Théorie d’Iwasawa

et Loi Explicite de Réciprocité

Un Remake d’un Article de P. Colmez

Bernadette Perrin-Riou

Received: October 1, 1998 Revised: May 12, 1999

Communicated by Peter Schneider

Abstract. Let V be a crystalline p-adic representation of the absolute Galois group of ℚ_{p}. The author has built the Iwasawa theory of such a representation in Invent. Math (1994) and conjectured a reciprocity law which has been proved by P. Colmez. In this text, we write the initial construction with simplification and the proof of P. Colmez in a different language. This point of view will allow us to study the universal norms in the geometric cohomology classes associated to V by Bloch and Kato in a forthcoming article.

1991 Mathematics Subject Classification: 11E95 11R23

Keywords and Phrases: p-adic representation, Iwasawa theory, exponential, reciprocity law

La loi explicite de réciprocité classique sur un corps local remonte à Artin-Hasse et Iwasawa et donne une description du symbole de Hilbert. Elle a été généralisée à des modules de Lubin-Tate, citons Wiles, Kolyvagin, Vostokov, Brückner, Coleman, Sen, de Shalit, Fesenko. On renvoie à [3] pour un historique. Le développement de ces lois s’est fait en parallèle et en liaison avec le développement de la théorie d’Iwasawa locale ; dans le cas classique, il s’agit de l’étude du comportement des unités locales sur la ℤ_{p}^{×}-extension cyclotomique K_{∞} à l’aide de l’application exponentielle (Iwasawa, Coates-Wiles, Coleman). On peut envisager des généralisations de la loi de réciprocité à des représentations cristallines quelconques. Dans [4], nous avons donné une généralisation de cette étude des unités locales à des représentations cristallines V du groupe de Galois de ℚ_{p} générales : les unités locales sont remplacées par la limite projective Z_{∞}^{1}(ℚ_{p}, T) des groupes de cohomologie galoisiennes H^{1}(ℚ_{p}(μ_{p^{n}}), T) et on construit une application “exponentielle” Ω_{V} d’un ℚ_{p} ⊗ ℤ_{p}[[G_{∞}]]-module libre ℤ_{p}[[G_{∞}]] ⊗_{ℤ_{p}} D_{p}(V) dans H(G_{∞}) ⊗_{ℤ_{p}[[G_{∞}]]} Z_{∞}^{1}(ℚ_{p}, T) où ℤ_{p}[[G_{∞}]] est l’algèbre d’Iwasawa de G_{∞} = Gal(K_{∞}, ℚ_{p}), H(G_{∞}) une algèbre de “séries formelles” avec condition de croissance, contenant ℤ_{p}[[G_{∞}]] et D_{p}(V) le module de Fontaine associé à V. On a alors conjecturé dans ce cadre une loi explicite de réciprocité. On peut en donner deux formulations : la première (appelée Réc(V)) dit essentiellement que pour les dualités naturelles, Ω_{V} et Ω_{V^{∗}(1)} sont adjoints (ici V^{∗}(1) est le dual de Tate de V). La deuxième formulation ([6]) plus proche de la formulation traditionnelle calcule à un niveau fini (c’est-à-dire sur le corps ℚ_{p}(μ_{p^{n}})) l’application duale de l’exponentielle sur Ω_{V (k)}(g) en termes de g pour des twists à la Tate V (k) convenables de V. Il n’est pas difficile de voir que les deux formulations sont équivalentes. Cette loi vient d’être montrée par P. Colmez ([1]) et indépendemment par Kato, Kurihara, Tsuji. Plus récemment, D. Benois en a aussi donné une démonstration en utilisant la théorie des (φ, Γ)-modules de Fontaine. Nous reprenons dans ce texte la démonstration de Colmez de la loi explicite de réciprocité pour une représentation cristalline (ou un tout petit peu plus généralement pour la partie cristalline de son module filtré). La présentation est très légèrement différente : outre que nous n’utilisons pas le langage des distributions, nous commençons par démontrer la loi explicite de réciprocité puis nous voyons la construction (un peu modifiée) de son application Log_{V}^{(h)} (dans le cas où V est cristalline) comme une conséquence de cette loi, ce qui permet d’utiliser des arguments sur l’anneau B_{cris} moins subtils que les siens. Cependant, comme il a été souligné, nous ne regardons ici que la partie cristalline du module filtré associé à V, ce qui nous permet de travailler uniquement avec des fonctions analytiques. Dans [1], il est fait plus mais cette généralisation très importante est encore mal comprise (par moi en tout cas) : il semble en effet qu’il faille abandonner l’idée de raisonner avec de bonnes vieilles fonctions (ou distributions sur ℤ_{p}). La justification de ce texte est peut-être qu’avant de sauter ce pas, nous voulions faire le point sur le cas cristallin, dans le langage “usuel”. La démonstration de Colmez est alors extrêmement simple et naturelle : donnons-en les ingrédients. Si u est un générateur topologique de 1 + pℤ_{p}, il s’agit de calculer la valeur d’une fonction analytique f sur le disque unité de ℂ_{p} en u^{k} −1, la fonction f étant obtenue par interpolation de nombres en h familles de points de la forme ζu^{j} − 1 pour ζ racine de l’unité d’ordre une puissance de p et 0 ≤ j < h ; bien sûr k est différent de ces j. Il y a pour cela une formule générale qui exprime f(u^{k} − 1) comme une limite de combinaisons linéaires des f(ζu^{j} − 1). Plus précisément, on a par exemple

