%This is a plain TeX file that produces 16 output pages.

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%
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% fin du format local

%debut de l'article

\auteurcourant={D. DUMONT}
\titrecourant={MATRICES D'EULER-SEIDEL}

%\raggedbottom
{\eightpoint
\noindent
S\'eminaire Lotharingien de Combinatoire, B05c (1981)
}
\vskip-10pt
\vskip 1.5cm
\centerline{{\bf MATRICES D'EULER-SEIDEL}}
\vskip 2.8mm
\centerline{\sevenrm PAR}
\vskip 2.8mm
\centerline{{\petcap Dominique} DUMONT}
\vskip 1cm


\section 1. Introduction|Cet article est un recueil de tables de
calculs aux diff\'erences finies. Ce que nous nommons matrice
d'Euler-Seidel, c'est ce que des math\'ematiciens d'autrefois
comme Leibniz, Euler ou Seidel, construisaient lorsque partant
d'une suite de nombres, ils consid\'eraient la suite des diff\'erences
entre termes cons\'ecutifs, notant $\Delta$ l'op\'eration effectu\'ee
et it\'eraient le processus~[18].

Nous exposons d'abord les deux th\'eor\`emes d'Euler et de
Seidel, un peu oubli\'es quoique tr\`es \'el\'ementaires, puis les
appliquons aux exemples qui nous ont paru les plus
int\'eressants. Les exemples int\'eressants sont ceux o\`u la
matrice d'Euler-Seidel permet un calcul rapide (extr\^emement
facile \`a programmer sur ordinateur) de la suite d'entiers
initiale, qui par ailleurs a une interpr\'etation combinatoire.
Pour chaque exemple nous donnons la table des premi\`eres
valeurs, selon un principe cher aux praticiens des
d\'enombrements.

\sectiona 2. D\'efinition et propri\'et\'es \'el\'ementaires|

\rem D\'efinition|Soit $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n,\ldots$ une
suite d'\'el\'ements d'un anneau commutatif~$A$ (en fait ici des
nombres, des polyn\^omes ou des fractions rationnelles). On
appelle {\it matrice d'Euler-Seidel} associ\'ee \`a~$(a_n)$ la
suite double
$(a_n^k)$ $(n\ge 0, k\ge 0)$ donn\'ee par la r\'ecurrence
$$
\eqalign{a_n^0&=a_n\qquad\qquad\quad (n\ge 0),\cr
a_n^k&=a_n^{k-1}+a_{n+1}^{k-1}\quad (k\ge 1,n\ge 0).\cr}
\leqno(1)
$$

La suite $(a_n ^0)$ premi\`ere ligne de la matrice, est la suite initiale. La suite
$(a_0 ^n)$, premi\`ere colonne de la matrice, est la suite finale. Il r\'esulte
imm\'ediatement de (1) l'identit\'e
$$
a_n ^k = \sum_{i=0} ^k \pmatrix{ k \cr i \cr} a_{n+i} ^0
\leqno(2)
$$
En particulier, on passe de la suite initiale \`a la suite finale et
inversement par
$$\leqalignno{
a_0 ^n& =\sum_{i=0} ^n  { n \choose i} a_i ^0,&(3)\cr
a_n ^0 &= \sum_{i=0} ^n (-1) ^i { n \choose i} a_0 ^i .
&(4)\cr}
$$

\th Proposition 1 {\rm (Euler [11])}|Soit $a(t)=\Sigma  a_n ^0 t^n$ la
fonction g\'en\'e\-ratrice ordinaire de la suite initiale. Alors la
fonction g\'en\'eratrice ordinaire
$\overline{a}(t)$ de la suite finale est donn\'ee par
$$
\overline{a}(t) = \sum_{n\ge 0} a_0 ^n t^n ={1\over 1-t} a\Bigl({1\over
1-t}\Bigr).
\leqno(5)
$$
\finth

En effet, on sait que
$$\leqalignno{
{1\over (1-t) ^{n+1}} &=\sum_{k\ge 0} \pmatrix{ n+k \cr n\cr} t^k.
&(6)\cr
\noalign{\hbox{Par suite,}}
{1\over 1-t} a\Bigl({t\over 1-t}\Bigr) & = \sum_{n\ge 0} a_n ^0 { t^n
\over (1-t) ^{n+1}}\cr & = \sum_{n,k\ge 0} \pmatrix{ n+k \cr n\cr} a_n ^0
t^{n+k}\cr & = \sum_{m\ge 0} t^m (\sum_{n+k=m} \pmatrix{ m\cr n\cr} a_n
^0)\cr & = \sum_{m\ge 0} a_0 ^m t^m\cr
& = \overline{a} (t).\qed\cr
}$$

