Analyse p-adique et suites classiques de nombres^{∗}

Daniel Barsky Université Paris 13 Institut Galilée LAGA, URA CNRS n^{∘}742 Av J.B. Clément F-93430 VILLETANEUSE e.mail: barsky@math.univ-paris13.fr

Abstract

Soit (a_{n})_{n∈ℕ} une suite de nombres rationnels (ou plus généralement de nombres algébriques sur ℚ et soit p un nombre premier. On sait que la suite (a_{n})_{n∈ℕ} est pour tout h ∈ ℕ périodique modulo p^{h} à partir d’un certain rang (ou de manière équivalente, que la suite (a_{n})_{n∈ℕ} satisfait pour tout h ∈ ℕ une récurrence linéaire modulo p^{h} à partir d’un certain rang) si et seulement si sa série génératrice Y = ∑_{n≥0} a_{n} X^{n} est un élément

analytique p-adique sur un sous-ensemble de ℂ_{p} (complété de la cloture algébrique de ℚ_{p}) contenant la boule unité ouverte. On montre que la géométrie du domaine sur lequel Y est un élément analytique p-adique (i.e. sur lequel Y est prolongeable analytiquement p-adiquement) permet de prévoir a priori les congruences satisfaites par les a_{n}.

On montre que, si la fonction génératrice exponentielle Ỹ = ∑_{n≥0} a_{n} \frac{X^{n}}{n!}

possède certaines propriétés fonctionnelles, alors Y = ∑_{n≥0} a_{n} X^{n} est un

élément analytique p-adique sur un domaine de ℂ_{p} contenant le disque ouvert de centre 0 et de rayon 1 de ℂ_{p}; par exemple si Ỹ ∈ ℤ[[X]] satisfait une équation différentielle algébrique ou si la série réciproque de Ỹ possède certaines propriétés.

On montre ensuite, sur des suites classiques de nombres, comment on peut obtenir par cette méthode des résultats effectifs. Enfin, on indique pour terminer le lien qui existe entre les congruences de type Cartier-Honda satisfaites par une suite d’entiers (e_{n})_{n≥1} (i.e. pour tout n ≥ 1, e_{np^{h}} ≡ e_{np^{h−1}} mod(p^{h})) et les congruences de type Kummer satisfaites par les coefficients a_{n} de la série Ỹ = ∑_{n≥0} a_{n} \frac{X^{n}}{n!} réciproque de la série

∗1982, revu décembre 1995

X = ∑_{n≥0} \frac{e_{n}}{n} Y^{n}.

1 Analyse p-adique.

Soit p un nombre premier et soit (a_{n})_{n∈ℕ} une suite de nombres rationnels (resp. de nombres algébriques). On s’intéresse aux propriétés de congruences modulo p^{h} (h ∈ ℕ) entre les a_{n}. Il est clair que l’analyse p-adique doit pouvoir apporter au moins un langage agréable pour traiter ces questions.

Rappelons les généralités suivantes (cf. [1] ou [32]). Soit a/b = p^{α}a′/b′ ∈ ℚ avec a′, b′ ∈ ℤ et (a′, p) = (b′, p) = 1. On pose |a/b| = p^{−α}. Avec cette définition ℚ est muni d’une valeur absolue ultramétrique, appelée valeur absolue p-adique, i.e. |\frac{a}{b} + \frac{c}{d}| ≤ max (|\frac{a}{b}|, |\frac{c}{d}|). Le complété de ℚ pour cette valeur absolue est ℚ_{p}, le corps des nombres p-adiques.

Dans toute la suite | · | désignera une valeur absolue non archimédienne prolongeant la valeur absolue p-adique que ℚ. Le problème de départ se traduit aisément en terme de cette valeur absolue

a_{n} ≡ a_{n+p^{h}} (mod p^{rh}) ⟺ |a_{n} − a_{n+p^{h}}| ≤ p^{−r(h)}

Divers aspect de la théorie des nombres p-adiques sont exposés dans [1], [32], [35], [42], [48], [50], [51].

On définit ℤ_{p} = {x ∈ ℚ_{p}; |x| ≤ 1}. Il est facile de voir que ℤ_{p} est un anneau, complété de ℤ pour la valeur absolue p-adique, et que ℤ_{p} = lim_{⟵}. ℤ/p^{h}ℤ (cf. [1] ou [32]). On définit de la manière habituelle la notion de fonction continue sur M ⊂ ℚ_{p} à valeurs dans ℚ_{p}, on note C(M, ℚ_{p}) l’ensemble de ces fonctions. On a le théorème important suivant:

Théorème 1 (Mahler [34]) . Soit C(ℤ_{p}, ℚ_{p}) l’espace des fonctions continues

de ℤ_{p} dans ℚ_{p}. Posons \binom{x}{0} = 1 et \binom{x}{n} = \frac{x(x − 1) … (x − n + 1)}{n!}. Les deux

propriétés suivantes sont équivalentes :

i) f ∈ C(ℤ_{p}, ℚ_{p}).

ii) Il existe une unique suite d’éléments de ℚ_{p}, (λ_{n}(f))_{n∈ℕ}, telle que lim_{n→∞}|λ_{n}(f)| = 0 et f(x) = ∑_{n≥0} λ_{n}(f) \binom{x}{n}, pour tout x ∈ ℤ_{p}. La convergence est uniforme sur ℤ_{p}.

On a de plus:

λ_{n}(f) = ∑_{k=0}^{n}(−1)^{n−k} \binom{n}{k} f(k)
∥f∥_{ℤ_{p}}  =^{déf} sup_{x∈ℤ_{p}} |f(x)| = sup_{n≥0} |λ_{n}(f)|

□ Nous donnons ici la preuve de Bojanic [15].

ℤ_{p} est compact, donc f est uniformément continue sur ℤ_{p}. La seule chose à montrer est que lim_{n→∞} |λ_{n}(f)| = 0 si λ_{n}(f) est défini comme dans le théorème.

Il est clair que, pour tout m ∈ ℕ, f(m) = ∑_{n≥0} λ_{n}(f) \binom{m}{n} et on conclut grace

à la densité de ℕ dans ℤ_{p}; λ_{n}(f) est le m-ième coefficient d’interpolation de f sur les entiers.

Posons Δ^{m}f(x) =^{déf} ∑_{k=0}^{m}(−1)^{m−k}\binom{m}{k} f(x + k). Pour h assez grand, on

a |Δ^{p^{h}}f(x)| < 1. En effet |\binom{p^{h}}{k}| < 1 si k 0 ou p^{h} et pour h assez grand

|f(x + p^{h}) − f(x)| < 1 d’après la continuité p-adique de f. Donc pour tout n ≥ p^{h} on a |Δ^{n}f(0)| < 1 car Δ^{m+n}f(x) = Δ^{m}(Δ^{n}f(x)).

Si n_{1} = p^{h}, Δ^{n_{1}}f(x) ∈ C(ℤ_{p}, ℚ_{p}). Donc il existe n_{2} = p^{h′} tel que:

|Δ^{n_{2}}(Δ^{n_{1}}f(x))| ≤ max {|Δ^{n_{1}}(f(x + n_{2})) − Δ^{n_{1}}(f(x))|, p^{−1}|Δ^{n_{1}}f(x)|} ≤ p^{−2}

Et donc, si n ≥ n_{1} + n_{2}, |Δ^{n}f(x)| ≤ p^{−2}.

On définit alors par récurrence des entiers n_{r} tel que, si n ≥ n_{1}+n_{2}+…+n_{r}, |Δ^{n}f(x)| ≤ p^{−r}.

