CHARAKTERE ENDLICHER GRUPPEN

UND TEILBARKEITSFRAGEN

(ZUSAMMENFASSUNG)

Adalbert Kerber

G := endliche Gruppe mit ℂ-Darstellung D vom Charakter χ^{D}, mit

irreduzibler ℂ-Darstellung D_{i} vom Charakter ζ^{i} und Dimension

f^{i}, D_{1}:=Einsdarstellung.

S_{n} := symmetrische Gruppe auf {1, 2, …, n}, π ∈ S_{n}, a_{k}(π) := Anzahl

der k-Zyklen von π.

Dann gilt (vgl. Proc. Strasbourg 1976):

χ^{D▲_{n}D_{i}}(π) := \frac{1}{|G|} ∑_{g∈G} ζ^{i}(g^{−1}) ∏_{k=1}^{n} χ^{D}(g^{k})^{a_{k}(π)}

ist ein Charakter von S_{n}. Wir setzen

c_{i,n} := χ^{D_{i}▲_{n}D_{1}}((1 … n)) = \frac{1}{|G|} ∑_{g} ζ^{i}(g^{n}),

(so daß zum Beispiel c_{i,1} = δ_{i1}, c_{i,2} ∈ {±1, 0} je nach Art von D_{i}).

Diese Zahlen tauchen häufig auf bei Teilbarkeitsuntersuchungen. So gilt zum Beispiel

Satz. Sind n_{1}, …, n_{k} ∈ ℕ, k ≥ 2, C ⊆ G eine Konjugiertenklasse von G, so ist die Anzahl der Lösungen (g_{1}, …, g_{k}) ∈ G^{k} von

g_{1}^{n_{1}} ⋯ g_{k}^{n_{k}} ∈ C

gleich

|G| ∑_{i} (\frac{|G|}{f^{i}})^{k−2} ( ∏_{j} c_{i,n_{j}})\frac{|C|}{f^{i}}ζ^{i}(g^{−1}),

g ∈ C, also insbesondere teilbar durch |G| · ggT{(|G|/f^{i})^{k−2}}.

Für weitere Resultate dieser Art vgl. § 5.3 im Buch von James/Kerber [1], sowie [2].

Literatur

1. G. James and A. Kerber, The representation theory of the symmetric group, Encyclopedia of Math. and its Applications, Addison Wesley, Reading, Massachusetts, 1981.

2. A. Kerber and B. Wagner, Gleichungen in endlichen Gruppen, Archiv Math. 35 (1980), 252–263.

Universität Bayreuth, Lehrstuhl Mathematik II, D-95440 Bayreuth, Germany