\th Proposition 2 ({\rm Seidel [28]})|Soit $A(t)=\sum_{n\ge 0} a_n ^0 {t^n
/ n!}$ la fonction g\'en\'eratrice exponentielle de la suite initiale.
Alors la fonction g\'en\'eratrice exponentielle de la suite finale est donn\'ee
par 
$$
\overline{A} (t)=\sum_{n\ge 0} a_0 ^n {t^n\over n!} = e^t A(t).
\leqno(7)
$$
\finth

En effet, d'apr\`es (3),
$$
\leqalignno{
\overline {A}(t) & =\sum_{n\ge 0} \Bigl(\sum_{i=0} ^n { n \choose i} a_i
^0\Bigr) {t^n
\over n!}\cr
& = \sum_{i,j\ge 0} {a_i ^0\over i!\,j!} t^{i+j} =e^tA(t).\cr
}$$ 

\rema| \decale 1)|On passe d'une proposition \`a l'autre par transformation de
Laplace formelle.

\decale 2)|On montre ais\'ement [8] que la fonction g\'en\'eratrice exponentielle double
de la matrice vaut
$$
\sum_{n,k\ge 0} a_n ^k {t^n\over n!} {u^k\over k!} =e^u A(t+u).
$$

\section 3. Matrices d'Euler-Seidel de nombres (exemples)|Nous
commencerons par traiter trois exemples o\`u les nombres sont
fractionnaires, puis nous aborderons les exemples avec des
entiers qui ont des interpr\'etations combinatoires.

\ssection $3.1$|Prenons $a_n^0=\displaystyle {(-1)^n\over n+1}$
$(n\ge 0)$. Alors $a(t)=\displaystyle {1\over t}\Log (1+t)$,
$\overline a(t)=-\displaystyle {1\over t}\Log (1-t)$,
$ A(t)=\displaystyle {1-e^{-t}\over t}$,
$\overline A(t)=\displaystyle {e^t-1\over t}$,
$a_n^0=\displaystyle {1\over n+1}$ et plus g\'en\'eralement,
$a_n^k=\displaystyle {(-1)^n\over (n+k+1){n+k\choose k}}$.
D'o\`u la matrice
$$
(ES1)\qquad
\vcenter{\halign{&\vrule height 20pt depth 5pt width 0pt
\hfil\quad $\displaystyle#$\quad \hfil\cr  
1&- {1\over 2}&+
{1\over 3}& - {1\over 4}&+ {1\over 5}&\ldots\cr
 {1\over 2}&- {1\over 6}&+ {1\over 12}&- {1\over 20}\cr 
{1\over 3}&- {1\over 12}&+ {1\over 30}\cr
{1\over 4}&- {1\over 20}\cr
{1\over 5}\cr}}
$$
Cette matrice est en g\'en\'eral attribu\'ee \`a Leibniz [6].

\ssection $3.2$| Cet exemple est d\^u \`a Euler [11].
$a_n ^0 =\displaystyle {(-1)^n \over 2n+1}\ (n\ge 0)$. On
constate rapidement que $a_n ^k =\displaystyle {(-1)^n 2.4
\dots (2k)\over (2n+1)(2n+3) \dots (2n+2k+1)}$. En particulier
$a_0 ^n =\displaystyle {2.4\dots (2n)\over 1.3.5 \dots (2n+1)}$.
$$
(ES2)\qquad
\vcenter{\halign{&\vrule height 20pt depth 5pt width 0pt
\hfil\quad $\displaystyle#$\quad \hfil\cr  
1&-{1\over 3}&+{1\over 5}&-{1\over 7}&\ldots\cr
{2\over 1.3}&-{2\over 3.5}&{2\over 5}\cr
{2.4 \over 1.3.5} & {-2.4 \over 3.5.7}\cr
{2.4.6 \over 1.3.5.7}\cr
}}
$$
Ainsi $a(t) =1-\displaystyle {t\over 3} + {t^2 \over 5} - {t^3
\over 7} + \cdots = t^{-1/ 2}\Arctg (t^{1/ 2})$.
D'o\`u, d'apr\`es la proposition 1,
$\overline{a}(t)=[t(1-t)]^{-1/ 2} 
\Arctg
\Bigl(\displaystyle {t\over 1-t}\Bigr)^{1/ 2}$.
En posant $t=x^2$, et en observant que $\Arctg \displaystyle {x \over
\sqrt {1-x^2}} =\Arcsin
x$, Euler d\'eduit
$$
{\Arcsin x\over \sqrt {1-x^2}} = x+ {2\over 3} x^3 +{2.4 \over 1.3.5} x^5 +
{2.4.6\over 1.3.5.7} x^7 + \cdots
$$

