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%%%%%%%%%%%
\auteurcourant={J. D\'esarm\'enien}
\titrecourant={$q$-polyn\^omes d'Hermite}
%\font\twelvEBf=\bf

\vglue 0pt\bigskip\bigskip
\centerline{{\bf Les $q$-analogues des polyn\^omes d'Hermite}}
\bigskip
\centerline{Jacques \petcap D\'esarm\'enien}

\bigskip

\titre 0. Introduction|
L'un des probl\`emes auxquels on se heurte lorsqu'on s'int\'eresse aux
$q$-ana\-logues est qu'en g\'en\'eral il n'existe pas {\it un} mais {\it
plusieurs} $q$-analogues possibles d'un objet donn\'e. Les propri\'et\'es de ce
dernier se g\'en\'eralisent tant\^ot \`a l'un, tant\^ot \`a l'autre de ses
$q$-analogues. Il n'existe donc pas de $q$-analogue ``naturel''.

Une illustration de ce principe est fournie par les polyn\^omes d'Hermite.
Ceux-ci ont essentiellement deux classes de $q$-analogues. La premi\`ere,
d\'eriv\'ee des polyn\^omes de Rogers-Szeg\"o, apparut chez Rogers [10] dans sa
d\'emonstration des c\'el\`ebres identit\'es de Rogers-Ramanujan (\cf. [4,~5]). La
seconde a \'et\'e \'etudi\'ee plus particuli\`erement par Al-Salam et Carlitz [1],
Askey [3] et, d'un point de vue diff\'erent, par Cigler [8].

L'article qui suit donne un certain nombre de formules concernant ces divers
polyn\^omes, avec parfois une d\'emonstration succincte. On donne une
interpr\'etation combinatoire pour chacune de ces deux classes de polyn\^omes.
Enfin, conform\'ement au principe de Riordan, des tables des premi\`eres valeurs
des polyn\^omes concern\'es se trouvent \`a la fin de l'article.

Les notations utilis\'ees sont les suivantes ; on pose $\qfac a0=1$ et $\qfac
an=(1-a)(1-aq)\cdots(1-aq^{n-1})$ si $n\ge 1$. On appelle polyn\^ome gaussien
ou $q$-binomial le polyn\^ome suivant :
$$
{n\gauss k}={\qfac qn \over \qfac qk \qfac q{n-k}}.
$$
La $q$-exponentielle de base $q$ est d\'efinie par
$$
e(t,q)=\prod _{k\ge 0}(1-tq^k)^{-1}=\sum _{n\ge 0}{t^n\over \qfac qn}.
$$
Enfin, lorsque seule la base $q$ est utilis\'ee, on omet de l'\'ecrire dans les
arguments : on note alors $e(t)$ pour $e(t,q)$, ou encore $H_n(x)$ pour
$H_n(x,q)$ lorsqu'il sera question des polyn\^omes d'Hermite.


\titre 1. Les polyn\^omes d'Hermite|
Rappelons tout d'abord quelques propri\'et\'es des polyn\^omes d'Hermite
ordinaires. Elles figurent dans tous les ouvrages consacr\'es aux polyn\^omes
orthogonaux.

Notons $h_n(x)$ le $n$-i\`eme polyn\^ome d'Hermite. Il est de degr\'e $n$ et ses
coefficients sont entiers.

{\it Fonction g\'en\'eratrice}
$$
\sum _{n\ge 0}{h_n(x)\,t^n\over n!}=\exp(tx-t^2/2) .\leqno{(1.1)}
$$

{\it Relation de r\'ecurrence lin\'eaire}
$$
h_0(x)=1,\ h_1(x)=x,\ h_{n+1}(x)=xh_n(x)-nh_{n-1}(x),\ n\ge 1.\leqno{(1.2)}
$$

{\it Formules explicites}
$$
\leqalignno{h_n(x)&=e^{-D^2/2}\cdot x^n,\qquad \hbox{o\`u $D$ est l'op\'erateur
$d\over dx$}&(1.3)\cr
&=\sum _{0\le 2j\le n}(-1)^j{n\choose 2j}(2j-1)!!\,x^{n-2j},\cr}
$$
o\`u $(2j-1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdots (2j-1)$.

{\it Formule multiplicative}
$$
h_m(x)h_n(x)=\sum _{0\le k\le m,n}{m\choose k}{n\choose k}
k!\,h_{m+n-2k}(x).\leqno{(1.4)}
$$

{\it R\'ecurrence quadratique}
$$
h_{m+n}(x)=\sum _{0\le k\le m,n}(-1)^k{m\choose k}{n\choose k}
k!\,h_{m-k}(x)h_{n-k}(x).\leqno{(1.5)}
$$

{\it Formule de Mehler}
$$
\sum _{n\ge 0}{h_n(x)h_n(y)\,t^n\over
n!}=(1-t^2)^{-1/2}\exp\Bigl({xyt-t^2(x^2+y^2)\over
1-t^2}\Bigr).\leqno{(1.6)} 
$$

Terminons ces rappels par l'interpr\'etation combinatoire classique des
polyn\^omes d'Hermite : soit $a_{n,k}$ le nombre de permutations involutives
sur $n$ \'el\'ements qui laissent $k$ points fixes ; on remarque que $k$ et $n$
ont m\^eme parit\'e ; alors
$$
h_n(x)=\sum _{0\le k\le n}(-1)^{(n-k)/2}a_{n,k}\,x^k.
$$

\titre 2. Les polyn\^omes de Rogers-Szeg\"o|
La formule de multiplication des exponentielles, qui n'est pas vraie pour
les $q$-exponenetielles, est curieusement \`a la base des d\'efinitions des
$q$-polyn\^omes d'Hermite. Les polyn\^omes de Rogers-Szeg\"o, \'etudi\'es par Rogers
[10] puis par Szeg\"o [14] jouent un r\^ole essentiel dans la th\'eorie des
$q$-analogues.

