{\catcode`\^^M=\active %
  \gdef\adrbox{\catcode`\^^M=\active %
  \def^^M{\egroup\hbox\bgroup}}}
\def\adresse{\par\nobreak%
  \vskip 24pt plus 6pt minus 3pt%
  \hbox to \hsize\bgroup\hfill%
  \def\fin{\egroup\egroup\hskip2em\egroup\vfill\eject}%
  \adrbox\vbox\bgroup\hbox\bgroup}
\def\fin{\vfill\eject}

\catcode'32=9
\magnification=1200

% particularite du pilote canon

\voffset=1cm
\hoffset=0cm
%\hoffset=1cm
\font\tenpc=cmcsc10
%\font\eightpc=cmcsc8

% Charge des fontes de 8 et 6 points :
\font\eightrm=cmr8
\font\eighti=cmmi8
\font\eightsy=cmsy8
\font\eightbf=cmbx8
\font\eighttt=cmtt8
\font\eightit=cmti8
\font\eightsl=cmsl8
\font\sixrm=cmr6
\font\sixi=cmmi6
\font\sixsy=cmsy6
\font\sixbf=cmbx6

\skewchar\eighti='177 \skewchar\sixi='177
\skewchar\eightsy='60 \skewchar\sixsy='60

% Chargement des fontes AMS

\font\tengoth=eufm10
\font\tenbboard=msbm10
\font\eightgoth=eufm8
\font\eightbboard=msbm8
\font\sevengoth=eufm7
\font\sevenbboard=msbm7
\font\sixgoth=eufm6
\font\fivegoth=eufm5

\newfam\gothfam
\newfam\bboardfam

\catcode`\@=11

\def\raggedbottom{\topskip 10pt plus 36pt
\r@ggedbottomtrue}
\def\pc#1#2|{{\bigf@ntpc #1\penalty
\@MM\hskip\z@skip\smallf@ntpc #2}}

\def\tenpoint{%
  \textfont0=\tenrm \scriptfont0=\sevenrm \scriptscriptfont0=\fiverm
  \def\rm{\fam\z@\tenrm}%
  \textfont1=\teni \scriptfont1=\seveni \scriptscriptfont1=\fivei
  \def\oldstyle{\fam\@ne\teni}%
  \textfont2=\tensy \scriptfont2=\sevensy \scriptscriptfont2=\fivesy
  \textfont\gothfam=\tengoth \scriptfont\gothfam=\sevengoth
  \scriptscriptfont\gothfam=\fivegoth
  \def\goth{\fam\gothfam\tengoth}%
  \textfont\bboardfam=\tenbboard \scriptfont\bboardfam=\sevenbboard
  \scriptscriptfont\bboardfam=\sevenbboard
  \def\bboard{\fam\bboardfam}%
  \textfont\itfam=\tenit
  \def\it{\fam\itfam\tenit}%
  \textfont\slfam=\tensl
  \def\sl{\fam\slfam\tensl}%
  \textfont\bffam=\tenbf \scriptfont\bffam=\sevenbf
  \scriptscriptfont\bffam=\fivebf
  \def\bf{\fam\bffam\tenbf}%
  \textfont\ttfam=\tentt
  \def\tt{\fam\ttfam\tentt}%
  \abovedisplayskip=12pt plus 3pt minus 9pt
  \abovedisplayshortskip=0pt plus 3pt
  \belowdisplayskip=12pt plus 3pt minus 9pt
  \belowdisplayshortskip=7pt plus 3pt minus 4pt
  \smallskipamount=3pt plus 1pt minus 1pt
  \medskipamount=6pt plus 2pt minus 2pt
  \bigskipamount=12pt plus 4pt minus 4pt
  \normalbaselineskip=12pt
  \setbox\strutbox=\hbox{\vrule height8.5pt depth3.5pt width0pt}%
  \let\bigf@ntpc=\tenrm \let\smallf@ntpc=\sevenrm
  \let\petcap=\tenpc
  \normalbaselines\rm}
\def\eightpoint{%
  \textfont0=\eightrm \scriptfont0=\sixrm \scriptscriptfont0=\fiverm
  \def\rm{\fam\z@\eightrm}%
  \textfont1=\eighti \scriptfont1=\sixi \scriptscriptfont1=\fivei
  \def\oldstyle{\fam\@ne\eighti}%
  \textfont2=\eightsy \scriptfont2=\sixsy \scriptscriptfont2=\fivesy
  \textfont\gothfam=\eightgoth \scriptfont\gothfam=\sixgoth
  \scriptscriptfont\gothfam=\fivegoth
  \def\goth{\fam\gothfam\eightgoth}%
  \textfont\bboardfam=\eightbboard \scriptfont\bboardfam=\sevenbboard
  \scriptscriptfont\bboardfam=\sevenbboard
  \def\bboard{\fam\bboardfam}%
  \textfont\itfam=\eightit
  \def\it{\fam\itfam\eightit}%
  \textfont\slfam=\eightsl
  \def\sl{\fam\slfam\eightsl}%
  \textfont\bffam=\eightbf \scriptfont\bffam=\sixbf
  \scriptscriptfont\bffam=\fivebf
  \def\bf{\fam\bffam\eightbf}%
  \textfont\ttfam=\eighttt
  \def\tt{\fam\ttfam\eighttt}%
  \abovedisplayskip=9pt plus 2pt minus 6pt
  \abovedisplayshortskip=0pt plus 2pt
  \belowdisplayskip=9pt plus 2pt minus 6pt
  \belowdisplayshortskip=5pt plus 2pt minus 3pt
  \smallskipamount=2pt plus 1pt minus 1pt
  \medskipamount=4pt plus 2pt minus 1pt
  \bigskipamount=9pt plus 3pt minus 3pt
  \normalbaselineskip=9pt
  \setbox\strutbox=\hbox{\vrule height7pt depth2pt width0pt}%
  \let\bigf@ntpc=\eightrm \let\smallf@ntpc=\sixrm
  \normalbaselines\rm}

\let\bb=\bboard

\tenpoint

\catcode`\;=\active
\def;{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@
\unskip\fi\kern\fontdimen2 \font\kern -1.2 \fontdimen3 \font\fi\string;}

\catcode`\:=\active
\def:{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@\unskip\fi\penalty\@M\ \fi\string:}

\catcode`\!=\active
\def!{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@
\unskip\fi\kern\fontdimen2 \font \kern -1.1 \fontdimen3 \font\fi\string!}

\catcode`\?=\active
\def?{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@
\unskip\fi\kern\fontdimen2 \font \kern -1.1 \fontdimen3 \font\fi\string?}

\def\^#1{\if#1i{\accent"5E\i}\else{\accent"5E #1}\fi}
\def\"#1{\if#1i{\accent"7F\i}\else{\accent"7F #1}\fi}

\frenchspacing

\newif\ifpagetitre
\newtoks\auteurcourant \auteurcourant={\hfil}
\newtoks\titrecourant \titrecourant={\hfil}

\def\appeln@te{}
\def\vfootnote#1{\def\@parameter{#1}\insert\footins\bgroup\eightpoint
  \interlinepenalty\interfootnotelinepenalty
  \splittopskip\ht\strutbox % top baseline for broken footnotes
  \splitmaxdepth\dp\strutbox \floatingpenalty\@MM
  \leftskip\z@skip \rightskip\z@skip
  \ifx\appeln@te\@parameter\indent \else{\noindent #1\ }\fi
  \footstrut\futurelet\next\fo@t}

\pretolerance=500 \tolerance=1000 \brokenpenalty=5000
\newdimen\hmargehaute \hmargehaute=0cm
\newdimen\lpage \lpage=13.3cm
\newdimen\hpage \hpage=20cm
\newdimen\lmargeext \lmargeext=1cm
\hsize=11.25cm
\vsize=18cm
\parskip 0pt
\parindent=12pt

\def\margehaute{\vbox to \hmargehaute{\vss}}%
\def\margebasse{\vss}

\output{\shipout\vbox to \hpage{\margehaute\nointerlineskip
  \corpsdepage\margebasse}
  \advancepageno \global\pagetitrefalse
  \ifnum\outputpenalty>-20000 \else\dosupereject\fi}

\def\corpsdepage{\hbox to \lpage{\hss\pagetexte\hskip\lmargeext}}
\def\pagetexte{\vbox{\makeheadline\pagebody\makefootline}}
\headline={\ifpagetitre\titleheadline \else
  \ifodd\pageno\rightheadline \else\leftheadline\fi\fi}
\def\leftheadline{\eightpoint\hfil\the\auteurcourant\hfil}
\def\rightheadline{\eightpoint\hfil\the\titrecourant\hfil}
\def\titleheadline{\hfill}
\pagetitretrue