On a donc montré que lim_{n→∞} |Δ^{n}f(x)| = 0 pour tout x ∈ ℤ_{p}. Comme

sup_{x∈ℤ_{p}} |\binom{x}{n}| = 1 la série ∑_{n≥0} Δ^{n}f(0) \binom{x}{n} converge uniformément sur ℤ_{p} vers

f(x). Le reste du théorème est évident. □

Ce théorème peut etre généralisé, on peut remplacer ℤ_{p} par des ensembles

plus généraux (cf. [2]), on peut remplacer les polynomes \binom{x}{n} par d’autres

fonctions (cf. [16] et [40]).

Carlitz, [17], [18], [19], a démontré de nombreuses congruences du type

∑_{k=0}^{n}(−1)^{n−k} \binom{x}{k} a_{k} ≡ 0 (mod p^{r(n)}) pour n ≥ n_{r}, où a_{k} est une suite d’entiers définie arithmétiquement ou combinatoirement. Il exprimait en fait qu’il existait une fonction continue p-adique sous-jacente à la suite a_{n}. Nous reviendrons là-dessus au paragraphe 3.

On peut plus généralement définir des fonctions dérivables, localement analytiques de ℤ_{p} dans ℚ_{p}. Toutes ces classes de fonctions se caractérisent aisément sur la suite de leurs coefficients d’interpolation λ_{n}. Par exemple:

Théorème 2 (Amice [2]) Soit f ∈ C(ℤ_{p}, ℚ_{p}), f est localement analytique sur ℤ_{p} (i.e. Pour tout a ∈ ℤ_{p} il existe un disque D(a, ρ_{a})^{+} = {x ∈ ℤ_{p}; |x − a| ≤ ρ_{a}} tel que f soit représentable sur D(a, ρ_{a})^{+} par une série de Taylor en (x − a))

si et seulement si f(x) = ∑_{n≥0} λ_{n}(f) \binom{x}{n} et lim sup |λ_{n}(f)|^{1/n} < 1.

On définit la cloture algébrique de ℚ_{p} que l’on note \overline{ℚ}_{p}. La valeur absolue p-adique s’étend de manière unique à \overline{ℚ}_{p} si l’on impose |p| = p^{−1} ([1], [32]). Mais \overline{ℚ}_{p} n’est pas complet pour cette valeur absolue. On complète donc \overline{ℚ}_{p} et l’on obtient un corps complet et algébriquement clos, ℂ_{p}.

Le corps ℂ_{p} est un bon corps pour manipuler les séries de Taylor. Le principe du maximum y est valide ainsi que le théorème de Liouville (cf. [1]). On suppose que l’on a choisi une fois pour toutes une plongement de la cloture algébrique, \overline{ℚ}, de ℚ dans ℂ_{p}. On note encore | · | la valeur absolue sur ℂ_{p} qui prolonge la valeur absolue p-adique de ℚ_{p}.

Nous allons donner maintenant un critère du à Y. Amice [3] qui relie certaines propriétés de congruences de la suite (a_{n})_{n∈ℕ} et prolongement analytique padique de sa fonction génératrice Y = ∑_{n≥0} a_{n} X^{n}. Auparavant nous allons donner quelques définitions.

Définition 1.1 ([1], [37]) Soit D ⊂ ℂ_{p}. On dit que F est un élément analytique (p-adique) sur D si et seulement si F est limite uniforme sur D d’une suite de fractions rationnelles F_{n}(X) ∈ ℂ_{p}(X) sans pole dans D. Si D n’est pas borné, on dit que F est un élément analytique sur D nul à l’infini si F est un élément analytique sur D et si lim_{{|X|→∞ \atop X∈D}} |F (X)| = 0. On note H(D), resp. H_{0}(D),

l’espace des éléments analytiques sur D, resp. nuls à l’infini.

On note D(a, r)^{+} = {x ∈ ℂ_{p}; |x−a| ≤ r} et D(a, r)^{−} = {x ∈ C_{p}; |x−a| < r} pour a ∈ ℂ_{p} et r ∈ ℝ_{+}.

Définition 1.2 ([37]) Soit D ⊂ ℂ_{p}, on dit que D est un quasi-connexe si, pour tout x ∈ D et pour tout y ∈ D il existe une suite finie de réels 0 < r_{1} < r_{2} < … < r_{n} < |x − y| tels que si x ∉ D et |z − x| < |x − y| alors il existe 1 ≤ i ≤ n tel que |z − x| = r_{i}.

Dans les exemples on considèrera souvent des quasi-connexes de la forme D = D(a, r)^{+} − ∪_{i=1}^{n}D(a_{i}, r_{i})^{−} où a_{i} ∈ D(a, r)^{+} et r_{i} ≤ r.

Définition 1.3 ([1] ou [37]) Soit F (X) = ∑_{n≥0} a_{n}X^{n} une série de Taylor de ℂ_{p}[[X]] convergeant sur D(0, 1)^{−} et soit D ⊃ D(0, 1)^{−} un quasi-connexe. On dit que F est prolongeable en un élément analytique (p-adique) sur D s’il existe un élément analytique sur D, noté encore F, dont la restriction à D(0, 1)^{−} coincide avec F.

L’intéret de cette définition est qu’il y a unicité de prolongement analytique à D, cf. [37].

Théorème 3 (Amice [3]) Soit (a_{n})_{n∈ℕ} une suite d’éléments de ℂ_{p}. Les conditions suivantes sont équivalentes :

i) il existe une fonction f ∈ C(ℤ_{p}, ℂ_{p}) telle que f(n) = a_{n} pour tout n ∈ ℕ ;

ii) la série de Taylor F (X) = ∑_{n≥0} a_{n}X^{n} est prolongeable en un élément analy-

tique sur ℂ_{p} − D(1, 1)^{−}, nul à l’infini.

□ On notera D = ℂ_{p}−D(1, 1)^{−}. Si F ∈ H_{0}(D) alors F est limite uniforme sur D d’une suite de fractions rationnelles, F_{n}, ayant toutes leurs poles dans D(1, 1)^{−}.

On sait, cf. [1] ou [37], que:

F ∈ H_{0}(D) ⟺ ∃ (λ_{n})_{n≥0}; lim_{n→∞} |λ_{n}| = 0 et F (X) = ∑_{n≥0} λ_{n} \frac{X^{n}}{(1 − X)^{n+1}}

De là on tire que, si |X| < 1,

F (X) = ∑_{m≥0} X^{m} ∑_{k≥0} λ_{k}\binom{m}{n}

Comme lim_{k→∞}.|λ_{k}| = 0, il existe une unique fonction continue de ℤ_{p} dans

ℂ_{p}, notée f, telle que f(x) = ∑_{k≥0λ_{k}} \binom{x}{k} et donc F (X) = ∑_{m≥0} f(m)X^{m} si

|X| < 1. La réciproque est immédiate. □

1.0.1 Remarque

Dire que f ∈ C(ℤ_{p}, ℂ_{p}) revient à dire que les valeurs aux entiers ,f(n), de la fonction f sont périodiques modulo p^{h}, pour tout entier h ∈ ℕ. Ce théorème se généralise de la manière suivante.

