\documentstyle[theorem]{article}
\input amssym.def
\input amssym
%polices suppl\'ementaires
%fonte bb:

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\font\sevenms=msbm7
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\newfam\bbfam \textfont\bbfam=\tenms \scriptfont\bbfam=\sevenms
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\def\bb{\fam\bbfam\tenms}

%fonte frak:

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\newfam\frakfam \textfont\frakfam=\teneu \scriptfont\frakfam=\seveneu
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\def\frak{\fam\frakfam\teneu}

%fin polices suppl\'ementaires

\newcommand{\bbb}[1]{{\bb #1}}
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\title{\large \bf{ Analyse $p$-adique et suites classiques de
nombres\thanks{1982, revu d\'ecembre
1995}}}
\author{ \small Daniel Barsky \\
\small Universit\'e Paris 13\\
\small Institut Galil\'ee \\
\small LAGA, URA CNRS n$^\circ$742 \\
\small Av J.B. Cl\'ement \\
\small F-93430 VILLETANEUSE \\
\small e.mail: barsky@math.univ-paris13.fr}
\date{}

%macro
\def\refname{\centerline{Bibliographie}}
\def\abstractname{R\'esum\'e}

\def\R{\bbb{R}}
\def\N{\bbb{N}}
\def\Z{\bbb{Z}}
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\def\sht{\Ccal{T}}
\def\shh{\Ccal{H}}
\def\L{\Ccal{L}}
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\def\shd{\Ccal{D}}
\def\shc{\Ccal{C}}
\def\dem{\mbox{$\Box$ \quad }}
\def\fdem{\hfill \mbox{$\Box$} \medskip}

\newtheorem{lemma}{Lemme}
\newtheorem{proposition}{Proposition}
\newtheorem{theorem}{Th\'eor\`eme}
\newtheorem{corollary}{Corollaire}
\newtheorem{defn}{\bf D\'efinition}[section]
\newtheorem{conj}{\bf Conjecture}[section]
\newtheorem{definition}{D\'efinition}[section]

%fin macro
\begin{document}
\maketitle
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%
%R\'esum\'e%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%
\begin{abstract} Soit $(a_n)_{n\in\N}$ une suite de nom\-bres ration\-nels
(ou plus
g\'en\'e\-ra\-lement de nombres alg\'ebriques sur $\Q$ et soit $p$ un
nombre premier. On
sait que la suite $(a_n)_{n\in \N}$ est pour tout $h \in \N$
p\'eriodique modulo $p^h$ \`a partir d'un certain rang (ou de mani\`ere
\'equivalente, que la
suite
$(a_n)_{n\in \N}$ satisfait pour tout $h \in \N$ une r\'ecur\-rence
lin\'e\-aire modulo
$p^h$ \`a partir d'un certain rang) si et seulement si sa s\'erie
g\'en\'eratrice $Y =
\displaystyle
\sum_{n \geq 0} a_n\, X^n$ est un \'el\'ement analytique $p$-adique sur un
sous-ensemble de
$\C_p$ (com\-pl\'et\'e de la cloture alg\'ebrique de $\Q_p$) contenant la
boule unit\'e
ouverte. On montre que la g\'eom\'etrie du domaine sur lequel
$Y$ est un \'el\'ement analytique $p$-adique (i.e. sur lequel $Y$ est
prolongeable
analytiquement
$p$-adiquement) permet de pr\'evoir a priori les congruences satisfaites
par les $a_n$.

On montre que, si la fonction g\'en\'eratrice exponentielle $\widetilde{Y} =
\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n\, \displaystyle {X^n\over n!}$ poss\`ede
certaines
propri\'et\'es fonctionnelles, alors $Y = \displaystyle \sum_{n\geq 0}
a_n\, X^n$ est un
\'el\'ement analytique $p$-adique sur un domaine de $\C_p$ contenant le
disque ouvert de centre $0$ et de rayon $1$ de $\C_p$; par exem\-ple
si $\widetilde{Y}\in \Z[[X]]$ satisfait une \'equation diff\'erentielle
alg\'ebrique
ou si la s\'erie r\'eciproque de $\widetilde{Y}$ poss\`ede certaines
propri\'et\'es.

On montre ensuite, sur des suites classiques de nombres, comment on peut
obtenir par cette m\'ethode
des r\'esultats effectifs. Enfin, on indique pour
terminer le lien qui existe entre les congruences de type {\em
Cartier-Honda} satisfaites par une
suite d'entiers $(e_n)_{n\geq 1}$ (i.e. pour tout
$n \geq 1$, $e_{np^h} \equiv e_{np^{h-1}}\,{\rm mod}(p^h)$) et les
congruences de
type Kummer satisfaites par les coefficients $a_n$ de la s\'erie
$\widetilde{Y} = \displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n\, \displaystyle {X^n\over n!}$
r\'eciproque de la s\'erie $X = \displaystyle \sum_{n\geq 0} {e_n\over n}\,
Y^n$.
\end{abstract}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%section{analyse p-adique}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Analyse $p$-adique.}
Soit $p$  un nombre premier et soit $(a_n)_{n\in \N}$ une suite de nombres
rationnels
(resp. de nombres alg\'ebriques). On s'int\'eresse aux propri\'et\'es de
congruences modulo
$p^h$ $(h\in \N)$ entre les $a_n$. Il est clair que l'analyse $p$-adique
doit pouvoir
apporter au moins un langage agr\'eable pour traiter ces  questions.\medskip

Rappelons les g\'en\'eralit\'es suivantes (cf. \cite{am1} ou \cite{nk3}).
Soit $a/b =
p^\alpha a'/ b' \in \Q$ avec $a',b' \in \Z$ et $(a',p) = (b',p) = 1$. On pose
$|a/b| = p^{-\alpha}$. Avec cette d\'efinition $\Q$ est muni d'une valeur
absolue
ultram\'etrique, appel\'ee valeur absolue $p$-adique, i.e.
$\Big| \displaystyle {a\over b} + {c\over d}\Big| \leq \max
\Big(\Big| {a\over b}\Big|, \Big| {c\over d}\Big| \Big)$. Le compl\'et\'e
de $\Q$ pour
cette valeur absolue est $\Q_p$, le corps des nombres
$p$-adiques.\medskip

Dans
toute la suite $|\cdot|$ d\'esignera une valeur absolue non archim\'edienne
prolongeant
la valeur absolue $p$-adique que $\Q$. Le probl\`eme de d\'epart se traduit
ais\'ement
en terme de cette valeur absolue
$$a_n\equiv a_{n+p^h} \pmod{p^{rh}} \iff |a_n-a_{n+p^h}|\leq
p^{-r(h)}$$
Divers aspect de la th\'eorie des nombres
$p$-adiques sont expos\'es dans \cite{am1}, \cite{nk3}, \cite{km2},
\cite{cassels1}, \cite{dwork2},
\cite{ro2}, \cite{schrikhof}.


On d\'efinit
$\Z_p = \{ x\in \Q_p ; |x| \leq 1\}$. Il est facile de voir que $\Z_p$ est
un anneau,
compl\'et\'e de $\Z$ pour la valeur absolue $p$-adique, et que
$\Z_p = \displaystyle\lim_{\longleftarrow}\!.\, \Z/p^h \Z$ (cf. \cite{am1} ou
\cite{nk3}). On d\'efinit de la mani\`ere habituelle la notion de fonction
continue sur $M
\subset \Q_p$ \`a valeurs dans $\Q_p$, on note $\shc(M,\Q_p)$ l'ensemble de ces
fonctions. On a le th\'eor\`eme important suivant:

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%theoreme{t1.1}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}[Mahler \cite{km1}].\label{t1.1} Soit $\shc(\Z_p,\Q_p)$
l'espace des fonctions continues de
$\Z_p$ dans
$\Q_p$. Posons $\displaystyle {x\choose 0 }=1$ et $\displaystyle { x\choose
n} =  {x(x-1) \ldots
(x-n+1)\over n!}$. Les deux propri\'et\'es suivantes sont \'equivalentes~:
\begin{description}
\item{i)} $f \in \shc(\Z_p,\Q_p)$.
\item{ii)} Il existe une unique suite d'\'el\'e\-ments de $\Q_p$,
$(\lambda_n(f))_{n\in\N}$,  telle que \hfill \\ $ \lim_{n\rightarrow \infty}\!
|\lambda_n(f)| =0$ et $f(x) =  \sum_{n\geq 0} \lambda_n(f) \,{x\choose n}$,
pour tout
$x \in \Z_p$. La convergence est uniforme sur $\Z_p$.