\def\footnoterule{\kern-6\p@
  \hrule width 2truein \kern 5.6\p@} % the \hrule is .4pt high



\let\rmpc=\sevenrm
\def\pd#1#2 {\pc#1#2| }

\def\pointir{\discretionary{.}{}{.\kern.35em---\kern.7em}\nobreak
\hskip 0em plus .3em minus .4em }

\def\resume#1{\vbox{\eightpoint \pc R\'ESUM\'E|\pointir #1}}
\def\abstract#1{\vbox{\eightpoint \pc ABSTRACT|\pointir #1}}

\def\titre#1|{\message{#1}
              \par\vskip 30pt plus 24pt minus 3pt\penalty -1000
              \vskip 0pt plus -24pt minus 3pt\penalty -1000
              \centerline{\bf #1}
              \vskip 5pt
              \penalty 10000 }

\def\section#1|{\par\vskip .3cm
                {\bf #1}\pointir}

\def\ssection#1|{\par\vskip .2cm
                {\it #1}\pointir}

\long\def\th#1|#2\finth{\par\medskip
              {\petcap #1\pointir}{\it #2}\par\smallskip}

\long\def\tha#1|#2\fintha{\par\medskip
                    {\petcap #1.}\par\nobreak{\it #2}\par\smallskip}
\def\cf{{\it cf}}

\def\rem#1|{\par\medskip
            {{\it #1}\pointir}}

\def\rema#1|{\par\medskip
             {{\it #1.}\par\nobreak }}

%
\def\ieme{\raise 1ex\hbox{\pc{}i\`eme|}}
\def\omini{\raise 1ex\hbox{\pc{}o|}}
\def\emini{\raise 1ex\hbox{\pc{}e|}}
\def\ermini{\raise 1ex\hbox{\pc{}er|}}
\def\remini{\raise 1ex\hbox{\pc{}re|}}

%reference pour un article :
\def\article#1|#2|#3|#4|#5|#6|#7|
    {{\leftskip=7mm\noindent
     \hangindent=2mm\hangafter=1
     \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir
     #3, {\sl #4}, t.\nobreak\ {\bf #5}, {\oldstyle #6},
     p.\nobreak\ #7.\par}}
%reference pour un livre :
\def\livre#1|#2|#3|#4|
    {{\leftskip=7mm\noindent
    \hangindent=2mm\hangafter=1
    \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir
    {\sl #3}\pointir #4.\par}}
%reference complementaire :
\def\divers#1|#2|#3|
    {{\leftskip=7mm\noindent
    \hangindent=2mm\hangafter=1
     \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir
     #3.\par}}
%
\mathchardef\conj="0365
\def\dem{\par{\it D\'emonstration}\pointir}
\def\qed{\quad\raise -2pt\hbox{\vrule\vbox to 10pt{\hrule width 4pt
\vfill\hrule}\vrule}}

\def\virg{\raise 2pt\hbox{,}}   % virgule apr\`es une fraction

\def\cqfd{\penalty 500 \hbox{\qed}\par\smallskip}

\def\decale#1|{\par\noindent\hskip 28pt\llap{#1}\kern 5pt}
\def\decaledecale#1|{\par\noindent\hskip 34pt\llap{#1}\kern 5pt}
% pour les titres en deux lignes et les sections sans point-tiret :
\def\titrea#1|#2|{\message{#1 #2}
  \par\vskip.5cm plus .1cm minus .1cm\penalty -1000
  \centerline{\bf #1}
  \centerline{\bf #2}
  \vskip 5pt
  \penalty 10000 }
\def\sectiona#1|{\par\vskip .3cm
  {\bf #1.}
  \par\nobreak\vskip 3pt }
\def\ssectiona#1|{\par\vskip .2cm
  {\it #1.}
  \par\nobreak\vskip 2pt }

\catcode`\@=12

%end format

%some macros from LaTeX

\def\grille{\noalign{\nointerlineskip\Grille\nointerlineskip}}

%\to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to 

%\def\fleche(#1,#2)\dir(#3,#4)\long#5{%
%\noalign{\nointerlineskip\leftput(#1,#2){\vector(#3,#4){#5}}\nointerlineskip}}

%\to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to \to 

\def\diagram#1{\def\normalbaselines{\baselineskip=0pt\lineskip=5pt}
\matrix{#1}}

\def\hfl#1#2#3{\smash{\mathop{\hbox to#3{\rightarrowfill}}\limits
^{\scriptstyle#1}_{\scriptstyle#2}}}

\def\gfl#1#2#3{\smash{\mathop{\hbox to#3{\leftarrowfill}}\limits
^{\scriptstyle#1}_{\scriptstyle#2}}}

\def\vfl#1#2#3{\llap{$\scriptstyle #1$}
\left\downarrow\vbox to#3{}\right.\rlap{$\scriptstyle #2$}}

 \message{`lline' & `vector' macros from LaTeX}
 \catcode`@=11
\def\{{\relax\ifmmode\lbrace\else$\lbrace$\fi}
\def\}{\relax\ifmmode\rbrace\else$\rbrace$\fi}
\def\newcount{\alloc@0\count\countdef\insc@unt}
\def\newdimen{\alloc@1\dimen\dimendef\insc@unt}
\def\newwrite{\alloc@7\write\chardef\sixt@@n}

\newwrite\@unused
\newcount\@tempcnta
\newcount\@tempcntb
\newdimen\@tempdima
\newdimen\@tempdimb
\newbox\@tempboxa

\def\@spaces{\space\space\space\space}
\def\@whilenoop#1{}
\def\@whiledim#1\do #2{\ifdim #1\relax#2\@iwhiledim{#1\relax#2}\fi}
\def\@iwhiledim#1{\ifdim #1\let\@nextwhile=\@iwhiledim
        \else\let\@nextwhile=\@whilenoop\fi\@nextwhile{#1}}
\def\@badlinearg{\@latexerr{Bad \string\line\space or \string\vector
   \space argument}}
\def\@latexerr#1#2{\begingroup
\edef\@tempc{#2}\expandafter\errhelp\expandafter{\@tempc}%
%% error help message pieces.
\def\@eha{Your command was ignored.
^^JType \space I <command> <return> \space to replace it
  with another command,^^Jor \space <return> \space to continue without it.}
\def\@ehb{You've lost some text. \space \@ehc}
\def\@ehc{Try typing \space <return>
  \space to proceed.^^JIf that doesn't work, type \space X <return> \space to
  quit.}
\def\@ehd{You're in trouble here.  \space\@ehc}

\typeout{LaTeX error. \space See LaTeX manual for explanation.^^J
 \space\@spaces\@spaces\@spaces Type \space H <return> \space for
 immediate help.}\errmessage{#1}\endgroup}
\def\typeout#1{{\let\protect\string\immediate\write\@unused{#1}}}

% line & circle fonts
\font\tenln    = line10
\font\tenlnw   = linew10
%\font\tencirc  = circle10
%\font\tencircw = circlew10


\newdimen\@wholewidth
\newdimen\@halfwidth
\newdimen\unitlength 

\unitlength =1pt

%\newbox\@picbox
%\newdimen\@picht

\def\thinlines{\let\@linefnt\tenln \let\@circlefnt\tencirc
  \@wholewidth\fontdimen8\tenln \@halfwidth .5\@wholewidth}
\def\thicklines{\let\@linefnt\tenlnw \let\@circlefnt\tencircw
  \@wholewidth\fontdimen8\tenlnw \@halfwidth .5\@wholewidth}

\def\linethickness#1{\@wholewidth #1\relax \@halfwidth .5\@wholewidth}



\newif\if@negarg

\def\lline(#1,#2)#3{\@xarg #1\relax \@yarg #2\relax
\@linelen=#3\unitlength
\ifnum\@xarg =0 \@vline
  \else \ifnum\@yarg =0 \@hline \else \@sline\fi
\fi}

