ELEMENTARE q-IDENTITÄTEN

J. Cigler

Ich möchte einen Überblick über einige einfache q-Identitäten geben, bei welchen man ohne Rückgriffe auf die Theorie der Partitionen oder Heineschen Reihen auskommt. Ich will mich vor allem bemühen, die Analogie mit der klassischen Analysis hervorzuheben und soweit wie möglich auch die ,,natürliche Umwelt“ der wichtigsten Formeln berücksichtigen. Um die wesentlichen Ideen zu verdeutlichen, möchte ich mich auf die charakteristischen ,,Normalfälle“ beschränken und solche Aspekte betonen, die mir besonders typisch erscheinen.

Wer sich ein wenig mit q-Identitäten beschäftigt hat, wird wahrscheinlich viele Dinge kennen. Ich hoffe aber, daß die hier gewählte Darstellung dazu beiträgt, die Theorie einfacher und leichter durchschaubar zu machen.

1. Grundlegende Tatsachen

Ich darf wohl davon ausgehen, daß die zugrundeliegende analytische Situation bekannt ist:

Der q-Differentiationsoperator D_{q}, der durch

(D_{q}f)(x) = \frac{f(qx) − f(x)}{qx − x}

definiert ist, stellt ebenso wie der Differenzenoperator Δ_{h}, definiert durch

(Δ_{h}f)(x) = \frac{f(x + h) − f(x)}{h},

ein diskretes Analogen des gewöhnlichen Differentiationsoperators dar.

Dabei ist die formale Analogie zur Differentialrechnung noch enger und interessanter als das bei der Differenzenrechnung der Fall ist. Insbesondere existieren für jeden speziellen Begriff der Analysis ein oder mehrere q-Analoga, die sich für q → 1 auf den Ausgangsbegriff reduzieren. Welches q-Analogon das ,,richtige“ ist, hängt von der gewählten Fragestellung ab. Wir wollen alle Formeln so formulieren, daß sie sich für q = 1 direkt auf die entsprechenden klassischen Formeln reduzieren.

1.1. Der q-Differentiationsoperator und seine Eigenschaften. Sei q eine feste von 0 und −1 verschiedene reelle Zahl. Sei P der Vektorraum aller Polynome über dem Körper ℂ der komplexen Zahlen und Q die Menge aller formalen Potenzreihen über ℂ. (Um Konvergenzfragen beziehungsweise tieferliegende analytische Probleme zu vermeiden, werden wir uns ausschließlich auf formale Potenzreihen beschränken. Das Symbol f(x) bedeutet daher immer eine formale Potenzreihe f(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + ⋯).

Wir definieren den q-Differentiationsoperator D für f(x) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}x^{k} ∈ Q durch

(1)  (Df)(x) = \frac{f(qx) − f(x)}{(q − 1)x} = ∑_{k=1}^{∞}[k]a_{k}x^{k−1},

wobei

(2)  [n] = 1 + q + q^{2} + ⋯ + q^{n−1} = \frac{q^{n} − 1}{q − 1}

gesetzt wurde.

Für q = 1 sind dabei die entsprechenden Limiten für q → 1 zu nehmen. Es ist klar, daß sich dann der übliche Differentiationsoperator ergibt, den wir mit D_{0} bezeichnen wollen.

Statt (Df)(x) schreiben wir auch kurz f′(x).

Führen wir den Operator ε auf Q ein durch

(3)  (εf)(x) = f(qx) ,

so gilt

(1’)  D = \frac{1}{(q − 1)x}(ε − 1) .

Hier bedeutet 1 die identische Abbildung und a(x) den Multiplikationsoperator, der durch a(x)f(x) = a(x)f(x) definiert ist. Wir werden in der Regel in Polynomen (oder formalen Potenzreihen), die als Multiplikationsoperatoren aufzufassen sind, die Variable x stets in Fettschrift darstellen, um sie von ,,gewöhnlichen“ Polynomen (oder formalen Potenzreihen), i.e. Elementen von P (oder Q), zu unterscheiden.

(Da f(qx) − f(x) = ∑_{k=1}^{∞} (q^{k} − 1) a_{k}x^{k} ein Vielfaches von x ist, kann durch x dividiert werden, ohne aus Q herauszukommen).

Es ist klar, daß D ein linearer Operator auf Q ist.

Wegen

\frac{a(qx)b(qx) − a(x)b(x)}{(q − 1)x} = \frac{a(qx)(b(qx) − b(x))}{(q − 1)x} + \frac{(a(qx) − a(x))b(x)}{(q − 1)x}

gilt

(a(x)b(x))′ = a(qx)b′(x) + a′(x)b(x) .

In Operatorschreibweise heißt das

(4)  D a(x) = a(qx)D + a′(x)

oder, wenn man a und b vertauscht,

(4’)  D a(x) = a(x)D + a′(x)ε .

Beachtet man, daß Dx^{k} = [k]x^{k−1} gilt, so folgt speziell

(5)  Dx^{k} − q^{k}x^{k}D = [k]x^{k−1}, k = 1, 2, 3, …

und

(5’)  Dx^{k} − x^{k}D = [k]x^{k−1}ε, k = 1, 2, 3, …

Für k = 1 reduziert sich das auf Dx − qxD = 1 beziehungsweise Dx − xD = ε.

Wendet man (5) beziehungsweise (5’) auf x^{n} an, n = 0, 1, 2, …, so ergeben sich die Formeln

(6)  [n + k] − q^{k}[n] = [k]

und

(6’)  [n + k] − [n] = [k]q^{n},

die natürlich auch sofort aus (2) abzulesen sind.

Wir benötigen im folgenden oft die q-Faktoriellen

[n]! = [1][2] ⋯ [n], [0]! = 1,

und die q-Binomialkoeffizienten

[ \begin{matrix}n \\ k \end{matrix} ] = \frac{[n]!}{[k]! [n − k]!}.

Wir führen nun auf P ein inneres Produkt ein durch

(7)  ⟨x^{k}, x^{l}⟩ = [k]! δ_{kl}, k, l = 0, 1, 2, …

Dieses läßt sich auch folgendermaßen beschreiben: Sei L das lineare Funktional auf Q, das durch

(8)  Lf(x) = f(0)

definiert ist. Dann gilt

(9)  ⟨x^{k}, x^{l}⟩ = LD^{k}x^{l} .

Es ist nun leicht zu sehen, daß das innere Produkt (7) auch auf den Fall erweitert werden kann, daß ein Faktor in Q liegt. Es gilt dann

(10)  ⟨a(x), b(x)⟩ = ⟨b(x), a(x)⟩ , a ∈ P, b ∈ Q .

Ist A ein linearer Operator, so definieren wir den transponierten Operator A^{t} durch

⟨A a(x), b(x)⟩ = ⟨a(x), A^{t}b(x)⟩ .

Dann gilt

(11)  (αA + βB)^{t} = αA^{t} + βB^{t}, (AB)^{t} = B^{t}A^{t} ,
x^{t} = D, D^{t} = x, ε^{t} = ε .

Speziell geht für a(x) = ∑ a_{k}x^{k} der Multiplikationsoperator a(x) auf Q in den Operator a(x)^{t} = ∑ a_{k}D^{k} auf P über, der durch (∑ a_{k}D^{k}) p(x) = ∑ a_{k}p^{(k)}(x) definiert ist. Aus (9) und (10) folgt dann die nützliche Formel

(12)  La(D)b(x) = Lb(D)a(x) für a ∈ P, b ∈ Q .

Versteht man unter a′(D) den Operator (a′(x))^{t}, so gilt

(12’)  Lf(D)x = LDf(x) = Lf′(x) = Lf′(D)1 .

Außerdem ist der Koeffizient a_{k} in den formalen Potenzreihen f(x) = ∑ a_{k}x^{k} gegeben durch

(13)  a_{k} = L\frac{D^{k}}{[k]!}f(x) = Lf(D)\frac{x^{k}}{[k]!} .

Jede Operatoridentität geht durch Transposition wieder in eine Operatoridentität über. Speziell gehen (4) und (4’) über in

(14)  a(D) x = x a(qD) + a′(D)

und

(14’)  a(D) x = x a(D) + ε a′(D).

Analog ergibt sich aus (5) und (5’)

(15)  D^{k}x − q^{k}xD^{k} = [k]D^{k−1}

und

(15’)  D^{k}x − xD^{k} = [k] εD^{k−1} .

Wendet man diese Identitäten auf x^{n} an, so ergeben sich die Rekursionsformeln für die q-Binomialkoeffizienten:

(16)  \left[{n + 1 \atop k}\right] − q^{k} \left[{n \atop k}\right] = \left[{n \atop k − 1}\right]

und

(16’)  \left[{n + 1 \atop k}\right] − \left[{n \atop k}\right] = q^{n−k+1} \left[{n \atop k − 1}\right] .

Im weiteren benötigen wir auch das q-Analogon der Leibnizschen Formel.

Da Df(ax) = af′(ax) gilt, zeigt man mit Induktion sofort, daß

(a(x)b(x))^{(n)} = ∑_{k=0}^{n} \left[{n \atop k}\right] a^{(n−k)} (q^{k}x) b^{(k)}(x)

gilt. Denn für n = 1 ist das richtig. Somit ist

(a(x)b(x))^{(n+1)} = ∑_{k=0}^{n} \left[{n \atop k}\right] a^{(n−k)} (q^{k+1}x) b^{(k+1)}(x)

+ ∑_{k=0}^{n} \left[{n \atop k}\right] q^{k}a^{(n+1−k)} (q^{k}x) b^{(k)}(x)

= ∑_{k=0}^{n+1} (\left[{n \atop k}\right] q^{k} + \left[{n \atop k − 1}\right]) a^{(n+1−k)} (q^{k}x) b^{(k)}(x) .