On a de plus:
\begin{eqnarray*}\lambda_n(f) &= &\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k}\,{
n\choose
k}\, f(k) \\
\| f\|_{\Z_p}& \stackrel{d\acute{e}f}{=}& \sup_{x\in\Z_p} |f(x)| =
\sup_{n\geq 0} |\lambda_n(f)|
\end{eqnarray*}
\end{description}
\end{theorem}

\dem Nous donnons ici la preuve de Bojanic \cite{rb}.\medskip

$\Z_p$ est compact, donc $f$ est unifor\-m\'ement continue sur $\Z_p$. La
seule chose \`a
montrer est que
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} |\lambda_n(f)| = 0$ si
$\lambda_n(f)$ est d\'efini comme dans le th\'eor\`eme. Il est clair que,
pour tout $m
\in \N$, $f(m) = \displaystyle \sum_{n\geq 0} \lambda_n(f)\, {
m\choose n}$ et on conclut grace \`a la densit\'e de $\N$ dans $\Z_p$;
$\lambda_n(f)$ est le $m$-i\`eme coefficient d'interpolation de $f$ sur les
entiers.\medskip

Posons $\Delta^{m} f(x) \stackrel{d\acute{e}f}{=}
\displaystyle \sum_{k=0}^m (-1)^{m - k} {m\choose k}\, f(x+k)$. Pour $h$ assez
grand, on a $| \Delta^{p^h} f(x)| < 1$. En effet
$\displaystyle \left| {p^h\choose k}  \right| < 1$ si $k ~ 0$ ou $p^h$ et
pour $h$
assez grand
$|f(x + p^h) - f(x)| < 1$ d'apr\`es la continuit\'e $p$-adique de $f$. Donc
pour tout
$n
\geq p^h$ on a $|\Delta^n f(0)| < 1$ car $\Delta^{m+n} f(x) = \Delta^m(\Delta^n
f(x))$.  \medskip

Si $n_1 = p^h$, $\Delta^{n_1} f(x) \in \shc(\Z_p,\Q_p)$. Donc il existe
$n_2 = p^{h'}$ tel que: $$|\Delta^{n_2} (\Delta^{n_1} f(x))| \leq
\max\Big\{ | \Delta^{n_1}(f(x+n_2)) - \Delta^{n_1}(f(x))|,p^{-1} |
\Delta^{n_1} f(x)|
\Big\} \leq p^{-2}$$
Et donc, si
$n \geq n_1 + n_2$, $|\Delta^n f(x)| \leq p^{-2}$.

On d\'efinit alors par r\'ecurrence des entiers
$n_r$ tel que, si $n \geq n_1 + n_2 + \ldots + n_r$, $| \Delta^n f(x)| \leq
p^{-r}$.\medskip

On a donc montr\'e que $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} |\Delta^n
f(x)| =
0$ pour tout $x \in \Z_p$. Comme $\sup_{x\in \Z_p} \left|
{x\choose n}\right| = 1$ la s\'erie $\displaystyle \sum_{n\geq 0} \Delta^n
f(0)\,{x\choose n}$ converge uniform\'ement sur $\Z_p$ vers $f(x)$. Le reste du
th\'eor\`eme est \'evident. \fdem

Ce th\'eor\`eme peut etre g\'en\'eralis\'e, on peut remplacer $\Z_p$
par des ensembles plus g\'en\'eraux (cf. \cite{am2}), on peut remplacer les
polynomes
$\displaystyle {x\choose n}$ par d'autres fonctions (cf. \cite{sc} et
\cite{vdp}).

Carlitz, \cite{lc1}, \cite{lc2}, \cite{lc3}, a d\'emontr\'e de nombreuses
congruences du type
$\displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k}\,
{x\choose k}\, a_k \equiv 0 \pmod{p^{r(n)}}$ pour $n \geq n_r$, o\`u
$a_k$ est une suite d'entiers d\'efinie arithm\'etiquement ou
combinatoirement. Il
exprimait en fait qu'il existait une fonction continue $p$-adique
sous-jacente \`a la
suite $a_n$. Nous reviendrons l\`a-dessus au paragraphe
\ref{suites.classiques}.\medskip

On peut plus g\'en\'eralement d\'efinir des fonctions d\'erivables,
localement analytiques
de $\Z_p$ dans $\Q_p$. Toutes ces classes de fonctions se caract\'erisent
ais\'ement sur la suite de
leurs coefficients d'interpolation $\lambda_n$. Par exemple:

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%theoreme{t1.2}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}
[Amice \cite{am2}]\label{t1.2} Soit $f \in \shc(\Z_p,\Q_p)$, $f$ est localement
analytique sur
$\Z_p$ (i.e. Pour tout $a\in\Z_p$ il existe un disque $D(a,\rho_a)^+ =
\{ x \in \Z_p ; | x-a| \leq \rho_a\}$ tel que $f$ soit repr\'esentable sur
$D(a,\rho_a)^+$ par une s\'erie de Taylor en $(x-a)$) si et seulement si
$f(x) = \displaystyle \sum_{n\geq 0} \lambda_n (f)\, {x\choose n }$ et $\limsup
|\lambda_n(f)|^{1/n} < 1$.
\end{theorem}

On d\'efinit la cloture alg\'ebrique de $\Q_p$ que l'on note
$\overline{\Q}_p$. La valeur absolue $p$-adique s'\'etend de mani\`ere
unique \`a $\overline{\Q}_p$ si
l'on impose $| p| = p^{-1}$ (\cite{am1}, \cite{nk3}). Mais
$\overline{\Q}_p$ n'est pas
complet pour cette valeur absolue. On compl\`ete donc $\overline{\Q}_p$ et
l'on obtient un
corps complet et alg\'ebriquement clos, $\C_p$. \medskip

Le corps $\C_p$ est un bon corps pour
manipuler les s\'eries de Taylor. Le principe du maximum y est valide ainsi
que le
th\'eor\`eme de Liouville (cf. \cite{am1}). On suppose que l'on a choisi
une fois pour
toutes une plongement de la cloture alg\'ebrique, $\overline{\Q}$, de $\Q$
dans $\C_p$. On note encore
$|\cdot |$ la valeur absolue sur
$\C_p$ qui prolonge la valeur absolue $p$-adique de $\Q_p$.\medskip

Nous allons donner maintenant un crit\`ere du \`a Y.~Amice \cite{af} qui relie
certaines propri\'et\'es de congruences de la suite $(a_n)_{n\in \N}$ et
prolongement ana\-lytique
$p$-adique de sa fonction g\'en\'eratrice
$Y = \sum_{n\geq 0} a_n\, X^n$. Auparavant nous allons donner quelques
d\'efinitions.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%definition{d1.1}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{definition}
[\cite{am1}, \cite{phr}] \label{d1.1} Soit $\shd \subset \C_p$. On dit que
$F$ est un
\'el\'ement analytique  ($p$-adique) sur $\shd$ si et seulement si $F$ est
limite uniforme
sur
$\shd$ d'une suite de fractions rationnelles $F_n(X) \in \C_p(X)$ sans pole dans
$\shd$. Si $\shd$ n'est pas born\'e, on dit que $F$ est un \'el\'ement
analytique sur $\shd$
nul \`a l'infini si $F$ est un \'el\'ement analytique sur $\shd$ et si
$\displaystyle \lim_{| X | \rightarrow \infty \atop
X \in \shd}\,  | F(X)| = 0$. On note $\shh(\shd)$, resp.
$\shh_0(\shd)$, l'espace des \'el\'ements analytiques sur $\shd$, resp.
nuls \`a l'infini.
\end{definition}

On note $D(a,r)^+ = \{ x\in \C_p ; | x-a| \leq r\}$ et
$D(a,r)^- = \{ x\in C_p ; | x-a| < r\}$ pour $a \in \C_p$ et $r \in \R_+$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%definition{d1.2}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{definition}
[\cite{phr}] \label{d1.2} Soit $\shd \subset \C_p$, on dit que $\shd$ est un
quasi-connexe si, pour tout $x \in \shd$ et pour tout $y\in \shd$ il existe
une suite finie de
r\'eels $0 < r_1 < r_2 < \ldots < r_n < |x-y|$ tels que si $x \notin \shd$
et $| z-x | < | x-y |$ alors
il existe
$1 \leq i \leq n$ tel que $| z-x | = r_i$.
\end{definition}

Dans les exemples on consid\`erera souvent des quasi-connexes de la forme
$\shd = D(a,r)^+ - \displaystyle \cup_{i=1}^n D(a_i,r_i)^-$ o\`u
$a_i \in D(a,r)^+$ et $r_i \leq r$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%definition{d1.3}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{definition}
[\cite{am1} ou \cite{phr}] \label{d1.3} Soit $F(X) = \sum_{n \geq 0} a_n
X^n$ une s\'erie de Taylor de $\C_p[[X]]$ convergeant sur $D(0,1)^-$ et
soit $\shd
\supset D(0,1)^-$ un quasi-connexe. On dit que $F$ est prolongeable en un
\'el\'ement
analytique ($p$-adique) sur $\shd$ s'il existe un \'el\'ement analytique
sur $\shd$, not\'e
encore $F$, dont la restriction \`a $D(0,1)^-$ coincide avec $F$.
\end{definition}

L'int\'eret de cette d\'efinition est qu'il y a unicit\'e de prolongement
analytique \`a
$\shd$, cf. \cite{phr}.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%theoreme{t1.3}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}
[Amice \cite{af}] \label{t1.3} Soit $(a_n)_{n\in \N}$ une suite
d'\'el\'ements de $\C_p$.
Les conditions suivantes sont \'equivalentes~:
\begin{description}
\item{i)} il existe une fonction $f \in \shc(\Z_p,\C_p)$ telle que
$f(n) = a_n$ pour tout $n \in \N$ ;
\item{ii)} la s\'erie de Taylor $F(X) = \displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n
X^n$ est
prolongeable en un \'el\'ement analytique sur $\C_p - D(1,1)^-$, nul \`a
l'infini.
\end{description}
\end{theorem}

\dem On notera $\shd=\C_p - D(1,1)^-$. Si $F \in \shh_0(\shd)$ alors $F$
est limite uniforme sur
$\shd$ d'une suite de fractions rationnelles, $F_n$, ayant toutes leurs
poles dans $D(1,1)^-$. \smallskip