Ils sont d\'efinis par la fonction g\'en\'eratrice
$$
\sum _{n\ge 0}{r_n(a,b)\,t^n\over \qfac qn}=e(at)e(bt).\leqno{(2.1)}
$$
Par $q$-d\'erivation on obtient imm\'ediatement la r\'ecurrence lin\'eaire
$$
\leqalignno{&r_0(a,b)=1,\ r_1(a,b)=a+b,&(2.2)\cr
&r_{n+1}(a,b)=(a+b)r_n(a,b)-(1-q^n)abr_{n-1}(a,b),\ n\ge
1.\cr}
$$
Du d\'eveloppement de la fonction g\'en\'eratrice 2.1 r\'esulte la formule
explicite
$$
r_n(a,b)=\sum _{0\le k\le n}{n\gauss k}\,a^kb^{n-k}.\leqno{(2.3)}
$$
On v\'erifie \'egalement la formule multiplicative
$$
r_m(a,b)r_n(a,b)=\sum _{0\le k\le m,n}{m\gauss k}{n\gauss k}\qfac qk
a^kb^k\,r_{m+n-2k}(a,b),\leqno{(2.4)}
$$
d'o\`u se d\'eduit
$$
\sum _{m,n\ge 0}{r_{m+n}(a,b)\,t^mu^n\over \qfac qm\qfac qn}={e(at)\,
e(au)\, e(bt)\, e(bu)\over e(abtu)},\leqno{(2.5)}
$$
et finalement une formule de type Mehler :
$$
\sum _{n\ge 0}{r_n(a,b)r_n(c,d)\,t^n\over \qfac qn}={e(act)\, e(adt)\,
e(bct)\, e(bdt)\over e(abcdt^2)}.\leqno{(2.6)}
$$

\titre 3. Les $q$-polyn\^omes d'Hermite de 1\emini\ esp\`ece|
La similitude entre ces formules et les formules analogues pour les
polyn\^omes d'Hermite ont parfois conduit \`a qualifier les polyn\^omes de
Rogers-Szeg\"o de $q$-polyn\^omes d'Hermite. En fait, une l\'eg\`ere modification
des arguments permet d'obtenir un $q$-analogue bien plus satisfaisant. De
plus cette modification appara\^{\i}t dans l'article original de Rogers. Posons
donc $A_n(\cos\theta )=r_n(e^{i\theta },e^{-i\theta })$.

La d\'efinition de la $q$-exponentielle et la fonction g\'en\'eratrice 2.1
fournissent presque imm\'ediatement
$$
\sum _{n\ge 0}{A_n(x)\,t^n\over \qfac qn}=\prod _{k\ge
0}(1-2xtq^k+t^2q^{2k})^{-1}.\leqno{(3.1)}
$$
La relation de r\'ecurrence 2.2 devient
$$
\leqalignno{&A_0(x)=1,\ A_1(x)=2x,&(3.2)\cr
&A_{n+1}(x)=2xA_n(x)-(1-q^n)A_{n-1}(x),\ n\ge
1.\cr}
$$
La formule explicite 2.3 donne le d\'eveloppement de Fourier
$$
A_n(\cos\theta )=\sum _{0\le k\le m,n}{n\gauss k}e^{i(n-2k)\theta }.
\leqno{(3.3)}
$$
Les formules 2.4, 2.5 et 2.6 ont comme cons\'equences les trois formules
suivantes :
$$
A_m(x)A_n(x)=\sum _{0\le k\le m,n}{m\gauss k}{n\gauss k}\qfac qk\,
A_{m+n-2k}(x),\leqno{(3.4)}
$$
$$
A_{m+n}(x)=\sum _{0\le k\le m,n}(-1)^k{m\gauss k}{n\gauss k}\qfac qk
q^{k(k-1)/2}A_{m-k}(x)A_{n-k}(x),\leqno{(3.5)}
$$
$$
\leqalignno{&\sum _{n\ge 0}{A_n(x)A_n(y)\,t^n\over \qfac qn}&(3.6)\cr
&\quad =\prod _{k\ge 0}{1-t^2q^k\over 1-4tq^kxy+2t^2q^{2k}(2x^2+2y^2-1)-
4t^3q^{3k}xy+t^4q^{4k}}.\cr}
$$

Il n'est pas possible de faire $q=1$ dans les formules pr\'ec\'edentes. Il faut
pour cela une normalisation diff\'erente ; on peut en profiter pour faire
dispara\^{\i}tre le coefficient 2 dans la r\'ecurrence 3.2 en posant
$$
H_n(x)=(1-q)^{-n/2}A_n\Bigl({\sqrt{1-q}\over 2}x\Bigr).
$$
Les polyn\^omes ainsi obtenus sont de ``vrais'' $q$-analogues des polyn\^omes
d'Hermite, donn\'es par la r\'ecurrence lin\'eaire
$$
H_0(x)=0,\ H_1(x)=x,\ H_{n+1}(x)=xH_n(x)-{1-q^n\over 1-q}H_{n-1}(x),\ n\ge
1.\leqno{(3.7)}
$$
Ces polyn\^omes figurent dans Cigler~[8].