\ssection $3.3$|Prenons $a_0 ^0 =1$, $a_{2n} ^0 
=\displaystyle {1.3.5
\dots (2n-1)\over 2.4.6
\dots 2n}$ et $a_{2n-1} ^0 =0$ $(n\ge 1)$.
$$
\vcenter{\halign{&\vrule height 20pt depth 5pt width 0pt
\hfil\quad $\displaystyle#$\quad \hfil\cr  
1 & 0 & {1\over 2} & 0 & {1.3 \over 2.4} & \dots\cr
1 & {1\over 2} & {1\over 2} & {1.3 \over 2.4}\cr
{1.3\over 1.2} & 1 & {7\over 8} \cr
{1.3.5\over 1.2.3} & {15\over 8}\cr
{1.3.5.7\over 1.2.3.4}\cr
}}$$
Alors $a_0 ^n =\displaystyle {1.3.5\dots (2n-1)\over n!}$. En effet
$a(t)=\displaystyle {1\over \sqrt {1-t^2}}$, d'o\`u
$\overline{a}(t)={1\over\sqrt {1-2t}}$. En outre $A(t)=I_0 (t)$, fonction
modifi\'ee de Bessel, et $\overline{A}(t)=e^t I_0 (t)$. 

Nous abordons \`a pr\'esent les exemples de matrices \`a coefficients entiers. Laissons
en exercice les nombres de Fibonacci, et commen\c cons par les nombres de Bell :

\ssection $3.4$|Soit $a_n ^0=B_n$, nombre de {\it partitions d'un
ensemble} \`a $n$ \'el\'ements. On sait [6] que $A(t)=\exp({{e^t} -1}) $.
D'o\`u
$\overline{A}(t)=\exp({{e^t}-1+t}) = A' (t)$. Par suite $a_n ^0=a_0
^{n-1}$, d'o\`u un proc\'ed\'e de calcul simple des nombres de Bell [12,
21].

$$
(ES4)\qquad
\vcenter{\halign{&\vrule height 20pt depth 5pt width 0pt
\hfil\quad $\displaystyle#$\quad \hfil\cr  
1 & 1 & 2 & 5 & 15 & 52 & \dots \cr
2 & 3 & 7 & 20 \cr
5 & 10 & 27 \cr
15 & 37 \cr
52\cr
}}$$

\ssection $3.5$|Un exemple voisin est celui o\`u $a_n ^0$ est le
nombre de  {\it partitions ordonn\'ees} d'un ensemble \`a $n$
\'el\'ements (une partition ordonn\'ee est le couple form\'e
d'une partition et d'un ordre total sur les blocs de cette
partition). On montre que $A(t)=1/( 2-e^t)$. D'o\`u
$\overline{A}(t)=2A(t)-1$, et on a $a_0 ^n =2 a_n ^0$. En outre, dans
toute matrice d'Euler-Seidel $a_0 ^n = a_n ^0 + (a_{n-1} ^0 + a_{n-2}
^1 + a_{n-3} ^2 + \dots + a_0 ^{n-1}$). Dans ce cas particulier, on a
donc
$$
a_n ^0 = a_{n-1} ^0 + a_{n-2} ^1 + \dots + a_0 ^{n-1},
$$
d'o\`u un calcul rapide de ces nombres, \'etudi\'es par maints auteurs [1, 4, 12, 15, 16,
21, 29, 31, 32]

$$
(ES5)\qquad
\vcenter{\halign{&\vrule height 20pt depth 5pt width 0pt
\hfil\quad $\displaystyle#$\quad \hfil\cr  
1 & 1 & 3 & 13 & 75 & \dots \cr
2 & 4 & 16 \cr
6 & 20 \cr
26 \cr
}}$$

\vfill\eject
\ssection $3.6$|Consid\'erons \`a pr\'esent le cas o\`u $a_n ^0$
est le nombre d'applications $f$ {\it idempotentes} $(f \circ  f
=f)$ d'un ensemble \`a $n$
\'el\'ements dans lui-m\^eme [6, 17, 25]. Alors
$$
A(t) = e^{te^t}, \qquad \hbox{\rm d'o\`u}\qquad A'(t)=(1+t) e^t e^{te^t}=(1+t)
\overline{A}(t). 
$$
Donc $a_{n+1} ^0= a_0 ^n + n a_0 ^{n-1}$, et un rapide calcul de $a_n ^0$ [17].
$$
(ES6)\qquad
\vcenter{\halign{&\vrule height 20pt depth 5pt width 0pt
\hfil\quad $\displaystyle#$\quad \hfil\cr  
1 & 1 & 3 & 10 & 41 & 196 & \dots \cr
2 & 4 & 13 & 51 \cr
6 & 17 & 64 \cr
23 & 81 \cr
104\cr
}}$$