On sait, cf. \cite{am1} ou \cite{phr}, que:
$$F\in \shh_0(\shd)\iff \exists\ (\lambda_n)_{n\geq 0}; \lim_{n\rightarrow
\infty} |\lambda_n|=0
\mbox{ et } F(X)=\sum_{n\geq 0} \lambda_n \frac{X^n}{(1-X)^{n+1}}$$
De l\`a on tire que, si $| X| < 1$,
$$F(X) = \sum_{m\geq 0} X^m \sum_{k\geq 0} \lambda_k {m\choose
n}$$
Comme $ \lim_{k\rightarrow \infty}\!.
|\lambda_k| = 0$, il existe une unique fonction continue de $\Z_p$ dans $\C_p$,
not\'ee $f$, telle que $\displaystyle f(x) =  \sum_{k\geq 0 \lambda_k} {
x\choose  k}$ et donc $F(X) = \sum_{m\geq 0} f(m) X^m$ si
$| X| < 1$. La r\'eciproque est imm\'ediate.\fdem

\subsubsection{Remarque} Dire que $f \in \shc(\Z_p,\C_p)$ revient \`a dire
que les valeurs aux
entiers ,$f(n)$, de la fonction $f$ sont p\'eriodiques modulo $p^h$, pour
tout entier $h\in \N$. Ce
th\'eor\`eme se g\'en\'eralise de la mani\`ere suivante.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%theoreme{t1.4}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}
[Robba \cite{phr}] \label{t1.4} Une condition n\'ecessaire et suffisante
pour que
$F(X) = \displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n X^n \in \C_p[[X]]$ soit un \'el\'ement
analytique sur $D(0,1)^-$ est que la suite $(a_n)_{n\in \N}$ soit $p$-presque
p\'eriodique (ou bien ultimement p\'eriodique modulo $p^h$ pour tout $h
\geq 0$), c'est
dire que~:
$$
\forall\, \varepsilon > 0, \quad \exists\, n_0 \in \N \mbox{ et }
T \in \N  \mbox{ tels que } \forall\, n \geq n_0,\
| a_n - a_{n+T}| \leq \varepsilon.
$$
\end{theorem}

\dem Une fraction rationnelle sans pole dans $D(0,1)^-$ v\'erifie le
th\'eo\-r\`eme pr\'ec\'e\-dent
par application du crit\`ere d'Amice, apr\`es d\'ecomposition en
\'el\'e\-ments simples.
En effet $\displaystyle P_n(X) = \sum_{i,k} {\lambda_{i,k,n}\over
(1-e_{i,n}X)^k}
\in \C_p(X)$ avec $| e_{i,n}| \leq 1$. Si $| e_{i,n}| = 1$ alors:
$$ \forall \ h \in
\N, \quad \exists \ r \mbox{ et } r' \in \N \mbox{ tels que }|
e_{i,n}^{(p^r-1)p^{r'}}-1| \leq
p^{-h}$$

Donc si $P_n(X) = \sum_{m \geq 0} a_{m,n} X^m$ pour $| X| < 1$,
la suite $(a_{m,n})_{m\in\N}$ est clairement presque p\'eriodique. On
conclut par
passage \`a la limite pour les \'el\'ements analytiques sur $D(0,1)^-$.
\smallskip

Si, maintenant, on
suppose que la suite $(a_n)_{n\in \N}$ est $p$-presque p\'eriodique, on a
avec les notations du
th\'eor\`eme:
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{F(X) = a_0 + a_1 X + \ldots + a_{a_0-1}X^{n_0-1} +}\hspace{3cm} \\
& & X^{n_0}\,
{a_{n_0} + a_{n_0+1} X + \ldots + a_{n_0 + p^h-1} X^{p^h-1}\over 1 - X^T} +
\overline{\varepsilon G(X)}
\end{eqnarray*}
o\`u $\sup_{X\in D(0,1)^{-}} | G(X)| \leq 1$. \fdem

On voit donc que montrer qu'une suite est $p$-presque-p\'e\-rio\-dique
\'equi\-vaut \`a montrer que sa fonction g\'en\'eratrice est un \'el\'ement
analytique $p$-adique sur
$D(0,1)^-$. En fait, en regardant les endroits o\`u la s\'erie g\'en\'eratrice
$F(X) = \displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n X^n$ est prolongeable
analytiquement, on
peut pr\'eciser la liaison qui existe entre $\varepsilon$, $n_0$ et $T$.
Ceci repose sur le
th\'eor\`eme de Mittag-Leffler $p$-adique (cf. \cite{phr}), que nous allons
donner sans
d\'emonstration apr\`es la d\'efinition suivante:

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%definition{d1.5}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{definition}
[Robba \cite{phr}] \label{d1.5} Soit $\shd$ un quasi-connexe de $\C_p$. Un
disque
ouvert
$T = \{ x \in \C_p ; | x-a| < r_T\}$ est un trou de $\shd$ si $T \subset
\C_p - \shd$
et si $T$ est maximal pour la relation d'inclusion. On note $\sht$ la
famille des
trous (ouverts) de $\shd$. Si $\shd$ est born\'e, on admet comme trou le
{\em disque
ouvert de centre l'infini} $\C_p - D(a,R)^+$ o\`u $a \in \shd$ et
$R = \inf_r\{ r ; \shd \subset D(a,r)^+\}$.
\end{definition}

\noindent {\bf Exemple}: Si $\shd = D(0,1)^-$ les trous de $\shd$ sont le
disque ouvert de
centre l'infini et de ``rayon 1'', $\C_p - D(0,1)^+$, et tous les disques
$D(\alpha,1)^-$ o\`u les $\alpha$ forment un syst\`eme complet de
repr\'esentants de
$\sho_p/ \Ffrak{M}_p$ o\`u $\sho_p$ est l'anneau des entiers de $\C_p$ (i.e.
$\sho_p = D(0,1)^+$) et $\Ffrak{M}_p$ est l'id\'eal maximal de $\sho_p$ (i.e.
$\Ffrak{M}_p = D(0,1)^-$).  On peut choisir par exemple pour les $\alpha$ toutes
les racines primitives de l'unit\'e d'ordre premier \`a $p$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%theoreme{t1.5}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}
[de Mittag-Leffler $p$-adique; Robba \cite{phr}]\label{t1.5} Soit, $F$, un
\'el\'e\-ment
ana\-lytique sur le quasi-connexe $\shd$, soit $\sht$ la famille des trous
de $\shd$. Il
existe pour chaque $T \in \sht$ un unique \'el\'e\-ment analytique $F_T$
sur $\C_p-T$, nul
\`a l'infini, tel que $F-F_T$ se prolonge analytiquement dans $T$. En outre, on a
$F = \displaystyle \sum_{T\in \sht} F_T$ la somme convergeant
unifor\-m\'ement sur $\shd$
suivant le filtre des compl\'e\-men\-taires des parties finies. On a de plus
$$\| F\|_{\shd} =
\sup_{X\in{\shd}} | F(X)| = \sup_{T\in \sht}\sup_{X\in{\C_p-T}} | F(X)| =
\sup_{T\in \sht} \| F\|_{\C_p-T}$$
\end{theorem}

Comme application imm\'ediate on a le r\'esultat suivant qui montre le lien
entre la
g\'eom\'etrie du quasi-connexe sur lequel $F$ se prolonge et la presque
p\'eriodicit\'e de la
suite $a_n$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%corollaire{c1.1}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{corollary} \label{c1.1}
Pour que
$F(X) =  \sum_{n\geq 0} a_n X^n$ soit un \'el\'e\-ment analytique sur
$\C_p - \bigcup_{i=1}^{p-1} D(i^{-1},1)^-$ nul \`a l'infini, il faut et il
suffit que les
suites
$m \rightarrow a_{i+m(p-1)}$ soient pour $1 \leq i \leq p-1$ la restriction
\`a $\N$
d'une fonction continue de $\Z_p$ dans $\C_p$.
\end{corollary}

\dem D'apr\`es le th\'eor\`eme de Mittag-Leffler, on a $F = F_1 + \ldots +
F_{p-1}$ o\`u
$F_i \in \shh_0(\C_p - D(i^{-1},1)^-)$, et
$F_i(X) = \displaystyle \sum_{k\geq 0} \lambda_{i,k} {(Xi^{-1})^k\over
(1 - Xi^{-1})^{k+1}}$ avec $\displaystyle \lim_{k\rightarrow \infty}
|\lambda_{i,k}| = 0$, le r\'esultat est alors imm\'ediat grace au crit\`ere
d'Amice et au
petit th\'eor\`eme de Fermat. \fdem

La th\'eorie des \'el\'ements analytiques fournit un cadre et un langage
agr\'ea\-ble pour le traitement des suites d'entiers $p$-presque p\'eriodiques.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%section{Propri\'et\'es fonctionnelles et
%congruences}%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Propri\'et\'es fonctionnelles et congruences.\label{propri.fonc.}}

On peut remarquer que beaucoup de fonctions g\'en\'eratrices exponentielles
(resp.
g\'en\'eratrices ordinaires) des suites classiques de nombres satisfont une
\'equation
diff\'erentielle alg\'ebrique (voir les exemples ci-apr\`es). Ce type de
propri\'et\'e impose a
priori des limitations assez s\'ev\`eres sur les dominateurs des nombres en
cause. En
effet, soit $F(X) = \displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n X^n \in
\overline{\Q}[[X]]$ o\`u
$\overline{\Q}$ est la cloture alg\'ebrique de $\Q$. On a alors le
th\'eor\`eme suivant~:

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%theoreme{t2.1}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}
[Sibuya-Sperber \cite{ss1}] \label{t2.1} Si $F \in \Q[[X]]$ satisfait une
\'equation
diff\'erentielle alg\'ebrique (non triviale), alors $F$ poss\`ede un disque
de convergence
non trivial pour toute valeur absolue non archim\'edienne $v_p$ de $\Q$.
\end{theorem}

La signification de ce th\'eor\`eme est la suivante. Si $p$ est le nombre
premier associ\'e \`a $v_p$,
\cite{cassels1} et si
$F
\in
\Q[[X]]$ alors le d\'enominateur de $a_n$ (\'ecrit sous forme
irr\'eductible) contient $p$ au plus \`a la
puissance $rn+t$ o\`u $r,t \in \R_+$ sont ind\'ependants de $n$.