In Operatorschreibweise erhalten wir

(17)  D^{n}a(x) = ∑_{k=0}^{n} \left[{n \atop k}\right] a^{(n−k)} (q^{k}x)D^{k}

und

(17’)  D^{n}a(x) = ∑_{k=0}^{n} \left[{n \atop k}\right] a^{(k)}(x) ε^{k}D^{n−k} .

Bemerkung. Wir werden auch gelegentlich den Operator D_{α} benötigen, der durch

(18)  (D_{α}p) (x) = \frac{p (q^{α}x) − p(x)}{(q^{α} − 1) x}

definiert ist. Er erfüllt D_{α}x^{n} = [n]_{α}x^{n−1} mit

(19)  [n]_{α} = \frac{q^{nα} − 1}{q^{α} − 1} = \frac{[nα]}{[α]} .

1.2. Die q-Exponentialfunktion. Die eindeutig bestimmte formale Pontenzreihe f(x) mit Df = af und Lf = 1 ist gegeben durch f(x) = e(ax) mit

(1)  e(x) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}}{[n]!} .

Wir nennen e(x) die q-Exponentialfunktion.

Wegen

\frac{e(aqx) − e(ax)}{(q − 1)x} = a e(ax)

ist e(ax) auch charakterisiert durch

(2)  e(aqx) = (1 + (q − 1)ax)e(ax), e(0) = 1 .

Wir fragen nun etwas allgemeiner nach der Lösung der q-Differentialgleichung

Df(x) = ax f(x) mit Lf = 1.

Setzt man f(x) = ∑ a_{k}x^{k}, so muß aber gelten

∑[k]a_{k}x^{k−1} = ax ∑ a_{k}x^{k},

oder a_{0} = 1, a_{1} = a_{3} = a_{5} = … = 0,

[2k]a_{2k} = a · a_{2k−2}

⇒ a_{2k} = \frac{a^{k}}{[2] ⋯ [2k]} = (\frac{a}{[2]})^{k} \frac{1}{[k]_{2}!} .

Setzt man also allgemein

(3)  e_{α}(x) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}}{[n]_{α}!} ,

so ergibt sich, daß die eindeutig bestimmte Lösung der Gleichung

Df(x) = axf(x) mit Lf = 1

gegeben ist durch

f(x) = e_{2} (\frac{ax^{2}}{[2]} ) .

Es existieren eine Reihe von Beziehungen zwischen den verschiedenen e_{α}′s. Wir wollen hier nur zwei erwähnen:

(4)  \frac{1}{e_{α}(x)} = e_{−α}(−x) = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n}q^{α\binom{n}{2}} \frac{x^{n}}{[n]_{α}!} .

Es genügt natürlich, den Fall α = 1 zu behandeln. Aus (2) folgt

e (\frac{ax}{q}) = \frac{1}{1 + \frac{q−1}{q}ax}e(ax)

und daher

e_{−1}(−qx) = \frac{1}{1 − (1 − q)x}e_{−1}(−x)
⇒ e(qx)e_{−1}(−qx) = (1 + (q − 1)x)\frac{1}{1 + (q − 1)x}e(x)e_{−1}(−x)
⇒ D (e(x)e_{−1}(−x)) = 0
⇒ e(x)e_{−1}(−x) = 1,

d.h. (4).

Eine weitere nützliche Beziehung ist

(5)  e_{2} (\frac{x}{[2]}) e_{2} (\frac{qx}{[2]}) = e(x) .

Es ist nämlich

e_{2} (\frac{qx}{[2]}) e_{2} (\frac{q^{2}x}{[2]}) = e_{2} (\frac{qx}{[2]}) (1 + (q^{2} − 1) \frac{x}{[2]}) e_{2} (\frac{x}{[2]}) =

= (1 + (q − 1)x)e_{2} (\frac{x}{[2]}) e_{2} (\frac{qx}{[2]}) .

Aus (2) folgt die Behauptung.

Bemerkung. Man hätte (5) natürlich auch durch Koeffizientenvergleich beweisen können. Es ist nämlich allgemein

∑ \frac{a_{k}}{[k]!}x^{k} ∑ \frac{b_{l}}{[l]!}x^{l} = ∑ \frac{c_{n}}{[n]!}x^{n}

mit c_{n} = ∑ \left[{n \atop k}\right] a_{k}b_{n−k}.

Daher ist (5) äquivalent mit

(5’)  ∑_{k=0}^{n} \left[{n \atop k}\right]_{2} q^{k} = (1 + q) (1 + q^{2}) ⋯ (1 + q^{n}) .

Diese Formel läßt sich sehr leicht mit Induktion beweisen.

Aus 1.1. (14), (14’), (4), (4’) ergeben sich die folgenden nützlichen Formeln (man beachte Dε = qεD)

(6)  e(aD)x\frac{1}{e(aD)} = x + aε ,

(7)  \frac{1}{e(aD)} (xε^{−1}) e(aD) = (x − a)ε^{−1} ,

(8)  \frac{1}{e_{2} (−\frac{x^{2}}{[2]})}D e_{2} (−\frac{x^{2}}{[2]}) = D − xε ,

(9)  e_{2} (\frac{qx^{2}}{[2]} ) (ε^{−1}D) \frac{1}{e_{2} (\frac{qx^{2}}{[2]} )} = D_{−1} − xε^{−1} = ε^{−1}D − xε^{−1} .

1.3. Das q-Analogon der Polynome (x−a)^{n}. Die Polynome p_{n}(x, a) = (x−a)^{n} sind charakterisiert durch p_{n}(a, a) = δ_{n0} und D_{0}p_{n} = np_{n−1}. Um ein q-Analogon zu finden, stellen wir daher die folgende Frage:

Gibt es Polynome p_{n}(x, a) vom Grad n mit p_{n}(a, a) = δ_{n0} und Dp_{n} = [n]p_{n−1}? Wenn solche Polynome existieren, dann muß wegen

\frac{p_{n}(qx, a) − p_{n}(x, a)}{(q − 1)x} = Dp_{n}(x, a) = [n]p_{n−1}(x, a)

gelten

p_{n}(qx, a) = p_{n}(x, a) + (q^{n} − 1) xp_{n−1}(x, a)
⇒ p_{n}(qa, a) = 0 für n > 1
⇒ p_{n} (q^{i}a, a) = 0 für n > i
⇒ p_{n}(x, a) = (x − a)(x − qa) ⋯ (x − q^{n−1}a) .

Man überzeugt sich sehr leicht, daß diese Polynome tatsächlich alle Forderungen erfüllen.

Satz. Die eindeutig bestimmten Polynome n-ten Grades p_{n}(x, a) mit p_{n}(a, a) = δ_{n0} und Dp_{n} = [n]p_{n−1} sind gegeben durch p_{0}(x) ≡ 1 und

(1)  p_{n}(x, a) = (x − a)(x − qa) ⋯ (x − q^{n−1}a) , n ≥ 1.

Um die explizite Gestalt dieser Polynome zu finden, setzen wir

p_{n}(x, a) = ∑_{k=0}^{n} a_{nk}x^{k} .

Dann folgt aus 1.1. (13) und (1)

a_{nk} = L\frac{D^{k}}{[k]!}p_{n}(x, a) = L \left[{n \atop k}\right] p_{n−k}(x, a) = (−1)^{n−k}q^{\binom{n−k}{2}}a^{n−k} [ \begin{matrix}n \\ k \end{matrix} ]

und daher

(2)  p_{n}(x, a) = ∑_{k=0}^{n}(−1)^{n−k} \left[{n \atop k}\right] q^{\binom{n−k}{2}}a^{n−k}x^{k} .

Das läßt sich auch in der Gestalt

p_{n}(x, a) = ∑_{k=0}^{n}(−1)^{k}q^{\binom{k}{2}} \frac{a^{k}D^{k}}{[k]!} x^{n}

schreiben. Beachtet man 1.2. (4), so gilt also

(3)  p_{n}(x, a) = \frac{1}{e(aD)}x^{n} = e_{−1}(−aD)x^{n} .

Beachtet man, daß D^{n}e(xt) = t^{n}e(xt) ist, so folgt daraus

(4) ∑_{n=0}^{∞} \frac{p_{n}(x, a)}{[n]!}t^{n} = \frac{1}{e(aD)}e(xt) = \frac{e(xt)}{e(at)} .

Wegen

\frac{e(xt)}{e(at)} \frac{e(at)}{e(yt)} = \frac{e(xt)}{e(yt)}

folgt duch Koeffizientenvergleich

(5) ∑_{k=0}^{n} \left[{n \atop k}\right] p_{k}(x, a)p_{n−k}(a, y) = p_{n}(x, y) .

Die Polynome p_{n}(x, a) treten bei verschiedenen Problemen auf. So gilt z.B.

(6)  e (q^{n}x) = p_{n}(1, (1 − q)x)e(x) .