\def\@sline{\ifnum\@xarg< 0 \@negargtrue \@xarg -\@xarg \@yyarg -\@yarg
  \else \@negargfalse \@yyarg \@yarg \fi
\ifnum \@yyarg >0 \@tempcnta\@yyarg \else \@tempcnta -\@yyarg \fi
\ifnum\@tempcnta>6 \@badlinearg\@tempcnta0 \fi
\setbox\@linechar\hbox{\@linefnt\@getlinechar(\@xarg,\@yyarg)}%
\ifnum \@yarg >0 \let\@upordown\raise \@clnht\z@
   \else\let\@upordown\lower \@clnht \ht\@linechar\fi
\@clnwd=\wd\@linechar
\if@negarg \hskip -\wd\@linechar \def\@tempa{\hskip -2\wd\@linechar}\else
     \let\@tempa\relax \fi
\@whiledim \@clnwd <\@linelen \do
  {\@upordown\@clnht\copy\@linechar
   \@tempa
   \advance\@clnht \ht\@linechar
   \advance\@clnwd \wd\@linechar}%
\advance\@clnht -\ht\@linechar
\advance\@clnwd -\wd\@linechar
\@tempdima\@linelen\advance\@tempdima -\@clnwd
\@tempdimb\@tempdima\advance\@tempdimb -\wd\@linechar
\if@negarg \hskip -\@tempdimb \else \hskip \@tempdimb \fi
\multiply\@tempdima \@m
\@tempcnta \@tempdima \@tempdima \wd\@linechar \divide\@tempcnta \@tempdima
\@tempdima \ht\@linechar \multiply\@tempdima \@tempcnta
\divide\@tempdima \@m
\advance\@clnht \@tempdima
\ifdim \@linelen <\wd\@linechar
   \hskip \wd\@linechar
  \else\@upordown\@clnht\copy\@linechar\fi}

\def\@hline{\ifnum \@xarg <0 \hskip -\@linelen \fi
\vrule height \@halfwidth depth \@halfwidth width \@linelen
\ifnum \@xarg <0 \hskip -\@linelen \fi}

\def\@getlinechar(#1,#2){\@tempcnta#1\relax\multiply\@tempcnta 8
\advance\@tempcnta -9 \ifnum #2>0 \advance\@tempcnta #2\relax\else
\advance\@tempcnta -#2\relax\advance\@tempcnta 64 \fi
\char\@tempcnta}

\def\vector(#1,#2)#3{\@xarg #1\relax \@yarg #2\relax
\@linelen=#3\unitlength
\ifnum\@xarg =0 \@vvector
  \else \ifnum\@yarg =0 \@hvector \else \@svector\fi
\fi}

\def\@hvector{\@hline\hbox to 0pt{\@linefnt
\ifnum \@xarg <0 \@getlarrow(1,0)\hss\else
    \hss\@getrarrow(1,0)\fi}}

\def\@vvector{\ifnum \@yarg <0 \@downvector \else \@upvector \fi}

\def\@svector{\@sline
\@tempcnta\@yarg \ifnum\@tempcnta <0 \@tempcnta=-\@tempcnta\fi
\ifnum\@tempcnta <5
  \hskip -\wd\@linechar
  \@upordown\@clnht \hbox{\@linefnt  \if@negarg
  \@getlarrow(\@xarg,\@yyarg) \else \@getrarrow(\@xarg,\@yyarg) \fi}%
\else\@badlinearg\fi}

\def\@getlarrow(#1,#2){\ifnum #2 =\z@ \@tempcnta='33\else
\@tempcnta=#1\relax\multiply\@tempcnta \sixt@@n \advance\@tempcnta
-9 \@tempcntb=#2\relax\multiply\@tempcntb \tw@
\ifnum \@tempcntb >0 \advance\@tempcnta \@tempcntb\relax
\else\advance\@tempcnta -\@tempcntb\advance\@tempcnta 64
\fi\fi\char\@tempcnta}

\def\@getrarrow(#1,#2){\@tempcntb=#2\relax
\ifnum\@tempcntb < 0 \@tempcntb=-\@tempcntb\relax\fi
\ifcase \@tempcntb\relax \@tempcnta='55 \or
\ifnum #1<3 \@tempcnta=#1\relax\multiply\@tempcnta
24 \advance\@tempcnta -6 \else \ifnum #1=3 \@tempcnta=49
\else\@tempcnta=58 \fi\fi\or
\ifnum #1<3 \@tempcnta=#1\relax\multiply\@tempcnta
24 \advance\@tempcnta -3 \else \@tempcnta=51\fi\or
\@tempcnta=#1\relax\multiply\@tempcnta
\sixt@@n \advance\@tempcnta -\tw@ \else
\@tempcnta=#1\relax\multiply\@tempcnta
\sixt@@n \advance\@tempcnta 7 \fi\ifnum #2<0 \advance\@tempcnta 64 \fi
\char\@tempcnta}



\def\@vline{\ifnum \@yarg <0 \@downline \else \@upline\fi}


\def\@upline{\hbox to \z@{\hskip -\@halfwidth \vrule
  width \@wholewidth height \@linelen depth \z@\hss}}

\def\@downline{\hbox to \z@{\hskip -\@halfwidth \vrule
  width \@wholewidth height \z@ depth \@linelen \hss}}

\def\@upvector{\@upline\setbox\@tempboxa\hbox{\@linefnt\char'66}\raise
     \@linelen \hbox to\z@{\lower \ht\@tempboxa\box\@tempboxa\hss}}

\def\@downvector{\@downline\lower \@linelen
      \hbox to \z@{\@linefnt\char'77\hss}}

%INITIALIZATION
\thinlines

\newcount\@xarg
\newcount\@yarg
\newcount\@yyarg
\newcount\@multicnt
\newdimen\@xdim
\newdimen\@ydim
\newbox\@linechar
\newdimen\@linelen
\newdimen\@clnwd
\newdimen\@clnht
\newdimen\@dashdim
\newbox\@dashbox
\newcount\@dashcnt
 \catcode`@=12


% macros supplementaires (J.D.)

\newbox\tbox
\newbox\tboxa

\def\leftzer#1{\setbox\tbox=\hbox to 0pt{#1\hss}%
     \ht\tbox=0pt \dp\tbox=0pt \box\tbox}

\def\rightzer#1{\setbox\tbox=\hbox to 0pt{\hss #1}%
     \ht\tbox=0pt \dp\tbox=0pt \box\tbox}

\def\centerzer#1{\setbox\tbox=\hbox to 0pt{\hss #1\hss}%
     \ht\tbox=0pt \dp\tbox=0pt \box\tbox}


\def\image(#1,#2)#3{\vbox to #1{\offinterlineskip
    \vss #3 \vskip #2}}

\def\leftput(#1,#2)#3{\setbox\tboxa=\hbox{%
    \kern #1\unitlength
    \raise #2\unitlength\hbox{\leftzer{#3}}}%
    \ht\tboxa=0pt \wd\tboxa=0pt \dp\tboxa=0pt\box\tboxa}

\def\rightput(#1,#2)#3{\setbox\tboxa=\hbox{%
    \kern #1\unitlength
    \raise #2\unitlength\hbox{\rightzer{#3}}}%
    \ht\tboxa=0pt \wd\tboxa=0pt \dp\tboxa=0pt\box\tboxa}

\def\centerput(#1,#2)#3{\setbox\tboxa=\hbox{%
    \kern #1\unitlength
    \raise #2\unitlength\hbox{\centerzer{#3}}}%
    \ht\tboxa=0pt \wd\tboxa=0pt \dp\tboxa=0pt\box\tboxa}

\unitlength=1mm

\def\cput(#1,#2)#3{\noalign{\nointerlineskip\centerput(#1,#2){#3}
                             \nointerlineskip}}

\def\fleche(#1,#2)\dir(#3,#4)\long#5{%
{\leftput(#1,#2){\vector(#3,#4){#5}}}}

\def\segment(#1,#2)\dir(#3,#4)\long#5{%
\leftput(#1,#2){\lline(#3,#4){#5}}}

\def\boucle{\vbox{\offinterlineskip
\leftput(0,4){\vector(0,-1){3}}
\segment(0,0)\dir(-1,1)\long{4}
\segment(-4,4)\dir(1,0)\long{4}
}}

%end of LaTeX macros


\def\Per{\mathop{\rm Per}\nolimits}
\def\cyc{\mathop{\rm cyc}\nolimits}
\def\Inc{\mathop{\rm Inc}\nolimits}
\def\card{\mathop{\rm card}\nolimits}
\def\cont{\mathop{\rm cont}\nolimits}

\auteurcourant={D. FOATA}
\titrecourant={POLYN\^OMES DE MEIXNER}

\eightpoint

\leftline{S\'eminaire Lotharingien de Combinatoire, 
B06c (1982) 11 pp.} 
\leftline{[Formerly: Publ. I.R.M.A. Strasbourg, $\oldstyle
1982$, 191/S--05, p. 114--128.]}