Ce th\'eor\`eme g\'en\'eralise les r\'esultats classiques de Eisenstein et
Hurwitz
rappel\'es ci-apr\`es.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%theoreme{t2.2}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem} [d'Eisenstein, \cite{ge}] \label{t2.2} Si la s\'erie $F(X) =
\sum_{n\geq 0} c_n X^n \in \overline{\Q}[[X]]$ repr\'esente une fonction
alg\'ebrique, alors il existe un
$\ell_0 \in \N$ tel que $\ell_0^n c_n \in \Ccal{O}$ o\`u $\Ccal{O}$ est
l'anneau des entiers de
$\overline \Q$. En outre, il existe $c > 0$ tel que, ou bien $c_n = 0$, ou bien
$|c_n|_\infty \geq c^n > 0$, o\`u $|\ |_\infty$ est une valeur absolue archim\'edienne sur
$\overline{\Q}$.
\end{theorem}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%theoreme{t2.3}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}
[Hurwitz, \cite{ah}]\label{t2.3} Si la s\'erie $F(X) = \displaystyle
\sum_{n\geq 0} c_n
X^n \in
\Q[[X]]$, satisfait une \'equation diff\'erentielle alg\'ebrique, il existe
$h(s) \in \Z[s]$ et $n_0 \in \N$ tels que, si un nombre premier $p$ divise le
d\'enominateur de $c_n$ pour $n \geq n_0$ alors $p$ divise
$h(n_0)\,h(n_0 + 1) \ldots h(n)$.
\end{theorem}

Nous donnons maintenant un r\'esultat plus pr\'ecis du \`a Fujiwara qui
s'appli\-que assez bien aux les
suites de nombres provenant de l'analyse combinatoire ou de
l'arithm\'etique et, en particulier, des
suites de nombres provenant de d\'enom\-bre\-ments sur le groupe
sym\'etrique ou de nombres
provenant de valeurs en certains points de s\'eries de Dirichlet ayant une
signification
arithm\'etique.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%theoreme{t2.4}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}
[Fujiwara, \cite{mf}] \label{t2.4} Soit $F(x,y,y',\ldots,y^{(n)})$ un
polynome \`a
co\-ef\-fi\-cients entiers rationnels et soit $\displaystyle y = f(x) =
\sum_{n\geq 0} a_n
{x^n\over n!}$ avec
$a_n \in \Z$.

Si $y$ v\'erifie l'\'equa\-tion diff\'e\-rentielle
$F(x,y,y',\ldots,y^{(n)})=0$ et si
$${\partial F\over \partial y^{(n)}}\,
(x,f(x),f'(x),\ldots,f^{(n)}(x))\rule[-10pt]{0.3pt}{20pt}_{\, x=0} = a$$
avec $(a,p) = 1$, alors la
s\'erie de Taylor $g(x) = \sum_{n\geq 0} a_n x^n$ est un \'el\'ement
analytique $p$-adique sur
$D(0,1)^- \subset \C_p$; autrement dit, la suite $(a_n)_{n\in \N}$ est
$p$-presque
p\'eriodique.
\end{theorem}

\dem On a $y^{(k)} = f^{(k)}(x) = \displaystyle \sum_{n\geq k}\, a_n\,
{x^{n-k}\over
(n-k)!}$. De $F(x,y,\ldots,y^{(n)}) = 0$ on tire:
$\displaystyle {\partial F\over \partial y^{(n)}} \cdot y^{n+1} +
{\partial F\over \partial y^{(n-1)}} \cdot y^{(n)} + \dots + {\partial F\over
\partial y} \cdot y' + {\partial F\over \partial x} = 0$ ce que l'on peut
\'ecrire
$P(x,y,y',\ldots,y^{(n)})\, y^{(n+1)} = Q_0(x,y,y',\ldots,y^{(n)})$. De
l\`a on tire
\begin{eqnarray*}
P\cdot y^{(n+2)}& = &{d\over dx}\, (Q_0) - y^{(n+1)} {dP\over dx}\\
& = & Q_1(x,y,y',\ldots,y^{(n+1)}\\
P\cdot y^{(n+3)}& = &{d\over dx}\, (Q_1) - y^{(n+2)} {dP\over dx}
\end{eqnarray*}
et donc $P^2 \cdot y^{(n+2)} = Q_2(x,y,\dots,y^{(n+1)})$ et par r\'ecurrence
$P^k \cdot y^{(n+k+1)} = Q_k(x,y,\ldots,y^{(n+1)})$.\smallskip

On remarque que si $\displaystyle f(x) = a_0 + a_1{x\over 1!} + \ldots +
a_n {x^n\over n!} + \ldots$ avec $a_n \in \Z$ alors
$(f(x) - a_0)^m = f(x)^m - mf(x)^{m-1} a_0 + \ldots + (-1)^m a_0^m \equiv
0$ modulo
$m!$, o\`u la congruence est \`a prendre au sens suivant: \\
Si $\displaystyle f(x) = \sum_{n\geq 0} a_n {x^n\over n!}$ et
$\displaystyle h(x) = \sum_{n\geq 0} b_n {x^n\over n!}$ avec $a_n$ et $b_n
\in \Z$,
alors la congruence $f\equiv h \pmod{m}$ \'equivaut par d\'efinition \`a
$a_n \equiv b_n \pmod{m}$ pour
tout
$n\geq 0$.
\smallskip

Il faut donc montrer que si $a_0 = 0$ alors
$f^m(x) \equiv 0 \pmod{m!}$. On montre ceci par r\'ecurrence. C'est vrai pour
$m=1$. Supposons que ce soit vrai pour $m-1$. Alors
$\displaystyle {d\over dx} f^m(x) = mf'(x)\,f^{m-1}(x)$ et on conclut en
utilisant
l'hypoth\`ese de r\'ecurrence et le fait que les s\'eries exponentielles
forment une
alg\`ebre.

Donc: $$Q_k(x,y,y',\ldots,y^{(n+1)}) \equiv R_k(x,y,y,y',\ldots,y^{(n+1)})
\pmod{m}$$ o\`u $R_k \in
\Z[x,y,y',\ldots,y^{(n+1)}]$ est de degr\'e $m-2$ au plus en chacune des
variables et ses coefficients
sont modulo
$m$. On appelle un tel polynome un polynome r\'eduit. Le nombre de
polynomes r\'eduits
distincts est fini et au plus $N-1$. Donc pour tout $k$, on a:
$$
P^N \cdot y^{(n+k+1)} = Q_k(x,y,\ldots,y^{(n+1)}) \pmod{m}
$$
o\`u $\overline{R}_k$ est un polynome r\'eduit. Il existe donc un $i$,
$1 \leq i \leq N-1$, tel que $\overline R_i(x,y,\ldots,y^{(n+1)}) =
\overline{R}_N(x,y,\ldots,y^{(n+1)})$

Donc
$P^N\cdot y^{(n+N+1)} \equiv P^N \, y^{(n+i+1)} \pmod{m}$. Comme on a
suppos\'e que $P(x,y,y',\ldots,y^{(n+1)})\rule[-10pt]{0.3pt}{15pt}_{\, x=0}
= a$ avec $(a,p) = 1$ on
en d\'eduit que $y^{n+N+1)} \equiv y^{(n+i+1)} \pmod{p^h}$ si l'on a choisi
$m=p^h$. Il est
alors imm\'ediat que la suite $a_n$ est $p$-presque p\'eriodique. \fdem

On voit apparaitre dans ce th\'eor\`eme la relation une s\'erie
g\'en\'eratrice exponentielle ayant de
bonne propri\'et\'es fonctionnelles et la s\'erie g\'en\'eratrice ordinaire
ayant de bonnes
propri\'et\'es de prolongeabilit\'e analytique $p$-adique. Pour exploiter
cette relation, on introduit
la transformation de Laplace formelle.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%definition{d2.1}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{definition}
[cf. \cite{db11}]\label{d2.1} Soit $\widetilde{F}(X) = \displaystyle
\sum_{n\geq 0} a_n
{X^n\over n!}\in K[[X]]$ o\`u
$K$ est un surcorps de $\Q$. On pose $\L(\widetilde{F}(X)) = F(X) =
\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n X^n$. On appelle l'application $\L$, la
transformation de Laplace formelle.
\end{definition}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%lemme{l2.1}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{lemma}
[cf. \cite{db4}]\label{l2.1} La transformation de Laplace formelle poss\`ede les
propri\'et\'es suivantes~:
\begin{description}
\item{i)} $\L$ est continue pour la topologie $X$-adique,
\item{ii)} $\L (e^{aX}) = \displaystyle {1\over 1-aX}$
\item{iii)} si $\L(\widetilde{F}(X)) = F(X)$ alors $\L(e^{aX}
\widetilde{F}(X)) =
\displaystyle {1\over 1-aX}\, F ({X\over 1-aX})$
\item{iv)} $\L \Big( \displaystyle {d\over dx}\, X {d\over dX}\,F(X))\Big) =
{d\over dX}\, (F(X))$.
\end{description}
\end{lemma}