Leur fonction g\'en\'eratrice et leur formule de Mehler ne semblent pas
pr\'esenter d'int\'er\^et particulier. On ne retrouve pas les formules
correspondantes pour les polyn\^omes d'Hermite lorsque $q=1$. En revanche,
les formules 3.4 et 3.5 apparaissent, apr\`es changement d'argument, comme
des $q$-analogues des formules 1.4 et 1.5. Ce sont respectivement :
$$
H_m(x)H_n(x)=\sum _{0\le k\le m,n}{m\gauss k}{n\gauss k}{\qfac qk\over
(1-q)^k} H_{m+n-2k}(x),\leqno{(3.8)}
$$
$$
H_{m+n}(x)=\sum _{0\le k\le m,n}(-1)^k{m\gauss k}{n\gauss k}{\qfac qk\over
(1-q)^k}q^{k(k-1)/2}H_{m-k}(x)H_{n-k}(x).\leqno{(3.9)}
$$

Ces $q$-analogues, enfin, poss\`edent une interpr\'etation en termes
d'in\-ver\-sions. Soit $w=w_1w_2\ldots w_n$ l'image d'une involution de
l'ensemble $\{1,2,\ldots,n\}$ ayant $k$ points fixes et $(n-k)/2$
transpositions. Soit $a_{n,k,j}$ le nombre de celles de ces involutions
pr\'esentant $j$ inversions (au sens usuel, sur le mot $w$). Appelons
$$
I_n(x,q)=\sum _{k,q}a_{n,k,j}\,q^jx^k
$$
le polyn\^ome g\'en\'erateur du couple inversions-points fixes sur les
involutions des $n$ premiers entiers. On v\'erifie ais\'ement que ces polyn\^omes
satisfont la r\'ecurrence
$$
\leqalignno{&I_0(x,q)=1,\ I_1(x,q)=x,&(3.10)\cr
&I_{n+1}(x,q)=xI_n(x,q)-{1-q^{2n}\over 1-q^2}qI_{n-1}(x,q),\ n\ge
1.\cr}
$$
Pour rappeler la base $q$, notons $H_n(x,q)$ le $q$-polyn\^ome d'Hermite
pr\'ec\'edemment d\'efini. Le polyn\^ome $I_n$ est alors donn\'e par
$$
I_n(x,q)=i^nq^{n/2}H_n\Bigl(-i{x\over \sqrt{q}},q^2\Bigr).\leqno{(3.11)}
$$
Les coefficients des deux polyn\^omes sont identiques, au signe et \`a un
changement d'indice pr\`es.

\titre 4. Les polyn\^omes d'Al-Salam-Carlitz|
Al-Salam et Carlitz [1] \'etudient diverses g\'en\'eralisations des polyn\^omes de
Rogers-Szeg\"o, parmi lesquelles la famille suivante de polyn\^omes en deux
ind\'etermin\'ees $a$ et $x$, en plus de la base $q$ :
$$
\sum _{n\ge 0}{U_n^{(a)}(x)\,t^n\over\qfac qn}={e(xt)\over e(t)\,e(at)}.
\leqno{(4.1)}
$$

La $q$-d\'erivation fournit la r\'ecurrence lin\'eaire
$$
\leqalignno{&\quad U_0^{(a)}(x)=1,\ U_1^{(a)}(x)=x-(1+a),&(4.2)\cr
&U_{n+1}^{(a)}(x)=(x-(1+a)q^n)U_n^{(a)}(x)+a(1-q^n)q^{n-1}U_{n-1}^{(a)}(x),\
n\ge 1.\cr}
$$
L'identit\'e qui suit est une cons\'equence du th\'eor\`eme $q$-binomial :
$$
{e(xt)\over e(t)}=\sum _{n\ge 0}{(x-1)(x-q)(x-q^2)\cdots(x-q^n)\,t^n\over
\qfac qn}\ ;
$$
en faisant $x=0$ et en rempla\c cant $t$ par $at$, on en d\'eduit
$$
{1\over e(at)}=\sum _{n\ge 0}(-1)^nq^{n(n-1)/2}{a^nt^n\over \qfac qn}\ ;
$$
de ces deux identit\'es r\'esulte la formule explicite
$$
U_n^{(a)}(x)=\sum _{0\le k\le n}{n\gauss
k}q^{k(k-1)/2}(-a)^k(x-1)(x-q)(x-q^2)\cdots (x-q^{n-k-1}).\leqno{(4.3)}
$$

Il ne semble pas que des formules aussi simples que 2.4 ou 2.5 soient
connues pour ces polyn\^omes. En revanche, Al-Salam et Carlitz \'etablissent
une formule de type Mehler :
$$
\leqalignno{
&\sum _{n\ge 0}{U_n^{(a)}(x)U_n^{(b)}(y)\,t^n\over q^{n(n-1)/2}\qfac
qn}&(4.4)\cr
&\qquad=  {e(-xt)\,e(-yt)\over e(-t)\,e(-at)\,e(-bt)}
\sum _{r\ge 0}{\qfac {a/x}r\qfac {b/y}r\qfac {-q/t}r
\over
\qfac qr\qfac {-q/xt}r\qfac {-q/yt}r}q^r\cr
&\qquad = {e(-xt)\,e(-yt)\over e(-t)\,e(-at)\,e(-bt)}
\;\bas a/x|b/y|-q/t|-q/xt|-q/yt|,\cr}
$$
en utilisant le formalisme des fonctions hyperg\'eom\'etriques basiques.