\tenpoint
\vskip 1.5cm
\centerline{{\bf COMBINATOIRE DES IDENTIT\'ES SUR}}
\vskip 5pt
\centerline{{\bf LES POLYN\^OMES DE MEIXNER}}
\vskip 2.8mm
\centerline{\sevenrm PAR}
\vskip 2.8mm
\centerline{{\petcap Dominique} FOATA \footnote{$(^*)$}{Publi\'e
gr\^ace \`a une subvention du Fonds PCAC pour l'aide et le soutien
\`a la recherche, Centre de Recherche de Math\'ematiques
Appliqu\'ees, Universit\'e de Montr\'eal, Montr\'eal, P.Q., Canada H3C
3J7.}}
\vskip 1cm
\resume{Une identit\'e bilin\'eaire prolongeant la formule du noyau
de Poisson pour les polyn\^omes de Meixner est obtenue par des
m\'ethodes combinatoires. Ces m\^emes m\'ethodes fournissent aussi
une extension multilin\'eaire de cette identit\'e.}

\bigskip
\abstract{A bilinear identity extending the formula of the
Poisson kernel for the Meixner polynomials is derived by
means of combinatorial methods. The same methods also provide
a multilinear extention of that identity.}

\bigskip
\section 1. Introduction|Les polyn\^omes de Meixner
$m_n(x;\beta ,c)$ $(n\ge 0)$ peuvent \^etre d\'efinis par leur fonction
g\'en\'eratrice
  $$\sum _{n\ge 0}m_n(x;\beta ,c) {u^n\over n!}
=\Bigl(1-{u\over c}\Bigr)^x(1-u)^{-x-\beta }\leqno(1.1)$$ 
(\cf. Erd\'elyi et al. [6, vol.~2, pp.~225--226 et vol.~3, pp.
273--274] ou Chihara [4, pp.~175-177].) Notons
$(a)_n$ les factorielles montantes
$$\displaylines{
(a)_0=1\quad {\rm et}\quad (a)_n=a(a+1)\cdots (a+n-1)
\quad (n\ge1)\cr
\noalign{\hbox{et}}
{}_2F_1(a_1,a_2;b_1;x)=\sum_{n\ge 0}
{(a_1)_n\,(a_2)_n\over (b_1)_n}{x^n\over n!}\cr
}
$$
la s\'erie hyperg\'eom\'etrique usuelle. Les polyn\^omes de Meixner
ont encore une repr\'esentation naturelle comme s\'erie
${}_2F_1$. On a, en effet, (\cf.~[6, vol.~2, p.~225])
$$\eqalignno{
m_n(x;\beta ,c)&=(\beta )_n\,{}_2F_1(-n,x;\beta ;1-c^{-1})&(1.2)\cr
&=(\beta +x)_n\,{}_2F_1(-n,x;1-\beta -n-x;c^{-1}).\cr}
$$

\goodbreak
\noindent
Askey [1, p. 14 et 2] utilise la notation 
$M_n(x;\beta ,c)={}_2F_1(-n,x;\beta ;1-c^{-1})$. Dans le pr\'esent
article, seule la version
$m_n(x;\beta ,c)$ sera utilis\'ee et les formules seront donc
transcrites dans cette seule notation. En particulier, la
formule dite du {\it noyau de Poisson} [1, p.~15 (3.40W)] s'\'ecrit
$$
\displaylines{(1.3)\quad
\sum_{n\ge 0} {u^n\over (\beta )_n\, n!}\,m_n(x;\beta ,c)m_n(y;\beta ,c)
\hfill\cr
\hfill{}
=\Bigl(1-{u\over c}\Bigr)^{x+y} (1-u)^{-x-y-\beta }
\,{}_2F_1\Bigl(-x,-y;\beta ;{u(c^{-1}-1)\over
(1-u/c)^2}\Bigr).\quad\cr}
$$

Le but de cet article et de sommer une s\'erie bilin\'eaire plus
g\'en\'erale que celle donn\'ee en (1.3) en s'inspirant du mod\`ele
fourni par Erd\'elyi~[5] pour les polyn\^omes de Laguerre. On
obtient
$$\displaylines{(1.4)\quad
\sum_{n\ge 0} {u^n\over n!} (\beta )_n\,{}_2F_1(-n,-x;\gamma ;a)\,
{}_2F_1(-n,-y;\delta ;b)\hfill\cr
\qquad{}
=(1-u)^{-\beta} \sum_{r\ge 0} {(\beta )_r\,(-x)_r\,(-y)_r\over 
(\gamma )_r\,(\delta )_r\,r!}\Bigl({abu\over (1-u)^2}\Bigr)^r\hfill\cr
\qquad\quad{}
\times 
{}_2F_1\Bigl(\beta +r;-x+r;\gamma +r;-{au\over 1-u}\Bigr)\,
{}_2F_1\Bigl(\beta +r;-y+r;\delta +r;-{bu\over 1-u}\Bigr).\hfill\cr}
$$
Lorsque $\beta =\gamma =\delta $ et $a=b=1-c^{-1}$, le premier membre de
(1.4) se r\'eduit, moyennant (1.2), au premier membre de (1.3).
Quant aux deux fonctions ${}_2F_1$ du second membre, elle
se r\'eduisent, par le th\'eor\`eme binomial \`a
$((1-u/c)(1-u)^{-1})^{x+r}$ et
$((1-u/c)(1-u)^{-1})^{y+r}$, respectivement. On retrouve
alors le second membre de (1.3). Ainsi $(1.4)\Rightarrow (1.3)$.

Enfin, lorsque $y=0$ et $a=b=1-c^{-1}$, la formule (1.4)
donne la fonction g\'en\'eratrice suivante
$$(1.5)\ 
\sum_{n\ge 0} {u^n\over (\gamma )_nn!}\,(\beta )_n\, m_n(x;\gamma ,c)
=(1-u)^{-\beta }\,{}_2F_1\Bigl(\beta ,-x;\gamma ;{u(c^{-1}-1)\over
1-u}\Bigr),
$$
qui implique \`a son tour (1.1) lorsque $\gamma =\beta $.

On peut enfin appliquer le mod\`ele multilin\'eaire d\'evelopp\'e
pour les polyn\^omes d'Hermite [7, 8, 12] et de Laguerre [10,
11] pour prolonger (1.4) au cas du produit de plusieurs
polyn\^omes de Meixner. La troisi\`eme fonction hyperg\'eom\'etrique
d'Appell \`a~$k$ variables, qui s'\'ecrit [3, p.~73]
$$
\displaylines{\quad
F_3^{(k)}(a_1,\ldots, a_k; b_1,\ldots, b_k;c;u_1, \ldots,
u_k)\hfill\cr
\hfill
{}=\sum_{n_1\ge 0, \ldots, n_k\ge 0}
{(a_1)_{n_1}\ldots (a_k)_{n_k}
(b_1)_{n_1}\ldots (b_k)_{n_k}\over
(c)_{n_1+\cdots+n_k}}
{u_1^{n_1}\over n_1!}\cdots 
{u_k^{n_k}\over n_k!}\hfill\cr}
$$
est le principal ingr\'edient de la formule ainsi prolong\'ee.
Dans celle-ci (voir (1.6) ci-dessous), les symboles
$\sum\limits_{(n_{ij})}$ (resp. $\sum\limits_{(r_{ij})}$)
indiquent des sommations sur toutes les suites $(n_{ij})$
(resp. $(r_{ij})$ $(1\le i<j\le k)$ de $k(k-1)$ entiers
positifs. Pour $1\le i<j\le k$, on pose $n_{ji}=n_{ij}$,
$r_{ji}=r_{ij}$ et pour $i=1,2,\ldots, k$ on adopte la notation
$$
n_{i\star}=\sum_j n_{ij},\quad
r_{i\star}=\sum_j r_{ij}\quad (1\le j\le k;\,j\not=i).
$$
Enfin,  $a_i$, $\gamma _i$, $y_i$ $(1\le i\le k)$ et $u_{ij}$,
$\beta _{ij}$  $(1\le i<j\le k)$  sont des variables,
avec de nouveau la convention  $u_{ji} = u_{ij}$,          
$\beta _{ji} = \beta _{ij}$ pour $1\le i<j\le k$.