Théorème 4 (Robba [37]) Une condition nécessaire et suffisante pour que F (X) = ∑_{n≥0} a_{n}X^{n} ∈ ℂ_{p}[[X]] soit un élément analytique sur D(0, 1)^{−} est que la

suite (a_{n})_{n∈ℕ} soit p-presque périodique (ou bien ultimement périodique modulo p^{h} pour tout h ≥ 0), c’est dire que :

∀ ε > 0, ∃ n_{0} ∈ ℕ et T ∈ ℕ tels que ∀ n ≥ n_{0}, |a_{n} − a_{n+T} | ≤ ε.

□ Une fraction rationnelle sans pole dans D(0, 1)^{−} vérifie le théorème précédent par application du critère d’Amice, après décomposition en éléments

simples. En effet P_{n}(X) = ∑_{i,k} \frac{λ_{i,k,n}}{(1 − e_{i,n}X)^{k}} ∈ ℂ_{p}(X) avec |e_{i,n}| ≤ 1. Si

|e_{i,n}| = 1 alors:

∀ h ∈ ℕ, ∃ r et r′ ∈ ℕ tels que |e_{i,n}^{(p^{r}−1)p^{r′}} − 1| ≤ p^{−h}

Donc si P_{n}(X) = ∑_{m≥0} a_{m,n}X^{m} pour |X| < 1, la suite (a_{m,n})_{m∈ℕ} est clairement presque périodique. On conclut par passage à la limite pour les éléments analytiques sur D(0, 1)^{−}.

Si, maintenant, on suppose que la suite (a_{n})_{n∈ℕ} est p-presque périodique, on a avec les notations du théorème:

F (X) = a_{0} + a_{1}X + … + a_{a_{0}−1}X^{n_{0}−1}+

X^{n_{0}} \frac{a_{n_{0}} + a_{n_{0}+1}X + … + a_{n_{0}+p^{h}−1}X^{p^{h}−1}}{1 − X^{T}} + \overline{εG(X)}

où sup_{X∈D(0,1)^{−}} |G(X)| ≤ 1. □

On voit donc que montrer qu’une suite est p-presque-périodique équivaut à montrer que sa fonction génératrice est un élément analytique p-adique sur D(0, 1)^{−}. En fait, en regardant les endroits où la série génératrice F (X) = ∑_{n≥0} a_{n}X^{n} est prolongeable analytiquement, on peut préciser la liaison qui existe

entre ε, n_{0} et T. Ceci repose sur le théorème de Mittag-Leffler p-adique (cf. [37]), que nous allons donner sans démonstration après la définition suivante:

Définition 1.4 (Robba [37]) Soit D un quasi-connexe de ℂ_{p}. Un disque ouvert T = {x ∈ ℂ_{p}; |x − a| < r_{T} } est un trou de D si T ⊂ ℂ_{p} − D et si T est maximal pour la relation d’inclusion. On note T la famille des trous (ouverts) de D. Si D est borné, on admet comme trou le disque ouvert de centre l’infini ℂ_{p} − D(a, R)^{+} où a ∈ D et R = inf_{r}{r; D ⊂ D(a, r)^{+}}.

Exemple: Si D = D(0, 1)^{−} les trous de D sont le disque ouvert de centre l’infini et de “rayon 1”, ℂ_{p} − D(0, 1)^{+}, et tous les disques D(α, 1)^{−} où les α forment un système complet de représentants de O_{p}/𝔐_{p} où O_{p} est l’anneau des entiers de ℂ_{p} (i.e. O_{p} = D(0, 1)^{+}) et 𝔐_{p} est l’idéal maximal de O_{p} (i.e. 𝔐_{p} = D(0, 1)^{−}). On peut choisir par exemple pour les α toutes les racines primitives de l’unité d’ordre premier à p.

Théorème 5 (de Mittag-Leffler p-adique; Robba [37]) Soit, F, un élément analytique sur le quasi-connexe D, soit T la famille des trous de D. Il existe pour chaque T ∈ T un unique élément analytique F_{T} sur ℂ_{p} − T, nul à l’infini, tel que F − F_{T} se prolonge analytiquement dans T. En outre, on a F = ∑_{T ∈T} F_{T} la somme convergeant uniformément sur D suivant le filtre des

complémentaires des parties finies. On a de plus

∥F ∥_{D} = sup_{X∈D} |F (X)| = sup_{T ∈T} sup_{X∈ℂ_{p}−T} |F (X)| = sup_{T ∈T} ∥F ∥_{ℂ_{p}−T}

Comme application immédiate on a le résultat suivant qui montre le lien entre la géométrie du quasi-connexe sur lequel F se prolonge et la presque périodicité de la suite a_{n}.

Corollaire 1 Pour que F (X) = ∑_{n≥0} a_{n}X^{n} soit un élément analytique sur ℂ_{p} − ⋃_{i=1}^{p−1} D(i^{−1}, 1)^{−} nul à l’infini, il faut et il suffit que les suites m → a_{i+m(p−1)} soient pour 1 ≤ i ≤ p − 1 la restriction à ℕ d’une fonction continue de ℤ_{p} dans ℂ_{p}.

□ D’après le théorème de Mittag-Leffler, on a F = F_{1} +…+F_{p−1} où F_{i} ∈

H_{0}(ℂ_{p} − D(i^{−1}, 1)^{−}), et F_{i}(X) = ∑_{k≥0} λ_{i,k} \frac{(Xi^{−1})^{k}}{(1 − Xi^{−1})^{k+1}} avec lim_{k→∞} |λ_{i,k}| = 0,

le résultat est alors immédiat grace au critère d’Amice et au petit théorème de Fermat. □

La théorie des éléments analytiques fournit un cadre et un langage agréable pour le traitement des suites d’entiers p-presque périodiques.

2 Propriétés fonctionnelles et congruences.

On peut remarquer que beaucoup de fonctions génératrices exponentielles (resp. génératrices ordinaires) des suites classiques de nombres satisfont une équation différentielle algébrique (voir les exemples ci-après). Ce type de propriété impose a priori des limitations assez sévères sur les dominateurs des nombres en cause. En effet, soit F (X) = ∑_{n≥0} a_{n}X^{n} ∈ \overline{ℚ}[[X]] où \overline{ℚ} est la cloture algébrique de ℚ.

On a alors le théorème suivant :

Théorème 6 (Sibuya-Sperber [38]) Si F ∈ ℚ[[X]] satisfait une équation différentielle algébrique (non triviale), alors F possède un disque de convergence non trivial pour toute valeur absolue non archimédienne v_{p} de ℚ.

La signification de ce théorème est la suivante. Si p est le nombre premier associé à v_{p}, [42] et si F ∈ ℚ[[X]] alors le dénominateur de a_{n} (écrit sous forme irréductible) contient p au plus à la puissance rn + t où r, t ∈ ℝ_{+} sont indépendants de n.

Ce théorème généralise les résultats classiques de Eisenstein et Hurwitz rappelés ci-après.

Théorème 7 (d’Eisenstein, [23]) Si la série F (X) = ∑_{n≥0} c_{n}X^{n} ∈ \overline{ℚ}[[X]] représente une fonction algébrique, alors il existe un ℓ_{0} ∈ ℕ tel que ℓ_{0}^{n}c_{n} ∈ O où O est l’anneau des entiers de \overline{ℚ}. En outre, il existe c > 0 tel que, ou bien c_{n} = 0, ou bien |c_{n}|_{∞} ≥ c^{n} > 0, où | |_{∞} est une valeur absolue archimédienne sur \overline{ℚ}.

Théorème 8 (Hurwitz, [28]) Si la série F (X) = ∑_{n≥0} c_{n}X^{n} ∈ ℚ[[X]], satis-

fait une équation différentielle algébrique, il existe h(s) ∈ ℤ[s] et n_{0} ∈ ℕ tels que, si un nombre premier p divise le dénominateur de c_{n} pour n ≥ n_{0} alors p divise h(n_{0}) h(n_{0} + 1) … h(n).