\begin{matrix}\frac{(−1)^{h}(h − 1)!}{k(k − 1) … (k − h + 1)} \frac{f(u^{k} − 1)}{log u} = \\ lim_{n→∞} ∑_{i=0}^{h−1}(−1)^{i} & \frac{p^{n}}{1 − u^{(k−i)p^{n}}} \binom{h − 1}{i}R_{n,i}(f)(u^{k−i} − 1) \end{matrix}

Documenta Mathematica 4 (1999) 219–273

où R_{n,i}(f) est le polynôme de degré < p^{n} tel que

f ≡ R_{n,i}(f)(u^{−i}(1 + T) − 1) mod u^{−ip^{n}}(1 + T)^{p^{n}} − 1 .

Maintenant, si Γ est le groupe de Galois de ℚ_{p}(μ_{p^{∞}})/ℚ(μ_{p}) de générateur topologique γ et si u = χ(γ) avec χ le caractère cyclotomique, par définition de la fonction f dont on veut calculer la valeur en u^{k} − 1, R_{n,i}(f)(u^{k−i} − 1) est relié à la valeur en γ_{n} = γ^{p^{n−1}} d’un cocycle de Γ_{n} à valeurs dans V : ce cocycle devient un cobord (γ_{n} − 1)c_{n} lorsqu’on étend les scalaires à B_{cris}^{G_{ℚ(μ_{p^{∞}})}}. On relie ainsi \frac{R_{n,i}(f)(u^{k−i}−1)}{1−u^{(k−i)p^{n}}} = χ^{k}(\frac{R_{n,i}(f)(u^{−i}γ−1)}{1−u^{−i}γ_{n}^{k}}) à l’image de c_{n} dans ℚ_{p}(μ_{p^{n}}) par

l’application λ_{k,n} : B_{dR}^{G_{ℚ(μ_{p^{∞}})}} → B_{dR}/(χ^{−k}(γ_{n})γ_{n} − 1) → ℚ_{p}(μ_{p^{n}}) (application de Tate). On peut relier ce dernier élément à l’application exponentielle duale grâce à une formule due à Kato.