\ssection $3.7$|Si $a_n ^0$ est le nombre de permutations sans
point fixe, ou {\it d\'erangements}, d'un ensemble \`a $n$
\'el\'ements, alors $a_0 ^n$ vaut
$n!$, nombre de toutes les permutations [6, 24].
$$
A(t) ={e^{-t}\over 1-t},\quad \overline{A}(t) ={1\over 1-t}.
$$
Signalons que cette matrice d'Euler-Seidel est d\'ej\`a dans
Euler [10], mais priv\'ee de la ligne initiale ! Pour des
aspects combinatoires, voir [19] [35]. 
$$
(ES7)\qquad
\vcenter{\halign{&\vrule height 20pt depth 5pt width 0pt
\hfil\quad $\displaystyle#$\quad \hfil\cr  
1 & 0 & 1 & 2 & 9 & 44 & \dots \cr
1 & 1 & 3 & 11 &53 \cr
2 & 4 & 14 & 64 \cr
6 & 18 & 78\cr
24 & 96 \cr
120\cr
}}$$


\ssection $3.8$|Ainsi d'une mani\`ere g\'en\'erale, dans les
classes de permutations, on passe des ``sans point fixe", avec
une fonction g\'en\'eratrice $A(t)=e^{f(t)}$, o\`u
$f(0)=f'(0)=0$, aux ``avec points fixes" o\`u $\overline{A}(t)=e^{f(t)+t}$. A ce
sujet, voir [13].

Exemple : $a_n ^0$ est le nombre de permutations {\it
involutives}
$(p\circ p=\id)$ sans point fixe d'un ensemble \`a $n$ \'el\'ements, donc $a_n
^0=0$ si $n$ impair est $a_n ^0= 1.3.5\dots (n-1)$ si $n$ pair. Alors
$a_0 ^n$ est le nombre de toutes les permutations involutives.
$$
A(t) =e^{{t^2 / 2}},\quad \overline{A}(t)=e^{t+ {t^2/ 2}}.
$$
$$
(ES8)\qquad
\vcenter{\halign{&\vrule height 20pt depth 5pt width 0pt
\hfil\quad $\displaystyle#$\quad \hfil\cr  
1 & 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & 15 & \dots \cr
1 & 1 & 1 & 3 & 3 \cr
2 & 2 & 4 & 6 \cr
4 & 6 & 10\cr
10 & 16 \cr
26\cr
}}$$

\ssection $3.9$|Si $a_n ^0 =n!$, $a_0 ^n$ est le nombre ``d'arrangements" sur un
ensemble \`a $n$ \'el\'ements. $A(t)={1/( 1-t)}$, $A(t)={e^t/( 1-t)}$.

$$
(ES9)\qquad
\vcenter{\halign{&\vrule height 20pt depth 5pt width 0pt
\hfil\quad $\displaystyle#$\quad \hfil\cr  
1 & 1 & 2 & 6 & 24 & \dots \cr
2 & 3 & 8 & 30 \cr
5 & 11 & 38 \cr
16 & 49\cr
65\cr
}}$$

\ssection $3.10$.|Nous abordons \`a pr\'esent les exemples d\^us \`a Seidel
[28], qui ont pour caract\'eristique de concerner des suites d'entiers
altern\'ees. Si $a_0 ^0 =1$,
$a_{2n} ^0=0 (n\ge 1)$, et $a_{2n-1} ^0=(-1)^n T_{2n-1}$, nombre tangent, alors
$a_0 ^{2n}=(-1) ^n E_{2n}$, nombre s\'ecant.
$$
(ES10)\qquad
\vcenter{\halign{&\vrule height 20pt depth 5pt width 0pt
\hfil\quad $\displaystyle#$\quad \hfil\cr  
1 & -1 & 0 & 2 & 0 & -16 & 0 \cr
0 & -1 & 2 & 2 & -16 & -16\cr
-1 & 1 & 4 & -14 & -32\cr
0 & 5 & -10 & -46\cr
5 & -5 & -56\cr
0 & -61\cr
-61\cr
}}$$
$$
A(t)=1 -\tanh t={2\over e^{2t} +1},\quad \overline{A}(t) ={1\over
{\rm ch}\,t}.
$$
Si l'on repart des nombres s\'ecants comme suite initiale, on r\'eobtient les nombres
tangents, car si $A(t)=\displaystyle {1\over {\rm ch}\,t},\quad
\overline{A}(t)=1 +\tanh t$.
$$
(ES10')\qquad
\vcenter{\halign{&\vrule height 20pt depth 5pt width 0pt
\hfil\quad $\displaystyle#$\quad \hfil\cr  
1 & 0 & -1 & 0 & 5 & 0 & -61 \cr
1 & -1 & -1 & 5 & 5 & -61\cr
0 & -2 & 4 & 10 & -56\cr
-2 & 2 & 14 & -46\cr
0 & 16 & -32\cr
16 & -16\cr
0\cr
}}$$