Das folgt sofort aus 1.2. (2). Damit wiederum erhält man

e(εz)e(xt) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{ε^{n}z^{n}}{[n]!} e(xt) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{z^{n}e (q^{n}xt)}{[n]!}

= ∑_{n=0}^{∞} \frac{p_{n}(1, (1 − q)xt)}{[n]!}z^{n}e(xt) = \frac{e(z)}{e((1 − q)xtz)}e(xt) ,

also

(7)  e(εz)e(xt) = \frac{e(z)e(xt)}{e((1 − q)xtz)} .

Eine weitere nützliche Formel ist

(8)  \frac{p_{n}(ε, 1)}{(q − 1)^{n}} = q^{\binom{n}{2}}x^{n}D^{n} .

Denn wendet man beide Seiten auf x^{r} an, r = 0, 1, 2, …, so ergibt sich in beiden Fällen

q^{\binom{n}{2}}[r][r − 1] ⋯ [r − n + 1]x^{r} .

1.4. Die Rogers–Szegő-Polynome. Die Polynome r_{n}(x, n) = (x + a)^{n} können auch durch D_{0}r_{n} = nr_{n−1} und Lr_{n}(x, a) = a^{n} charakterisiert werden. Das führt zu folgender Frage:

Gibt es Polynome r_{n}(x, n) n-ten Grades mit Dr_{n} = [n]r_{n−1} und Lr_{n}(x, a) = a^{n}? Wenn es solche Polynome gibt, so folgt r_{n}(x, a) = ∑_{k=0}^{n} a_{nk}x^{k} mit

a_{nk} = L\frac{D^{k}}{[k]!}r_{n}(x, a) = \left[{n \atop k}\right] Lr_{n−k}(x, a) = \left[{n \atop k}\right] a^{n−k} ,

also ist

r_{n}(x, a) = ∑_{k=0}^{n} \left[{n \atop k}\right] a^{n−k}x^{k} .

Satz. Die eindeutig bestimmten Polynome n-ten Grades r_{n}(x, a) mit Dr_{n} = [n]r_{n−1} und Lr_{n}(x, a) = a^{n} sind die Rogers–Szegő-Polynome

(1)  r_{n}(x, a) = ∑_{k=0}^{n} \left[{n \atop k}\right] a^{n−k}x^{k} = a^{n}r_{n} (\frac{x}{a}) mit r_{n}(x) = r_{n}(x, 1) .

Es gilt dann

r_{n}(x, a) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{a^{k}}{[k]!}D^{k}x^{n}

oder

(2)  r_{n}(x, a) = e(aD)x^{n}

und somit

(3)  ∑_{n=0}^{∞} \frac{r_{n}(x, a)}{[n]!}t^{n} = e(aD)e(xt) = e(at)e(xt) .

Aus (2) und 1.2. (6) ergibt sich

r_{n}(x, a) = e(aD)x^{n} \frac{1}{e(aD)}1 = (e(aD)x\frac{1}{e(aD)})^{n}1 = (x + aε)^{n}1

⇒ r_{n}(x, a) = (x + aε)^{n}1 . (4)

Aus (4) folgt

r_{n+1}(x, a) = (x + aε)r_{n}(x, a)
= (x + a)r_{n}(x, a) + a(ε − 1)r_{n}(x, a)
= (x + a)r_{n}(x, a) + a(q − 1)xDr_{n}(x, a)
= (x + a)r_{n}(x, a) + a(q^{n} − 1)xr_{n−1}(x, a)

also

(5)  r_{n+1}(x, a) = (x + a)r_{n}(x, a) + a (q^{n} − 1) xr_{n−1}(x, a) .

Die bekanntesten Spezialfälle sind für a = 1, x = 1

(6)  r_{n+1}(1) = 2r_{n}(1) + (q^{n} − 1) r_{n−1}(1)

mit r_{n}(1) = ∑_{k=0}^{n} \left[{n \atop k}\right] und die Gaußsche Identität (x = 1, a = −1)

(7)  ∑_{k=0}^{2n}(−1)^{k} \left[{2n \atop k}\right] = (1 − q)(1 − q^{3}) ⋯ (1 − q^{2n−1}) .

2. Der q-binomische Lehrsatz

Es gibt viele Formeln, die als q-binomischer Lehrsatz bezeichnet werden. Für mein Gefühl stellt der folgende Satz die einfachste und klarste Version dar:

Satz 1 (q-binomischer Lehrsatz). Seien A_{0} und A_{1} lineare Operatoren auf dem Vektorraum P mit A_{1}A_{0} = qA_{0}A_{1}. Dann gilt

(1)  (A_{0} + A_{1})^{n} = ∑_{k=0}^{n} \left[{n \atop k}\right] A_{0}^{k}A_{1}^{n−k} .

Beweis. Mit Induktion unter Verwendung von 1.1. (16) ergibt sich

(A_{0} + A_{1}) ∑_{k=0}^{n} \left[{n \atop k}\right] A_{0}^{k}A_{1}^{n−k} = ∑_{k=0}^{n+1} (\left[{n \atop k − 1}\right] + q^{k} \left[{n \atop k}\right]) A_{0}^{k}A_{1}^{n+1−k}

= ∑_{k=0}^{n+1} \left[{n + 1 \atop k}\right] A_{0}^{k}A_{1}^{n+1−k} .

Der entsprechende multinomische Lehrsatz ist gegeben durch

(2)  (A_{1} + A_{2} + ⋯ + A_{s})^{n} = ∑_{k_{1},k_{2},...,k_{s}≥0} \left[{n \atop k_{1}, k_{2}, …, k_{s}}\right] A_{1}^{k_{1}} ⋯ A_{s}^{k_{s}} .

Hier gilt A_{j}A_{i} = qA_{i}A_{j} für i < j und

\left[{n \atop k_{1}, …, k_{s}}\right] = \frac{[n]!}{[k_{1}]! ⋯ [k_{s}]!} falls ∑_{j=1}^{s} k_{j} = n .

Der Beweis folgt sofort mit Induktion nach s.

Einfache Beispiele für Operatorenpaare (A_{0}, A_{1}) mit A_{1}A_{0} = qA_{0}A_{1} sind (x^{a}ε^{b}, x^{c}ε^{d}) oder (ε^{d}D^{c}, ε^{b}D^{a}) mit ad − bc = 1, also etwa (x, ε), (x, xε), (xε, ε), (ε, D), (εD, D) und (ε, εD).

So folgt etwa

(x + aε)^{n} = ∑_{k=0}^{n} \left[{n \atop k}\right] x^{k}a^{n−k}ε^{n−k}

oder

(−xε + aε)^{n} = ∑_{k=0}^{n} \left[{n \atop k}\right] (−xε)^{k}(aε)^{n−k} .

Somit ist

(3)  p_{n}(a, x) = (−xε + aε)^{n}1 .

Durch Koeffizientenvergleich sieht man, daß Satz 1 äquivalent ist mit

Satz 2. Seien A_{0} und A_{1} lineare Operatoren auf P mit A_{1}A_{0} = qA_{0}A_{1}. Dann gilt

(4)  e (A_{0}t) e (A_{1}t) = e( (A_{0}t + A_{1}) t) .

Beispiele. 1) (A_{0}, A_{1}) = (x, −xε) liefert

e(x)e(−xε) = e(x(1 − ε))
⇒ e(x)e(−xε)1 = 1 weil (1 − ε)1 = 0 ist .

So erhalten wir

\frac{1}{e(x)} = e(−xε)1 = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n}q^{\binom{n}{2}} \frac{x^{n}}{[n]!} .

Das ist wohl der einfachste Beweis für dieses Resultat, welches wir in 1.2. (4) schon auf anderem Wege bewiesen hatten.

2) Für (A_{0}, A_{1}) = (x, aε) ergibt sich 1.4. (3).

3) Für (A_{0}, A_{1}) = (−xε, aε) folgt 1.3. (4).

Aus

∑_{n=0}^{∞} \frac{(A_{0} + A_{1})^{n}}{[n]!} t^{n} = e (A_{0}t) e (A_{1}t) = e (A_{0}t) e (at) \frac{e (A_{1}t)}{e (at)} =

= ∑_{n=0}^{∞} \frac{r_{n} (A_{0}, a)}{[n]!}t^{n} · ∑_{n=0}^{∞} \frac{p_{n} (A_{1}, a)}{[n]!}t^{n}

folgt durch Koeffizientenvergleich der

Satz 3. Gilt A_{1}A_{0} = qA_{0}A_{1}, dann gilt

(5)  (A_{0} + A_{1})^{n} = ∑_{k=0}^{n} \left[{n \atop k}\right] r_{k} (A_{0}, a) p_{n−k} (A_{1}, a) .

Beispiel. Wählt man (A_{0}, A_{1}) = (x, ε), so folgt

(6)  (x + ε)^{n} = ∑_{k=0}^{n} \left[{n \atop k}\right] r_{k}(x)p_{n−k}(ε, 1)

Aus 1.4. (4) und 1.3. (8) folgt daraus z.B. die Carlitzsche Formel

(7)  r_{m+n}(x) = (x + ε)^{n}r_{m}(x)

= ∑_{k=0}^{n} \left[{n \atop k}\right] \left[{m \atop k}\right] [k]! (q − 1)^{k}q^{\binom{k}{2}}x^{k}r_{n−k}(x)r_{m−k}(x) .