\dem Ces propri\'et\'es sont \'evidentes, nous allons seulement d\'emontrer
iii). On pose
$\widetilde{F}(X) = \displaystyle \sum_{n\geq 0} b_n {X^n\over n!}$, il vient~:
$$
e^{aX}\, \widetilde{F}(X) = \sum_{n\geq 0}\,
\left( \sum_{k=0}^n a^k n_{n-k}\left(
a\atop k
\right)\right)\, {X^n\over n!}
$$
et par cons\'equent~:
\begin{eqnarray*}
\L(e^{aX}\widetilde{F}(X))& = &\sum_{n\geq 0} \left( \sum_{k=0}^n a^k n_{n-k}
{n\choose k} \right)  X^n \\
& = & \sum_{n\geq 0} b_n \sum_{k\geq 0} X^{n+k} a^k
{ n+k \choose k} \\
& = & \sum_{n\geq 0} b_n {X^n\over (1-aX)^{n+1}}.\hspace{2cm} \fdem
\end{eqnarray*}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%lemme{l2.2}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{lemma}\label{l2.2}
Soit $\widetilde{F}(X) = \displaystyle {\sum_{n\geq 0}} a_n {X^n\over n!}
\in K[[X]]$,
on peut \'ecrire de mani\`ere unique
$\widetilde{F}(X) = \displaystyle \sum_{n\geq 0} b_n (e^X-1)^n$ avec $b_n
\in K$.
\end{lemma}

\dem C'est clair car $T = e^X - 1$ est une uniformisante locale de
$K[[X]]$.\fdem

Le th\'eor\`eme suivant est la clef des applications.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%theoreme{t2.5}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}\label{t2.5}
Soit $\widetilde{F}(X) = \displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n {X^n\over n!} \in
\C_p[[X]]$. Il existe
une suite $(b_n)_{n\in \N}$ d'\'el\'ements de $\C_p$ telle que l'on ait
formellement
$\widetilde{F}(X) =
\displaystyle
\sum_{n\geq 0} b_n (e^X - 1)^n$. On pose $ \displaystyle T = e^X - 1$ et $
\displaystyle\widetilde{G}(T)=\sum_{n\geq 0} b_n T^n$. On pose $\displaystyle F(X)=
\L(\widetilde{F}(X))=\sum_{n\geq 0} a_nX^n$ et
$\displaystyle G(T) = \L(\widetilde{G}(T)) = \sum_{n \geq 0} (n!)\, b_n
T^n$. Les deux
propositions suivantes sont \'equivalentes~:
\begin{description}
\item{i)} $F(X)$  est un \'el\'ement analytique $p$-adique sur $D(0,1)^-$ ;
\item{ii)} $G(T)$ est un \'el\'ement analytique $p$-adique sur $D(0,1)^-$.
\end{description}
\end{theorem}

Montrons tout d'abord i) $\Rightarrow$ ii).

Soit $F_n$ une fraction rationnelle de $\C_p(X)$ approchant $F$
uniform\'ement sur
$D(0,1)^-$. On d\'ecompose $F_n$ en \'el\'ement simple et on est donc
amen\'e \`a \'etudier
$f_k(X) = \displaystyle {1\over (1-aX)^k}$ avec $| a | \leq 1$, et
$h_k(X) = X^k$, $k\in \N$. On a $f_1(X) = \displaystyle {1\over 1-aX}$ et
$f_k(X) = \displaystyle {1\over k!}$
$ f_k(X) = \displaystyle {1\over k!}\, a^{-k+1} {d^{k-1}\over dX^{k-1}}
(f_1(X))$. Or
$\tilde f_1(X) = e^{aX} = (e^X - 1 + 1)^a$ donc $\tilde f_1(X) =
\displaystyle\sum_{n\geq 0} \left( a \atop n \right)\, (e^X - 1)^n$ et donc
$\tilde g_1(T) = \displaystyle \sum_{n\geq 0} \left( a \atop n \right)\, t^n$,
$g_1(T) = \displaystyle \sum_{n \geq 0} a(a-1) \ldots (a - n + 1)\, T^n$ avec
$|a| \leq 1$.

Or $a-k-p^h \equiv a-k \pmod{p^h \sho_p}$ o\`u $\sho_p$ est l'anneau des
entiers de
$\C_p$, et donc, si $n = rp^h + q$ avec $0 \leq q \leq p^h -1$, on a~:
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{a(a-1)\ldots (a-n+1) \equiv }\hspace{2cm}\\
& & a(a-1) \ldots (a-q+1)
\{ a(a-1) \ldots (a-p^h + 1)\}^r \pmod{p^h}
\end{eqnarray*}
et donc modulo $p^h \sho_p [[T]]$:
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{g_1(T) \equiv }\\
&\equiv & \sum_{n=0}^{p-h-1} a(a-1)\ldots (a-n+1) T^n
\sum_{r\geq 0} (a(a-1) \ldots (a-p^h + 1))^r T^{rp^h}\\
&\equiv & \sum_{n=0}^{p^h-1} a(a-1) \ldots (a-n+1)\, T^n\,
{1\over 1 - a(a-1) \ldots (a-p^h + 1)\, T^{p^h}}
\end{eqnarray*}
Raisonnons par r\'ecurrence sur $k$. On a montr\'e que
$g_1(T) \in \shh_0(D(0,1)^-)$, supposons que
$g_{k-1} \in \shh_0(D(0,1)^-)$, on a:
\begin{eqnarray*}
\tilde f_k(X) &=& {1\over ka}\, {d\over dX}\, X\, {d\over dX}\,
(\tilde f_{k-1}(X))\\
& = & {1\over ka}\, {d\over dX}\, X\, {d\over dX}\,
\sum_{n\geq 0} b_n(k-1)\,(e^X - 1)^n\\
& = & {1\over ka}\, {d\over dX}\, \sum_{n\geq 0}(b_{n+1}(k-1)\cdot (n+1) +
n\cdot b_n(k-1))\, (e^X - 1)^n \\
& = & {1\over ka}\, \sum_{n \geq 0} \big\{ (n+1)\, b_{n+1}(k-1) +
nb_n(k-1)\big\}(e^X - 1)^n+\\
& &\quad + {1\over ka}\, X\, \sum_{n\geq 0} \big\{ (n+2)\,(n+1) b_{n+2}(k-1) +
((n+1)^2 +\\
& &\quad + n(n+1)) b_{n+1}(k-1)+ n^2\, n_n(k-1)\big\} (e^X - 1)^n.
\end{eqnarray*}

On pose $A_n = \displaystyle {1\over ka} ((n+1)\, b_{n+1}(k-1) + nb_n(k-1)$ et\\
$B_n = \displaystyle {1\over ka} ((n+2)\, b_{n+2}(k-1) +
((n+1)^2 + n(n+1)\, b_{n+1}(k-1) + n^2 b_n(k-1))$.

Il est clair que $\tilde g_k(T) = \displaystyle \sum_{n\geq 0} A_n T^n + {\rm
Log}(1+T) \sum_{n\geq 0} B_N T^n$ et donc
$g_k(T) = \displaystyle \sum_{n\geq 0} (n!) A_n T^n + \sum_{n\geq 0} T^n
\sum_{n=0}^{n=1} (k!) ((n-k-1)!)\, \left( n\atop k \right)\, B_k$.\medskip

Les suites $n \rightarrow (n!)\, A_n$ et $k \rightarrow (k!)\, B_k$ sont
$p$-presque
p\'eriodiques,  donc la suite
$\displaystyle n \rightarrow C_n = \sum_{k=0}^{n-1} (k!)\, ((n-k-1)!)\,
{ n\choose k}B_k$ l'est aussi.  En effet la suite $k \rightarrow k!$ tend vers
z\'ero $p$-adiquement, et la suite $n \rightarrow \left( n\atop k \right)$ est
$p$-presque p\'eriodique.

On a donc montr\'e que $g_k \in \shh(D(0,1)^-)$ pour tout
$k \in \N$. Il reste donc \`a \'etudier le cas de $X^n$. Or on a
$X = {\rm Log}(e^X - 1 + 1) = \displaystyle\sum_{n\geq 0} {(-1)^n\over n}\,
(e^X - 1)^n$ et la suite $n \rightarrow (-1)^n (n-1)!$ est presque
p\'eriodique.

Par
r\'ecurrence, on montre alors ais\'ement que si
$X^k = \displaystyle \sum_{n\geq 0} c_n(e^X-1)^n$ alors la suite
$n \rightarrow (n!) c_n$ est presque-p\'eriodique. On conclut alors que les
fractions
rationnelles satisfont ii).