\vfill\eject
\noindent
En fait, c'est en un certain sens la ``m\^eme" matrice. Sous la
deuxi\`eme forme elle est caract\'eris\'ee par les deux conditions suivantes : 

(E1) $A(x)$ est une fonction paire et $A(0)=1$.\par
(E2) $\bar A(x)-1$ est une fonction impaire.
En supprimant les signes et en d\'ecrivant la matrice en
diagonale, Seidel obtient le triangle suivant :
$$
\vcenter{\halign{&\vrule height 20pt depth 5pt width 0pt
\hfil\quad $\displaystyle#$\quad \hfil\cr  
    &    & 1\cr
    & \to & 1 & 1 \cr
    & 2 & 2 & 1 & \leftarrow \cr
\to  & 2 & 4 & 5 & 5 \cr
16 & 16 & 14 & 10 & 5 & \leftarrow \cr
}}$$
triangle qui permet un calcul rapide de nombres tangents et s\'ecants, et dont
Entringer a donn\'e l'interpr\'etation combinatoire [9].

\ssection $3.11$|Soit $A(t)=\displaystyle {2t\over 1+e^t}$. Alors
$a_0 ^0 =0$, $a_1 ^0=1$,
$a_{2n+1} ^0=0\ (n\ge 1)$, $a_{2n} ^0= (-1)^n G_{2n}$, o\`u $G_{2n}$
s'appelle nombre de Genocchi. D'o\`u $ \overline{A}(t)=-A(t)+2t$.
$$
(ES11)\qquad
\vcenter{\halign{&\vrule height 17pt depth 3pt width 0pt
\hfil\  $\displaystyle#$\  \hfil\cr  
0 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & -3 & 0 & 17 \cr
1 & 0 & -1 & 1 & 1 & -3 & -3 & 17 \cr
1 & -1 & 0 & 2 & -2 & -6 & 14 \cr
0& -1 & 2 & 0 & -8 & 8 \cr
-1 & 1 & 2 & -8 & 0\cr
0 & 3 & -6 & -8 \cr
3 & -3 & -14 \cr
0 & -17 \cr
-17 \cr
}}
$$

\vfill\eject
\noindent
On montre que les diagonales sont alternativement sym\'etriques et
antisym\'etriques. En particulier $a_n ^n =0,$ et Seidel en d\'eduit le triangle
suivant
 $$ \vcenter{\halign{&\vrule height 20pt depth 5pt width 0pt
\hfil\quad $\displaystyle#$\quad \hfil\cr  
 & 1\cr
\to  & 1 & 1 \cr
& 2 & 1 & \leftarrow\cr
\to  & 2 & 3 & 3 \cr
& 8 & 6 & 3 & \leftarrow\cr
\to  & 8 & 14 & 17 & 17\cr
}}$$
qui permet un calcul rapide des nombre de Genocchi ainsi que des nombres $|a_n
^{n-1}|$ q'uon peut appeler nombres de Genocchi de deuxi\`eme esp\`ece  [3].
On trouvera par ailleurs des interpr\'etations combinatoire de la matrice (ES
11) en [8] et [35].

\ssection $3.12$|Soit $A(t)=\displaystyle {t\over e^t -1}$, alors
$\overline{A}(t)=A(t) + t$,
$a_0 ^n = a_n ^0\quad (n\ge 2)$. Suites initiale et finale sont form\'ees
des nombres de Bernouilli. Mais la matrice de Seidel ne donne pas de
m\'ethode de calcul de ces nombres.
$$
(ES12)\qquad
\vcenter{\halign{&\vrule height 20pt depth 5pt width 0pt
\hfil\quad $\displaystyle#$\quad \hfil\cr  
1 & -{1\over 2} & {1\over 6} & 0 & -{1\over 30} & \dots \cr
{1\over 2} & -{1\over 3} & {1\over 6} & -{1\over 30} \cr
{1\over 6} & -{1\over 6} & {2\over 15} \cr
0 & -{1\over 30}\cr
-{1\over 30}\cr
}}
$$