\titre 5. Les $q$-polyn\^omes d'Hermite de 2\emini\ esp\`ece|
De la m\^eme mani\`ere qu'avec les polyn\^omes de Rogers-Szeg\"o, une
particularisation des arguments va conduire \`a de nouveaux $q$-analogues des
polyn\^omes d'Hermite. Posons
$$
F_n(x)=U_n^{(-1)}(x).
$$
Ces polyn\^omes v\'erifient les identit\'es suivantes :
$$
\sum _{n\ge 0}{F_n(x)\,t^n\over\qfac qn}={e(xt)\over e(t)\,e(-t)}.
\leqno{(5.1)}
$$

La $q$-d\'erivation fournit la r\'ecurrence lin\'eaire
$$
\leqalignno{&F_0(x)=1,\ F_1(x)=x,&(5.2)\cr
&F_{n+1}(x)=xF_n(x)-(1-q^n)q^{n-1}F_{n-1}(x),\ n\ge 1.\cr}
$$
Al-Salam et Carlitz donnent pour ces polyn\^omes des formules explicites
voisines de 1.3. Soit $\delta $ l'op\'erateur $q$-diff\'erentiel $\delta
f(x)=(f(x)-f(qx))/x$. On a alors, en rappelant que $e(t,q^2)$ d\'esigne la
$q$-exponentielle de base $q^2$,
$$\leqalignno{F_n(x)&={1\over e(\delta ^2,q^2)}\cdot x^n,&(5.3)\cr
&=\sum _{0\le 2j\le n}(-1)^j{n\gauss 2j}{\qfac q{2j}\over (q^2;q^2)_j}
q^{j(j-1)}x^{n-2j}.\cr}
$$
L'identit\'e 4.4 ne se simplifie pas notablement. Elle donne la formule de
type Mehler suivante :
$$
\sum _{n\ge 0}{F_n(x)F_n(y)\,t^n\over q^{n(n-1)/2}\qfac
qn} = {e(-xt)\,e(-yt)\over e(-t)\,e(t)^2}
\;\bas -1/x|-1/y|-q/t|-q/xt|-q/yt|.\leqno{(5.4)}
$$

Askey [3] et Cigler [8] ont \'etudi\'e des polyn\^omes li\'es aux polyn\^omes $F_n$.
Les polyn\^omes que d\'efinit Askey sont donn\'es par
$$
H'_n(x)=q^n\,F_n(x/q).\leqno{(5.5)}
$$
Ces polyn\^omes v\'erifient la r\'ecurrence lin\'eaire
$$
\leqalignno{&H'_0(x)=1,\ H'_1(x)=x,&(5.6)\cr
&H'_{n+1}(x)=xH'_n(x)-(1-q^n)q^{n+1}H'_{n-1}(x),\ n\ge 1.\cr}
$$
Askey d\'emontre, pour ces polyn\^omes, la formule multiplicative
$$
\leqalignno{&H'_m(x)H'_n(x)=\sum _{0\le k\le m,n}{m\gauss k}{n\gauss
k}\qfac qk \,q^{(m+n)k-3k(k-1)/2}&(5.7)\cr
&\qquad \qquad\times \bas q^{-k}|q^{-m+k}|q^{-n+k}|-q|0| H'_{m+n-2k}(x).\cr}
$$

\titre 6. Les $q$-polyn\^omes d'Hermite de 2\emini\ esp\`ece, d'apr\`es Cigler|
Par des manipulations d'op\'erateurs, Cigler [8] est amen\'e \`a \'etudier des
polyn\^omes $K_n(x)$ (not\'es $H_n(x)$ par Cigler). Ces polyn\^omes, comme nous
le verrons plus loin, sont reli\'es aux $F_n$. Nous nous proposons d'utiliser
ce lien pour retrouver une partie des r\'esultats de Cigler.

Nous allons tout de suite donner les notations qu'utilise Cigler. Il note
$$
[n]={1-q^n\over 1-q},\quad [n]_2={1-q^{2n}\over 1-q^2},\quad \hbox{et}\quad
[n]!=[1][2]\ldots [n].
$$
Avec ces notations, la $q$-exponentielle qui appara\^{\i}t naturellement est
la suivante (not\'ee $e(t)$ ou $e_2(t)$ selon qu'elle est de base $q$ ou
$q^2$ dans l'article de Cigler) :
$$
E(t,q) = \sum _{n\ge 0}{t^n\over [n]!} = e(t(1-q),q).
$$
L'un des avantages de cette notation est qu'il est possible de prendre
directement $q=1$.