La formule multilin\'eaire prolongeant (1.4) s'\'ecrit alors
$$
\displaylines{(1.6)\quad
\sum_{(n_{ij})} \prod_{i<j} {u_{ij}^{n_{ij}} \over n_{ij}!}
\,(\beta _{ij})_{n_{ij}}
\prod_i {}_2F_1(-n_{i\star},-y_i;\gamma _i;a_i)\hfill\cr
\qquad\quad{}
=\prod_{i<j} (1-u_{ij})^{-\beta _{ij}}
\sum_{(r_{ij})} \prod_{i<j}
{(\beta _{ij})_{r_{ij}} (-y_i)_{r_{ij}} (-y_j)_{r_{ij}}\over r_{ij}!}
\Bigl({a_ia_ju_{ij}\over (1-u_{ij})^2}\Bigr)^{r_{ij}}\hfill\cr
\qquad\quad{}
\times \prod_i {1\over (\gamma _i)_{r_{i\star}}}
F_3^{(k-1)}\Bigl(\beta _{i1}+r_{i1},\ldots, \beta _{ik}+r_{ik};
-y_i+r_{i1},\ldots, -y_i+r_{ik};\hfill\cr
\hfill
\gamma _i+r_{i\star};-{a_iu_{i1}\over 1-u_{i1}},\ldots,
-{a_iu_{ik}\over 1-u_{ik}}\Bigr).\cr
}
$$
Les termes diagonaux  $n_{ii}$, $r_{ii}$, $u_{ii}$, $\beta _{ii}$
n'existent pas et les fonctions
d'Appell ci-dessus sont bien \`a $(k-1)$ variables.  Lorsque
$k=2$, on retrouve
imm\'ediatement (1.4).  On a ainsi
$$
(1.6) \Rightarrow    (1.4) \Rightarrow (1.5) \Rightarrow (1.1)
\quad{\rm et}\quad (1.4)\Rightarrow(1.3)\Rightarrow (1.1).
\leqno(1.7)
$$

Naturellement, l'utilisation d'une formule comme (1.6)
reste subordonn\'ee aux propri\'et\'es analytiques des
fonctions hyperg\'eom\'etriques \`a plusieurs
variables.  Le pr\'esent article mettra donc l'accent sur la
{\it fa\c con} de d\'emontrer ces formules et cette fa\c con est
de nature {\it combinatoire}.  On se
propose ici de d\'emontrer l'identit\'e (1.4).  Celle-ci
implique, d'apr\`es (1.7), toutes les autres formules sur les
polyn\^omes de Meixner, \`a l'exclusion
de (1.6).  La m\'ethode de preuve utilis\'ee est essentiellement
celle qui nous avait permis d'obtenir combinatoirement la
formule de Hille-Hardy-Erd\'elyi
pour les polyn\^omes de Laguerre [11].  On se reportera donc
constamment \`a ce dernier m\'emoire ainsi qu'au second article
sur les polyn\^omes de Meixner [9].  On fait apparaitre le
premier membre de (1.4) comme
la fonction g\'en\'eratrice de certains triplets $(\sigma ,\varphi ,\psi)$ ou
$\sigma $ est une permutation, et~$\varphi $,~$\psi$ deux mod\`eles
introduits dans [9] et appel\'es {\it endofonctions de
Meixner} (\cf. section 2).  Il s'agit ensuite de calculer cette
m\^eme fonction g\'en\'eratrice en utilisant les propri\'et\'es
g\'eom\'etriques de ces endofonctions et d'obtenir ainsi le
second membre de (1.4).  Pour ce faire, on fait appel \`a des
lemmes combinatoires de [11], rappel\'es en section~3
et on construit (dans la section~4) une bijection entre les
triplets $(\sigma ,\varphi ,\psi)$ et des suites finies de mod\`eles
combinatoires dont la fonction
g\'en\'eratrice est pr\'ecisement le second membre de (1.4).

 La d\'emonstration de (1.6) n'est pas reproduite. 
Elle peut \^etre calqu\'ee sur celle de la formule
multilin\'eaire concernant les polyn\^omes
de Laguerre [11].

\section 2. Endofonctions de Meixner|Comme dans [9], on
appelle {\it endofonction de Meixner} sur un ensemble
fini $S$ tout couple  
$\varphi = ((A,B), f )$ o\`u $(A,B)$ est une partition
ordonn\'ee de $S$ et $f$ une application de $S$ dans~$S$ dont
la restriction $f_A$ de $f$ \`a la
partie $A$ est injective et la restriction $f_B$ \`a $B$ est une
permutation de~$B$.

On identifie toute endofonction de Meixner $\varphi  = ((A,B),f)$ avec
son graphe associ\'e dont les sommets sont les \'el\'ements de
$S$ et dans lequel  un arc
va de $v$ \`a $v'$ si et seulement si  $f(v) = v'$.  On dessine
en trait continu (resp. pointill\'e) les arcs issus de sommets
appartenant \`a $A$ (resp. $B$).

Une {\it endofonction de Meixner} est alors une collection de
cycles dont tous les arcs sont en trait continu et de cycles
en trait pointill\'e, dont chaque sommet est l'extr\'emit\'e d'au
plus un chemin en trait continu (voir Fig.~1).

\vskip 2.5cm

$$\vbox{\offinterlineskip
\segment(0,0)\dir(-1,1)\long{5}
\segment(-5,5)\dir(1,0)\long{10}
\fleche(5,5)\dir(-1,-1)\long{4}
\centerput(0,-4){5}
%
\centerput(11,0){14}
\centerput(37,0){1}
\centerput(26,11){4}
\fleche(15,0)\dir(1,0)\long{20}
\fleche(35,2)\dir(-1,1)\long{8}
\fleche(25,10)\dir(-1,-1)\long{8}
%
\segment(45,0)\dir(1,-1)\long{4}
\fleche(50,-5)\dir(1,-1)\long{4}
\segment(55,-10)\dir(1,1)\long{4}
\fleche(60,-5)\dir(1,1)\long{4}
\segment(63,0)\dir(-1,0)\long{4}
\segment(58,0)\dir(-1,0)\long{4}
\fleche(52,0)\dir(-1,0)\long{4}
\centerput(43,-3){13}
\centerput(54,-14){10}
\centerput(65,-3){9}
\fleche(45,10)\dir(0,-1)\long{9}
\fleche(45,20)\dir(0,-1)\long{9}
\fleche(63,10)\dir(0,-1)\long{9}
\centerput(42,10){3}
\centerput(42,20){2}
\centerput(65,10){8}
%
\segment(72,2)\dir(1,0)\long{4}
\segment(77,2)\dir(1,0)\long{4}
\fleche(82,2)\dir(1,0)\long{4}
\segment(86,-1)\dir(-1,0)\long{4}
\segment(81,-1)\dir(-1,0)\long{4}
\fleche(76,-1)\dir(-1,0)\long{4}
\centerput(70,0){7}
\centerput(89,0){16}
%
\segment(100,0)\dir(-1,-1)\long{4}
\segment(95,-5)\dir(1,0)\long{3}
\segment(99,-5)\dir(1,0)\long{3}
\fleche(104,-4.5)\dir(-1,1)\long{4}
\fleche(100,10)\dir(0,-1)\long{9}
\fleche(100,20)\dir(0,-1)\long{9}
\fleche(100,30)\dir(0,-1)\long{9}
\centerput(103,30){12}
\centerput(103,20){15}
\centerput(103,10){11}
\centerput(103,0){6}
}\kern9.7cm
$$