Nous donnons maintenant un résultat plus précis du à Fujiwara qui s’applique assez bien aux les suites de nombres provenant de l’analyse combinatoire ou de l’arithmétique et, en particulier, des suites de nombres provenant de dénombrements sur le groupe symétrique ou de nombres provenant de valeurs en certains points de séries de Dirichlet ayant une signification arithmétique.

Théorème 9 (Fujiwara, [25]) Soit F (x, y, y′, …, y^{(n)}) un polynome à coeffi-

cients entiers rationnels et soit y = f(x) = ∑_{n≥0} a_{n} \frac{x^{n}}{n!} avec a_{n} ∈ ℤ.

Si y vérifie l’équation différentielle F (x, y, y′, …, y^{(n)}) = 0 et si

\frac{∂F}{∂y^{(n)}} (x, f(x), f′(x), …, f^{(n)}(x))_{x=0} = a

avec (a, p) = 1, alors la série de Taylor g(x) = ∑_{n≥0} a_{n}x^{n} est un élément analytique p-adique sur D(0, 1)^{−} ⊂ ℂ_{p}; autrement dit, la suite (a_{n})_{n∈ℕ} est ppresque périodique.

□ On a y^{(k)} = f^{(k)}(x) = ∑_{n≥k} a_{n} \frac{x^{n−k}}{(n − k)!}. De F (x, y, …, y^{(n)}) = 0 on

tire: \frac{∂F}{∂y^{(n)}} · y^{n+1} + \frac{∂F}{∂y^{(n−1)}} · y^{(n)} + … + \frac{∂F}{∂y} · y′ + \frac{∂F}{∂x} = 0 ce que l’on peut

écrire P (x, y, y′, …, y^{(n)}) y^{(n+1)} = Q_{0}(x, y, y′, …, y^{(n)}). De là on tire

P · y^{(n+2)} = \frac{d}{dx} (Q_{0}) − y^{(n+1)} \frac{dP}{dx}
= Q_{1}(x, y, y′, …, y^{(n+1)}
P · y^{(n+3)} = \frac{d}{dx} (Q_{1}) − y^{(n+2)} \frac{dP}{dx}

et donc P^{2} · y^{(n+2)} = Q_{2}(x, y, …, y^{(n+1)}) et par récurrence P^{k} · y^{(n+k+1)} = Q_{k}(x, y, …, y^{(n+1)}).

On remarque que si f(x) = a_{0} + a_{1} \frac{x}{1!} + … + a_{n} \frac{x^{n}}{n!} + … avec a_{n} ∈ ℤ alors

(f(x) − a_{0})^{m} = f(x)^{m} − mf(x)^{m−1}a_{0} + … + (−1)^{m}a_{0}^{m} ≡ 0 modulo m!, où la congruence est à prendre au sens suivant:

Si f(x) = ∑_{n≥0} a_{n} \frac{x^{n}}{n!} et h(x) = ∑_{n≥0} b_{n} \frac{x^{n}}{n!} avec a_{n} et b_{n} ∈ ℤ, alors la congruence

f ≡ h (mod m) équivaut par définition à a_{n} ≡ b_{n} (mod m) pour tout n ≥ 0.

Il faut donc montrer que si a_{0} = 0 alors f^{m}(x) ≡ 0 (mod m!). On montre ceci par récurrence. C’est vrai pour m = 1. Supposons que ce soit vrai pour

m − 1. Alors \frac{d}{dx}f^{m}(x) = mf′(x) f^{m−1}(x) et on conclut en utilisant l’hypothèse de récurrence et le fait que les séries exponentielles forment une algèbre.

Donc:

Q_{k}(x, y, y′, …, y^{(n+1)}) ≡ R_{k}(x, y, y, y′, …, y^{(n+1)}) (mod m)

où R_{k} ∈ ℤ[x, y, y′, …, y^{(n+1)}] est de degré m−2 au plus en chacune des variables et ses coefficients sont modulo m. On appelle un tel polynome un polynome réduit. Le nombre de polynomes réduits distincts est fini et au plus N − 1. Donc pour tout k, on a:

P^{N} · y^{(n+k+1)} = Q_{k}(x, y, …, y^{(n+1)}) (mod m)

où \overline{R}_{k} est un polynome réduit. Il existe donc un i, 1 ≤ i ≤ N − 1, tel que \overline{R}_{i}(x, y, …, y^{(n+1)}) = \overline{R}_{N}(x, y, …, y^{(n+1)})

Donc P^{N} · y^{(n+N+1)} ≡ P^{N} y^{(n+i+1)} (mod m). Comme on a supposé que P (x, y, y′, …, y^{(n+1)})_{x=0} = a avec (a, p) = 1 on en déduit que y^{n+N+1)} ≡

y^{(n+i+1)} (mod p^{h}) si l’on a choisi m = p^{h}. Il est alors immédiat que la suite a_{n} est p-presque périodique. □

On voit apparaitre dans ce théorème la relation une série génératrice exponentielle ayant de bonne propriétés fonctionnelles et la série génératrice ordinaire ayant de bonnes propriétés de prolongeabilité analytique p-adique. Pour exploiter cette relation, on introduit la transformation de Laplace formelle.

Définition 2.1 (cf. [14]) Soit F̃(X) = ∑_{n≥0} a_{n} \frac{X^{n}}{n!} ∈ K[[X]] où K est un surcorps de ℚ. On pose L(F̃(X)) = F (X) = ∑_{n≥0} a_{n}X^{n}. On appelle l’application L, la transformation de Laplace formelle. Lemme 1 (cf. [7]) La transformation de Laplace formelle possède les propriétés suivantes :

i) L est continue pour la topologie X-adique,

ii) L(e^{aX}) = \frac{1}{1 − aX}

iii) si L(F̃(X)) = F (X) alors L(e^{aX} F̃(X)) = \frac{1}{1 − aX} F (\frac{X}{1 − aX})

iv) L(\frac{d}{dx} X \frac{d}{dX} F (X))) = \frac{d}{dX} (F (X)).

□ Ces propriétés sont évidentes, nous allons seulement démontrer iii). On pose F̃(X) = ∑_{n≥0} b_{n} \frac{X^{n}}{n!} , il vient :

e^{aX} F̃(X) = ∑_{n≥0} (∑_{k=0}^{n} a^{k}n_{n−k} \binom{a}{k}) \frac{X^{n}}{n!}

et par conséquent :

L(e^{aX} F̃(X)) = ∑_{n≥0} (∑_{k=0}^{n} a^{k}n_{n−k}\binom{n}{k}) X^{n}
= ∑_{n≥0} b_{n} ∑_{k≥0} X^{n+k}a^{k}\binom{n + k}{k}
= ∑_{n≥0} b_{n} \frac{X^{n}}{(1 − aX)^{n+1}} .  □

Lemme 2 Soit F̃(X) = ∑_{n≥0}a_{n} \frac{X^{n}}{n!} ∈ K[[X]], on peut écrire de manière unique

F̃(X) = ∑_{n≥0} b_{n}(e^{X} − 1)^{n} avec b_{n} ∈ K.

□ C’est clair car T = e^{X} − 1 est une uniformisante locale de K[[X]]. □ Le théorème suivant est la clef des applications.