Aus 1.4. (3), 1.3. (7) und 1.4. (4) ergibt sich sehr einfach das folgende Resultat von L. J. Rogers (1893)

(8)  ∑_{n=0}^{∞} \frac{r_{n}(x, a)r_{n}(y, b)}{[n]!}t^{n} = \frac{e(abt)e(btx)e(aty)e(xyt)}{e((1 − q)xyabt^{2})} .

Beweis.

∑_{n=0}^{∞} \frac{r_{n}(x, a)r_{n}(y, b)}{[n]!}t^{n} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{r_{n}(y, b)}{[n]!}t^{n}(x + aε)^{n}1

= e(yt(x + aε))e(bt(x + aε))1 = e(ytx)e(yatε)e(btx)e(abtε)1 = e(ytx)e(yatε)e(btx)e(abt)

= e(abt)e(ytx)\frac{e(yat)}{e((1 − q)btxyat)}e(btx)

= \frac{e(abt)e(btx)e(aty)e(xyt)}{e((1 − q)xyabt^{2})} .

Beachtet man, daß

(A_{0} + A_{1})^{2} = (A_{0}^{2} + qA_{0}A_{1}) + (A_{0}A_{1} + A_{1}^{2})

gilt, und daß

(A_{0}A_{1} + A_{1}^{2}) (A_{0}^{2} + qA_{0}A_{1}) = q^{2} (A_{0}^{2} + qA_{0}A_{1}) (A_{0}A_{1} + A_{1}^{2})

ist, so folgt

e_{2}( (A_{0} + A_{1})^{2} ) = e_{2} (A_{0}^{2} + qA_{0}A_{1}) e_{2} (A_{0}A_{1} + A_{1}^{2}) .

Aus A_{0}A_{1}A_{0}^{2} = q^{2}A_{0}^{3}A_{1} und A_{1}^{2}A_{0}A_{1} = q^{2}A_{0}A_{1}^{3} folgt weiter

e_{2}( (A_{0} + A_{1})^{2} ) = e_{2} (A_{0}^{2}) e_{2} (qA_{0}A_{1}) e_{2} (A_{0}A_{1}) e_{2} (A_{1}^{2}) .

Aus 1.2. (5) folgt daraus der Satz 4. Gilt A_{1}A_{0} = qA_{0}A_{1}, dann ist

e_{2}( (A_{0} + A_{1})^{2} ) = e_{2} (A_{0}^{2}) e ([2]A_{0}A_{1}) e_{2} (A_{1}^{2}) .

Speziell gilt

e(tD)e_{2} (\frac{x^{2}}{[2]}) = e_{2} (\frac{(x + εt)^{2}}{[2]} ) 1 = e_{2} (\frac{x^{2}}{[2]}) e(xεt) e_{2} (\frac{ε^{2}t^{2}}{[2]} ) 1

und daher

(9)  \frac{1}{e_{2} (\frac{x^{2}}{[2]})}e(tD) e_{2} (\frac{x^{2}}{[2]}) = \frac{e_{2} (\frac{t^{2}}{[2]})}{e(−xt)} .

Ersetzt man hier q durch \frac{1}{q}, so erhält man wegen D_{−1} = ε^{−1}D

(10)  e_{2} (\frac{qx^{2}}{[2]} ) \frac{1}{e(ε^{−1}Dt)} \frac{1}{e_{2} (\frac{qx^{2}}{[2]} )} = \frac{e(xt)}{e_{2} (\frac{qt^{2}}{[2]} )} .

3. Die q-Hermite-Polynome

3.1. Vorbemerkungen. Die klassischen Hermite-Polynome h_{n}(x) können durch die erzeugende Funktion

∑_{n=0}^{∞} \frac{h_{n}(x)}{n!}t^{n} = e^{tx− \frac{t^{2}}{2}}

definiert werden. Sie sind Polynome n-ten Grades, die durch

h_{n}(x) = e^{−D_{0}^{2}/2}x^{n} = (x − D_{0})^{n} 1 = e^{x^{2}/2} (−D_{0})^{n} e^{−x^{2}/2}

gegeben sind.

Sie erfüllen die Rekursion h_{0}(x) ≡ 1, h_{1}(x) = x,

h_{n+1}(x) = xh_{n}(x) − nh_{n−1}(x)

und die Gleichung D_{0}h_{n} = nh_{n−1}.

Sie sind außerdem orthogonal bezüglich des inneren Produktes

[f(x), g(x)] = ∫_{−∞}^{∞} f(x)g(x)e^{−x^{2}/2}dx .

Wir suchen ein q-Analogon, welches womöglich alle diese Eigenschaften in geeigneter q-Version besitzt. Soviel mir bekannt ist, gibt es bis auf unwesentliche Normierungen, nur zwei Arten von q-Hermite-Polynomen, die sich als brauchbar erwiesen haben.

Wir wollen zunächst die erste Version H_{n}(x) betrachten, die auf L. J. Rogers zurückgeht. Sie kann folgendermaßen motiviert werden: Wir wollen, daß ∑_{n=0}^{∞} \frac{H_{n}(x)}{[n]!}t^{n}

ein q-Analogon von e^{tx−t^{2}/2} ist. Diese Funktion genügt der Differentialgleichung D_{0}f(x, t) = (x − t)f(x, t), wobei D_{0} die Ableitung nach t bedeutet.

Wir suchen also jene Polynomfolge H_{n}(x), für welche gilt

\frac{d}{dt} ∑_{n=0}^{∞} \frac{H_{n}(x)}{[n]!}t^{n} = (x − t) ∑_{n=0}^{∞} \frac{H_{n}(x)}{[n]!}t^{n}

oder

∑_{n=0}^{∞} \frac{H_{n+1}(x)}{[n]!}t^{n} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{xH_{n}(x)}{[n]!}t^{n} − ∑_{n=1}^{∞} \frac{H_{n−1}(x)}{[n − 1]!}t^{n} .

Das ergibt mit H_{0}(x) ≡ 1, H_{1}(x) = x und

H_{n+1}(x) = xH_{n}(x) − [n]H_{n−1}(x) .

Daraus wieder ergibt sich die Orthogonalität bezüglich eines geeigneten Funktionals.

Es besteht ein enger Zusammenhang mit den Rogers–Szegő-Polynomen. Es ist nämlich

H_{n} (\frac{2}{\sqrt{1 − q}} cos Θ) \sqrt{(1 − q)^{n}} = r_{n} (e^{iΘ}, e^{−iΘ}) ,

denn beide Seiten erfüllen die Rekursion

B_{n+1}(cos Θ) = 2 cos Θ B_{n}(cos Θ) + (q^{n} − 1) B_{n−1}(cos Θ)

und B_{0} = 1, B_{1}(cos Θ) = 2 cos Θ.

Es lassen sich daher alle Aussagen über die Polynome r_{n} auf diese Klasse von Hermite-Polynomen übertragen. So ergibt sich etwa aus 2. (7)

H_{m+n}(x) = ∑_{k≥0} \left[{n \atop k}\right] \left[{m \atop k}\right] [k]! (−1)^{k}q^{\left[{k \atop 2}\right]}H_{n−k}(x)H_{m−k}(x) .

Allerdings besteht kein einfaches q-Analogon zur Gleichung D_{0}h_{n} = nh_{n−1} und daher ist dieses q-Analogon vom Standpunkt der Analogie zur klassischen Analysis aus doch nicht ganz ideal.

Um ein q-Analogon zu finden, das alle Eigenschaften erfüllt, suchen wir eine Polynomfolge h_{n} mit Dh_{n} = [n]h_{n−1}, welche orthogonal bezüglich eines geeigneten linearen Funktionals F ist, für die also F (h_{k}(x)h_{l}(x)) = 0 für k ≠ l und F (h_{k}^{2}(x)) ≠ 0 ist. Da xh_{n}(x) = ∑_{k=0}^{n+1} a_{nk}h_{k}(x) gelten muß und F (h_{n}(x)(xh_{k}(x))) = 0 ist für k < n−1, gilt

a_{nk}F (h_{k}^{2}(x)) = F (xh_{n}(x)h_{k}(x)) = 0 für k < n − 1.

Setzen wir der Einfachheit halber a_{nn} = 0, so erhalten wir

xh_{n}(x) = h_{n+1}(x) + a_{n,n−1}h_{n−1}(x) .

(Wegen Dh_{n} = [n]h_{n−1} und Dx^{n} = [n]x^{n−1} muß a_{n,n+1} = 1 sein.) Wenden wir auf diese Gleichung D an, so ergibt sich

qx[n]h_{n−1}(x) + h_{n}(x) = [n + 1]h_{n}(x) + [n − 1]a_{n,n−1}h_{n−2}(x)

⇒ xh_{n−1}(x) = h_{n}(x) + \frac{[n − 1]}{q[n]}a_{n,n−1}h_{n−2}(x).

Durch Vergleich mit der ursprünglichen Gleichung schließen wir

\frac{[n]}{q[n + 1]}a_{n+1,n} = a_{n,n−1}.

Das bedeutet a_{n,n−1} = [n]q^{n−1}a mit a = a_{10}. Somit erhalten wir

xh_{n}(x) = h_{n+1}(x) + [n]q^{n−1}ah_{n−1}(x).

Beachtet man Dh_{n+1}(x) = [n + 1]h_{n}(x), so folgt daraus und der vorhergehenden Gleichung nach kurzer Umformung

h_{n+1}(qx) = q^{n+1}xh_{n}(x) − q^{n−1}aDh_{n}(x)

und schließlich

h_{n+1}(x) = q^{n} (xε^{−1} − \frac{a}{q}ε^{−1}D) h_{n}(x) .