\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip
\centerline{Fig. 1}

\bigskip
Soit  $\cont (\varphi )$  (resp.  ${\rm
point}(\varphi )$) le nombre de cycles de $\varphi $
en trait continu (resp. pointill\'e).  Le
poids de  $\varphi  = ((A,B),f)$ est d\'efini par
$$
w(\gamma ,-x,-a;\varphi )=\gamma ^{\cont(\varphi )}(-x)^{{\rm point}(\varphi )}(-a)^{|B|}.
\leqno(2.1)
$$
Comme d\'emontr\'e dans [9] l'expression
$(\gamma )_n \,{}_2F_1(-n,-x;\gamma ;a)$,
\'egale \`a $\sum{n\choose i} (-x)_i(\gamma +i)_{n-i}(-a)^i$
$(0\le i\le n)$, est le polyn\^ome g\'en\'erateur des
endofonctions de Meixner sur
$[n]=\{1,2,\ldots,n\}$ par le poids  $w(\gamma ,-x,-a;.)$.  
En d'autres termes, on a:
$$(\gamma )_n\, {}_2F_1(-n,-x;\gamma ;a)  = \sum_\varphi  w(\gamma ,-x,-a;\varphi ),
\leqno(2.2)
$$
o\`u $\varphi $ varie dans l'ensemble des endofonctions de Meixner
sur $[n]$.
Par ailleurs, si  $\cyc(\sigma )$ d\'esigne le nombre de cycles d'une
permutation~$\sigma $, on pose
$w_\beta (\sigma )=\beta ^{\cyc(\sigma )}$. L'identit\'e
$$
(\beta )_n = \sum_\sigma  w_\beta (\sigma ),\leqno(2.3)
$$
o\`u la sommation est sur l'ensemble des permutations $\sigma $ de
$[n]$, est bien connue (\cf. [13, p.~71]).  Il r\'esulte alors de
(2.2) et (2.3) que l'on a
$$\displaylines{(2.4)\quad
(\beta )_n\,(\gamma )_n\,{}_2F_1(-n,-x;\gamma ;a)\,(\delta )_n\,
{}_2F_1(-n,-y;\delta ;b)\hfill\cr
\hfill{}=
\sum_{(\sigma ,\varphi ,\psi)}
w_\beta (\sigma )\,w(\gamma ,-x,-a;\varphi )\,w(\delta ,-y,-b;\psi),\quad\cr}
$$
o\`u la sommation s'\'etend \`a tous les triplets $(\sigma ,\varphi ,\psi)$
avec $\sigma $ une permutation de $[n]$ et $\varphi $, $\psi$ deux
endofonctions de Meixner sur $[n]$.   Le premier membre de
(1.4) peut donc s'\'ecrire 
$$
\sum_n{u^n\over n!\,(\gamma )_n\,(\delta )_n}
\sum_{(\sigma ,\varphi ,\psi)}
w_\beta (\sigma )\,w(\gamma ,-x,-a;\varphi )\,w(\delta ,-y,-b;\psi).\leqno(2.5)
$$
D'autre part, le second membre de (1.4) peut se d\'evelopper
$$\displaylines{\quad
\sum_q (\beta )_q\,{u^q\over q!}
\sum_r{(\beta )_r\,(-x)_r\,(-y)_r\over (\gamma )_r\,(\delta )_r\,r!}\hfill\cr
\hfill
\sum_{i,j} {(\beta +r)_i\,(-x+r)_i\over (\gamma +r)_i\,i!}
{(\delta +r)_i\,(-y+r)_j\over (\delta +r)_j\,j!}
{(-au)^{r+i}(-bu)^{r+j}\over (1-u)^{2r+i+j}},\quad\cr}
$$
ou encore par le th\'eor\`eme binomial appliqu\'e \`a
$(1-u)^{-2r-i-j}$ comme
$$\displaylines{
\sum_n {u^n\over n!\,(\gamma )_n\,(\delta )_n}
 \sum {n\choose q,r,s,i,j} (\beta )_q\,(\beta )_r\, (\beta +r)_i\,(\beta +r)_j\,
(\gamma +r+i)_{n-r-i}\hfill\cr
\hfill{}\times
(\delta +r+j)_{n-r-j}\,(-x)_{r+i}\,(-y)_{r+j}\,
(2r+i+j)_s\,(-a)^{r+i}\,(-b)^{r+j},\quad\cr}
$$
o\`u $q+r+s+i+j=n$. Pour \'etablir l'identit\'e (1.4), qui dit
simplement que les deux expressions
(2.5) et (2.6) sont \'egales, il suffit de d\'emontrer l'identit\'e
{\it polyn\^omiale}
$$
\displaylines{(2.7)\quad
\sum_{(\sigma ,\varphi ,\psi)}
w_\beta (\sigma )\,w(\gamma ,-x,-a;\varphi )\,w(\delta ,-y,-b;\psi)\hfill\cr
\qquad\qquad{}
= \sum {n\choose q,r,s,i,j} (\beta )_q\,(\beta )_r\, (\beta +r)_i\,(\beta +r)_j
\hfill\cr
\qquad\qquad\qquad\qquad{}\times
(\gamma +r+i)_{n-r-i}
(\delta +r+j)_{n-r-j}\,(-x)_{r+i}\,(-y)_{r+j}\hfill\cr
\qquad\qquad\qquad\qquad{}\times
(2r+i+j)_s\,(-a)^{r+i}\,(-b)^{r+j}
\quad (q+r+s+i+j=n).\hfill\cr}
$$

\section 3. Les sommations|Rappelons quelques d\'efinitions et
r\'esultats du pr\'ec\'edent article sur
les polyn\^omes de Laguerre [11].

Soient $(A,B)$ une partition ordonn\'ee de $[n]$ et $h$ une
injection de $A$ dans
$[n]=A+B$.  Si  $\cyc(h)$  d\'esigne le nombre de cycles
de~$h$, on pose
$$
w_\beta (h) = \beta ^{\cyc(h)}\leqno(3.1)
$$

\th Lemme 3.1 {\rm (voir [11])}|Si $|A| = i$,  $|B| = j$  et
$i+j=n$, alors
$$\sum_h w_\beta (h) = (\beta +j)_i,
$$
la sommation \'etant sur toutes les injections $h$ de $A$ dans
$A+B$.
\finth
\th Lemme 3.2  {\rm  (voir [11])}|Soit $(I,J,R)$ une partition
ordonn\'ee d'un
ensemble telle que  $|I| = i$,  $|J| = j$,  $|R| = r$.  Alors
$$
\sum_\theta w_\beta (\theta)=(\beta )_r\,(\beta +r)_i\,(\beta +r)_j,\leqno(3.3)
$$
la sommation \'etant \'etendue \`a l'ensemble des permutations
$\theta$ de $I+J+R$ satisfaisant \`a
$\theta(J)\cap I =\emptyset$.
\finth

    Soit $(I,J,R,S)$ une partition ordonn\'ee d'un ensemble telle
que $|I | = i$, $|J| = j$,  $|R| = r$,  $|S| = s$.  Trois sortes de
chemins dont les sommets sont pris dans $I+J+R+S$ sont
maintenant introduits, les $a$-{\it chemins}, les
$b$-{\it chemins} et les $ab$-{\it chemins}.  Les $a$-chemins (resp.
$b$-chemins)  ont tous leurs
sommets dans $S$ \`a l'exception de l'extremit\'e qui est dans
$I$ (resp. $J$).
Un $ab$-chemin a aussi tous ses sommets dans $S$, \`a
l'exception d'un seul,
qui appartient \`a~$R$ et ne se trouve pas n\'ecessairement \`a
l'extr\'emit\'e (voir Fig.~2).

\goodbreak

$$\vbox{\offinterlineskip
\fleche(0,0)\dir(1,0)\long{8}
\fleche(11,0)\dir(1,0)\long{8}
\fleche(22,0)\dir(1,0)\long{8}
\centerput(-2,-1){$\bullet$}
\centerput(10,-1){$\bullet$}
\centerput(21,-1){$\bullet$}
\centerput(32,-1){$\bullet$}
\centerput(-2,-6){$S$}
\centerput(10,-6){$S$}
\centerput(21,-6){$S$}
\centerput(32,-6){$I$}
\centerput(15,-10){$a$-chemin}
%
\fleche(50,0)\dir(1,0)\long{8}
\fleche(61,0)\dir(1,0)\long{8}
\centerput(48,-1){$\bullet$}
\centerput(60,-1){$\bullet$}
\centerput(71,-1){$\bullet$}
\centerput(48,-6){$S$}
\centerput(60,-6){$S$}
\centerput(71,-6){$J$}
\centerput(60,-10){$b$-chemin}
%
\fleche(0,-20)\dir(1,0)\long{8}
\fleche(11,-20)\dir(1,0)\long{8}
\fleche(22,-20)\dir(1,0)\long{8}
\centerput(-2,-21){$\bullet$}
\centerput(10,-21){$\bullet$}
\centerput(21,-21){$\bullet$}
\centerput(32,-21){$\bullet$}
\centerput(-2,-26){$S$}
\centerput(10,-26){$S$}
\centerput(21,-26){$R$}
\centerput(32,-26){$S$}
\centerput(35,-30){$ab$-chemins}
%
\fleche(50,-20)\dir(1,0)\long{8}
\fleche(61,-20)\dir(1,0)\long{8}
\centerput(48,-21){$\bullet$}
\centerput(60,-21){$\bullet$}
\centerput(71,-21){$\bullet$}
\centerput(48,-26){$S$}
\centerput(60,-26){$S$}
\centerput(71,-26){$R$}
}\kern7cm
$$

\vskip2.8cm
\centerline{Fig. 2}
\medskip

   Un graphe $G$ dont les sommets sont les \'el\'ements de
$I+J+R+S$ est dit
{\it Erd\'elyien} sur  $(I,J,R,S)$ si ses parties connexes ne sont
compos\'ees que
de $a$-chemins, $b$-chemins et $ab$-chemins.