Avec ces notations, les polyn\^omes $K_n(x)$ sont d\'efinis par la fonction
g\'en\'eratrice
$$
\sum _{n\ge 0}{K_n(x)\,t^n\over [n]!}={E(xt,q)\over E(qt^2\! /[2],q^2)},
\leqno{(6.1)}
$$
d'o\`u l'on tire la r\'ecurrence lin\'eaire
$$
K_0(x)=1,\ K_1(x)=x,\ K_{n+1}(x)=xK_n(x)-[n]q^nK_{n-1}(x),\ n\ge 1.
\leqno{(6.2)}
$$

A partir de la relation pr\'ec\'edente, on obtient la valeur de $K_n$ en
fonction de $F_n$ :
$$
K_n(x)=\Bigl({q\over 1-q}\Bigr)^{n/2}F_n\Bigl( x \sqrt{1-q\over q}\,\Bigr) .
$$
Le passage de la fonction g\'en\'eratrice~5.1 \`a la fonction~6.1 est alors
le suivant : on v\'erifie d'abord l'identit\'e
$$
e(t,q)\,e(-t,q)=e(t^2,q^2),
$$
par exemple en calculant $r_n(1,-1)$ avec la r\'ecurrence~2.2. \'Ecrivons
maintenant la fonction g\'en\'eratrice~5.1 pour les polyn\^omes $K_n$ :
$$
\sum _{n \ge 0}{K_n(x)\,t^n \over \qfac qn}={e(xt,q)\over
  e({qt^2\over 1-q},q^2)}.
$$
En rempla\c cant $t$ par $t(1-q)$, on obtient le premier membre de~6.1 ; le
second membre devient alors
$$
{e(xt(1-q),q)\over e(qt^2(1-q),q^2)}=
{e(xt(1-q),q)\over e(qt^2{1-q^2\over 1+q},q^2)}=
{E(xt,q)\over E(qt^2\!/[2],q^2)},
$$
ce qui donne~6.1.

De m\^eme, la formule explicite~5.3 permet d'obtenir une formule explicite
que donne Cigler. Posons $X=x\sqrt{(1-q)/q}$ ; soient $\delta $ et $D$ les
op\'erateurs $q$-diff\'erentiels d\'efinis par
$$
\delta \cdot X^n = (1-q^n)X^{n-1}\quad \hbox{et}\quad
D\cdot x^n = [n]x^{n-1}.
$$
On a alors
$$
\eqalign{
\delta ^k\cdot X^n &= (1-q^n)(1-q^{n-1})\ldots(1-q^{n-k+1})X^{n-k},\cr
  &=\Bigl({1-q\over q}\Bigr)^{n/2}\sqrt{q(1-q)}^k D^k\cdot x^n .
}
$$
La formule~5.3 donne
$$
\eqalign{
K_n(x)&=\Bigl({q\over 1-q}\Bigr)^{n/2}{1\over e(\delta ^2,q^2)}\cdot X^n,\cr
   &={1\over e(q(1-q)D^2,q^2)}\cdot x^n,\cr
}
$$
qui peut \^etre transform\'ee en la premi\`ere partie de la formule
suivante ; la seconde partie de celle-ci est la simple r\'e\'ecriture de la
seconde partie de~5.3, avec quelques simplifications.
$$
\leqalignno{
K_n(x)&={1\over E(qD^2/[2],q^2)}\cdot x^n,&(6.3)\cr
    &=\sum _{0\le 2j\le n} (-1)^j{n\gauss 2j}[2j-1]!!\,q^{j^2}x^{n-2j},\cr
}
$$
o\`u l'on a pos\'e $[2j-1]!!=(1-q)(1-q^3)\ldots(1-q^{2j-1})/(1-q)^j$.

Cette formule explicite se trouve aussi dans Cigler, ainsi qu'une formule
de Mehler :
$$
\leqalignno{
&\qquad \sum _{n\ge 0} {K_n(x)K_n(y)\, t^n\over q^{n(n+1)/2}[n]!}
=\sum _{m\ge 0} {[2m-1]!!\over [2m]!!}\Bigl({t^2\over q}\Bigr)^m&(6.4)\cr
&\qquad \times E(xy\eta ^{-1}{t\over 1-{t^2\over q}},q)
E({x^2\over 2}\eta ^{-1}{t^2\over {t^2\over q}-1},q^2)
E({y^2\over 2}\eta ^{-1}{t^2\over {t^2\over q}-1},q^2)\cdot 1,\cr
}
$$
o\`u $\eta $ est l'op\'erateur $\eta \cdot f(t)=f(qt)$.

Au changement de variables pr\`es, le premier membre de~5.4 et celui de~6.4
sont identiques. N\'eanmoins, le second membre de~6.4 ne semble pas se
d\'eduire imm\'ediatement de~5.4.

Nous allons terminer par une interpr\'etation combinatoire des poly\-n\^omes
$K_n$, li\'ee aux involutions des $n$ premiers entiers.