Les \'el\'ements analytiques v\'erifient ii) car
$F \equiv F_n \pmod{p^h \sho_p [[X]])}$ entraine $G(T) \equiv G_n(T)\,
\pmod{p^h \sho_p[[T]]}$.\medskip

Montrons maintenant que ii) $\Rightarrow$ i). On a
$\widetilde{F}(X) = \displaystyle \sum_{n \geq 0} b_n(e^X - 1)^n$ et donc
$F(X) = \displaystyle \sum_{n\geq 0} {(n!)\, X^n\,b_n \over (1-X)\, (1-2X)
\ldots
(1-nX)}$. Comme la suite $n \rightarrow (n!)\,b_n$ est $p$-presque
p\'eriodique on a:
$$
\forall\ h\in \N \ \exists\, N \mbox{  et } \exists\, m\in \N
\mbox{ tels que } \forall\, n \geq N, \
| n!\, b_n - (n+m)!\, b_{n+m}| \leq p^{-h}.
$$
On a $F(X) \equiv F_h \pmod{p^h \sho_p[[X]]}$ o\`u
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{F_n(X) = \sum_{n=0}^{s-1} b_n\, {n!\, X^n\over (1-X) \ldots
(1-nX)}+}\hspace{5mm}\\
& & +\sum_{n=s}^{s + mp^k-1} { b_n\, n!\, X^n\over (1-X) \ldots (1-nX)}\,
\sum_{r \geq 0} {X^{rmp^h}\over ((1-X) \ldots (1 - (mp^h - 1) X))^r}\\
\lefteqn{F_n(X) = \sum_{n=0}^{s-1} b_n\, {n!\, X^n\over (1-X) \ldots
(1-nX)}+} \\
& &\hspace{-6mm} +\sum_{n=s}^{s + mp^k-1}  { b_n\, n!\, X^n\over (1-X) \ldots
(1-nX)} \cdot  {(1-X) \ldots (1-(mp^h-1)\,X)\over (1-X) \ldots (1-(mp^h - 1)
X)-X^{mp^h}}
\end{eqnarray*}
et donc $F_h(X)$ est une fraction rationnelle sans pole dans $D(0,1)^-$,
d'o\`u le
th\'eor\`eme. \fdem

\subsubsection{Remarque} Un cas particuli\`erement agr\'eable est celui
o\`u la suite
$n \rightarrow n!\, b_n$ a pour limite $p$-adique z\'ero. Ce cas est
fr\'equent pour les
nombres d\'efinis combinatoirement ou arithm\'etiquement (cf. ci-apr\`es).

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%section{Suites classiques de nombres%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Suites classiques de nombres.\label{suites.classiques}}
Nous allons montrer sur quelques exemples comment utiliser les techniques
indiqu\'ees
ci-dessus.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%proposition{p2.1}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{proposition}
[cf \cite{ig}] \label{p2.1} Soit $g_n$ les nombres d\'efi\-nis par la
s\'erie g\'en\'eratrice
exponentielle, $\displaystyle \sum_{n\geq 0} g_n {X^n\over n!} = {1\over
2-e^X}$. \smallskip

On a $g_{n+(p-1)p^h} \equiv g_n \pmod{p^h}$ pour $n \geq h$. Autrement dit
$ \sum_{n\geq 0} g_n\, X^n$ est un \'el\'ement analytique $p$-adique sur
$D(0,1)^+ - \displaystyle \bigcup_{i=1}^{p-1} D(i,1)^-$.
\end{proposition}

\dem Ces nombres ont une interpr\'etation combinatoire. Ils comptent les
arrangement pr\'ef\'erentiels ou
partitions ordonn\'ees d'un ensemble, cf \cite{touchard1} On a:
 $$\widetilde{F}(X) = {1\over 1 + (1-e^X)} = \sum_{n\geq 0} (e^X - 1)^n$$
ici
$b_n = 1$. Donc:
$$F(X) = \sum_{n\geq 0} {n!\, X^n \over (1-X)\ldots (1-nX)} =
\sum_{n \geq 0} \sum_{k=0} (-1)^{n-k}\, \left( n\atop k \right)\, {1\over
(1-kX)}$$
De l\`a on d\'eduit que:
$$F(X) \equiv F_n(x) = \sum_{k=0}^{n-1} {k!\, X^k \over
(1-X) \ldots (1-kX)} \pmod{n!\Z[[X]]}$$
et donc
$g_r \equiv  \sum_{m=0}^{n-1} \sum_{k=0}^{m} (-1)^{m-k}\,
{ m\choose k } \pmod{n!}$. Le petit th\'eor\`eme de Fermat donne alors les
congruences annonc\'ees. D'autre part, on a
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{(1-X) \ldots (1-(n-1)\, X) \sum_{n \geq 0} g_n X^n \equiv }\\
& &\sum_{m=0}^{n-1} m!\, X^m(1-(m+1) X)\ldots (1-(n-1) X)
\end{eqnarray*}
d'o\`u des relations de r\'ecurrence ${\rm mod}(n!)$ entre les $g_n$.\fdem

\subsubsection{Remarque 1} Les relations de r\'ecurrence ${\rm mod}(n!)$
s'interpr\`etent dans ce cadre par le fait que la s\'erie g\'en\'eratrice
des $g_n$ est une
limite uniforme de fractions rationnelles que l'on connait explicitement.

\subsubsection{Remarque 2} On constate que $Y = F(X) = (2-e^x)^{-1}$ v\'erifie
l'\'equation diff\'erentielle alg\'e\-bri\-que $Y' = 2Y^2 - Y$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%theoreme{t2.6}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}
[{\sc Kubota} \& {\sc Leopoldt}, \cite{kl} ou \cite{ki}] \label{t2.6} Soit $0 \leq i <
p-1$ et soit
$B_n$ le
$n$-i\`eme nombre de Bernoulli.

La suite $m \rightarrow (1-p^{i+m(p-1)-1}) B_{i+m(p-1)}$ est la restriction
\`a $\N$
d'une fonction continue de $\Z_p$ dans $\C_p$ (et meme localement analytique).
\end{theorem}

\dem On d\'efinit $\displaystyle \sum_{n\geq 0} B_n {x^n\over n!} = {x\over
e^x - 1} =
\sum_{i=0}^{p-1} - {xe^{ix}\over e^{px}-1}$ et donc\\
$\displaystyle \sum_{n\geq 0} (1-p^{n-1}) B_n\, {x^n\over n!} =
\sum_{i=1}^{p-1} - {xe^{ix}\over e^{px}-1} = \sum_{i=1}^{p-1} -
p^{-1}\, {e^{ix} {\rm Log}(1 + e^{px}-1)\over e^{px}-1}$ et donc \\
$\sum_{n\geq 0} (1-p^{n-1}) B_n\, x^n = \displaystyle \sum_{i=1}^{p-1}
\sum_{n\geq 0} {(-1)^{n+1}\over n+1} {p^{n-1} n!\, x^n\over
(1-ix) \ldots (1 - (i + np)\,x)} = F(X)$, il est alors facile de voir que
$F \in \shh_0(\C_p - \bigcup_{i=1}^{p-1} D(i,1)^-)$ et le corollaire 1 donne le
r\'esultat. (cf. \cite{db2}).\fdem

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%proposition{p2.2}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{proposition}
[cf. \cite{db7}] \label{p2.2} Soit $A_n(t)$ le $n$-i\`eme polynome
Eul\'erien d\'efini par
$\displaystyle \sum_{n\geq 0} A_n(t) {x^n\over n!} = {1-t\over -t +
e^{x(t-1)}}$.
Soit $A_n^*(t)$ les fractions rationnelles d\'efinies par
$A_n^*(t) = \displaystyle {tA_n(t)\over (t-1)^{n+1}} - p^n\, {t^p A_n(t^p)\over
(t^p-1)^{n+1}}$. Alors pour $n \equiv i \pmod{p-1}$ la suite
$n \rightarrow A_n^*(t)$ est la restriction \`a $\N$ d'une fonction
continue $p$-adique
de $\Z_p$ \`a valeurs dans $\Q(t) \otimes \Q_p$.
\end{proposition}

\dem Een effet un calcul \'el\'ementaire (cf. \cite{db7}) donne:
$$
\sum_{n\geq 0} A_n^*(t) {v^n\over n!} =
\sum_{i=1}^{p-1}\, \sum_{n \geq 0}\, e^{iv}\, {t^{p-i}\over t^p - 1}\,
\left( {e^{pv}-1\over t^p-1} \right).
$$
La suite du calcul se m\`ene comme pour les nombres de Bernoulli. \fdem

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%proposition{p2.3}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{proposition}
[cf. \cite{ig}] \label{p2.3} Soit $\widetilde{F}(X) = \displaystyle
\sum_{n\geq 0} t_n
{x^n\over n!} =
\exp \left( x + {x^2\over 2}\right)$. Alors
$F(x) = \displaystyle \sum_{n\geq 0} t_n x^n = \sum_{n\geq 0}\,
{2n!\over 2^n\,n!}\, {x^{2n}\over (1-x)^{2n+1}}$ et donc la suite
$(t_n)_{n\geq 0}$ est la restriction, si $p ~ 2$, d'une fonction continue
$p$-adique
de $\Z_p$ dans $\Q_p$ (et meme localement analytique, cf. th\'eor\`eme
\ref{t1.2}). (Si
$p=2$ on peut donner des congruences modulo $2^h$ entre les $t_n$ cf.
\cite{db1}).
\end{proposition}

\dem Les nombres $t_n$ ont une interpr\'etation combinatoire. Ils comptent
le nombre de partitions
d'un ensemble en blocs de taille 1 ou 2, cf. \cite{chowla2}. On a
$\widetilde{F}(x) = e^x\, \widetilde{G}(x)$ o\`u $\widetilde{G}(x) =
e^{x^2/2}$. Or
$\L\, \widetilde{G}(x) = \displaystyle \sum_{n\geq 0} 2^{-n}(2n!)\,
{x^{2n}\over n!}$
et donc d'apr\`es le lemme~\ref{l2.1}:
$$F(x) = \L(\widetilde{F}(x)) = \sum_{n\geq 0}\, {2n!\over 2^n\, n!}\,
{x^{2n}\over (1-x)^{2n+1}}$$
 d'o\`u le r\'esultat grace au crit\`ere d'Amice.\fdem