\th Lemme 3.3 {\rm (voir  [11])}|Si  $|I| = i$, $|J| = j$,   $|R| =
r$,   $|S| = s$,
le nombre de graphes Erd\'elyiens sur $(I,J,R,S)$ est \'egal \`a
$(i+j+2r)_s$.
\finth

La d\'emonstration de l'identit\'e (2.7) consiste alors \`a
associer de fa\c con bijective \`a chaque triplet $(\sigma ,\varphi ,\psi)$ de
la sommation du premier
membre, une partition ordonn\'ee $(Q,R,S,I,J)$ de $[n]$ et une
suite $(\sigma ',\theta,G,h,h',\xi,\xi')$  ayant les propri\'et\'es
suivantes :

\decale(i)|$\sigma '$ est une permutation de $Q$;

\decale(ii)|$\theta$ est une permutation de $R+I+J$
satisfaisant
\`a $\theta(J)\cap I =\emptyset$ ; 

\decale (iii)|$G$ est un graphe
Erd\'elyien sur $(I,J,R,S)$;

\decale(iv)|(resp. (v)) $h$ (resp. $h'$)  est une injection de
$Q+R+J$ (resp. $Q+R+ I$) dans $[n]$;

\decale (vi)|(resp. (vii)) $\xi$  (resp. $\xi'$) est une
permutation de $R+I$ (resp. $R+J$).

\noindent
L'identit\'e suivante doit, de plus, \^etre v\'erifi\'ee
$$\displaylines{
(3.4)\quad
w_\beta (\sigma )\,w(\gamma ,-x,-a;\varphi )\,w(\delta ,-y,-b;\psi)\hfill\cr
\hfill{}
=(-a)^{|R+I|} (-b)^{|R+J|}
w_\beta (\sigma ')w_\beta (\theta)w_\gamma (h)w_\delta (h')
w_{-x}(\xi)w_{-y}(\xi').\quad\cr}
$$
Si une telle bijection est \'etablie, on obtient bien (2.7)
pour les raisons suivantes: d'abord  le multinomial $n\choose
q,r,s,i,j$  est le nombre
de partitions ordonn\'ees $(Q,R,S,I,J)$ de $[n]$ telles que  
$|Q| =q$, $|R| = r$,  $|S| = s$,  $|I| = i$,  $|J| = j$.  Ensuite,  si
$(Q,R,S,I,J)$ est une telle partition, on a
$$
\eqalignno{
&\sum_{\sigma '} w_\beta (\sigma ')=(\beta )_q&\hbox{[d'apr\`es (2.3)] ;}\cr
&\sum_\theta w_\beta (\theta)=(\beta )_r\,(\beta +r)_i\,(\beta +r)_j
&\hbox{[d'apr\`es (3.3)] ;}\cr
&\sum_G 1=(i+j+2r)_s&\hbox{[d'apr\`es le Lemme 3.4] ;}\cr
&\sum_h w_\gamma (h)=(\gamma +r+i)_{n-r-i}\quad{\rm et}\cr
&\sum_{h'} w_\delta (h')=(\delta +r+j)_{n-r-j}&\hbox{[d'apr\`es (3.2)]
;}\cr 
&\sum_\xi w_{-x}(\xi)=(-x)_{r+i}\quad{\rm et}\cr
&\sum_{\xi'} w_{-y}(\xi')=(-y)_{r+j}&\hbox{[d'apr\`es
(2.3)].}\cr
}
$$
Compte tenu de toutes ces expressions, on voit que la
sommation du second membre de (3.4) donne bien le second
membre de (2.7).  Reste donc \`a
\'etablir la bijection annonc\'ee.

\section 4.  La bijection|Partons d'un triplet $(\sigma ,\varphi ,\psi)$ avec
$\sigma $ une permutation de $[n]$
et  $\varphi = ((A,B),f)$,   $\psi= ((C,D),g)$  deux endofonctions de
Meixner sur $[n]$.  Quand on superpose les graphes de ces
trois configurations sur un ensemble de $n$ sommets
\'etiquet\'es, on a d'abord les cycles de~$\sigma $
--- appelons-les  $\beta $-{\it cycles} --- puis les chemins et
cycles de $\varphi =((A,B),f)$ et de  $\psi=((C,D),g)$.  Les $n$ sommets
se r\'epartissent donc en quatre classes  $A\cap C$, $A\cap D$,
$B\cap C$ et $B\cap D$.  D'apres l'expression du poids donn\'ee
en (2.1), on peut consid\'erer que les sommets de $B$ (resp.
$D$) portent la marque $(-a)$ (resp. $(-b)$).  Par commodit\'e,
on dira qu'un sommet est $a$-{\it marqu\'e}, $b$-{\it marqu\'e} ou
$ab$-{\it marqu\'e} suivant qu'il appartient a $B\cap C$, 
$A\cap D$, ou $B\cap D$.  Les sommets dans $A\cap C$ sont {\it
non marqu\'es}.

Deux sommets distincts $v$ et $v'$ sont dits {\it li\'es} si les
trois propri\'et\'es suivantes sont satisfaites :

\decale    (i)|$v$ est $b$-marqu\'e et $v'$ est $a$-marqu\'e ;

\decale(ii)|$v$ et $v'$ sont dans le m\^eme $\beta $-cycle ;

\decale    (iii)|les sommets appartenant \`a ce $\beta $-cycle et
situ\'es entre $v$ et $v'$ sont tous non marqu\'es.

La partition ordonn\'ee $(Q,R,S,I,J)$ associ\'ee \`a  $(\sigma ,\varphi ,\psi)$
est ainsi d\'efinie :  si les sommets d'un m\^eme $\beta $-cycle sont
tous non marqu\'es, tous ces sommets sont rang\'es dans la classe
$Q$.  Si un sommet est, ou bien
$ab$-marqu\'e, ou bien $b$-marqu\'e {\it et} li\'e, il est mis dans
$R$.  Si un sommet est $a$-marqu\'e (resp. $b$-marqu\'e) et
{\it non} li\'e, il va dans $I$ (resp. $J$).  Enfin, $S$ se
compose   de tous les sommets restants.  Notons que $S$
englobe aussi les sommets $a$-marqu\'es et li\'es.

Si $R'$ d\'esigne l'ensemble de toutes les extr\'emit\'es des
$ab$-chemins, on a
$$\leqalignno{
B &= R'+I\qquad   {\rm et}\qquad   D = R+J,&(4.1)\cr
\noalign{\hbox{d'o\`u}}
A &= [n]\setminus(R'+I)\qquad    {\rm et}\qquad    C =
[n]\setminus(R+J).&(4.2)\cr}
$$

    Dans la figure 3, on a repr\'esent\'e les $\beta $-cycles d'un
triplet $\sigma ,\varphi ,\psi)$ avec les sommets marqu\'es $a$, $b$, ou
$ab$.  Les sommets non marqu\'es apparaissent
comme de simples points.  L'appartenance de chaque sommet \`a
un bloc de la partition $(Q,R,S,I,J)$ est indiqu\'ee par la lettre
correspondante. Les fl\`eches en pointill\'e sont les arcs ayant
pour origine les sommets qui sont, ou bien $ab$-marqu\'es, ou
bien $a$-marqu\'es, ou encore $b$-marqu\'es
mais non li\'es.

