MATEMATIQKI VESNIK

60 (2008), 53–57

UDK 517.986

originalni nauqni rad research paper

UNE NOTE SUR LA NOETHÉRIANITÉ

R. Choukri, A. El Kinani, A. Oukhouya

Abstract. We show that a Banach algebra in which all maximal ideals are of finite type is a noetherian algebra, hence of finite dimension. We also consider m-convex Fréchet algebras in which all maximal ideals are principal.

Introduction

Il est bien connu que C^{∞}([0, 1]), l’algèbre de toutes les fonctions complexes de classe C^{∞} définies sur l’intervalle [0, 1], ne peut être munie d’aucune norme d’algèbre de Banach. C’est une conséquence immédiate d’un résultat de I. M. Singer et J. Wermer [7]. Ceci est du à l’existence, dans C^{∞}([0, 1]), d’une dérivation non nulle (la dérivation naturelle), et donc à une propriété algébrique. Dans cette note, nous retrouvons le résultat ci-dessus par une propriété, également algébrique, que possède cette algèbre. Elle concerne plus précisement ses idéaux maximaux. Par ailleurs, on sait qu’une algèbre de Banach dans laquelle tout idéal (à gauche) est de type fini est de dimension finie [1], Théorème 5, p. 76. Nous établissons dans cette note, que, dans le cas commutatif, la noethérianité est équivalente au fait que tout idéal maximal soit de type fini. Enfin de cette note, nous considérons les algèbres localement multiplicativement convexes de Fréchet commutatives dans lesquelles tous les idéaux maximaux sont principaux. A ce propos, nous retrouvons, également, une famille d’idéaux premiers de l’algèbre C^{∞}([0, 1]).

Préliminaires

Soit A une algèbre commutative unitaire. On dit qu’un idéal I de A est de type fini s’il est engendré par un nombre fini de ses éléments, c’est à dire, s’il existe x_{1}, …, x_{r} ∈ I tel que:

I = Ax_{1} + ⋯ + Ax_{r}.

L’idéal I est dit principal s’il est engendré par un de ses éléments.

AMS Subject Classification: 46J10, 46J20

Keywords and phrases: Noetherian algebra; l.m.c. algebra; maximal ideal.

L’algèbre A est dite noethérienne si tous ses idéaux sont de type fini. C’est équivalent à dire que la famille des idéaux de A satisfait la condition de la chaine ascendante. L’algèbre A est dite principale si ses idéaux sont principaux. Une algèbre principale intègre admettant un seul idéal maximal est dite de valuation discrète. Un idéal P de A est dit premier s’il est distinct de A et si l’algèbre quotient A/P est intègre. L’idéal P est dit primaire si tout diviseur de zéro dans l’algèbre quotient A/P est nilpotent.

A est dite une algèbre localement multiplicativement convexe (a.l.m.c.) de Fréchet si elle est munie d’une topologie d’algèbre metrisable complète définie par une famille dénombrable de semi-normes sous-multiplicatives. Un élément a d’une telle algèbre est dit un diviseur topologique de zéro si l’application de A vers aA qui à x associe ax n’est pas un homéomorphisme.

Nous notons C^{∞}([0, 1]) l’algèbre de toutes les fonctions complexes de classe C^{∞} définies sur l’intervalle [0, 1]. Munie de la topologie de la convergence uniforme ainsi que les dérivées successives, elle devient une a.l.m.c. de Fréchet. D’autre part, ses idéaux maximaux sont les idéaux principaux C^{∞}([0, 1])x_{λ}, où λ ∈ [0, 1] et x_{λ}(t) = t − λ, ∀t ∈ [0, 1].

I. Cas Banach

Avant de citer le résultat principal de cette note, nous donnons le lemme suivant dont on aura besoin par la suite.

Lemme I.1. Soit A une algèbre de Banach unitaire. Si I est un idéal à gauche de A dont la fermeture \overline{I} est de type fini, alors I est fermé.

Preuve. [1], Lemme 4, p. 76.