Wählen wir a = q, so ergibt sich aus 1.2. (9) und 2. (10)

∑_{n=0}^{∞} \frac{h_{n}(x)}{[n]!}t^{n} = \frac{e(xt)}{e_{2} (\frac{qt^{2}}{[2]} )} .

3.2. Die q-Hermite-Polynome h_{n}(x). Wir definieren also die q-Hermite-Poly-nome h_{n}(x) durch die erzeugende Funktion

(1)  ∑_{n=0}^{∞} \frac{h_{n}(x)}{[n]!}t^{n} = \frac{1}{e_{2} (\frac{qt^{2}}{2} )}e(xt) = e_{−2} (−\frac{t^{2}}{[2]}_{−1}) e(xt) .

Aus dieser Definition liest man sofort ab, daß

(2)  Dh_{n} = [n]h_{n−1}

und

(3)  h_{n}(x) = \frac{1}{e_{2} (\frac{qD^{2}}{[2]} )}x^{n}

gilt.

Aus 1. (14’) folgt

e_{2} (\frac{qD^{2}}{[2]} ) x − x e_{2} (\frac{qD^{2}}{[2]} ) = εqD e_{2} (\frac{qD^{2}}{[2]} )

⇒ \frac{1}{e_{2} (\frac{qD^{2}}{[2]} )}x e_{2} (\frac{qD^{2}}{[2]} ) = x − \frac{1}{e_{2} (\frac{qD^{2}}{[2]} )}εqD e_{2} (\frac{qD^{2}}{[2]} )

⇒ h_{n+1}(x) = (x − \frac{1}{e_{2} (\frac{qD^{2}}{[2]} )}εqD e_{2} (\frac{qD^{2}}{[2]} )) h_{n}(x)

= xh_{n}(x) − \frac{1}{e_{2} (\frac{qD^{2}}{[2]} )}εq[n]x^{n−1}

= xh_{n}(x) − q^{n}[n]h_{n−1}(x) = (x − q^{n}D) h_{n}(x) .

⇒ h_{n+1}(x) = xh_{n}(x) − q^{n}[n]h_{n−1}(x) (4)

⇒ h_{0}(x) = 1
h_{1}(x) = x
h_{2}(x) = x^{2} − q
h_{3}(x) = x^{3} − [3]qx .

Weiters folgt

(5)  h_{n}(x) = (x − q^{n−1}D) (x − q^{n−2}D) ⋯ (x − D)1 .

Aus (4) ergibt sich

(6)  Lh_{n} = −q^{n−1}[n − 1]Lh_{n−2}

und daher

(6’)  Lh_{2n+1} = 0 und Lh_{2n} = (−1)^{n}[2n − 1]!! q^{n^{2}}

mit [2n − 1]!! = [1][3] ⋯ [2n − 1]. Damit diese (und spätere) Formeln auch für n = 0 sinnvoll sind, setzen wir [−1]!! = 1.

Nun können wir die Koeffizienten a_{nk} in

h_{n}(x) = ∑_{k=0}^{n} a_{nk}x^{n−k}

berechnen:

a_{nk} = \frac{1}{[n − k]!}LD^{n−k}h_{n}(x) = \left[{n \atop k}\right] Lh_{k} .

Das ergibt

a_{n,2k+1} = 0
a_{n,2k} = \left[{n \atop 2k}\right] (−1)^{k}q^{k^{2}}[2k − 1]!! .

Insgesamt also

(7)  h_{n}(x) = ∑_{0≤2k≤n}(−1)^{k}q^{k^{2}} \left[{n \atop 2k}\right] [2k − 1]!! x^{n−2k} .

Als nächstes zeigen wir, daß h_{n} bezüglich des linearen Funktionals

(8)  F (p) = ⟨p(x), e_{2} (\frac{qx^{2}}{[2]} )⟩ = ⟨e_{2} (\frac{qD^{2}}{[2]} ) p(x), 1⟩ =

= Le_{2} (\frac{qD^{2}}{[2]} ) p(x)

orthogonal ist. Zunächst ist klar, daß

F (h_{n}) = Le_{2} (\frac{qD^{2}}{[2]} ) h_{n} = Lx^{n} = δ_{n0}

ist. Aus (4) ergibt sich F (xh_{n}(x)) = 0 für n > 1. Mit Induktion folgt (x^{k}h_{n}(x)) = 0 für n > k, daher gilt

F (h_{n}(x)h_{k}(x)) = 0 für n ≠ k .

Nun wollen wir F (h_{n}(x)h_{n}(q^{k}x)) berechnen. Nach (4) gilt für jedes k ∈ ℤ

F (h_{n}(x)h_{n}(q^{k}x)) = F (h_{n}(x) (q^{k}xh_{n−1}(q^{k}x) − q^{n−1}[n − 1]h_{n−2}(q^{k}x)))
= q^{k}F (xh_{n}(x)h_{n−1}(q^{k}x))
= q^{k}F ((h_{n+1}(x) + q^{n}[n]h_{n−1}(x)) h_{n−1}(q^{k}x))
= q^{k+n}[n]F (h_{n−1}(x)h_{n−1}(q^{k}x)) .

Daraus erhalten wir

(9)  F (h_{n}(x)h_{n}(q^{k}x)) = [n]! q^{\binom{n+1}{2}+nk} .

Beachtet man, daß Dh_{n+1} = [n + 1]h_{n} ist, so folgt durch Kombination mit (4)

(10)  h_{n+1}(qx) = q^{n+1}xh_{n}(x) − q^{n}[n]h_{n−1}(x)
⇒ εh_{n+1}(x) = q^{n}(qx − D)h_{n}(x)
⇒ h_{n+1}(x) = q^{n} (xε^{−1} − ε^{−1}D) h_{n}(x)
(11)  ⇒ h_{n}(x) = q^{\binom{n}{2}} (xε^{−1} − ε^{−1}D)^{n} 1
(12)  ⇒ h_{n}(x) = (x − qD) (x − q^{3}D) ⋯ (x − q^{2n−1}D) 1.

Aus 1.2. (9) und (11) ergibt sich

(13)  h_{n}(x) = q^{\binom{n}{2}}e_{2} (\frac{qx^{2}}{[2]} ) (−ε^{−1}D)^{n} \frac{1}{e_{2} (\frac{qx^{2}}{[2]} )}

= q^{\binom{n}{2}}e_{2} (\frac{qx^{2}}{[2]} ) (−D_{−1})^{n} e_{−2} (−\frac{x^{2}}{[2]_{−1}} ) .

Aus der Leibnizschen Formel ergibt sich nun

(xε^{−1} − ε^{−1}D)^{n} = (−1)^{n}e_{2} (\frac{qx^{2}}{[2]} ) ∑_{k=0}^{n} \left[{n \atop k}\right]_{−1} D_{−1}^{k}e_{−2} (\frac{x^{2}}{[2]_{−1}} ) · ε^{−k}D_{−1}^{n−k}

= (−1)^{n} ∑_{k=0}^{n} \left[{n \atop k}\right] (−1)^{k}q^{−\binom{k}{2}}h_{k}(x) (ε^{−1}D)^{n−k} ε^{−k}

⇒ q^{\binom{n}{2}} (xε^{−1} − ε^{−1}D)^{n} = ∑_{k=0}^{n}(−1)^{k} \left[{n \atop k}\right] h_{n−k}(x)ε^{−n}D^{k} (14)
⇒ h_{m+n}(x) = q^{\binom{m+n}{2}−\binom{n}{2}−\binom{m}{2}} ∑_{k=0}^{n}(−1)^{k} \left[{n \atop k}\right] h_{n−k}(x)ε^{−n}D^{k}h_{m}(x)

= q^{mn} ∑_{k=0}^{n}(−1)^{k} \left[{n \atop k}\right] \left[{m \atop k}\right] [k]! h_{n−k}(x)h_{m−k} (\frac{x}{q^{n}} )

(15)  ⇒ h_{m+n}(x) = q^{mn} ∑_{k≥0}(−1)^{k} \left[{n \atop k}\right] \left[{m \atop k}\right] [k]! h_{n−k}(x)h_{m−k} (\frac{x}{q^{n}} ) .

3.3. Die Mehlersche Formel. Für die klassischen Hermite-Polynome gilt die Mehlersche Formel

∑_{n=0}^{∞} \frac{h_{n}(x)h_{n}(y)}{n!}t^{n} = \frac{1}{\sqrt{1 − t^{2}}} e^{\frac{xyt}{1−t^{2}}} e^{− \frac{t^{2}}{2} \frac{x^{2}+y^{2}}{1−t^{2}}} .

Wir wollen nun das folgende q-Analogon beweisen.

Satz (Mehlersche Formel für q-Hermite-Polynome). Es gilt

(1) ∑_{n=0}^{∞} \frac{h_{n}(x)h_{n}(y)}{[n]! q^{\binom{n+1}{2}}}t^{n} = ∑_{m=0}^{∞} \frac{[2m − 1]!!}{[2m]!!} (\frac{t^{2}}{q} )^{m}

× e (xyη^{−1} \frac{t}{1 − \frac{t^{2}}{q}} ) e_{2} (\frac{x^{2}}{[2]}η^{−1} \frac{t^{2}}{\frac{t^{2}}{q} − 1}) e_{2} (\frac{y^{2}}{[2]}η^{−1} \frac{t^{2}}{\frac{t^{2}}{q} − 1}) 1 ,

wobei η durch ηf(t) = f(qt) definiert ist.