Théorème 10 Soit F̃(X) = ∑_{n≥0} a_{n} \frac{X^{n}}{n!} ∈ ℂ_{p}[[X]]. Il existe une suite (b_{n})_{n∈ℕ} d’éléments de ℂ_{p} telle que l’on ait formellement F̃(X) = ∑_{n≥0} b_{n}(e^{X} − 1)^{n}. On

pose T = e^{X} − 1 et G̃(T) = ∑_{n≥0} b_{n}T^{n}. On pose F (X) = L(F̃(X)) = ∑_{n≥0} a_{n}X^{n}

et G(T) = L(G̃(T)) = ∑_{n≥0}(n!) b_{n}T^{n}. Les deux propositions suivantes sont équivalentes :

i) F (X) est un élément analytique p-adique sur D(0, 1)^{−} ; ii) G(T) est un élément analytique p-adique sur D(0, 1)^{−}.

Montrons tout d’abord i) ⇒ ii).

Soit F_{n} une fraction rationnelle de ℂ_{p}(X) approchant F uniformément sur D(0, 1)^{−}. On décompose F_{n} en élément simple et on est donc amené à étudier

f_{k}(X) = \frac{1}{(1 − aX)^{k}} avec |a| ≤ 1, et h_{k}(X) = X^{k}, k ∈ ℕ. On a f_{1}(X) =

\frac{1}{1 − aX} et f_{k}(X) = \frac{1}{k!} f_{k}(X) = \frac{1}{k!} a^{−k+1} \frac{d^{k−1}}{dX^{k−1}} (f_{1}(X)). Or f̃_{1}(X) = e^{aX} =

(e^{X} − 1 + 1)^{a} donc f̃_{1}(X) = ∑_{n≥0} \binom{a}{n} (e^{X} − 1)^{n} et donc g̃_{1}(T) = ∑_{n≥0} \binom{a}{n} t^{n},

g_{1}(T) = ∑_{n≥0} a(a − 1) … (a − n + 1) T^{n} avec |a| ≤ 1.

Or a − k − p^{h} ≡ a − k (mod p^{h}O_{p}) où O_{p} est l’anneau des entiers de ℂ_{p}, et donc, si n = rp^{h} + q avec 0 ≤ q ≤ p^{h} − 1, on a : a(a − 1) … (a − n + 1) ≡

a(a − 1) … (a − q + 1){a(a − 1) … (a − p^{h} + 1)}^{r} (mod p^{h})

et donc modulo p^{h}O_{p}[[T]]:

g_{1}(T) ≡

≡ ∑_{n=0}^{p−h−1} a(a − 1) … (a − n + 1)T^{n} ∑_{r≥0}(a(a − 1) … (a − p^{h} + 1))^{r}T^{rp^{h}}
≡ ∑_{n=0}^{p^{h}−1} a(a − 1) … (a − n + 1) T^{n} \frac{1}{1 − a(a − 1) … (a − p^{h} + 1) T^{p^{h}}}

Raisonnons par récurrence sur k. On a montré que g_{1}(T) ∈ H_{0}(D(0, 1)^{−}), supposons que g_{k−1} ∈ H_{0}(D(0, 1)^{−}), on a:

f̃_{k}(X) = \frac{1}{ka} \frac{d}{dX} X \frac{d}{dX} (f̃_{k−1}(X))

= \frac{1}{ka} \frac{d}{dX} X \frac{d}{dX} ∑_{n≥0} b_{n}(k − 1) (e^{X} − 1)^{n}

= \frac{1}{ka} \frac{d}{dX} ∑_{n≥0}(b_{n+1}(k − 1) · (n + 1) + n · b_{n}(k − 1)) (e^{X} − 1)^{n}

= \frac{1}{ka} ∑_{n≥0} \{(n + 1) b_{n+1}(k − 1) + nb_{n}(k − 1)\}(e^{X} − 1)^{n} +

+\frac{1}{ka} X ∑_{n≥0} \{(n + 2) (n + 1)b_{n+2}(k − 1) + ((n + 1)^{2} +

+n(n + 1))b_{n+1}(k − 1) + n^{2} n_{n}(k − 1)}(e^{X} − 1)^{n}.

On pose A_{n} = \frac{1}{ka}((n + 1) b_{n+1}(k − 1) + nb_{n}(k − 1) et

B_{n} = \frac{1}{ka}((n + 2) b_{n+2}(k − 1) + ((n + 1)^{2} + n(n + 1) b_{n+1}(k − 1) + n^{2}b_{n}(k − 1)).

Il est clair que g̃_{k}(T) = ∑_{n≥0} A_{n}T^{n} + Log(1 + T) ∑_{n≥0} B_{N}T^{n} et donc g_{k}(T) =

∑_{n≥0}(n!)A_{n}T^{n} + ∑_{n≥0} T^{n} ∑_{n=0}^{n=1}(k!)((n − k − 1)!) \binom{n}{k} B_{k}.

Les suites n → (n!) A_{n} et k → (k!) B_{k} sont p-presque périodiques, donc la

suite n → C_{n} = ∑_{k=0}^{n−1}(k!) ((n−k −1)!) \binom{n}{k}B_{k} l’est aussi. En effet la suite k → k!

tend vers zéro p-adiquement, et la suite n → \binom{n}{k} est p-presque périodique. On a donc montré que g_{k} ∈ H(D(0, 1)^{−}) pour tout k ∈ ℕ. Il reste donc à

étudier le cas de X^{n}. Or on a X = Log(e^{X} − 1 + 1) = ∑_{n≥0} \frac{(−1)^{n}}{n} (e^{X} − 1)^{n} et

la suite n → (−1)^{n}(n − 1)! est presque périodique.

Par récurrence, on montre alors aisément que si X^{k} = ∑_{n≥0} c_{n}(e^{X} − 1)^{n} alors

la suite n → (n!)c_{n} est presque-périodique. On conclut alors que les fractions rationnelles satisfont ii).

Les éléments analytiques vérifient ii) car F ≡ F_{n} (mod p^{h}O_{p}[[X]])) entraine G(T) ≡ G_{n}(T) (mod p^{h}O_{p}[[T]]).

Montrons maintenant que ii) ⇒ i). On a F̃(X) = ∑_{n≥0} b_{n}(e^{X} − 1)^{n} et donc

F (X) = ∑_{n≥0} \frac{(n!) X^{n} b_{n}}{(1 − X) (1 − 2X) … (1 − nX)}. Comme la suite n → (n!) b_{n} est

p-presque périodique on a:

∀ h ∈ ℕ ∃ N et ∃ m ∈ ℕ tels que ∀ n ≥ N, |n! b_{n} − (n + m)! b_{n+m}| ≤ p^{−h}.

On a F (X) ≡ F_{h} (mod p^{h}O_{p}[[X]]) où

F_{n}(X) = ∑_{n=0}^{s−1} b_{n} \frac{n! X^{n}}{(1 − X) … (1 − nX)}+

+ ∑_{n=s}^{s+mp^{k}−1} \frac{b_{n} n! X^{n}}{(1 − X) … (1 − nX)} ∑_{r≥0} \frac{X^{rmp^{h}}}{((1 − X) … (1 − (mp^{h} − 1)X))^{r}}

F_{n}(X) = ∑_{n=0}^{s−1} b_{n} \frac{n! X^{n}}{(1 − X) … (1 − nX)}+

+ ∑_{n=s}^{s+mp^{k}−1} \frac{b_{n} n! X^{n}}{(1 − X) … (1 − nX)} · \frac{(1 − X) … (1 − (mp^{h} − 1) X)}{(1 − X) … (1 − (mp^{h} − 1)X) − X^{mp^{h}}}

et donc F_{h}(X) est une fraction rationnelle sans pole dans D(0, 1)^{−}, d’où le théorème. □

2.0.2 Remarque

Un cas particulièrement agréable est celui où la suite n → n! b_{n} a pour limite p-adique zéro. Ce cas est fréquent pour les nombres définis combinatoirement ou arithmétiquement (cf. ci-après).