\vskip1cm
\centerline{
\vbox{\offinterlineskip
\fleche(0,0)\dir(1,0)\long{8}
\segment(13,0)\dir(1,0)\long{2}
\segment(16,0)\dir(1,0)\long{2}
\fleche(19,0)\dir(1,0)\long{2}
\centerput(-2,-1){$\bullet$}
\centerput(-2,3){$S$}
\centerput(11,-1){$ab$}
\centerput(11,3){$R$}
\centerput(23,-1){$a$}
\centerput(23,3){$I$}
\segment(23,-2)\dir(0,-1)\long{2}
\segment(23,-5)\dir(0,-1)\long{2}
\fleche(23,-8)\dir(0,-1)\long{2}
\centerput(23,-13){$\bullet$}
\centerput(23,-18){$S$}
\fleche(21,-12)\dir(-1,0)\long{8}
\centerput(11,-13){$a$}
\centerput(11,-18){$I$}
\segment(8,-12)\dir(-1,0)\long{2}
\segment(5,-12)\dir(-1,0)\long{2}
\fleche(2,-12)\dir(-1,0)\long{2}
\centerput(-2,-13){$b$}
\centerput(-2,-18){$J$}
\segment(-2,-10)\dir(0,1)\long{2}
\segment(-2,-7)\dir(0,1)\long{2}
\fleche(-2,-4)\dir(0,1)\long{2}
}\hskip3.5cm
\vbox{\offinterlineskip
\segment(0,0)\dir(1,0)\long{2}
\segment(3,0)\dir(1,0)\long{2}
\fleche(6,0)\dir(1,0)\long{2}
\fleche(13,0)\dir(1,0)\long{8}
\centerput(-2,-1){$b$}
\centerput(-2,3){$J$}
\centerput(11,-1){$\bullet$}
\centerput(11,3){$S$}
\centerput(23,-1){$ab$}
\centerput(23,3){$R$}
\segment(23,-2)\dir(0,-1)\long{2}
\segment(23,-5)\dir(0,-1)\long{2}
\fleche(23,-8)\dir(0,-1)\long{2}
\centerput(23,-13){$\bullet$}
\centerput(23,-18){$J$}
\segment(21,-12)\dir(-1,0)\long{2}
\segment(18,-12)\dir(-1,0)\long{2}
\fleche(15,-12)\dir(-1,0)\long{2}
\centerput(11,-13){$b$}
\centerput(11,-18){$S$}
\fleche(8,-12)\dir(-1,0)\long{8}
\centerput(-2,-13){$\bullet$}
\centerput(-2,-18){$S$}
\fleche(-2,-10)\dir(0,1)\long{8}
}
\hskip3.5cm
\vbox{\offinterlineskip
\fleche(0,0)\dir(1,0)\long{8}
\fleche(11,-2)\dir(0,-1)\long{8}
\centerput(-2,-1){$\bullet$}
\centerput(-2,3){$Q$}
\centerput(11,-1){$\bullet$}
\centerput(11,3){$Q$}
\fleche(8,-12)\dir(-1,0)\long{8}
\centerput(11,-13){$\bullet$}
\centerput(11,-18){$Q$}
\centerput(-2,-13){$\bullet$}
\centerput(-2,-18){$Q$}
\fleche(-2,-10)\dir(0,1)\long{8}
}}

\vskip2.5cm
\centerline{
\vbox{\offinterlineskip
\fleche(0,0)\dir(1,0)\long{8}
\segment(11,-2)\dir(0,-1)\long{2}
\segment(11,-5)\dir(0,-1)\long{2}
\fleche(11,-8)\dir(0,-1)\long{2}
\centerput(-2,-1){$\bullet$}
\centerput(-2,3){$S$}
\centerput(11,-1){$b$}
\centerput(11,3){$J$}
\fleche(8,-12)\dir(-1,0)\long{8}
\centerput(11,-13){$\bullet$}
\centerput(11,-18){$S$}
\centerput(-2,-13){$b$}
\centerput(-2,-18){$J$}
\segment(-2,-10)\dir(0,1)\long{2}
\segment(-2,-7)\dir(0,1)\long{2}
\fleche(-2,-4)\dir(0,1)\long{2}
}
\hskip3cm
\vbox{\offinterlineskip
\fleche(0,0)\dir(1,0)\long{8}
\fleche(13,0)\dir(1,0)\long{8}
\centerput(-2,-1){$\bullet$}
\centerput(-2,3){$S$}
\centerput(11,-1){$b$}
\centerput(11,3){$R$}
\centerput(23,-1){$a$}
\centerput(23,3){$S$}
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\centerput(11,-13){$\bullet$}
\centerput(11,-18){$S$}
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\centerput(-2,-13){$ab$}
\centerput(-2,-18){$R$}
\segment(-2,-10)\dir(0,1)\long{2}
\segment(-2,-7)\dir(0,1)\long{2}
\fleche(-2,-4)\dir(0,1)\long{2}
}\kern1cm
}

\vskip2cm
\centerline{Fig. 3}
\bigskip

Effa\c cons les fl\`eches en pointill\'e du graphe de la figure
3.  On obtient, d'une part, une collection de cycles dont tous
les sommets sont dans $Q$ --- donc une {\it permutation} 
$\sigma '$ de $Q$ --- d'autre part, une collection de
$a$-chemins, $b$-chemins et $ab$-chemins, au sens de la
section~3, formant un {\it graphe Erd\'elyien} $G$ {\it sur}
$(I,J,R,S)$.  De plus, comme chaque $a$-chemin (resp.
$b$-chemin, resp. $ab$-chemin) contient exactement un sommet
dans $I$ (resp. $J$, resp. $R$), les arcs en pointill\'e sont la
repr\'esentation graphique d'une {\it permutation} $\theta$ de
$I+J+R$.  Enfin, comme il n'y a pas de fl\`eche en
pointill\'e issue de sommet $b$-marqu\'e et li\'e, la
permutation $\theta$ satisfait \`a $\theta(J)\cap
I=\emptyset$.

\'Evidemment
$\cyc (\sigma  ) = \cyc (\sigma  ' ) + \cyc(\theta)$, d'o\`u
$$
w_\beta (\gamma ) = w_\beta (\sigma ')w_\beta (\theta).\leqno(4.3)
$$
Les trois premiers \'el\'ements de la suite  
$(\sigma ',\theta,G,h,h',\xi,\xi')$ ont
\'et\'e d\'efinis.  Les quatre derniers  $h,h',\xi,\xi'$ sont
simplement $h=f_A$, $h'=g_C$,
$\xi=f_{B}$,  $\xi'=g_{D}$,  c'est-\`a-dire respectivement,
les restrictions de $f$ \`a $A$, de $g$ \`a $C$, de $f$ \`a~$B$ et de
$g$ \`a $D$.  D'apres (4.2) et la d\'efinition des endofonctions de
Meixner,
$h$ (resp. $h'$) est une {\it injection} de 
$[n]\setminus(R'+I)$ (resp. $[n]\setminus(R+J)$) dans $[n]$. 
D'apr\`es (4.1) et toujours cette d\'efinition, $\xi$ (resp. $\xi'$)
est une {\it permutation} de $R'+I$ (resp. $R+J$).  De plus,
d'apr\`es (2.1), (3.1), (4.1) et (4.2), et compte tenu de $|R'| =
|R|$,  on a
$$\leqalignno{
w(\gamma ,-x,-a;\varphi )&=\gamma ^{\cont(\varphi )}(-x)^{{\rm point}(\varphi )}(-a)^{|B|}
&(4.4)\cr
&=\gamma ^{\cyc(h)}(-x)^{\cyc(\xi)}(- a)^{|R'+I|}\cr
&= w_\gamma (h)w_{-x}(\xi)(-a)^{|R+I|}\cr
\noalign{\hbox{et de m\^eme}}
w(\delta ,-y,-b;\psi)& = w_\delta (h') w_{-y}(\xi') (-b)^{|R+J|}.
&(4.5)\cr
}
$$
Prenant en compte (4.3),(4.4) et (4.5), on obtient bien (3.4).

R\'eciproquement, si l'on part d'une partition ordonn\'ee
$(Q,R,S,I,J)$ de $[n]$ et d'une suite $(\sigma ',\theta,G,h,h',\xi,\xi')$
ayant les propri\'et\'es (i)-(vii) de la section~3, il est
imm\'ediat de reconstruire le triplet $(\sigma ,\varphi ,\psi)$.
Les trois \'el\'ements $\sigma ',\theta,G$ fournissent la permutation
$\sigma $ et les couples $(h,\xi)$ et $(h',\xi')$ les endofonctions de
Meixner $\varphi $ et $\psi$ respectivement.


\rem Remerciements|Une version ant\'erieure de cet article a
\'et\'e relue attentivement par Jacques D\'esarm\'enien.

\vskip 44pt
{\eightpoint


\centerline{BIBLIOGRAPHIE}

\bigskip
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Functions|Regional Conference Series in Appl. Math. 21, S.I.A.M.,
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\divers 8|D. Foata and A.M. Garsia|A combinatorial approach to
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Combinatorics|4|1983|305--311|

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\divers11|D. Foata and V. Strehl|Combinatorics of Laguerre
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[Waterloo. June-July $\oldstyle1982$ ; D.M. Jackson and
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Toronto, Academic Press, $\oldstyle1984$|

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for Hermite polynomials using Boson operator
methods|Advances Appl. Math|2|1981|239-249|

\livre 13|J. Riordan|An introduction to Combinatorial
Analysis|J. Wiley, New York, {\oldstyle 1958}|


}
\bigskip











\adresse
Dominique {\petcap Foata},
D\'epartement de math\'ematique,
Universit\'e Louis-Pasteur,
7, rue Ren\'e-Descartes,
F-67084 Strasbourg, France.

\fin

\bye