Beweis. Sei

f(x, y, t) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{h_{n}(x)h_{n}(y)}{[n]! q^{\binom{n+1}{2}}}t^{n}.

Dann gilt

(2) f(0, 0, t) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{h_{2n}^{2}(0)}{[2n]! q^{\binom{2n+1}{2}}} t^{2n}

= ∑_{n=0}^{∞} \frac{q^{2n^{2}} ([2n − 1]!!)^{2}}{[2n]! q^{n(2n+1)}} t^{2n} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{[2n − 1]!!}{[2n]!!} (\frac{t^{2}}{q} )^{n} .

(Zur Erinnerung: Wir hatten [−1]!! = 1 vereinbart.) Weiters ist

(3)  ηD_{x}f(x, y, t) = (\frac{ty}{1 − t^{2}} − \frac{t^{2}x}{1 − t^{2}} ) f(x, y, t) .

Es ist nämlich

D_{x}f(x, y, t) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{h_{n−1}(x)h_{n}(y)}{[n − 1]! q^{\binom{n+1}{2}}} t^{n}

⇒ ηD_{x}f(x, y, t) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{h_{n−1}(x)h_{n}(y)}{[n − 1]! q^{\binom{n}{2}}}t^{n}
⇒ ηD_{y}f(x, y, t) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{h_{n}(x)h_{n−1}(y)}{[n − 1]! q^{\binom{n}{2}}}t^{n}
⇒ (ηD_{x} + tηD_{y}) f(x, y, t) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{h_{n−1}(x) (h_{n}(y) + [n − 1]q^{n−1}h_{n−2}(y))}{[n − 1]! q^{\binom{n}{2}}}t^{n}

= ∑_{n=1}^{∞} \frac{h_{n−1}(x)yh_{n−1}(y)}{[n − 1]! q^{\binom{n}{2}}}t^{n} = ytf(x, y, t)

(4) ⇒ (ηD_{x} + tηD_{y}) f(x, y, t) = ytf(x, y, t)

(ηD_{y} + tηD_{x}) f(x, y, t) = xtf(x, y, t) (4’)

⇒ ηD_{x}f(x, y, t) = (yt − tηD_{y})f(x, y, t)
= (yt − xt^{2} + t^{2}ηD_{x}) f(x, y, t)

und daraus folgt (3).

Durch (2) und (3) ist f(x, y, t) eindeutig festgelegt, da f(x, 0, t) eindeutig bestimmt ist. Wegen f(0, y, t) = f(y, 0, t) ist daher auch f(x, y, t) eindeutig bestimmt.

Es genügt daher zu zeigen, daß die rechte Seite von (1) ebenfalls (2) und (3) erfüllt.

Nun ist

D_{x}e (xyη^{−1} \frac{t}{1 − \frac{t^{2}}{q}} ) e_{2} (\frac{x^{2}}{[2]}η^{−1} \frac{t^{2}}{\frac{t^{2}}{q} − 1}) =

= e (qxyη^{−1} \frac{t}{1 − \frac{t^{2}}{q}} ) (xη^{−1} \frac{t^{2}}{\frac{t^{2}}{q} − 1}) e_{2} (\frac{x^{2}}{[2]}η^{−1} \frac{t^{2}}{\frac{t^{2}}{q} − 1}) +

+ yη^{−1} \frac{t}{1 − \frac{t^{2}}{q}} e (xyη^{−1} \frac{t}{1 − \frac{t^{2}}{q}} ) e_{2} (\frac{x^{2}}{[2]}η^{−1} \frac{t^{2}}{\frac{t^{2}}{q} − 1}) =

= η^{−1} (\frac{yt}{1 − \frac{t^{2}}{q}} − \frac{xt^{2}}{1 − \frac{t^{2}}{q}} ) e (xyη^{−1} \frac{t}{1 − \frac{t^{2}}{q}} ) e_{2} (\frac{x^{2}}{[2]}η^{−1} \frac{t^{2}}{\frac{t^{2}}{q} − 1})

weil (η^{−1}f(t))^{n} η^{−1}f(t)t = \frac{1}{q^{n}} η^{−1}f(t)t (η^{−1}f(t))^{n} ist.

Es genügt daher zu zeigen, daß

η ∑_{m=0}^{∞} \frac{[2m − 1]!!}{[2m]!!} (\frac{t^{2}}{q} )^{m} η^{−1} (\frac{yt}{1 − \frac{t^{2}}{q}} − \frac{xt^{2}}{1 − \frac{t^{2}}{q}} ) =

= (\frac{ty}{1 − t^{2}} − \frac{t^{2}x}{1 − t^{2}} ) ∑_{m=0}^{∞} \frac{[2m − 1]!!}{[2m]!!} (\frac{t^{2}}{q} )^{m}

gilt, oder daß

(5)  (1 − t^{2}) ∑_{m=0}^{∞} \frac{[2m − 1]!!}{[2m]!!} (qt^{2})^{m} = (1 − \frac{t^{2}}{q} ) ∑_{m=0}^{∞} \frac{[2m − 1]!!}{[2m]!!} (\frac{t^{2}}{q} )^{m}

erfüllt ist. (5) ist durch Koeffizientenvergleich äquivalent mit

\frac{[2m − 1]!!}{[2m]!!}q^{m} − \frac{[2m − 3]!!}{[2m − 2]!!}q^{m−1} = \frac{[2m − 1]!!}{[2m]!!} \frac{1}{q^{m}} − \frac{[2m − 3]!!}{[2m − 2]!!} \frac{1}{q^{m}}

oder mit

\frac{[2m − 1]}{[2m]} (q^{m} − \frac{1}{q^{m}} ) = q^{m−1} − \frac{1}{q^{m}} ,

d.h. mit

\frac{[2m − 1]}{[2m]} \frac{(q^{2m} − 1)}{q^{m}} = \frac{q^{2m−1} − 1}{q^{m}} ,

was offenbar richtig ist. Damit ist die Mehlersche Formel bewiesen.

4. Die q-Laguerre-Polynome

4.1. Vorbemerkungen. Die klassischen Laguerre-Polynome L_{n}^{(α)}(x), α > −1, können durch die erzeugenden Funktionen

∑_{n=0}^{∞} \frac{L_{n}^{(α)}(x)}{n!}t^{n} = \frac{1}{(1 − t)^{α+1}} e^{\frac{xt}{t−1}}

oder

∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}L_{n}^{(α−n)}(x)t^{n}}{n!} = (1 − t)^{α}e^{xt}

oder

∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}L_{n}^{(α)}(x)t^{n}}{n! (α + 1) ⋯ (α + n)} = e^{−t} ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}t^{n}}{n! (α + 1) ⋯ (α + n)}

definiert werden. Sie sind Polynome n-ten Grades, die durch

L_{n}^{(α)}(x) = (1 − D_{0})^{α+1}x(D_{0} − 1)^{n}x^{n−1}
= x^{−α}e^{x}D^{n}e^{−x}x^{n+α}
= (−1)^{n}(1 − D)^{n+α}x^{n}

gegeben sind. Sie erfüllen die Rekursion

L_{n+1}^{(α)}(x) = (α + 2n + 1 − x)L_{n}^{(α)}(x) − n(n + α)L_{n−1}^{(α)}(x)

mit

L_{0}^{(α)}(x) ≡ 1, L_{1}^{(α)}(x) = 1 + α − x .

Sie sind orthogonal bezüglich des inneren Produktes

[f(x), g(x)] = \frac{1}{Γ(α + 1)} ∫_{0}^{∞}f(x)g(x)x^{α}e^{−x}dx = L\frac{1}{(1 − D_{0})^{α+1}} f(x)g(x) .

Wir suchen ein q-Analogon, welches womöglich alle diese Eigenschaften besitzt. Ein Weg dazu besteht in folgender Bemerkung: Vergleicht man die Formeln

L_{n}^{(α)}(x) = ∑_{k=0}^{n} \binom{n + α}{n − k} \frac{n!}{k!}(−x)^{k}

und

(x + α + 1) ⋯ (x + α + n) = ∑_{k=0}^{n} \binom{n + α}{n − k} \frac{n!}{k!}x(x − 1) ⋯ (x − k + 1) ,

so sieht man, daß in beiden Fällen dieselben Koeffizienten auftreten. Von der zweiten Formel gibt es natürliche q-Analoga. Diese führen zu zwei Klassen von q-Laguerre-Polynomen

L_{n}^{(α)}(x) = (−1)^{n}(ε − D)^{n+α}x^{n}

und

l_{n}^{(α)}(x) = (−1)^{n}p_{n+α}(1, D)x^{n} .

Wir wollen uns hier auf die Polynome l_{n}^{(α)}(x) beschränken, für welche auch ein Zusammenhang mit den q-Hermite-Polynomen besteht.

4.2. Die formalen Potenzreihen p_{α}(1, x). Wir wollen die Polynome p_{n}(1, x) = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k}q^{\binom{k}{2}} \left[{n \atop k}\right] x^{k} auf beliebige reelle α erweitern. Wir setzen dazu

(1)  p_{α}(1, x) = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k}q^{\binom{k}{2}} \left[{α \atop k}\right] x^{k} .