Nous avons ensuite donné quelques conséquences de cette loi. Certaines sont déjà dans des articles antérieurs ([4], [7]). D’autres sont plus nouvelles. Dans les §1 et 2, nous faisons quelques préliminaires et rappels : théorie d’Iwasawa locale, lemme fondamental d’interpolation des fonctions analytiques, résolution d’équations du type (1 − φ)G = g. Dans le §3, nous reprenons complètement la construction de l’application exponentielle Ω_{V,h} faite dans [4] en tenant compte des points de H_{f}^{1}(K_{n}, V). Nous donnons dans le §4 la démonstration due à Colmez de la loi explicite de récipocité. Dans le §5, se trouvent des conséquences de cette loi explicite (anciennement conjecture Réc(V) ) et des calculs sur les valeurs spéciales de l’application logarithme que l’on peut en grande partie déjà trouvés dans [4], [5] et [7]. On espère ainsi donner un panorama complet des formules que l’on a à sa disposition. Ces formules sont très utiles dans la théorie des fonctions L p-adiques comme cela a déjà beaucoup exploité dans [5] et [4]. Dans l’appendice A, on donne quelques formules relatives au lemme de Shapiro, aux opérations de twist et de projections puis reliant différentes manières de voir les fonctions analytiques. Dans l’appendice B, on démontre la formule exprimant la valeur de f(u^{k} − 1) en termes des valeurs aux points d’interpolation pour une fonction analytique f d’ordre fini. Dans l’appendice C, on reprend la suite exacte de Coleman-Colmez en modifiant légèrement la présentation de Colmez.

Errata. Une erreur dans [4] m’a été signalée par J. Nekovář. La plupart des résultats ne sont valables que lorsque H est une extension finie de ℚ_{p}, car on utilise à divers endroits l’accouplement local de dualité. Ainsi, il n’y a en particulier pas de résultats nouveaux sur les représentations p-adiques ordinaires sur un corps local dont le corps résiduel n’est pas fini dans [4].

Table des matières

1. Préliminaires 222 2. Equations (1 − p^{r}Φ)G_{r} = D^{r}(g) 227 3. Application exponentielle 230 4. Lois de réciprocité 243 5. Quelques conséquences 256 Appendice A. Formules diverses 261 Appendice B. Interpolation 265 Appendice C. Suite exacte de Coleman-Colmez 269 Références 273

1. Préliminaires

1.1. On pose K = ℚ_{p}. On fixe une clôture algébrique \overline{K} de K et on note G_{L} = Gal(\overline{K}/L) pour toute extension algébrique L de K (supposée contenue dans \overline{K}). On pose K_{n} = K(μ_{p^{n}}) où μ_{p^{n}} est le groupe des racines p^{n}-ièmes de l’unité. On fixe dans tout le texte un système ϵ de racines de l’unité ζ_{n} d’ordre p^{n} vérifiant ζ_{n+1}^{p} = ζ_{n}. On note G_{n} le groupe de Galois de K_{n}/K pour n ∈ ℕ∪{∞} et Λ = ℤ_{p}[[G_{∞}]]. On note χ le caractère cyclotomique G_{K} → ℤ_{p}^{×}. On désigne par γ un générateur topologique de Γ = Gal(K_{∞}/K_{1}) et on pose γ_{n} = γ^{p^{n−1}} pour n ≥ 1, c’est un générateur topologique de Gal(K_{∞}/K_{n}). On pose Δ = Gal(K(μ_{p})/K) = Gal(K_{1}/K). Tous les groupes de cohomologie galoisienne considérés sont les groupes de cohomologie continue.

1.2. Soit H l’algèbre des séries formelles en une variable convergeant sur le disque unité \{x ∈ ℂ_{p} tel que |x| < 1\} où ℂ_{p} est le complété p-adique de \overline{ℚ_{p}}. Si ρ est un réel inférieur à 1, on note ||f||_{ρ} = sup_{|x|=ρ} |f(x)| = sup_{|x|≤ρ} |f(x)|.