3 Suites classiques de nombres.

Nous allons montrer sur quelques exemples comment utiliser les techniques indiquées ci-dessus.

Proposition 1 (cf [26]) Soit g_{n} les nombres définis par la série génératrice

exponentielle, ∑_{n≥0} g_{n} \frac{X^{n}}{n!} = \frac{1}{2 − e^{X}}.

On a g_{n+(p−1)p^{h}} ≡ g_{n} (mod p^{h}) pour n ≥ h. Autrement dit ∑_{n≥0} g_{n} X^{n}

est un élément analytique p-adique sur D(0, 1)^{+} − ⋃_{i=1}^{p−1} D(i, 1)^{−}.

□ Ces nombres ont une interprétation combinatoire. Ils comptent les arrangement préférentiels ou partitions ordonnées d’un ensemble, cf [54] On a:

F̃(X) = \frac{1}{1 + (1 − e^{X})} = ∑_{n≥0}(e^{X} − 1)^{n}

ici b_{n} = 1. Donc:

F (X) = ∑_{n≥0} \frac{n! X^{n}}{(1 − X) … (1 − nX)} = ∑_{n≥0} ∑_{k=0}(−1)^{n−k} \binom{n}{k} \frac{1}{(1 − kX)}

De là on déduit que:

F (X) ≡ F_{n}(x) = ∑_{k=0}^{n−1} \frac{k! X^{k}}{(1 − X) … (1 − kX)} (mod n!ℤ[[X]])

et donc g_{r} ≡ ∑_{m=0}^{n−1} ∑_{k=0}^{m}(−1)^{m−k} \binom{m}{k} (mod n!). Le petit théorème de Fermat donne alors les congruences annoncées. D’autre part, on a

(1 − X) … (1 − (n − 1) X) ∑_{n≥0} g_{n}X^{n} ≡

∑_{m=0}^{n−1} m! X^{m}(1 − (m + 1)X) … (1 − (n − 1)X)

d’où des relations de récurrence mod(n!) entre les g_{n}. □

3.0.3 Remarque 1

Les relations de récurrence mod(n!) s’interprètent dans ce cadre par le fait que la série génératrice des g_{n} est une limite uniforme de fractions rationnelles que l’on connait explicitement.

3.0.4 Remarque 2

On constate que Y = F (X) = (2 − e^{x})^{−1} vérifie l’équation différentielle algébrique Y′ = 2Y^{2} − Y.

Théorème 11 (Kubota & Leopoldt, [33] ou [29]) Soit 0 ≤ i < p − 1 et soit B_{n} le n-ième nombre de Bernoulli.

La suite m → (1 − p^{i+m(p−1)−1})B_{i+m(p−1)} est la restriction à ℕ d’une fonction continue de ℤ_{p} dans ℂ_{p} (et meme localement analytique).

□ On définit ∑_{n≥0} B_{n} \frac{x^{n}}{n!} = \frac{x}{e^{x} − 1} = ∑_{i=0}^{p−1} −\frac{xe^{ix}}{e^{px} − 1} et donc

∑_{n≥0}(1 − p^{n−1})B_{n} \frac{x^{n}}{n!} = ∑_{i=1}^{p−1} −\frac{xe^{ix}}{e^{px} − 1} = ∑_{i=1}^{p−1} −p^{−1} \frac{e^{ix}Log(1 + e^{px} − 1)}{e^{px} − 1} et donc

∑_{n≥0}(1 − p^{n−1})B_{n} x^{n} = ∑_{i=1}^{p−1} ∑_{n≥0} \frac{(−1)^{n+1}}{n + 1} \frac{p^{n−1}n! x^{n}}{(1 − ix) … (1 − (i + np) x)} = F (X),

il est alors facile de voir que F ∈ H_{0}(ℂ_{p} −⋃_{i=1}^{p−1} D(i, 1)^{−}) et le corollaire 1 donne le résultat. (cf. [5]). □

Proposition 2 (cf. [10]) Soit A_{n}(t) le n-ième polynome Eulérien défini par

∑_{n≥0} A_{n}(t)\frac{x^{n}}{n!} = \frac{1 − t}{−t + e^{x(t−1)}} . Soit A_{n}^{∗}(t) les fractions rationnelles définies par

A_{n}^{∗}(t) = \frac{tA_{n}(t)}{(t − 1)^{n+1}} − p^{n} \frac{t^{p}A_{n}(t^{p})}{(t^{p} − 1)^{n+1}} . Alors pour n ≡ i (mod p − 1) la suite

n → A_{n}^{∗}(t) est la restriction à ℕ d’une fonction continue p-adique de ℤ_{p} à valeurs dans ℚ(t) ⊗ ℚ_{p}.

□ Een effet un calcul élémentaire (cf. [10]) donne:

∑_{n≥0} A_{n}^{∗}(t)\frac{v^{n}}{n!} = ∑_{i=1}^{p−1} ∑_{n≥0} e^{iv} \frac{t^{p−i}}{t^{p} − 1} (\frac{e^{pv} − 1}{t^{p} − 1}) .

La suite du calcul se mène comme pour les nombres de Bernoulli. □

Proposition 3 (cf. [26]) Soit F̃(X) = ∑_{n≥0} t_{n} \frac{x^{n}}{n!} = exp (x + \frac{x^{2}}{2} ). Alors

F (x) = ∑_{n≥0} t_{n}x^{n} = ∑_{n≥0} \frac{2n!}{2^{n} n!} \frac{x^{2n}}{(1 − x)^{2n+1}} et donc la suite (t_{n})_{n≥0} est la re-

striction, si p 2, d’une fonction continue p-adique de ℤ_{p} dans ℚ_{p} (et meme localement analytique, cf. théorème 2). (Si p = 2 on peut donner des congruences modulo 2^{h} entre les t_{n} cf. [4]).

□ Les nombres t_{n} ont une interprétation combinatoire. Ils comptent le nombre de partitions d’un ensemble en blocs de taille 1 ou 2, cf. [44]. On

a F̃(x) = e^{x} G̃(x) où G̃(x) = e^{x^{2}/2}. Or L G̃(x) = ∑_{n≥0} 2^{−n}(2n!) \frac{x^{2n}}{n!} et donc

d’après le lemme 1:

F (x) = L(F̃(x)) = ∑_{n≥0} \frac{2n!}{2^{n} n!} \frac{x^{2n}}{(1 − x)^{2n+1}}

d’où le résultat grace au critère d’Amice. □

On remarquera que Y = exp(x+x^{2}/2) satisfait l’équation différentielle algébrique Y^{2} = Y′′Y′ − (Y′)^{2}.