Si $w$ est une telle involution, elle peut \^etre cod\'ee par une
permutation $w'$ de l'ensemble $\{1,2,\ldots ,n\}$ de la fa\c con suivante :
$$
w'=w'_1w'_2\ldots w'_{n-k-1}w'_{n-k}w'_{n-k+1}\ldots w'_n,
$$
o\`u les $k$ points fixes de $w$ sont $w'_{n-k+1},\ldots, w'_n$ arrang\'es
par ordre {\it croissant} : $w'_{n-k+1}<\cdots< w'_n$, et o\`u les $(n-k)/2$
cycles de $w$ sont $(w'_1w'_2),\ldots ,(w'_{n-k-1}w'_{n-k})$ arrang\'es par
ordre {\it d\'ecroissant} dans chaque cycle, puis par ordre {\it
d\'ecroissant} de leur premier \'el\'ement :
$$
\matrix{
w'_1&>&w'_3&>&\cdots &>&w'_{n-k-1}\hfill\cr
\vee\hfill&&\vee\hfill&&&&\vee\hfill\cr
w'_2&>&w'_4&>&\cdots &>&w'_{n-k}\hfill\cr
}.
$$
Si, par exemple,
$$
w=\matrix{1&2&3&4&5&6&7&8&9\cr 5&2&4&3&1&6&9&8&7\cr}\ ,
$$
son codage $w'$ est
$$
w'=\matrix{9&7&5&1&4&3&2&6&8\cr}.
$$
L'algorithme de d\'ecodage est clair : les points fixes de $w$ se trouvent
en plus longue derni\`ere s\'equence croissante de m\^eme parit\'e que $n$
dans $w'$ ; on en d\'eduit les cycles.

On remarque que $n$ est toujours le dernier ou le premier \'el\'ement de
$w'$. Soit
$$
K'_n=\sum _w q^{\INV(w')} x^k
$$
le polyn\^ome g\'en\'erateur des inversions de $w'$ et des points fixes de
$w$. La remarque pr\'ec\'edente fournit imm\'ediatement pour $K'_n$ une
r\'ecurrence lin\'eaire ; on constate qu'elle est identique \`a~6.2 et, par
cons\'equent, $K'_n(x)=K_n(x)$.

\titre 7. Remarques|%
Dans tout ce qui pr\'ec\`ede, il n'a pas \'et\'e question
d'orthogonalit\'e. Tous les polyn\^omes cit\'es sont orthogonaux.
Cependant, seuls les polyn\^omes d'Hermite de 2\emini\ esp\`ece semblent
conduire \`a des r\'esultats int\'eressants. Ils ont \'et\'e \'etudi\'es
sous cet angle par Al-Salam et Carlitz [1], Askey [2] et Cigler [8].

Il serait int\'eressant d'obtenir les formules mentionn\'ees pour les
$q$-polyn\^omes d'Hermite \`a partir de leur interpr\'etation combinatoire.
Celles qui sont donn\'ees ne sont d'ailleurs peut-\^etre pas les plus
appropri\'ees pour de telles d\'emonstrations combinatoires.

\titre 8. Tables|
\medskip
\eightpoint

%Pour alignement a gauche des tables
\def\eq#1{\halign to\displaywidth{$\displaystyle{##}$\tabskip=0pt%
&$\displaystyle{{}##}$\hfil\crcr #1\crcr}}

{\tenpoint
Polyn\^omes de Rogers-Szeg\"o $r_n=r_n(1,x)$ ;
$r_n(a,b)=a^nr_n(1,b/a).$
}
$$
\eq{
r_0&=1 \quad r_1=x+1 \quad r_2=x^{2}+(q+1)x+1
\hfill\cr 
r_3&=x^{3}+(q^{2}+q+1)x^{2}+(q^{2}+q+1)x+1
\cr
r_4&=x^{4}+(q^{3}+q^{2}+q+1)x^{3}+(q^{4}+q^{3}+2q^{2}+
q+1)x^{2}+(q^{3}+q^{2}+q+1)x+1
\cr 
r_5&=x^{5}+(q^{4}+q^{3}+q^{2}+q+1)x^{4}+(q^{6}+q^{5}+2
q^{4}+2q^{3}+2q^{2}+q+1)x^{3}
\cr
&\quad
+(q^{6}+q^{5}+2q^{4}+2
q^{3}+2q^{2}+q+1)x^{2}+(q^{4}+q^{3}+q^{2}+q+1)
x+1
\cr
r_6&=x^{6}+(q^{5}+q^{4}+q^{3}+q^{2}+q+1)x^{5}
\cr
&\quad
+(q^{8}+q^{
7}+2q^{6}+2q^{5}+3q^{4}+2q^{3}+2q^{2}+q+1)x^{4}
\cr
&\quad
+(q^{9}+q^{8}+2q^{7}+3q^{6}+3q^{5}+3q^{4}+3q^{3}+2q^{
2}+q+1)x^{3}
\cr
&\quad
+(q^{8}+q^{7}+2q^{6}+2q^{5}+3q^{4}+2q
^{3}+2q^{2}+q+1)x^{2}
\cr
&\quad
+(q^{5}+q^{4}+q^{3}+q^{2}+q+1
)x+1
\cr
r_7&=x^{7}+(q^{6}+q^{5}+q^{4}+q^{3}+q^{2}+q+1)x^{6}
\cr
&\quad
+(q^{
10}+q^{9}+2q^{8}+2q^{7}+3q^{6}+3q^{5}+3q^{4}+2q^{3}+2q^{
2}+q+1)x^{5}
\cr
&\quad
+(q^{12}+q^{11}+2q^{10}+3q^{9}+4q^{8}+4
q^{7}+5q^{6}+4q^{5}+4q^{4}+3q^{3}
+2q^{2}+q+1)x^{4}
\cr
&\quad
+(q^{12}+q^{11}+2q^{10}+3q^{9}+4q^{8}+4q^{7}+5q^{6}+4
q^{5}+4q^{4}+3q^{3}
+2q^{2}+q+1)x^{3}
\cr
&\quad
+(q^{10}+q^{9}+
2q^{8}+2q^{7}+3q^{6}+3q^{5}+3q^{4}+2q^{3}+2q^{2}+q+1
)x^{2}
\cr
&\quad
+(q^{6}+q^{5}+q^{4}+q^{3}+q^{2}+q+1)x+1
\cr
}
$$