On pose ρ_{n} = p^{− \frac{1}{p^{n}(p−1)}} . Il est commode d’introduire ℝ̄ = ℝ ∪ \{r^{−}pour r ∈ ℝ\} avec l’ordre total : si r_{1} < r_{2}, alors r_{1} < r_{2}^{−} < r_{2}. Pour r ∈ ℝ^{−}, on note ⌊r⌋ le plus grand entier inférieur ou égal à r. Si r est entier, on a donc ⌊r^{−}⌋ = r − 1. Si r ∈ ℝ̄, on note H_{r} le sous-ℚ_{p}-espace vectoriel de H formé des séries F telles que la suite \frac{||F ||_{ρn}}{p^{nr}} est bornée si r ∈ ℝ et tend vers 0 si r ∈ ℝ^{−}. On dit que F est tempérée d’ordre ≤ r. Si r_{1} < r_{2} dans ℝ̄, on a H_{r_{1}} ⊂ H_{r_{2}}. Plus précisément, si F appartient à H_{r}, la suite \frac{||F ||_{ρn}}{p^{nr′}} tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini pour tout r′ < r. On note H_{∞} la réunion des H_{r}. Si g ∈ H_{∞}, on note 𝔬(g) (resp. 𝔒(g)) la borne inférieure des r ∈ ℝ tel que g ∈ H_{r^{−}} (resp. le plus petit réel r tel que g ∈ H_{r} s’il existe). Pour r ∈ ℝ̄∪{∞}, on note H_{r}(Γ) les éléments de ℚ_{p}[[Γ]] de la forme f(γ − 1) avec f ∈ H_{r}, H_{r}(G_{∞}) = ℤ_{p}[Gal(K(μ_{p})/K)] ⊗ H_{r}(Γ) et H(G_{∞}) la réunion des H_{r}(G_{∞}). On munit H_{r} de la norme C_{r} définie par C_{r}(F) = sup_{n} \frac{||F ||_{ρn}}{p^{nr}} et H_{r}(G_{∞}) de la norme qui s’en déduit.

1.3. Si g ∈ ℚ_{p}[[T]], on pose D(g) = (1+T)\frac{d}{dT} g. On pose φ(g) = g((1+T)^{p}−1) et on note ψ l’opérateur de ℚ_{p}[[T]] tel que φ∘ψ(g) = p^{−1} ∑_{ζ∈μ_{p}} f(ζ(1+T)−1). On peut aussi voir pψ comme la trace de l’extension ℚ_{p}[[T]]/φℚ_{p}[[T]]. Il est important de rappeler qu’on dispose d’un isomorphisme canonique d’espaces vectoriels normés entre H_{r}^{Ψ=0} et H_{r}(G_{∞}). Si τ ∈ G_{∞}, on pose τ.(1 + T) = (1 + T)^{χ(τ)} et on prolonge cette action à Λ par continuité. Pour la prolonger à H_{r}(G_{∞}), on montre que si f_{n,r} est le polynôme d’approximation de f modulo ∏_{i=0}^{⌊r⌋)}(χ^{−i}(γ_{n})γ_{n} − 1), la suite f_{n,r}.(1 + T) converge dans H_{r} et ne dépend pas des choix ; c’est par définition f.(1 + T). L’opérateur D sur H_{r}^{Ψ=0} correspond sur H_{r}(G_{∞}) à l’opération de twist τ ↦ χ(τ)τ et est un isomorphisme topologique de H_{r}^{Ψ=0}.

Soit D un espace vectoriel de dimension finie muni d’une norme fixée. On définit alors naturellement ||f||_{ρ} pour f ∈ H ⊗ D.

1.4. Définition : Soit u un automorphisme de D. On dit qu’un élément F ∈ H ⊗ D est u-borné (resp. u^{−}-borné) si la suite ||(1 ⊗ u)^{−n}F ||_{ρ_{n}} est bornée (resp. tend vers 0) lorsque n tend vers l’infini.