Nun ist

q^{\binom{k}{2}} \left[{α \atop k}\right] = \frac{(q^{α} − 1)(q^{α} − q) ⋯ (q^{α} − q^{k−1})}{(q − 1)^{k}[k]!} = \frac{p_{k}(q^{α}, 1)}{(q − 1)^{k}[k]!} ,

und daher gilt

(2)  p_{α}(1, x) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{p_{k}(q^{α}, 1)}{[k]!} (\frac{x}{1 − q} )^{k} = \frac{e (\frac{q^{α}x}{1−q} )}{e (\frac{x}{1−q} )}

nach 1.3. (4). Weiter ist \frac{p_{k}(1,q^{α})}{(1−q)^{k}} = [α][α + 1] ⋯ [α + k − 1], und daher gilt

(3)  \frac{1}{p_{α}(1, x)} = \frac{e (\frac{x}{1−q} )}{e (\frac{q^{α}x}{1−q} )} = ∑_{k=0}^{∞} \left[{α + k − 1 \atop k}\right] x^{k} .

Wir benötigen noch die folgenden Formeln:

(4)  p_{α+1}(1, x) = (1 − q^{α}x)p_{α}(1, x)

und

(5)  p_{α+β}(1, x) = p_{α}(1, x)p_{β}(1, q^{α}x) .

Da (4) ein Spezialfall von (5) ist (β = 1), genügt es (5) zu zeigen. Das ergibt sich aus (2):

p_{α}(1, x)p_{β}(1, q^{α}x) = \frac{e (\frac{q^{α}x}{1−q} )}{e (\frac{x}{1−q} )} \frac{e (\frac{q^{β}q^{α}x}{1−q})}{e (\frac{q^{α}x}{1−q} )} = \frac{e (\frac{q^{α+β}x}{1−q})}{e (\frac{x}{1−q} )} = p_{α+β}(1, x) .

Bemerkung. Die Gleichung 3.3. (5) folgt ebenfalls aus (5), wenn man α = \frac{1}{2} setzt und q durch q^{2} ersetzt. Es ist dann nämlich

\frac{1}{p_{\frac{1}{2}} (1, x; q^{2})} = ∑_{m=0}^{∞} \frac{[2m − 1]!!}{[2m]!!}x^{m} ,

und 3.3. (5) äquivalent mit

(1 − \sqrt{q} \frac{x}{\sqrt{q}} ) p_{\frac{1}{2}} (1, \frac{x}{\sqrt{q}} ) = p_{\frac{3}{2}} (1, \frac{x}{\sqrt{q}} ) = (1 − \frac{x}{\sqrt{q}} ) p_{\frac{1}{2}} (1, q \frac{x}{\sqrt{q}} ) .

4.3. Die q-Laguerre-Polynome l_{n}^{(α)}(x). Wir definieren die q-Laguerre-Polynome l_{n}^{(α)}(x) durch die Formel

(1)  l_{n}^{(α)}(x) = (−1)^{n}p_{n+α}(1, D)x^{n} .

Es gilt dann

l_{n}^{(α)}(x) = (−1)^{n} ∑_{k=0}^{n}(−1)^{k}q^{\binom{k}{2}} \left[{n + α \atop k}\right] D^{k}x^{n}

= ∑_{k=0}^{n}(−1)^{k}q^{\binom{n−k}{2}} \left[{n + α \atop n − k}\right] \frac{[n]!}{[k]!}x^{k}

(2)  ⇒ l_{n}^{(α)}(x) = ∑_{k=0}^{n} \left[{n + α \atop n − k}\right] \frac{[n]!}{[k]!}(−1)^{k}q^{\binom{n−k}{2}}x^{k} .

Definiert man für α > −1 den Operator T_{α} auf P durch

(3)  T_{α}x^{n} = \frac{x^{n+1}}{[α + n + 1]}, n = 0, 1, 2, …,

so gilt

(4)  T_{α}^{k}1 = \frac{x^{k}}{[α + 1] ⋯ [α + k]} .

Aus (2) ergibt sich daher

(5)  \frac{(−1)^{n}l_{n}^{(α)}(x)}{[α + 1] ⋯ [α + n]} = ∑_{k=0}^{n}(−1)^{n−k} \left[{n \atop k}\right] q^{\binom{n−k}{2}}T_{α}^{k}1 = p_{n}(T_{α}, 1)1 .

Aus 1.3 (4) folgt somit

(6)  ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}l_{n}^{(α)}(x) t^{n}}{[n]! [α + 1] ⋯ [α + n]} = \frac{1}{e(t)}e(T_{α}t)1

= \frac{1}{e(t)} ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}t^{n}}{[n]! [α + 1] ⋯ [α + n]} .

Definiert man nun S_{α} auf dem Vektorraum P_{0} der Polynome p mit Lp = 0 durch

(7)  S_{α}x^{n} = [n + α]x^{n−1} = (x^{−α}Dx^{α}) x^{n}, n ≥ 1 ,

so gilt

(8)  S_{α}T_{α}x^{n} = x^{n} für n ≥ 0
(9)  T_{α}S_{α}x^{n} = x^{n} für n ≥ 1
⇒ (−1)^{n}l_{n}^{(α)}(x) = [α + 1] ⋯ [α + n]p_{n}(T_{α}, 1)1
= p_{n}(T_{α}, 1)S_{α}^{n}x^{n} = p_{n}(1, S_{α})x^{n}

⇒ (−1)^{n}l_{n}^{(α)}(x) = p_{n}(1, S_{α})x^{n} = x^{−α}p_{n}(1, D)x^{n+α} . (10)

Der Operator T_{α} ist auch sonst sehr nützlich. Will man etwa ein q-Analogon der sogenannten Verdoppelungsformel ableiten, so kann man folgendermaßen vorgehen: Aus 1.3. (5) folgt

p_{n}(ax, 1) = ∑_{k=0}^{n} \left[{n \atop k}\right] a^{k}p_{n−k}(a, 1)p_{k}(x, 1) .

⇒ p_{n}(aT_{α}, 1) = ∑_{k=0}^{n} \left[{n \atop k}\right] a^{k}p_{n−k}(a, 1)p_{k}(T_{α}, 1)

⇒ (−1)^{n} \frac{l_{n}^{(α)}(ax)}{[α + 1] ⋯ [α + n]} = ∑_{k=0}^{n} \left[{n \atop k}\right] a^{k}p_{n−k}(a, 1)\frac{(−1)^{k}l_{k}^{(α)}(x)}{[α + 1] ⋯ [α + k]}

⇒ l_{n}^{(α)}(ax) = ∑_{k=0}^{n} \left[{n + α \atop n − k}\right] \frac{[n]!}{[k]!}(−1)^{n−k}a^{k}p_{n−k}(a, 1)l_{k}^{(α)}(x) . (11)

Nun zu den anderen erzeugenden Funktionen: Aus (1) folgt

∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}l_{n}^{(α−n)}(x)t^{n}}{[n]!} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{p_{α}(1, D)x^{n}t^{n}}{[n]!} = p_{α}(1, D)e(xt)

⇒ ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}l_{n}^{(α−n)}(x)t^{n}}{[n]!} = p_{α}(1, D)e(xt) . (12)

Aus (2) ergibt sich

∑_{n=0}^{∞} \frac{l_{n}^{(α)}(x)}{q^{\binom{n}{2}}} \frac{t^{n}}{[n]!} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{t^{n}}{[n]!}q^{−\binom{n}{2}} ∑_{k=0}^{n} \left[{n + α \atop n − k}\right] \frac{[n]!}{[k]!}q^{\binom{n−k}{2}}(−x)^{k}

= ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−x)^{k}t^{k}}{[k]!} ∑_{n≥k} q^{−\binom{n}{2}+\binom{n−k}{2}} \left[{n + α \atop n − k}\right] t^{n−k}

= ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−xt)^{k}}{[k]!} ∑_{n=0}^{∞} \left[{n + α + k \atop n}\right] q^{\binom{n}{2}−\binom{n+k}{2}}t^{n}

= ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}x^{k}t^{k}}{q^{\binom{k}{2}}[k]!} ∑_{n=0}^{∞} \left[{n + α + k \atop n}\right] (\frac{t}{q^{k}} )^{n} .

∑_{n=0}^{∞} \left[{n + α + k \atop n}\right] (\frac{t}{q^{k}} )^{n} = \frac{1}{p_{α+k+1} (1, \frac{t}{q^{k}} )} = \frac{1}{p_{k} (1, \frac{t}{q^{k}} )} · \frac{1}{p_{α+1}(1, t)}

nach 4.2. (3) und (5).

(13)  ⇒ ∑_{n=0}^{∞} \frac{l_{n}^{(α)}(x)}{q^{\binom{n}{2}}} \frac{t^{n}}{[n]!} = \frac{1}{p_{α+1}(1, t)} ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{k}}{q^{\binom{k}{2}}[k]!} \frac{t^{k}}{(\frac{t}{q} − 1) ⋯ (\frac{t}{q^{k}} − 1)}

= \frac{1}{p_{α+1}(1, t)}e (qxη^{−1} \frac{t}{t − 1}) 1 .

mit ηt^{n} = q^{n}t^{n}. Für n = 0, 1, 2, … gilt

(14)  p_{n}(1, D) = (−1)^{n}q^{\binom{n}{2}}e(qx)D^{n} \frac{1}{e (\frac{x}{q^{n−1}} )}

weil e(aqx)D \frac{1}{e(ax)} = D − a gilt.