\vfill\eject

\ssection $3.13$|Voici encore un exemple li\'e \`a (ES10) et (ES11), qui consiste
\`a prendre pour suite initiale $a_1 ^0=1$, $a_{2n} ^0 =(-1)^n 2n
T_{2n-1}=(-1)^n 2^{2n-1} G_{2n}\quad (n\ge 1)$, $a_{2n+1} ^0 =0\quad (n\ge
1)$. $$
(ES13)\qquad
\vcenter{\halign{&\vrule height 20pt depth 5pt width 0pt
\hfil\quad $\displaystyle#$\quad \hfil\cr  
0 & 1 & -2 & 0 & 8 & 0 & -96\cr
1 & -1 & -2 & 8 & 8 \cr
0 & -3 & 6 & 16\cr
-3 & 3 & 22\cr
0 & 25\cr
25\cr
}}$$
Donc $A(t)=\displaystyle {2t\over e^{2t} +1} =t-t \tanh t$,
$\overline{A}(t)=\displaystyle {t\over {\rm ch}\,t}$ et
$a_0 ^{2n+1} = (-1)^n (2n+1) E_{2n}$.

\section 4. Quelques extensions polynomiales|Nous nous limiterons aux extensions
les plus classiques en Combinatoire, et nous contenterons dans les tables de
donner les premi\`eres valeurs des suites initiale et finale. En effet, les matrices
de polyn\^omes ne fournissent en g\'en\'eral pas d'algorithme pour calculer la suite
initiale.

\ssection $4.1$. Polyn\^omes d'Appell|$A$ une suite initiale $(a_n ^0)$,
de fonctions g\'en\'eratrices $a(t)$ et $A(t)$, nous associons la suite des
polyn\^omes $(a_n(x))\ (n\ge 0)$ d\'efinis par
$$
a_n (x)=\sum_{i=0} ^n { n \choose i} a_i ^0 x^{n-i}.
$$
Ce sont les polyn\^omes d'Appell associ\'es \`a $(a_n ^0)$ [2]. On montre comme plus
haut que
$$
\leqalignno{
\sum a_n (x) t ^n & = {1\over 1-tx} a\Bigl( {t\over 1-tx}\Bigr), &
(8)\cr
\sum a_n (x) {t^n \over n!} & =e^{tx} A(t). & (9)\cr
}$$ 
Les polyn\^omes $a_n(x)$ sont une `interpolation", puisque 
$$
a_n (0)=a_n ^0, \quad a_n (1)=a_0 ^n.
$$
En outre, on a $a'_n (x)=n a_{n-1}(x)$, et ce sont des polyn\^omes de type binomial
[27]
$$
a_n (x+y) =\sum_{i=0} ^n 
\pmatrix{ 
n \cr 
i \cr
} 
a_i (x) a_{n-i} (y).
$$
Si l'on prend comme suite initiale d'une matrice de Seidel une suite de polyn\^omes
d'Appell $(a_n (x))$, la suite finale sera $(a_n(x+1))$.

Comme exemples, citons d'abord les polyn\^omes de Bernoulli, associ\'es aux nombres
de Bernoulli. On peut de m\^eme introduire des ``polyn\^omes de Genocchi" (\`a
coefficient pr\`es ce sont ceux qu'on appelle polyn\^omes d'Euler dans la
litt\'erature [6, 18]), d'autres ``polyn\^omes d'Euler" \`a partir de (ES10) ou
(ES10'). Introduits \`a partir de (ES7), on voit que les polyn\^omes
\'enum\'erateurs du nombre de points fixes sur les permutations ont pour
fonction g\'en\'eratrice  $\exp((x-1)t)/( 1-t)$, d'apr\`es (9).

De m\^eme, \`a partir de (ES8), $e^{xt+{t^2/ 2!}}$ est fonction
g\'en\'eratrice des polyn\^omes d'Hermite, qui \'enum\`erent les points fixes
sur les permutations involutives.

Si enfin nous consid\'erons le cas de la suite initiale de (ES3), nous voyons que
les polyn\^omes d'Appell associ\'es ont pour fonctions g\'en\'eratrices, d'apr\`es (8) et (9)
$$
\leqalignno{
\sum a_n (x) t^n & = {1\over \sqrt {1-2xt + (x^2-1) t^2}}, & (10) \cr
\sum a_n (x) {t^n \over n!} & = e^{xt} I_0 (t). & (11)\cr
\noalign{\hbox{L'\'equation (10) implique}}
a_n (x)& =(x^2 -1) ^{n/ 2} P_n \Bigl({x \over \sqrt{ x^2-1}}\Bigr),
&(12)\cr}
$$
o\`u $P_n$ est le polyn\^ome de Legendre. On trouvera une \'etude combinatoire des
polyn\^omes $n!a_n(x)$ en [7].