 On remarquera
que $Y = \exp(x+x^2/2)$ satisfait l'\'equation diff\'e\-ren\-tielle
alg\'e\-brique
$Y^2 = Y'' Y' - (Y')^2$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%proposition{p2.4}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{proposition}
[cf. \cite{db1}, \cite{lc3}, \cite{phf}, \cite{ig}, \cite{chr}]\label{p2.4}
Soit $P_n$ le $n$-i\`eme
nom\-bre de Bell, d\'e\-fi\-ni par la s\'erie g\'en\'eratrice
$\displaystyle \sum_{n\geq 0} P_n\, {x^n\over n!} = e^{e^x-1} =
\widetilde{F}(x)$
v\'erifient les congruences suivantes. Posons $k(p) ={p^p -
1\over p-1}$ alors:
\begin{enumerate}
\item $P_n \equiv P_{n+k(p)p^{h-1}} \pmod{p^h}$ si
$p \not = 2$ $(h \geq 1)$,
\item $P_n \equiv P_{n+k(2)} \pmod{2}$ et
 $P_n \equiv P_{n+k(2)2^h} \pmod{2^h}$, $h \geq 2$.
\end{enumerate}
 En outre
$F(x) = \displaystyle \sum_{n\geq 0} P_n x^n$ est un \'el\'ement analytique
sur le
quasi-connexe $\shd_p = \C_p - \displaystyle \bigcup_{i=1}^p
D(\zeta_i,1)^-$ o\`u
$\zeta_i$ sont les racines de l'\'equation $1-X^{p-1}-X^p = 0$.
\end{proposition}

\dem On a $\widetilde{F}(x) = e^{e^x-1} = \sum_{n\geq 0} (e^x-1)/ n!$
donc:
$$F(x) =  \sum_{n \geq 0} {x^n\over (1-x)\ldots (1-nX)}$$
On montre alors comme au th\'eor\`eme \ref{t2.5} que $\displaystyle F(x)
\equiv F_h(x) \pmod{p^h
\Z[[x]]}$ o\`u $F_h(x) = {\sum_{n=0}^{p^h-1}
x^n(1-(n+1)x)\ldots(1-(p^h-1)x)\over (1-x)\ldots (1-(p^h-1)x)-x^{p^h}}$.\medskip

Une \'etude pr\'ecise des $F_h$ et le th\'eor\`eme de Mittag Leffler
$p$-adique donnent le
r\'esultat.\fdem

Remarquons que $Y = e^{e^x-1}$ satisfait l'\'equation diff\'erentielle
alg\'ebrique $Y' = Y'' Y - Y^2$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%proposition{p2.5}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{proposition}[cf. \cite{ig}]\label{p2.5} Soit $F(x) = \displaystyle
\sum_{n\geq 0} d_n
{x^n\over n!} = {e^{-x}\over 1-x}$. La suite $n \rightarrow (-1)^n d_n$
est, pour tout nombre premier
$p$, la restriction \`a $\N$ d'une fonction continue de $\Z_p$ dans $\C_p$
(et meme
localement analytique de $\Z_p$ dans $\C_p$).
\end{proposition}

\dem Les nombres $d_n$ ont une interpr\'etation combinatoire (cf
\cite{lc}). Ils comp\-tent le nombre
de d\'erangement d'une permutation. On a
$\L \left( \displaystyle{1\over 1-x} \right) = \displaystyle\sum_{n\geq 0}
n!\,x^n$
et donc d'apr\`es le lemme \ref{l2.1}, on a~:
$\L\left( \displaystyle{e^{-x}\over 1-x} \right) = \displaystyle{1\over 1+x}\,
\displaystyle\sum_{n\geq 0} n!\, {x^n\over (1 + x)^n}$.\smallskip

Et par cons\'equent:
$\displaystyle \sum_{n\geq 0} (-1)^n d_n\, x^n = \sum_{n\geq 0}(-1)^n \, n!\,
{x^n\over (1-x)^{n+1}}$. Le crit\`ere d'Amice donne alors le r\'esultat.

On remarque
que
$Y = F(x)$ v\'erifie l'\'equation diff\'erentielle alg\'ebrique
$Y = -(1-x)\, Y - (1-x)\, Y'$.\fdem

On pourrait multiplier les exemples cf. \cite{db1} \`a \cite{db11}, \cite{lc1}
\`a \cite{lc3}, \cite{phf}, \cite{ig}, \cite{chr} ainsi que de nombreux
articles non
cit\'es ici.

On a le r\'esultat suivant du \`a Carlitz (\cite{lc2}) (cf. aussi
\cite{db8} et \cite{db9}
pour une autre d\'emonstration).

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%theoreme{t2.7}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}
[cf. \cite{lc2}), \cite{db9}]\label{t2.7} Soit $X = \displaystyle
\sum_{n\geq 1} e_n
{Y^n\over n}
\in
\C_p[[X]]$ avec $e_1 = 1$ et $| e_n| \leq 1$, soit
$Y = \displaystyle \sum_{n\geq 1} a_n {X^n\over n!}$ la s\'erie
r\'eciproque de $X$. Soit
$c \in \C_p$ tel que $|c^{p-1}-e_p| \leq p^{-1}$, alors on a~:
$Y = \displaystyle \sum_{n\geq 1} b_n(e^{cX}-1)^n$ o\`u $b_n = b_n(c)$, avec
\begin{description}
\item{i)} $b_1 = c^{-1}$
\item{ii)} $| b_n| \leq | c|^{-n}$ si $1 \leq n \leq 2p-1$
\item{iii)} $| b_n| \leq |c|^{-n} \cdot r_p^{n-1}$ si $n \geq 2p$ o\`u
$r_p = p^{1/(2p-2)}$ si $p ~ 2$ et $3$, $r_3 = 3^{2/7}$, $r_2 = 2^{3/4}$.
\end{description}
\end{theorem}

\dem La d\'emonstration est bas\'ee sur le th\'eor\`eme d'inversion de
Lagrange des s\'eries
formelles. On peut remarquer que ce th\'eor\`eme est, a priori, en dehors
du champ
d'application du th\'eor\`eme de Fujiwara.\fdem

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%corollaire{c2.2}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{corollary}\label{c2.2}
Avec les notations et les hypoth\`eses du th\'eor\`eme \ref{t2.7}, la s\'erie
$F(X) = \displaystyle \sum_{n\geq 1} a_n\, X^n$ est un \'el\'ement
analytique sur
$D(0,1)^-$. Si l'on suppose que $| e_p| = 1$ et donc que $| c| = 1$, alors
$F$ est un
\'el\'ement analytique $p$-adique sur
$D(0,1)^+ - \displaystyle \bigcup_{i=1}^{p-1} D(i^{-1} c^{-1},1)^-$.
\end{corollary}

\dem $$ F(X) =  \sum_{n\geq 1}\, {n!\, c^n\, b_n \, X^n\over
(1-cX)\ldots (1-ncX)}$$
et d'apr\`es le th\'eor\`eme~\ref{t2.7},
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} | n!\, b_n| = 0$, le corollaire est
imm\'ediat.\fdem

Parmi les applications de ce th\'eor\`eme, on peut citer les nombres de
Schroder, cf.
\cite{db9} et les coefficients des fonctions elliptiques de Weierstrass,
cf.\cite{lc1},
\cite{db8}, \cite{nk1}, \cite{nk2}.

En fait, on peut remarquer que, si l'on a certaines congruences de type
{\em Cartier-Honda}
entre les $e_n$, alors on a de meilleures estimations pour $| b_n|$ et donc de
meilleures congruences pour la suite $(a_n)_{n>0}$. Plus pr\'ecis\'ement,
nous allons
montrer que si les $e_n \in \Z$ et s'il existe $\omega \in \Z_p$ tel que,
pour tout
$n > 0$, $e_{np^h} \equiv \omega e_{np^{h-1}} \pmod{p^h \Z_p}$ alors
$\sup_{n\in \N}(|b_n|) = 1$ si $| e_p | = 1$. Pour montrer ceci, nous
aurons besoin du
r\'esultat suivant du \`a Dwork.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%theoreme{t2.8}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}[cf. \cite{bd}, \cite{nk3}]\label{t2.8} Soit $K$ l'extension
maximale non ramifi\'ee de
$\Q_p$ et soit
$\sigma$ le Frobenius sur $K$ (i.e. $\omega$ est l'unique automorphisme du
groupe de
Galois de
$K$ sur $\Q_p$, tel que, si $x \in K$ et $| x| = 1$ alors
$| \sigma(x) - x^p| < 1$).

Soit $F(X) \in 1 + XK[[X]]$. Soit
$A_p = \{ x \in K ; | x| \leq 1\}$ l'anneau des entiers de $K$.