Aus (10) folgt daher

(15)  \frac{l_{n}^{(α)}(x)}{q^{\binom{n}{2}}} = x^{−α}e(qx)D^{n} \frac{1}{e (\frac{x}{q^{n−1}} )}x^{n+α} .

Aus (1) ergibt sich

l_{n}^{(α)}(x) = (−1)^{n}p_{n−1}(1, D)p_{α+1} (1, q^{n−1}D) x^{n}

und somit

(16)  l_{n}^{(α)}(x) = p_{α+1} (1, q^{n−1}D) l_{n}^{(−1)}(x)

mit

l_{n}^{(−1)}(x) = (−1)^{n}xp_{n}(1, D)x^{n−1} .

Wendet man auf beide Seiten von (16) ε^{n} an, so ergibt sich

(16’)  l_{n}^{(α)} (q^{n}x) = p_{α+1} (1, \frac{D}{q} ) l_{n}^{(−1)} (q^{n}x) .

Wir behaupten nun, daß die q-Laguerre-Polynome l_{n}^{(α)}(x) für α > −1 orthogonal bezüglich des linearen Funktionals

(17)  F (p) = L\frac{1}{p_{α+1}(1, D)}p(x)

sind. Wegen

\frac{1}{p_{α+1}(1, D)} = ∑_{k=0}^{∞} \left[{α + k \atop k}\right] D^{k} und \left[{α + k + 1 \atop k + 1}\right] = \frac{[α + 1]}{[k + 1]} \left[{α + k + 1 \atop k}\right]

gilt

L\frac{1}{p_{α+1}(1, D)}x = [α + 1] L\frac{1}{p_{α+2}(1, D)}

⇒ L\frac{1}{p_{α+1}(1, D)}x^{k} = [α + 1] ⋯ [α + k] L\frac{1}{p_{α+k+1}(1, D)} .

⇒ F (l_{n}^{(α)}(x)x^{k}) = L\frac{[α + 1] ⋯ [α + k]}{p_{α+k+1}(1, D)}l_{n}^{(α)}(x)

= [α + 1] ⋯ [α + k] L\frac{(−1)^{n}}{p_{α+k+1}(1, D)}p_{n+α}(1, D)x^{n}

= [α + 1] ⋯ [α + k](−1)^{n}Lp_{n−k−1} (1, q^{α+k+1}D) x^{n} = 0

für k < n.

Für k ≥ n ergibt sich

(18)  F (l_{n}^{(α)}(x)x^{k}) = (−1)^{n}[α + 1] ⋯ [α + k] L\frac{1}{p_{k+1−n}(1, q^{n+α}D)}x^{n} .

Da der Koeffizient von x^{n} in l_{n}^{(α)}(x) gleich (−1)^{n} ist, folgt

F (l_{n}^{(α)}(x)l_{n}^{(α)}(x)) = [α + 1] ⋯ [α + n] L\frac{1}{(1 − q^{n+α}D)}x^{n} =
= q^{n^{2}+αn}[n]! [α + 1] ⋯ [α + n] .
(19)  ⇒ F (l_{n}^{(α)}(x)l_{k}^{(α)}(x)) = q^{αn+n^{2}}[n]! [α + 1] ⋯ [α + n]δ_{nk} .

Da die l_{n}^{(α)}(x) orthogonal sind, müssen in der Darstellung

xl_{n}^{(α)}(x) = ∑_{k=0}^{n+1} c_{nk}l_{k}^{(α)}(x)

die Koeffizienten c_{nk} mit k < n − 1 verschwinden. Es gibt also eindeutig bestimmte Koeffizienten c_{nn} und c_{n,n−1} mit

xl_{n}^{(α)}(x) + l_{n+1}^{(α)}(x) = c_{nn}l_{n}^{(α)}(x) + c_{n,n−1}l_{n−1}^{(α)}(x) .

Um c_{nn} und c_{n,n−1} zu bestimmen, braucht man nur den Koeffizienten von x^{n} zu betrachten. Es ergibt sich dann

(20) l_{n+1}^{(α)}(x) = (q^{n}[n + α] + q^{n+α}[n + 1] − x) l_{n}^{(α)}(x) − q^{2n+α−1}[n][n + α]l_{n−1}^{(α)}(x) .

Abschließend wollen wir noch den Zusammenhang mit den q-Hermite-Polynomen herstellen.

h_{2n}(x) = ∑_{k=0}^{n}(−1)^{k}q^{k^{2}} \left[{2n \atop 2k}\right] [2k − 1]!! x^{2n−2k}

= ∑_{k=0}^{n}(−1)^{k}q^{k^{2}} \frac{[2n]! [2k − 1]!!}{[2k]! [2n − 2k]!}x^{2n−2k}

= ∑_{k=0}^{n}(−1)^{k}q^{k^{2}} \frac{[2n]!! [2n − 1]!! [2k − 1]!!}{[2k]!! [2k − 1]!! [2n − 2k]!! [2n − 2k − 1]!!}x^{2n−2k}

= ∑_{k=0}^{n}(−1)^{k}q^{k^{2}} \left[{n − \frac{1}{2} \atop k}\right]_{2} \frac{[n]_{2}!}{[n − k]_{2}!}[2]^{k}x^{2n−2k}

= ([2]q)^{n} ∑_{k=0}^{n}(−1)^{k}q^{2\binom{k}{2}} \left[{n − \frac{1}{2} \atop k}\right]_{2} \frac{[n]_{2}!}{[n − k]_{2}!} (\frac{x^{2}}{[2]q} )^{n−k}

(21)  ⇒ h_{2n}(x) = (−1)^{n}([2]q)^{n}l_{n}^{(− \frac{1}{2})} (\frac{x^{2}}{[2]q} , q^{2}) .

Analog ergibt sich

(22)  h_{2n+1}(x) = (−1)^{n}([2]q)^{n}xl(\frac{1}{2})_{n} (\frac{x^{2}}{[2]q} , q^{2}) .

5. Bemerkungen zur Literatur

Ich habe absichtlich jeden Literaturhinweis vermieden, weil es mir unmöglich war, die ursprünglichen Quellen der einzelnen Resultate herauszufinden. Das beruht einerseits darauf, daß mir die ältere Literatur (L. J. Rogers, G. Szegő, F. H. Jackson) teilweise unzugänglich ist und andererseits darauf, daß viele Resultate in zahlreichen Variationen existieren, deren enge Beziehung den einzelnen Autoren nicht aufgefallen ist. Im Grunde sind sicher alle hier behandelten Resultate längst bekannt, wenn ich auch manche in der Literatur bisher nicht finden konnte.

Wahrscheinlich habe auch ich manche Zusammenhänge übersehen. So wäre es durchaus denkbar, daß zwischen den Hermitepolynomen H_{n}(x) und h_{n}(x) außer der sehr ähnlichen Rekursionsformel noch andere Zusammenhänge existieren. Ich habe aber bisher keine finden können. So gibt es für die Mehlerformel bei den H_{n} sehr einfache Beweise (vgl. [2]; noch einfacher scheint mir der Hinweis auf 2. (8) zu sein). Ein so einfacher Beweis ist mir bei den h_{n} nicht bekannt.

Nach dem Gesagten ist wohl klar, daß die folgende Literaturauswahl sehr subjektiv ist. Sie gibt hauptsächlich Arbeiten an, die mir persönlich interessant erscheinen oder besonders nützlich waren.

Literatur

1. G. E. Andrews, The Theory of Partitions, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Vol. 2, Addison–Wesley, Reading, 1976.

2. D. M. Bressoud, A simple proof of Mehler’s formula for q-Hermite polynomials, Indiana Univ. Math. J. 29 (1980), 577–580.

3. L. Carlitz, Some Polynomials related to theta-functions, Duke J. Math. 24 (1957), 521–527.

4. J. Cigler, Operatormethoden für q-Identitäten, Monatsh. Math. 88 (1979), 87–105.

5. J. Cigler, Operatormethoden für q-Identitäten II: q-Laguerre-Polynome, Monatsh. Math. 91 (1981), 105-117.

6. J. Cigler, Die Mehler-Formel für q-Hermite-Polynome, preprint (1981).

7. A. M. Garsia, J. B. Remmel, A combinatorial interpretation of q-derangement and q-Laguerre numbers, Europ. J. Combin. 1 (1980), 47–59.

8. J. Goldman, G.-C. Rota, Finite vector spaces and Eulerian generating functions, Stud. Appl. Math. 49 (1970), 239–258.

9. W. Hahn, Über Orthogonalpolynome, die q-Differenzengleichungen genügen, Math. Nachr. 2 (1949), 4–34.

10. V. K. Jain, q-Analogues of some bilinear transformations, Indian J. Pure Appl. Math. 11 (1980), 1643–1658.

11. P. Kirschenhofer, Binomialfolgen, Shefferfolgen und Faktorfolgen in der q-Analysis, Sitzungsberichte Österr. Akad. Wiss. II 188 (1979), 265–315.

12. D. S. Moak, The q-analogue of the Laguerre polynomials, J. Math. Anal. Appl. 81 (1981), 20–47.

13. G.-C. Rota, D. Kahaner, A. Odlyzko, Finite operator calculus, J. Math. Anal. Appl. 42 (1973), 684–760.