On note (H ⊗ D)_{u^{ϵ}} l’espace vectoriel des éléments u^{ϵ}-bornés (il est contenu dans H_{∞} ⊗ D) et on pose alors C_{u}(F) = sup_{n}(||(1 ⊗ u)^{−n}F ||_{ρ_{n}}).

Remarques : 1) Prenons D = ℚ_{p} et pour u = p^{−r}I la multiplication par p^{−r}. Alors, si r ≥ 0, H_{p^{−r}I}^{ϵ} = H_{r^{ϵ}} ; si r < 0, H_{p^{−r}I}^{ϵ} = 0. Ainsi, on a C_{p^{−r}I} = C_{r} pour r ≥ 0.

2) Supposons la suite d’opérateurs p^{−nr}u^{−n} de D bornée. Alors, H_{r^{ϵ}} ⊗ D est contenu dans (H ⊗ D)_{u^{ϵ}}. On a en effet alors

||(1 ⊗ u)^{−n}F ||_{ρ_{n}} ≤ c_{n} \frac{||F ||_{ρ_{n}}}{p^{nr}}

avec c_{n} bornée. Si l’on pose ||v||_{r} = sup ||p^{−nr}v^{n}|| pour un endomorphisme v de D lorsque cela existe (r peut être négatif), on obtient plus précisément

C_{u}(F) ≤ ||u^{−1}||_{r}C_{r}(F) .

3) Supposons la suite p^{ns}u^{n} bornée. Alors, (H⊗D)_{u^{ϵ}} est contenu dans H_{s^{ϵ}} ⊗D. En particulier, si s < 0, (H ⊗ D)_{u^{ϵ}} = 0. En effet, en écrivant F = (1 ⊗ u^{n})(1 ⊗ u^{−n})F, on a

\frac{||F ||_{ρ_{n}}}{p^{ns}} ≤ c′_{n}||(1 ⊗ u)^{−n}F ||_{ρ_{n}}

avec c′_{n} bornée et on obtient plus précisément

C_{s}(F) ≤ ||u||_{−s}C_{u}(F) .

4) Si g est un élément de (H^{ψ=0} ⊗ D)_{u^{ϵ}} , alors D^{k}(g) est aussi u^{ϵ}-borné et on a C_{u}(D^{k}(g)) = C_{u}(g).

5) Si r ≤ s, on a

(H ⊗ D)_{p^{−r}u^{ϵ}} ⊂ (H ⊗ D)_{p^{−s}u^{ϵ}} .

6) S’il existe un réel s tel que g ∈ H ⊗ D soit p^{−s}u^{−} bornée, on note 𝔬_{u}(g) (resp. 𝔒_{u}(g)) la borne inférieure des r ∈ ℝ tel que g ∈ H_{p^{−r}u^{−}} (resp. le plus petit des r tels que g ∈ H_{p^{−r}u} s’il existe). Ainsi, 𝔬_{u}(g) < r si et seulement si la suite ||p^{rn}u^{−n}g||_{ρ_{n}} tend vers 0 lorsque n → ∞. Si 𝔒_{u}(g) existe, on a 𝔒_{u}(g) = 𝔬_{u}(g).

1.5. Soit V une représentation p-adique continue de G_{K} de dimension finie. Si T est un réseau de V stable par G_{K}, on note Z_{∞}^{1}(K, T) la limite projective des H^{1}(K_{n}, T) pour les applications de corestriction (encore appelées trace) et Z_{∞}^{1}(K, V) = ℚ_{p} ⊗_{ℤ_{p}} Z_{∞}^{1}(K, T). On note Z̃_{∞}^{1}(K, T) le quotient du Λ-module Z_{∞}^{1}(K, T) par son sous-Λ-module de torsion et Z̃_{∞}^{1}(K, V) = ℚ_{p} ⊗_{ℤ_{p}} Z̃_{∞}^{1}(K, T). Rappelons que ce sous-Λ-module de torsion est la limite projective des H^{1}(K_{∞}/K_{n}, T^{G_{K∞}}) et est isomorphe à T^{G_{K∞}} une fois choisi un générateur de G_{∞}. Le lemme de Shapiro implique que Z_{∞}^{1}(K, T) = H^{1}(K, Λ ⊗ T) ([1, II.1], il s’agit ici de cohohomologie continue). Grâce à la suite exacte inflationrestriction, les applications de restriction induisent l’isomorphisme canonique