Alors
$F(X) \in 1 + XA_p[[X]]$ si et seulement si
$\displaystyle {(F(X))^p\over F^\sigma(X^p)} \in 1 + pX\, A_p[[X]]$ o\`u
$F^\sigma(X) = \displaystyle\sum_{n\geq 0} \sigma(a_n) X^n$ si
$F(X) = \displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n\, X^n$.
\end{theorem}

\dem On peut \'ecrire formellement
$F(X) = \displaystyle \prod_{n>0} (1 + b_n\, X^n)$ avec $b_n \in K$.
Supposons que
$F(X) \in 1 + X \cdot A_p[[X]]$, alors il est clair que $b_n \in A_p$, et donc
$$
{(F(X))^p\over F^\sigma(X^p)} = \prod_{n \geq 1}{(1 + b_n X^n)^p\over
1 + \sigma(b_n)\, X^{np}} \equiv \prod_{n\geq 1}{1 + b_n^p\, X^{np}\over
1 + \sigma(b_n)\, X^{np}} \pmod{pA_p[X]]}
$$
Or $\displaystyle{1 + b_n^p\, X^n\, p\over 1 + \sigma(b_n)\, X^{np}} \in 1
+ pX$ par
d\'efinition de $\sigma$ et donc $\displaystyle {(F(X))^p\over
F^\sigma(X^p)} \in 1 +
pX\, A_p[[X]]$.\smallskip

R\'eciproquement, si la derni\`ere relation est vraie, alors
$\displaystyle{(1 + b_1\,X)^p\over 1 + \sigma(b_1)\, X^p} = 1 + p\alpha_1 X
+ X^2\,
K[[X]]$, avec $| \alpha_1| \leq 1$, et donc $pb_1 = p\alpha_1$ ce qui implique
$| b_1| \leq 1$. Par r\'ecurrence, on montre que
$\displaystyle {(1 + b_K\, X^k)^p\over 1 + \sigma(b_k)\, X^{kp}} = 1 +
p\alpha_k\, X^k + X^{k+1}\, K[[X]]$, avec $|\alpha_k |\leq 1$, et donc
$| b_k| \leq 1$.\fdem

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%theoreme{t2.9}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}\label{t2.9}
Soit $\displaystyle Y = \sum_{n\geq 1} a_n\, {X^n\over n!}$ et
$\displaystyle X = \sum_{n\geq 1} e_n\, {Y^n\over n}$ deux s\'eries
r\'eci\-proques de
$\Q_p[[X]]$, telles que $e_1 = 1$ et $e_n \in \Z_p$ pour tout entier $n
\geq 1$. Les
deux propositions suivantes sont \'equivalentes~:
\begin{description}
\item{i)} On a $| e_p| = 1$ et il existe $\omega \in \Z_p$ tel que, pour
tout $n\geq
1$ et tout $h\geq 1$, $e_{np^h} \equiv \omega e_{np^{h-1}} \pmod{p^h \Z_p}$,
\item{ii)} Il existe un nombre $c$ de l'extension maximale non ramifi\'ee $K$ de
$\Q_p$, tel que $| c| = 1$ et $Y = \displaystyle \sum_{n\geq 1}
b_n(e^{cX}-1)^n$ avec
$\displaystyle\sup_{n\geq 1}\,| b_n| = 1$, et on peut choisir $\omega =
\sigma(c)/c$, o\`u $\sigma$
est le {\em Frobenius} de K sur $\Q_p$.
\end{description}
\end{theorem}

Pour une d\'efinition du {\em Frobenius}  cf. \cite{cassels1} ou \cite{dwork2}.

\dem D\'emontrons i)
$\Rightarrow$ ii). Nous allons commencer par montrer que, s'il existe
$\omega \in \Z_p$ tel que $e_{{np}^h} \pmod{p^h \Z_p}$, on a en posant
$\omega = \sigma(c)/c$, $\displaystyle e^{cX} = 1 +  \sum_{n\geq 1} d_n\,
Y^n$ avec
$| d_n | \leq 1$, $d_1 = c$ (et donc $| d_1| = 1$, car $e_p \equiv \omega
\pmod{p}$). Pour montrer
ceci, on va utiliser le th\'eor\`eme \ref{t2.8}
$$
{\big(\exp(c \sum_{n\geq 1} e_n {Y^n\over n})\big)^p\over
\exp\big(\sigma(c) \sum_{n\geq 1}
e_n {Y^{np}\over n}\big)} =
\exp \left\{ \left( \sum_{n\geq 1} p\, c\, e_n {Y^n\over n}\right) -
\left( \sum_{n\geq 1} \sigma(c)\, e_n\, {Y^{np}\over n}\right)\right\} ;
$$
posons
$$
F(Y) = e^{cX} = \exp \left( c \sum_{n\geq 1} e_n \, {Y^n\over n}\right).
$$
On a :
$$
{(F(Y))^p \over F^\sigma(Y^p)} = \exp \left\{
\sum_{ n\geq 1 \atop  (n,p) = 1} p\, c\, e_n {Y^n\over n} +
\sum_{n \geq 1} {ce_{np} - \sigma(c) e_n\over n}\, Y^{np} \right\},
$$
or $ \displaystyle\left|{ce_{np}-e_n\over n}\right| \leq p^{-1}$ pour tout
$n \geq 1$.

Par cons\'equent :
$$
{(F(Y))^p\over F^\sigma(Y^p)} = \exp \left\{
\sum_{ n\geq 1 \atop  (n,p)=1}
p\, c\, e_n {Y^n\over n} + \sum_{n\geq 1} p\alpha_n Y^{np} \right\},
$$
avec $| \alpha_n | \leq 1$.

On a donc montr\'e que $\displaystyle {(F(Y))^p\over F^\sigma(Y^p)} \in 1 +
pX\, A_p[[X]]$ o\`u $A_p$ est l'anneau des entiers de $K$. D'apr\`es le
th\'eor\`eme
\ref{t2.8} ceci implique que $| d_n| \leq 1$ pour $n \geq 1$ et comme $d_1
= c$,
$\omega \equiv e_p \pmod{p}$, on a aussi $| d_1| = 1$. On tire
imm\'ediatement de
l\`a que~:
$$
Y = \sum_{n\geq 1} b_n(e^{cX}-1)^n,\quad {\rm avec}\quad
| b_1| = 1 \quad {\rm et} \quad | b_n| \leq 1 \quad {\rm pour}\quad n \geq 1.
\leqno(*)
$$
R\'eciproquement, supposons que les relations (*) soient vraies, alors
$e^{cX} = 1 + \displaystyle \sum_{n\geq 1} d_n\, Y^n$ avec $d_n| \leq 1$ pour
$n \geq 1$, et $d_1 = c$, donc $X = c^{-1}\, {\rm Log}\Big( 1 +
\displaystyle \sum_{n\geq 1} d_n Y^n\Big) = \sum_{n\geq 1} e_n {Y^n\over
n}$ avec
$e_n \in \Q_p$ car $a_n \in \Q_p$. Or il est bien clair que
$\exp \Big( c \displaystyle \sum_{n\geq 1} e_n {Y^n\over n}\Big) \in 1 + X\, A_p
[[X]]$. De l\`a on tire d'abord en d\'erivant logarithmitiquement que~:
$c \displaystyle \sum_{n\geq 1} e_n Y^n \in A_p[[X]]$ et donc que
$e_n \in \Z_p$, et d'apr\`es le th\'eor\`eme \ref{t2.8}
$\displaystyle{\exp \Big( pc \displaystyle
\sum_{n\geq 1} e_n {Y^n\over n}\Big)\over \exp \Big( \sigma (c)
\displaystyle \sum_{n\geq 1} e_n {Y^{np}\over n}\Big)} \in 1+ pX\,
A_p[[X]]$ ce qui
implique que $\displaystyle {ce_{np}-\sigma(c)\,e_n\over n} \in pA_p$ et donc
$e_{np} - \displaystyle {\sigma(c)\over c}\, e_n \in pn\,A_p$. D'o\`u le
th\'eor\`eme en
posant $\omega = \sigma(c)/c$.\fdem

Ce th\'eor\`eme est utile pour les congruences entre coefficients de fonctions
elliptiques (\cite{lc1}, \cite{nk1}, \cite{nk2}). Actuellement, il est
utilis\'e dans le
sens  i) $\Rightarrow$ ii) mais on pourrait l'utiliser dans le sens
ii) $\Rightarrow$ i) grace aux travaux de Carlitz.

\subsubsection{Remarque 1} Pour une \'etude de suites $(a_n)_{n\in \N}$
v\'erifiant des congruences \`a
la {\em Cartier-Honda} c'est \`a dire du type:
$a_n\equiv a_{np} \pmod{np\Z_p}$ cf. \cite{coster1},\cite{coster2},
\cite{dwork2}, \cite{young1},
\cite{zu1}.

\subsubsection{Remarque 2} Posons $c^{-n}\, a_n^* = \displaystyle
\lim_{h\rightarrow
\infty} c^{-n-(p-1)p^h}\, a_{n+(p-1)p^h}$, la limite \'etant au sens $p$-adique.
Sous les hypoth\`eses du th\'eor\`eme, la limite existe. Ce th\'eor\`eme
traduit alors
l'\'equivalence entre les congruences \`a la {\em Cartier-Honda} pour les
$e_n$ et le fait que
la suite $n \rightarrow c^{-n} a_n^*$ est, pour $n \equiv i \pmod{(p-1)}$, la
restriction \`a $\N$ d'une fonction de l'alg\`ebre d'Iwasawa \cite{ki}.
C'est-\`a-dire que la
suite $n \rightarrow c^{-i-(p-1)n} a_{i+(p-1)n}^*$ est la restriction \`a
$\N$ de la
limite uniforme sur $\Z$ d'une suite de polynomes exponentiels,
$\displaystyle \sum_{\rm fini} \lambda_u\, u^s$ o\`u
$u \in 1 + p\Z_p$, $\lambda_u \in \C_p$, $| \lambda_u| \leq 1$, $s \in
\Z_p$,cf. \cite{serre1}.

\subsubsection{Remarque 3} Dans les propositions \ref{p2.1}, \ref{p2.2},
\ref{p2.3},
\ref{p2.4}, \ref{p2.5} on peut facilement am\'eliorer le r\'esultat en
remarquant que la
fonction g\'en\'eratrice ordinaire est un \'el\'ement analytique sur un
ensemble plus grand
que celui indiqu\'e dans le texte.

\subsubsection{Remarque 4} Les congruences cit\'ees dans l'article peuvent
\^etre souvent \^etre obtenues
par d'autres m\'ethodes et en particulier des m\'ethodes combinatoires, cf.
\cite{desarm},
\cite{phf}, \cite{ig}, \cite{gessel2},

\vfill\eject

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%bibliographie%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{thebibliography}{xx}

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