Remarque I.2. Signalons que ce lemme est valide pour une grande classe d’algèbres topologiques, à savoir celle des F -algèbres dont tout idéal à gauche maximal est fermé comme nous le montrerons plus tard.

Théorème I.3. Soit A une algèbre de Banach commutative unitaire. Les assertions suivantes sont équivalentes:

i) Tout idéal maximal de A est de type fini,

ii) A est noethérienne (et donc de dimension finie).

Preuve. L’implication ii) ⇒ i) est claire. Montrons l’implication inverse. Considérons la famille F de tous les idéaux de A qui ne sont pas de type fini et supposons qu’elle est non vide. Munie de l’inclusion, elle est inductive. Considérons alors I_{0} un élément maximal de F. L’idéal I_{0} est premier. En effet, soit x, y ∈ A tel que xy ∈ I_{0} et x ∉ I_{0}, y ∉ I_{0}. Comme I_{0} est strictement contenu dans I_{0} + Ax, ce dernier est de type fini. Il existe alors x_{1}, …, x_{r} ∈ I_{0} tel que:

I_{0} + Ax = Ax_{1} + ⋯ + Ax_{r} + Ax.

D’autre part, l’idéal J = {a ∈ A : ax ∈ I_{0}} contient strictement I_{0}, donc il est de type fini. Considérons y_{1}, …, y_{s} ∈ J tel que J = Ay_{1} + ⋯ + Ay_{s}. Alors il est facile de voir que

I_{0} = Ax_{1} + ⋯ + Ax_{r} + Ay_{1}x + ⋯ + Ay_{s}x,

ce qui contredit le fait que I_{0} n’est pas de type fini. Par ailleurs, comme conséquence de la définition de I_{0}, l’algèbre quotient A/I_{0} est noethérienne. Par le lemme I.1, I_{0} est fermé. Donc l’algèbre de Banach A/I_{0} est de dimension finie ([1], Théorème 5, p.76). Elle est alors un corps vu qu’elle est intègre. Par suite I_{0} est maximal, ce qui n’est pas le cas.

Comme conséquence, nous avons le résultat bien connu suivant.

Corollaire I.4. L’algèbre C^{∞}([0, 1]) ne peut être munie d’aucune norme d’algèbre de Banach.

Preuve. Dans l’algèbre C^{∞}([0, 1]), tout idéal maximal est de type fini (il est même principal). Le théorème I.3 permet de conclure.

Remarques I.5. 1) Le théorème n’est pas vrai sans la complétude comme le montre, également, l’algèbre C^{∞}([0, 1]) munie, par exemple, de la norme de la convergence uniforme sur l’intervalle [0, 1].

2) L’algèbre des séries formelles C[[X]] admet un seul idéal maximal; il est de type fini (en fait C[[X]] est principale). L’algèbre de Banach complétée de C[[X]], pour n’importe quelle norme d’algèbre, admet également un seul idéal maximal. Par le théorème ci-dessus, ce dernier ne peut être de type fini.

II. Cas Fréchet

La preuve du théorème I.3 montre que l’algèbre de Fréchet C^{∞}([0, 1]), qui n’est pas noethérienne, admet des idéaux premiers maximaux pour la propriété “non de type fini”. Plus précisement, on a le résultat suivant.

Mais d’abord ces deux lemmes. Le premier est purement algébrique, le second est une extension du lemme I.1.

Lemme II.1. Soit A une algèbre commutative unitaire noethérienne intègre dans laquelle tout idéal premier non nul est maximal et principal. Alors A est principale.