Proposition 4 (cf. [4], [19], [24], [26], [36]) Soit P_{n} le n-ième nombre de

Bell, défini par la série génératrice ∑_{n≥0} P_{n} \frac{x^{n}}{n!} = e^{e^{x}−1} = F̃(x) vérifient les

congruences suivantes. Posons k(p) = \frac{p^{p}−1}{p−1} alors:

1. P_{n} ≡ P_{n+k(p)p^{h−1}} (mod p^{h}) si p ≠ 2 (h ≥ 1),

2. P_{n} ≡ P_{n+k(2)} (mod 2) et P_{n} ≡ P_{n+k(2)2^{h}} (mod 2^{h}), h ≥ 2.

En outre F (x) = ∑_{n≥0} P_{n}x^{n} est un élément analytique sur le quasi-connexe D_{p} =

ℂ_{p} − ⋃_{i=1}^{p} D(ζ_{i}, 1)^{−} où ζ_{i} sont les racines de l’équation 1 − X^{p−1} − X^{p} = 0.

□ On a F̃(x) = e^{e^{x}−1} = ∑_{n≥0}(e^{x} − 1)/n! donc:

F (x) = ∑_{n≥0} \frac{x^{n}}{(1 − x) … (1 − nX)}

On montre alors comme au théorème 10 que F (x) ≡ F_{h}(x) (mod p^{h}ℤ[[x]]) où

F_{h}(x) = ^{\frac{∑_{n=0}^{p^{h}−1} x^{n}(1−(n+1)x)...(1−(p^{h}−1)x)}{(1−x)...(1−(p^{h}−1)x)−x^{p^{h}}}}.

Une étude précise des F_{h} et le théorème de Mittag Leffler p-adique donnent le résultat. □

Remarquons que Y = e^{e^{x}−1} satisfait l’équation différentielle algébrique Y′ = Y′′Y − Y^{2}.

Proposition 5 (cf. [26]) Soit F (x) = ∑_{n≥0} d_{n} \frac{x^{n}}{n!} = \frac{e^{−x}}{1 − x}. La suite n →

(−1)^{n}d_{n} est, pour tout nombre premier p, la restriction à ℕ d’une fonction continue de ℤ_{p} dans ℂ_{p} (et meme localement analytique de ℤ_{p} dans ℂ_{p}).

□ Les nombres d_{n} ont une interprétation combinatoire (cf [21]). Ils comp-

tent le nombre de dérangement d’une permutation. On a L (\frac{1}{1 − x}) = ∑_{n≥0} n! x^{n}

et donc d’après le lemme 1, on a : L (\frac{e^{−x}}{1 − x}) = \frac{1}{1 + x} ∑_{n≥0} n! \frac{x^{n}}{(1 + x)^{n}}.

Et par conséquent: ∑_{n≥0}(−1)^{n}d_{n} x^{n} = ∑_{n≥0}(−1)^{n} n! \frac{x^{n}}{(1 − x)^{n+1}} . Le critère

d’Amice donne alors le résultat.

On remarque que Y = F (x) vérifie l’équation différentielle algébrique Y = −(1 − x) Y − (1 − x) Y′. □

On pourrait multiplier les exemples cf. [4] à [14], [17] à [19], [24], [26], [36] ainsi que de nombreux articles non cités ici.

On a le résultat suivant du à Carlitz ([18]) (cf. aussi [11] et [12] pour une autre démonstration).

Théorème 12 (cf. [18]), [12]) Soit X = ∑_{n≥1} e_{n} \frac{Y^{n}}{n} ∈ ℂ_{p}[[X]] avec e_{1} = 1 et

|e_{n}| ≤ 1, soit Y = ∑_{n≥1} a_{n} \frac{X^{n}}{n!} la série réciproque de X. Soit c ∈ ℂ_{p} tel que

|c^{p−1} − e_{p}| ≤ p^{−1}, alors on a : Y = ∑_{n≥1} b_{n}(e^{cX} − 1)^{n} où b_{n} = b_{n}(c), avec

i) b_{1} = c^{−1}

ii) |b_{n}| ≤ |c|^{−n} si 1 ≤ n ≤ 2p − 1

iii) |b_{n}| ≤ |c|^{−n} · r_{p}^{n−1} si n ≥ 2p où r_{p} = p^{1/(2p−2)} si p 2 et 3, r_{3} = 3^{2/7}, r_{2} = 2^{3/4}.

□ La démonstration est basée sur le théorème d’inversion de Lagrange des séries formelles. On peut remarquer que ce théorème est, a priori, en dehors du champ d’application du théorème de Fujiwara. □

Corollaire 2 Avec les notations et les hypothèses du théorème 12, la série F (X) = ∑_{n≥1} a_{n} X^{n} est un élément analytique sur D(0, 1)^{−}. Si l’on suppose

que |e_{p}| = 1 et donc que |c| = 1, alors F est un élément analytique p-adique sur

D(0, 1)^{+} − ⋃_{i=1}^{p−1} D(i^{−1}c^{−1}, 1)^{−}.

□

F (X) = ∑_{n≥1} \frac{n! c^{n} b_{n} X^{n}}{(1 − cX) … (1 − ncX)}

et d’après le théorème 12, lim_{n→∞} |n! b_{n}| = 0, le corollaire est immédiat. □

Parmi les applications de ce théorème, on peut citer les nombres de Schroder, cf. [12] et les coefficients des fonctions elliptiques de Weierstrass, cf.[17], [11], [30], [31].

En fait, on peut remarquer que, si l’on a certaines congruences de type Cartier-Honda entre les e_{n}, alors on a de meilleures estimations pour |b_{n}| et donc de meilleures congruences pour la suite (a_{n})_{n>0}. Plus précisément, nous allons montrer que si les e_{n} ∈ ℤ et s’il existe ω ∈ ℤ_{p} tel que, pour tout n > 0, e_{np^{h}} ≡ ωe_{np^{h−1}} (mod p^{h}ℤ_{p}) alors sup_{n∈ℕ}(|b_{n}|) = 1 si |e_{p}| = 1. Pour montrer ceci, nous aurons besoin du résultat suivant du à Dwork.

Théorème 13 (cf. [22], [32]) Soit K l’extension maximale non ramifiée de ℚ_{p} et soit σ le Frobenius sur K (i.e. ω est l’unique automorphisme du groupe de Galois de K sur ℚ_{p}, tel que, si x ∈ K et |x| = 1 alors |σ(x) − x^{p}| < 1).

Soit F (X) ∈ 1 + XK[[X]]. Soit A_{p} = {x ∈ K; |x| ≤ 1} l’anneau des entiers de K.

Alors F (X) ∈ 1 + XA_{p}[[X]] si et seulement si \frac{(F (X))^{p}}{F^{σ}(X^{p})} ∈ 1 + pX A_{p}[[X]]

où F^{σ}(X) = ∑_{n≥0} σ(a_{n})X^{n} si F (X) = ∑_{n≥0} a_{n} X^{n}.

□ On peut écrire formellement F (X) = ∏_{n>0}(1 + b_{n} X^{n}) avec b_{n} ∈ K.

Supposons que F (X) ∈ 1 + X · A_{p}[[X]], alors il est clair que b_{n} ∈ A_{p}, et donc

\frac{(F (X))^{p}}{F^{σ}(X^{p})} = ∏_{n≥1} \frac{(1 + b_{n}X^{n})^{p}}{1 + σ(b_{n}) X^{np}} ≡ ∏_{n≥1} \frac{1 + b_{n}^{p} X^{np}}{1 + σ(b_{n}) X^{np}} (mod pA_{p}[X]])

Or \frac{1 + b_{n}^{p} X^{n} p}{1 + σ(b_{n}) X^{np}} ∈ 1 + pX par définition de σ et donc \frac{(F (X))^{p}}{F^{σ}(X^{p})} ∈ 1 +

pX A_{p}[[X]].