\medskip\vskip 0pt plus 6pt\penalty-1000\vskip 0pt plus -6pt
{\tenpoint
Polyn\^omes de Rogers $A_n=A_n(1,x)$.
}
$$
\eq{
A_0&=1 \quad A_1=2x \quad A_2=4{x}^{2}+q-1 \quad A_3=8{x}^{3}+(2{q}^{2}+2q-4)x
\hfill\cr
A_4&=16{x}^{4}+(4{q}^{3}+4{q}^{2}+4q-12){x}^{2}+{
q}^{4}-{q}^{3}-q+1
\cr
A_5&=32{x}^{5}+(8{q}^{4}+8{q}^{3}+8{q}^{2}+8q-32
){x}^{3}
\cr
&\quad
+(2{q}^{6}+2{q}^{5}-2{q}^{4}-2{q}^{3
}-2{q}^{2}-4q+6)x
\cr
A_6&=64{x}^{6}+(16{q}^{5}+16{q}^{4}+16{q}^{3}+16{q}^{2
}+16q-80){x}^{4}
\cr
&\quad
+(4{q}^{8}+4{q}^{7}+8{q}^{6}
-8{q}^{5}-4{q}^{4}-8{q}^{3}-8{q}^{2}-12q+24){x}^
{2}
\cr
&\quad
+{q}^{9}-{q}^{8}-{q}^{6}+{q}^{5}-{q}^{4}+{q}^{3}+q-1
\cr
A_7&=128{x}^{7}+(32{q}^{6}+32{q}^{5}+32{q}^{4}+32{q}^{
3}+32{q}^{2}+32q-192){x}^{5}
\cr
&\quad
+(8{q}^{10}+8{q}
^{9}+16{q}^{8}+16{q}^{7}-16{q}^{6}-16{q}^{5}-16{q}^{4}-
24{q}^{3}-24{q}^{2}-32q+80){x}^{3}
\cr
&\quad
+(2{q}^{12
}+2{q}^{11}-2{q}^{10}-4{q}^{8}-4{q}^{7}+2{q}^{6}+4{q}
^{3}+2{q}^{2}+6q-8)x
\cr
}
$$

\medskip\vskip 0pt plus 6pt\penalty-1000\vskip 0pt plus -6pt
{\tenpoint
$q$-polyn\^omes d'Hermite de 1\emini\ esp\`ece $H_n=H_n(x)$.
}
$$
\eq{
H_0&=1 \quad H_1=x \quad H_2=x^{2}-1 \quad H_3=x^{3}+(-q-2)x
\hfill\cr
H_4&=x^{4}+(-q^{2}-2q-3)x^{2}+q^{2}+q+1
\cr
H_5&=x^{5}+(-q^{3}-2q^{2}-3q-4)x^{3}+(q^{4}+3q^{3}
+4q^{2}+4q+3)x
\cr
H_6&=x^{6}+(-q^{4}-2q^{3}-3q^{2}-4q-5)x^{4}+(q^{6}
+3q^{5}+7q^{4}+9q^{3}+10q^{2}+9q+6)x^{2}
\cr
&\quad
-q^{6}-2q^{
5}-3q^{4}-3q^{3}-3q^{2}-2q-1
\cr
H_7&=x^{7}+(-q^{5}-2q^{4}-3q^{3}-4q^{2}-5q-6)x^{5}
\cr
&\quad
+
(q^{8}+3q^{7}+7q^{6}+13q^{5}+17q^{4}+19q^{3}+19q^{2}
+16q+10)x^{3}
\cr
&\quad
+(-q^{9}-4q^{8}-8q^{7}-13q^{6}-17q
^{5}-18q^{4}-17q^{3}-14q^{2}-9q-4)x
}
$$

\medskip\vskip 0pt plus 6pt\penalty-1000\vskip 0pt plus -6pt
{\tenpoint
Polyn\^omes d'Al-Salam-Carlitz $F_n=F_n(x)$.
}
$$
\eq{
F_0&=1 \quad F_1=x \quad F_2=x^{2}+q-1 \quad 
F_3=x^{3}+(q^{3}-1)x
\hfill\cr
F_4&=x^{4}+(q^{5}+q^{3}-q^{2}-1)x^{2}+q^{6}-q^{5}-q^{3}+q^{2}
\cr
F_5&=x^{5}+(q^{7}+q^{5}-q^{2}-1)x^{3}+(q^{10}-q^{7}-q^{5
}+q^{2})x
\cr
F_6&=x^{6}+(q^{9}+q^{7}+q^{5}-q^{4}-q^{2}-1)x^{4}
\cr
&\quad
+(q^{14
}+q^{12}-q^{11}+q^{10}-2q^{9}-2q^{7}+q^{6}-q^{5}+q^{4}+q^{2}
)x^{2}
\cr
&\quad
+q^{15}-q^{14}-q^{12}+q^{11}-q^{10}+q^{9}+q^{7}-q^{6}
\cr
F_7&=x^{7}+(q^{11}+q^{9}+q^{7}-q^{4}-q^{2}-1)x^{5}
\cr
&\quad
+(q^{
18}+q^{16}+q^{14}-q^{13}-2q^{11}-2q^{9}-q^{7}+q^{6}+q^{4}+q^{2}
)x^{3}
\cr
&\quad
+(q^{21}-q^{18}-q^{16}-q^{14}+q^{13}+q^{11}+q^{9}-q
^{6})x
\cr
}
$$