Preuve. Soit Q un idéal primaire non nul de A et P son radical. Il existe x_{0} ∈ A tel que P = Ax_{0}. Par ([2], Corollaire, p.241), il existe n tel que Q ⊂ Ax_{0}^{n} et Q ⊈ Ax_{0}^{n−1}. Il en résulte que Q = Ax_{0}^{n}. Si I est un idéal non nul quelconque de A, alors, par [5], Corollaire, p. 109, il existe Q_{1}, …, Q_{r} des idéaux primaires de A tel que I = Q_{1} ∩ ⋯ ∩ Q_{r}. Par ce qui précède, il existe des idéaux maximaux Ax_{1}, …, Ax_{r} deux à deux distincts et des entiers n_{1}, …, n_{r} tel que Q_{i} = Ax_{i}^{n_{i}}. Comme les Ax_{i} sont maximaux, on a I = Ax_{1}^{n_{1}} … x_{r}^{n_{r}}.

Lemme II.2. Soit A une F -algèbre unitaire dans laquelle tout idéal à gauche maximal est fermé et I un idéal à gauche de A tel que \overline{I} soit de type fini. Alors I est fermé.

Preuve. Supposons que I n’est pas fermé. Considérons F la famille des idéaux à gauche J de A non fermés tel que I ⊂ J ⊂ \overline{I}. On montre sans difficulté que cette famille est inductive (pour l’inclusion). Soit J_{0} un élément maximal de F. Alors J_{0} est nécessairment de type fini. Supposons que ce n’est pas le cas. Considérons la famille G des idéaux à gauche J de A, non de type fini, tel que J_{0} ⊂ J ⊂ \overline{I}. Cette famille est également inductive. Soit J_{1} un élément maximal de G. Si J_{1} contient strictement J_{0}, alors, vu le caractère maximal de J_{0} dans F, J_{1} est fermé et donc nécessairement J_{1} = \overline{I} ce qui ne peut être le cas puisque J_{1} n’est pas de type fini. Ainsi J_{0} = J_{1}.

Considérons maintenant x ∈ \overline{J_{0}}\J_{0}. L’idéal à gauche J_{0} + Ax, de A, contient strictement J_{0} donc il est fermé et par suite J_{0} + Ax = \overline{I} = \overline{J_{0}}. Soit alors x_{1}, …, x_{n} ∈ J_{0} tel que:

\overline{J_{0}} = Ax_{1} + ⋯ + Ax_{n} + Ax

et φ l’application linéaire continue définie de A^{n+1} vers \overline{J_{0}} par:

φ(a_{1}, …, a_{n+1}) = ∑_{1≤i≤n} a_{i}x_{i} + a_{n+1}x.

Par le théorème de l’application ouverte, φ est ouverte. Posons

J = { a ∈ A : ax ∈ J_{0} }.

C’est un idéal à gauche de A. Soit M un idéal à gauche maximal de A. Par hypothèse, A\M est un ouvert de A et donc φ((A\M)^{n+1}) est un ouvert de \overline{J_{0}}. Par suite φ((A\M)^{n+1}) ∩ J_{0} est non vide. Il existe alors a_{1}, …, a_{n+1} ∈ A\M tel que ∑_{1≤i≤n} a_{i}x_{i} + a_{n+1}x ∈ J_{0}. Il en résulte que a_{n+1}x ∈ J_{0} et par suite que a_{n+1} ∈ J. Ainsi J n’est contenu dans aucun idéal à gauche maximal de A et donc J = A. Il s’ensuit que x ∈ J_{0}, ce qui n’est pas le cas. Finalement l’idéal à gauche I est fermé.

Proposition II.3. Soit A une a.l.m.c. de Fréchet commutative unitaire dans laquelle tout idéal maximal est principal et qui n’est pas noethérienne. Soit P un idéal maximal, pour la propriété ”non de type fini”, de l’algèbre A. Alors:

i) P est un idéal premier fermé de A, ii) Il existe a ∈ A tel que P = ⋂_{n≥0} Aa^{n}. iii) L’algèbre de Fréchet quotient A/P est principale et est sans diviseurs topolo-

giques de zéro non nuls.