Réciproquement, si la dernière relation est vraie, alors \frac{(1 + b_{1} X)^{p}}{1 + σ(b_{1}) X^{p}} = 1 +

pα_{1}X + X^{2} K[[X]], avec |α_{1}| ≤ 1, et donc pb_{1} = pα_{1} ce qui implique |b_{1}| ≤ 1.

Par récurrence, on montre que \frac{(1 + b_{K} X^{k})^{p}}{1 + σ(b_{k}) X^{kp}} = 1+pα_{k} X^{k} +X^{k+1} K[[X]], avec

|α_{k}| ≤ 1, et donc |b_{k}| ≤ 1. □

Théorème 14 Soit Y = ∑_{n≥1} a_{n} \frac{X^{n}}{n!} et X = ∑_{n≥1} e_{n} \frac{Y^{n}}{n} deux séries réciproques

de ℚ_{p}[[X]], telles que e_{1} = 1 et e_{n} ∈ ℤ_{p} pour tout entier n ≥ 1. Les deux propositions suivantes sont équivalentes :

i) On a |e_{p}| = 1 et il existe ω ∈ ℤ_{p} tel que, pour tout n ≥ 1 et tout h ≥ 1, e_{np^{h}} ≡ ωe_{np^{h−1}} (mod p^{h}ℤ_{p}),

ii) Il existe un nombre c de l’extension maximale non ramifiée K de ℚ_{p}, tel que |c| = 1 et Y = ∑_{n≥1} b_{n}(e^{cX} − 1)^{n} avec sup_{n≥1} |b_{n}| = 1, et on peut choisir

ω = σ(c)/c, où σ est le Frobenius de K sur ℚ_{p}.

Pour une définition du Frobenius cf. [42] ou [48].

□ Démontrons i) ⇒ ii). Nous allons commencer par montrer que, s’il existe ω ∈ ℤ_{p} tel que e_{np}_{h} (mod p^{h}ℤ_{p}), on a en posant ω = σ(c)/c, e^{cX} = 1 + ∑_{n≥1} d_{n} Y^{n} avec |d_{n}| ≤ 1, d_{1} = c (et donc |d_{1}| = 1, car e_{p} ≡ ω (mod p)).

Pour montrer ceci, on va utiliser le théorème 13

\frac{( exp(c ∑_{n≥1} e_{n} \frac{Y^{n}}{n}))^{p}}{exp (σ(c) ∑_{n≥1} e_{n} \frac{Y^{np}}{n} )} = exp \{(∑_{n≥1} p c e_{n} \frac{Y^{n}}{n} ) − (∑_{n≥1} σ(c) e_{n} \frac{Y^{np}}{n} )\};

posons

F (Y) = e^{cX} = exp (c ∑_{n≥1} e_{n} \frac{Y^{n}}{n} ) .

On a :

\frac{(F (Y))^{p}}{F^{σ}(Y^{p})} = exp \{ ∑_{{n≥1 \atop (n,p)=1}} p c e_{n} \frac{Y^{n}}{n} + ∑_{n≥1} \frac{ce_{np} − σ(c)e_{n}}{n} Y^{np}\} ,

or |\frac{ce_{np} − e_{n}}{n} | ≤ p^{−1} pour tout n ≥ 1.

Par conséquent :

\frac{(F (Y))^{p}}{F^{σ}(Y^{p})} = exp \{ ∑_{{n≥1 \atop (n,p)=1}} p c e_{n} \frac{Y^{n}}{n} + ∑_{n≥1} pα_{n}Y^{np}\} ,

avec |α_{n}| ≤ 1.

On a donc montré que \frac{(F (Y))^{p}}{F^{σ}(Y^{p})} ∈ 1 + pX A_{p}[[X]] où A_{p} est l’anneau des entiers de K. D’après le théorème 13 ceci implique que |d_{n}| ≤ 1 pour n ≥ 1 et comme d_{1} = c, ω ≡ e_{p} (mod p), on a aussi |d_{1}| = 1. On tire immédiatement de là que :

(∗) Y = ∑_{n≥1} b_{n}(e^{cX} − 1)^{n}, avec |b_{1}| = 1 et |b_{n}| ≤ 1 pour n ≥ 1.

Réciproquement, supposons que les relations (*) soient vraies, alors e^{cX} = 1 + ∑_{n≥1} d_{n} Y^{n} avec d_{n}| ≤ 1 pour n ≥ 1, et d_{1} = c, donc X = c^{−1} Log(1 +

∑_{n≥1} d_{n}Y^{n}) = ∑_{n≥1} e_{n} \frac{Y^{n}}{n} avec e_{n} ∈ ℚ_{p} car a_{n} ∈ ℚ_{p}. Or il est bien clair que

exp (c ∑_{n≥1} e_{n} \frac{Y^{n}}{n} ) ∈ 1 + X A_{p}[[X]]. De là on tire d’abord en dérivant loga-

rithmitiquement que : c ∑_{n≥1} e_{n}Y^{n} ∈ A_{p}[[X]] et donc que e_{n} ∈ ℤ_{p}, et d’après le théorème 13 \frac{exp (pc ∑_{n≥1} e_{n} \frac{Y^{n}}{n} )}{exp (σ(c) ∑_{n≥1} e_{n} \frac{Y^{np}}{n} )} ∈ 1 + pX A_{p}[[X]] ce qui implique que

\frac{ce_{np} − σ(c) e_{n}}{n} ∈ pA_{p} et donc e_{np} − \frac{σ(c)}{c} e_{n} ∈ pn A_{p}. D’où le théorème en

posant ω = σ(c)/c. □

Ce théorème est utile pour les congruences entre coefficients de fonctions elliptiques ([17], [30], [31]). Actuellement, il est utilisé dans le sens i) ⇒ ii) mais on pourrait l’utiliser dans le sens ii) ⇒ i) grace aux travaux de Carlitz.

3.0.5 Remarque 1

Pour une étude de suites (a_{n})_{n∈ℕ} vérifiant des congruences à la Cartier-Honda c’est à dire du type: a_{n} ≡ a_{np} (mod npℤ_{p}) cf. [45],[46], [48], [55], [56].

3.0.6 Remarque 2

Posons c^{−n} a_{n}^{∗} = lim_{h→∞} c^{−n−(p−1)p^{h}} a_{n+(p−1)p^{h}}, la limite étant au sens p-adique. Sous les hypothèses du théorème, la limite existe. Ce théorème traduit alors l’équivalence entre les congruences à la Cartier-Honda pour les e_{n} et le fait que la suite n → c^{−n}a_{n}^{∗} est, pour n ≡ i (mod (p−1)), la restriction à ℕ d’une fonction de l’algèbre d’Iwasawa [29]. C’est-à-dire que la suite n → c^{−i−(p−1)n}a_{i+(p−1)n}^{∗} est la restriction à ℕ de la limite uniforme sur ℤ d’une suite de polynomes exponentiels, ∑_{fini} λ_{u} u^{s} où u ∈ 1 + pℤ_{p}, λ_{u} ∈ ℂ_{p}, |λ_{u}| ≤ 1, s ∈ ℤ_{p},cf. [52].

3.0.7 Remarque 3

Dans les propositions 1, 2, 3, 4, 5 on peut facilement améliorer le résultat en remarquant que la fonction génératrice ordinaire est un élément analytique sur un ensemble plus grand que celui indiqué dans le texte.

3.0.8 Remarque 4

Les congruences citées dans l’article peuvent être souvent être obtenues par d’autres méthodes et en particulier des méthodes combinatoires, cf. [47], [24], [26], [49],

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