\ssectiona $4.2$. Autres extensions|
\decale a)|$a_n ^0 ={x^n / n!}$. Alors
$a(t) =e^{xt}$,
$A(t)=I_0 (2\sqrt xt)$. D'o\`u 
$\overline{a}(t)=(1/( 1-t))\exp(xt/( 1-t))$,
$\overline{A}(t)=e^t I_0 (2\sqrt xt)$. On a $a_0 ^n={1\over n!}$ $L_n ^{(0)} (-x)$,
o\`u $L_n ^{(0)}$ d\'esigne le polyn\^ome de Laguerre d'indice $0$.
En outre $a_1 ^n ={1\over (n+1)!} L_{n+1} ^{(-1)} (-x)$, dont les coefficients
sont appel\'es nombre de Lah [20], et \'enum\`erent les fonctions acycliques $f$ d'un
ensemble \`a $(n+1)$ \'el\'ements dans lui-m\^eme (c'est-\`a-dire telles que
$f^{n+1}=f^n)$ suivant le nombre de points fixes [13, 24].

\goodbreak
$$
(ES14)\qquad
\vcenter{\halign{&\vrule height 20pt depth 5pt width 0pt
\hfil\ $\displaystyle#$\  \hfil\cr  
1 & x & {x^2 \over 2!} & {x^3 \over 3!} & \dots \cr
1 + x & {2x^2 + x^2 \over 2!} & {3x^2 + x^3 \over 3!}\cr
{2+4x+x^2\over 2!} & {6x + 6x^2 + x^3 \over 3 !}\cr
{6 + 18x+9x^2 + x^3\over 3!}\cr
}}$$

\decale b)|Les polyn\^omes dits ``exponentiels" [6, 23], dont les
coefficients sont les nombres de Stirling de deuxi\`eme esp\`ece, qui
\'enum\`erent les partitions selon le nombre de blocs. C'est donc une
extension de (ES4) 
$$
\eqalign{
A(t)& =\exp(x(e^t-1)) = 1+xt+(x+x^2) {t^2 \over 2!} + (x+3x^2
+x^3) {t^3\over 3!}\cr
&\kern5cm{} + (x+7x^2 + 6x^3 + x^4) {t^4
\over 4!} +
\cdots \cr
\overline{A}(t) & ={1\over x} A'(t), \quad \hbox{\rm d'o\`u}\quad a_{n+1} ^0 = x a_0
^n.\cr
}$$
$$
\vcenter{\halign{&\vrule height 20pt depth 5pt width 0pt
\hfil\  $\displaystyle#$\  \hfil\cr  
1 & x & x+x^2 & x+3x^2+x^3 &  \dots \cr
1+x & 2x + x^2 & 2x+4x^2 + x^3\cr
1+3x+x^2 & 4x+5x^2 +x^3 \cr
1+7x+6x^2 +x^3\cr
}}$$

\decale c)|Une extension de (ES9) est donn\'ee par
$A(t)=e^{-x\Log(1-t)}$, fonction g\'en\'eratrice des polyn\^omes dont les
coefficients sont les nombres de Stirling de premi\`ere esp\`ece et
\'enum\`erent les permutations selon le nombre de cycles.
$$\eqalign{
e^{-x\Log(1-t)}& =1+xt+(x+x^2){t^2 \over 2!} +(2x + 3x ^2 +
x^3) {t^3 \over 3 !}\cr
&\qquad\qquad\qquad\qquad + (6x + 11 x^2 + 6 x ^3 + x^4 ){t^4
\over 4!}+\cdots\cr}
$$
Alors $\overline{A}(t)=e^{t-\Log(1-t)}$ est la fonction g\'en\'eratrice des polyn\^omes
de Charlier [5, 30]
$$
e^{t-x\Log(1-t)}=1+(1+x)t+(1+3x+x^2){t^2 \over 2!} +(1+8x+6x^2
+x^3){t^3\over 3!} +\cdots
$$