Preuve. D’abord, par [6], Théorème 5.2, c), p. 21, tout idéal maximal de A est fermé. La preuve du théorème I. 3 permet d’affirmer que P est premier. Par le lemme II.2, P est fermé. D’où l’assetion i). Montrons ii). Considérons a ∈ A tel que Aa soit un idéal maximal de A et contenant P. Comme P, qui est premier, est distinct de Aa, on a P ⊂ ⋂_{n≥0} Aa^{n}. Par ailleurs, l’algèbre quotient A/P est noethérienne et intègre. Donc par [2], Corollaire, p. 241,

⋂_{n≥0}(Aa^{n} + P/P) = \{\overline{0}\}.

Comme P ⊂ ⋂_{n≥0} Aa^{n}, on aura P = ⋂_{n≥0} Aa^{n}. D’où l’assertion ii).

D’autre part, d’après [3], Sholie, p. 29, tout idéal premier non nul de A/P est maximal. On conclut que A/P est principale par le lemme II.1. Par ailleurs, d’après [4], Théorème 3, p. 162, tout idéal de l’algèbre A/P est fermé. Comme elle est intègre, on déduit, via le théorème de l’application ouverte, qu’elle est sans diviseurs topologiques de zéro non nuls. D’où l’assertion iii).

Comme conséquences, nous retrouvons, d’une part, le caractère premier d’une famille d’idéaux de l’algèbre C^{∞}([0, 1]) et, d’autre part, une autre propriété algébrique de l’algèbre quotient C^{∞}([0, 1])/P.

Corollaire II.4. Pour tout λ ∈ [0, 1], l’idéal ⋂_{n≥0} C^{∞}([0, 1])x_{λ}^{n} de C^{∞}([0, 1]) est premier.

Preuve. Par la proposition II.3, il existe λ_{0} ∈ [0, 1] tel que ⋂_{n≥0} C^{∞}([0, 1])x_{λ_{0}}^{n} est premier. D’autre part, si λ ∈ [0, 1], il existe un automorphisme d’algèbres de C^{∞}([0, 1]) appliquant l’idéal ⋂_{n≥0} C^{∞}([0, 1])x_{λ}^{n} sur l’idéal ⋂_{n≥0} C^{∞}([0, 1])x_{λ_{0}}^{n}. D’où le corollaire.

Corollaire II.5. Soit P un idéal maximal, pour la propriété ”non de type fini”, de l’algèbre C^{∞}([0, 1]). L’algèbre quotient C^{∞}([0, 1])/P est de valuation discrète.

Preuve. Par la proposition II.3, l’algèbre C^{∞}([0, 1])/P est principale. On montre facilement, via le corollaire II.4, qu’elle admet un seul idéal maximal.

REFERENCES

[1] B. Aupetit, Propriétés spectrales des algèbres de Banach, L.N.M. 735, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1979.

[2] N. Bourbaki, Algèbre commutative, Chapitres 1 à 4, Masson, (nouveau tirage), Paris New York Barcelone Milan Mexico Sao Paulo (1985).

[3] N. Bourbaki, Algèbre commutative, Chapitres 8 et 9, Masson, Paris New York Barcelone Milan Mexico Sao Paulo (1983).

[4] R. Choukri, A. EL. Kinani, M. Oudadess, Algèbres topologiques à idéaux à gauche fermés, Studia Mathematica, 168 (2) (2005), 159–164.

[5] J. P. Lafon, Algèbre commutative, Langages géométrique et algébrique, Hermann, Paris, 1977.

[6] E. A. Michael, Locally Multiplicatively Convex Topological Algebras, Mem. Amer. Math. Soc. 11, Providence (1952).

[7] M. Singer and J. Wermer, Derivations on commutatives normed algebras, Math. Annalen, 129 (1955), 260–264.

(received 03.04.2007)

R. Choukri, Ecole Normale Supérieure, B.P. 5118. Takaddoum, 10105, Rabat, Maroc.

E-mail: rachoukri@yahoo.fr

A. EL Kinani, Ecole Normale Supérieure, B.P. 5118. Takaddoum, 10105, Rabat, Maroc.

E-mail: abdellah elkinani@yahoo.fr

A. Oukhouya, Ecole Normale Supérieure, Marrakech, Maroc.

E-mail: aoukhouya@hotmail.com