\medskip\vskip 0pt plus 6pt\penalty-1000\vskip 0pt plus -6pt
{\tenpoint
Polyn\^omes d'Hermite de 2\emini\ esp\`ece $K_n=K_n(x)$.
}
$$
\eq{
K_0&=1 \quad K_1=x \quad K_2=x^{2}-q \quad
K_3=x^{3}+(-q^{3}-q^{2}-q)x
\hfill\cr
K_4&=x^{4}+(-q^{5}-q^{4}-2q^{3}-q^{2}-q)x^{2}+q^{6}+q^{5}+q^
{4}
\cr
K_5&=x^{5}+(-q^{7}-q^{6}-2q^{5}-2q^{4}-2q^{3}-q^{2}-q)x^
{3}
\cr
&\quad
+(q^{10}+2q^{9}+3q^{8}+3q^{7}+3q^{6}+2q^{5}+q^{4}
)x
\cr
K_6&=x^{6}+(-q^{9}-q^{8}-2q^{7}-2q^{6}-3q^{5}-2q^{4}-2q^{3}
-q^{2}-q)x^{4}
\cr
&\quad
+(q^{14}+2q^{13}+4q^{12}+5q^{11}+7q
^{10}+7q^{9}+7q^{8}+5q^{7}+4q^{6}+2q^{5}+q^{4})x^{2}
\cr
&\quad
-
q^{15}-2q^{14}-3q^{13}-3q^{12}-3q^{11}-2q^{10}-q^{9}
\cr
K_7&=x^{7}+(-q^{11}-q^{10}-2q^{9}-2q^{8}-3q^{7}-3q^{6}-3q^{
5}-2q^{4}-2q^{3}-q^{2}-q)x^{5}
\cr
&\quad
+(q^{18}+2q^{17}+4q
^{16}+6q^{15}+9q^{14}+11q^{13}+13q^{12}+13q^{11}+13q^{10}+
11q^{9}
\cr
&\quad\quad
+9q^{8}+6q^{7}+4q^{6}+2q^{5}+q^{4})x^{3}
\cr
&\quad
+
(-q^{21}-3q^{20}-6q^{19}-9q^{18}-12q^{17}-14q^{16}-15
q^{15}-14q^{14}-12q^{13}
\cr
&\quad\quad
-9q^{12}-6q^{11}-3q^{10}-q^{9}
)x
\cr
}
$$



\bigbreak


\centerline{BIBLIOGRAPHIE}

\bigskip

\article 1|Al-Salam (W. A.) et Carlitz (L.)|Some orthogonal
$q$-polynomials|Math. Nachr.|30|1965|47-61|

\divers 2|Askey (R.) et Ismail (M.)|A generalization of ultraspherical
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Madison, Wisconsin, {\oldstyle 1978}|

\divers 3|Askey (R.)|manuscrit|

\article 4|Bressoud (D.)|A simple proof of Mehler's formula for $q$-Hermite
polynomials|Indiana Univ. Math. J.|29|1980|577-580|

\article 5|Bressoud (D.)|On partitions, orthogonal polynomials and the
expansion of certain infinite products|Proc. London Math.
Soc.|42|1981|478-500|

\article 6|Carlitz (L.)|Some polynomials related to theta functions|Ann.
Math. Pura Appl. {\rm ser.~4}|41|1956|359-373|

\article 7|Carlitz (L.)|Some polynomials related to theta functions|Duke
Math. J.|24|1957|521-527|

\divers 8|Cigler (J.)|Elementare $q$-Identit\"aten, [actes de la 5\emini\
session du S\'eminaire lotharingien de Combinatoire], publ. I.R.M.A.
n$^\circ$~182/S-04, Strasbourg,{\oldstyle 1982}|

\article 9|Hahn (W.)|\"Uber Orthogonal-polynome, die
$q$-Differenzen\-gleichungen gen\"ugen|Math. Nachr.|2|1949|4-34|

\article 10|Rogers (L. J.)|On a three-fold symmetry in the elements of
Heine's series|Proc. London Math. Soc.|24|1893|171-179|

\article 11|Rogers (L. J.)|On the expansion of some infinite products|Proc.
London Math. Soc.|24|1893|337-352|

\article 12|Rogers (L. J.)|Second memoir on the expansion of some infinite
products|Proc. London Math. Soc.|25|1894|318-343|

\article 13|Rogers (L. J.)|Third memoir on the expansion of some infinite
products|Proc. London Math. Soc.|26|1895|15-32|

\article 13|Szeg\"o (G.)|Ein Betrag zur Theorie der Thetafunktionen|Sitz.
Preuss. Akad. Wiss. Phys. Math.|19|1926|242-252|  



\bigskip\bigskip
\newbox\signe
\setbox\signe=\vtop{
\hbox{Jacques D\'ESARM\'ENIEN,}
\hbox{D\'epartement de math\'ematique,}
\hbox{Universit\'e Louis-Pasteur,}
\hbox{7, rue Ren\'e-Descartes,}
\hbox{F-67084 Strasbourg, France.}
}
\line{\hfill\box\signe\quad}

\bye