\goodbreak
\decale d)|Une extension de (ES7) est donn\'ee par les polyn\^omes de
Roselle [26] qui \'enum\`erent les {\it permutations sans point fixe}
selon le nombre de mont\'ees de cycle, c'est-\`a-dire d'entiers $i$ tels
que
$i<p(i)$.
$$\eqalign{
A(t) &={\exp(-t)\over 1-\displaystyle {\exp((x-1)t)\over x-1}}= 1+x
{t^2
\over 2!} + (x+x^2) {t^3\over 3!} + (x+7x^2 + x^3) {t^4 \over
4!}\cr &\kern5cm{} + (x+21
x^2 + 21 x^3 + x^4 ){t^5\over 5!}+\cdots\cr}
$$
Alors la suite finale est celle des polyn\^omes eul\'eriens [14, 24] qui \'enum\`erent les
permutations selon les mont\'ees larges de cycle $(i\le p(i))$.
$$\eqalign{
\overline{A}(t)&={1 \over 1 - \displaystyle {\exp((x-1)t) - 1 \over
x-1}}= 1 + t + (1+x) {t^2
\over 2!} + (1+4x+x^2) {t^3 \over 3!}\cr
&\kern5cm{} + (1 + 11 x + 11 x^2 +
x^3) {t^4 \over 4!} + \cdots\cr}
$$
Notons que cette matrice-l\`a est aussi une extension de (ES10'), qu'on r\'eobtient
en posant $x=-1$.

\medskip
\decale e)|Si on prend pour suite initiale les polyn\^omes eul\'eriens, on
obtient une matrice \'etendant \`a la fois (ES9) et (ES10).
$$
\eqalign{
A(t) & = { \exp((x-1)t) \over 
1-\displaystyle {\exp((x-1)t) -1 \over x-1}}\cr 
&= 1 + xt + (x+x^2) {t^2\over 2!} + (x + 4x^2 + x^3) {t^3
\over 3!}+\cdots\cr
\overline{A}(t) & = {\exp(xt) \over 1 - \displaystyle {\exp((x-1)t)
-1\over x-1}}\cr
& = 1 + (1+x) t + (1+3x+x^2) {t^2\over 2!}+
(1+7x+7x^2 t x^3) {t^3
\over 3!} \cr
&\kern3cm{} + (1+15x+33x^2 +15x^3 +x^1) {t^4\over 4!}+\cdots\cr
}$$

Les polyn\^omes de la suite finale sont, comme ceux de Roselle,
sym\'e\-triques et redonnant les nombres s\'ecants pour $x=-1$.

\decale f)|Parmi les extensions en fractions rationnelles, signalons la
suivante, de (ES1) :
$a_n ^0 =\displaystyle {(-1) ^{n+1}\over x+n}$, d'o\`u $ a_0 ^n
=\displaystyle { n!
\over x(x+1)\dots (x+n)}$ $(n\ge 0)$.

\vfill\eject

\vglue 44pt
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Rendic. di Palermo} (1908), 20-35|

\livre 30|G. Szeg\"o|Orthogonal polynomials|Amer. Math. Soc. Colloquim Publ.,
vol. 23 (1939) p. 33|

\article 31|W. J. Walker|Algebraic and combinatorial results for ranking
competitors in a sequence of races|Discr. Math|14|1976|297-304|

\livre 32|Whitworth|Choice and Chance|London (1934), p. 87|

}

  \tenpoint 

\vskip 1cm
\centerline{\bf Compl\'ements (1996)}

\medskip
R\'ecemment, V.I. Arnold a retrouv\'e et r\'einterpr\'et\'e le
triangle de Seidel des nombres d'Euler [33], puis introduit des
paires de tableaux permettant le calcul des nombres de Springer
[34]. On trouvera des paires de matrices de Seidel associ\'ees \`a
ces paires de tableaux dans [36], ainsi que d'autres exemples,
conduisant notamment \`a d\'efinir des nombres d'Euler
``m\'edians" qui sont une sorte d'analogue pour les nombres
d'Euler des nombres de Genocchi de deuxi\`eme esp\`ece.

  {\eightpoint \bigskip
\article 33|V.I. Arnold|Bernoulli-Euler updown numbers associated
with function singularities, their combinatorics and
arithmetics|Duke Math. Jour.| 63|1991|1537-1555| 

\article 34|V.I. Arnold|The calculus of snakes and the
combinatorics of Bernoulli, Euler and Springer numbers of
Coxeter groups| Russian Math. Surveys|47/1|1992|1-51|

\article 35|D. Dumont, A.
Randrianarivony|D\'erangements et nombres de Genocchi|Discrete
Math.|132|1994|37-49| 

\article 36|D. Dumont|Further triangles of Seidel-Arnold type and
Continued Fractions related to Euler and Springer numbers|
Advances in Applied Math.|16|1995|275-296|
 }

  \tenpoint 
\nobreak 
\vskip 1cm
\rightline{\vbox{\hbox{Dominique {\petcap Dumont},}
                 \hbox{D\'epartement de math\'ematique,}
                 \hbox{Universit\'e Louis Pasteur,}
                 \hbox{7, rue Ren\'e-Descartes,}
\hbox{F-67084 Strasbourg.}}\qquad}

\bye
