Catalanzahlen
\"uberhaupt.
F\"ur $\la=0$ erh\"alt man auf \"ahnliche Weise
$$c_n(0)=\frac {1} {[n+1]} \bmatrix {2n}\\ n\endbmatrix \frac {1+q}
{1+q^n}.\tag8.9$$
F\"ur die ersten Werte gilt
$$c_0(\la)=c_1(\la)=1,\ c_2(\la)=1+q^{1+\la},\ c_3(\la)=1+[3]
q^{1+\la}+q^{4+2\la},\ \dots$$

Nun zur kombinatorischen Interpretation. Es gilt:
$$c_n(\la)=\suml _{w\in \Cal C_{n}} = q^{\maj w+(\la-1)\des w} .\tag 8.10$$
Dabei bezeichnet $\maj  w$ den {\it major\/} (oder {\it greater})
{\it index\/} von $w$ und
des $w$ die Anzahl der Abstiege $(= \dots 10 \dots)$ in
$w$.

F\"ur den Fall $\la=1$ hat J.~F\"urlinger den folgenden eleganten Beweis
gefunden:

Betrachten wir alle Wege von $(0,0)$ nach $(2n,0)$ kodiert durch
$0$--$1$-W\"orter $w$, so gilt bekanntlich (siehe etwa [29]):
$$\suml _{w} ^{} q^{\maj w}= \bmatrix 2n \\ n\endbmatrix   .$$
Wir ordnen jetzt jedem Weg $w$, der unter die $x$-Achse geht,
bijektiv einen Weg $w'$ von $(0,0)$ nach $(2n,2)$ zu: Dazu bestimmen
wir den Punkt $P$ auf dem Weg, der am ,\kern-1pt,tiefsten`` liegt,
und falls es mehrere solche gleichtiefe gibt, dann den ersten davon.
$P'$ sei der Punkt vor $P$. Indem wir das unmittelbar vor $P$
gelegene absteigende Wegst\"uck $P'P$ in ein aufsteigendes
hinaufklappen und den Rest des Weges (um zwei Einheiten nach oben
verschoben) daran anh\"angen, erhalten wir den Weg $w'$. Aus $w'$ kann
man $w$ wieder zur\"uckgewinnen: Der kritische Punkt $P'$, an dem das
darauffolgende Wegst\"uck wieder hinuntergeklappt werden mu\3, ist der
am weitesten rechts liegende unter den ,\kern-1pt,tiefsten``  Punkten
von $w'$. Offensichtlich ist $\maj w'= \maj w -1$.\linebreak
Daher gilt: 
$$\align 
\suml _{w\in \Cal C_n} q^{\maj w} &=\bmatrix {2n}\\ n\endbmatrix - 
\suml _{w\notin \Cal C_n}
q^{\maj w}=\bmatrix {2n}\\ n\endbmatrix - q \suml _{w'} ^{} q^{\maj w'}\\
&=\bmatrix {2n}\\ n\endbmatrix - q \bmatrix {2n}\\ {n-1}\endbmatrix=
\frac {1} {[n+1]} \bmatrix {2n}\\ n\endbmatrix.
\endalign$$

F\"ur den allgemeinen Fall ($\la$ beliebig) und weitere Eigenschaften
der
$q$-Ca\-ta\-lan\-zah\-len verweise ich auf [11].
 

\subhead 9. Abschlie\3ende Bemerkungen\endsubhead
Wie aus dem Unmfang des Skriptums ersichtlich, erweist sich das Thema
,\kern-1pt,Lagrange-Inversion`` als unerwartet ergiebig. Die
Stoffauswahl ist nat\"urlich sehr subjektiv, die kombinatorische Seite
wurde zu Gunsten der analytischen vernachl\"assigt, die $q$-Analoga
sind sicher nicht zu kurz gekommen. Auf einige wesentliche Aspekte,
etwa kombinatorische Beweise, wurde \"uberhaupt nicht eingegangen. Ich
verweise hier auf die Literatur, z.B. [4, 27, 30, 34].

Als Quelle habe ich neben der zitierten Literatur in erster Linie
eine Vorlesung \"uber ,\kern-1pt,Kombinatorische Identit\"aten`` benutzt,
die Prof.~Cigler im WS 1981/82 gehalten hat. Ich hoffe, die
Darstellung dadurch insofern bereichert zu haben, da\3 sie f\"ur jeden
den einen oder anderen neuen Aspekt enth\"alt.




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