Z̃_{∞}^{1}(K, T) ≅ H^{1}(K_{∞}, Λ ⊗ T)^{Γ}

et en tensorisant par ℚ_{p} l’isomorphisme canonique

Z̃_{∞}^{1}(K, V) ≅ H^{1}(K_{∞}, Λ ⊗ V)^{Γ} .

1.6. Si k est un entier, on note V (k) la représentation p-adique V avec la nouvelle action de G_{K} donnée pour τ ∈ G_{K} par v ↦ χ(τ)^{k}τv. On a alors un opérateur de twist T w^{k} : Z_{∞}^{1}(K, T) → Z_{∞}^{1}(K, T (k)) induit par l’identité, l’action de Galois étant modifiée : τ(T w^{k}(x)) = χ(τ)^{k}T w^{k}(τx). Pour tout entier n ≥ 0 et pour tout entier k ∈ ℤ, le composé des opérateurs de twists et de la projection canonique de Z_{∞}^{1}(K, T (k)) → H^{1}(K_{n}, T (k)) induisent des applications

\begin{matrix}π_{n,k} : Z_{∞}^{1}(K, V) → & H^{1}(K_{n}, V (k)) \\ π̃_{n,k} : Z̃_{∞}^{1}(K, V) → & H^{1}(K_{n}, V (k))/H^{1}(G_{n}, V (k)^{G_{K∞}}) ≅^{res_{∞}} H^{1}(K_{∞}, V (k))^{Γ_{n}} \end{matrix}

où res_{∞} est la restriction de H^{1}(K_{n}, V (k)) dans H^{1}(K_{∞}, V (k))^{Γ_{n}}. On démontre comme dans [4, 3.4.3] que si V est de de Rham, l’action de G_{∞} sur V^{G_{K∞}} est semi-simple et que V^{G_{K∞}} = ⊕V (−j)^{G_{K}} (j). En particulier, on en déduit que V^{G_{Kn}} = V^{G_{K}} pour tout entier n et que V^{∗}(1)^{G_{Kn}} = V^{∗}(1)^{G_{K}}. En utilisant la dualité locale et le fait que G_{∞} est de dimension cohomologique 1, il n’est pas difficile de démontrer que l’image de Z_{∞}^{1}(K, T) dans H^{1}(K_{n}, T (k)) est d’indice borné par rapport à n dès que V (k)^{∗}(1)^{G_{K}} est nul (voir par exemple [4, 3.2.1]). Lorsque V^{∗}(1)^{G_{K}} est non nul, l’application

Z_{∞}^{1}(K, T)_{Γ_{n}} → H^{1}(K_{n}, T)

n’est pas surjective, le conoyau est isomorphe à H^{1}(Γ_{n}, (V^{∗}(1)/T^{∗}(1))^{G_{K∞}})ˆ . L’image de Z_{∞}^{1}(K, T)_{Γ_{n}} est par contre d’indice fini borné dans l’intersection de H^{1}(K_{n}, T) et de l’image Y_{n} de ℚ_{p} ⊗ Z_{∞}^{1}(K, T)_{Γ_{n}}. Un élément de H^{1}(K_{n}, V) est dans Y_{n} si et seulement si son image dans

H^{1}(Γ_{n}, V^{∗}(1)^{G_{K∞}})^{∗} = (V^{∗}(1)^{G_{K∞}} /(γ_{n} − 1))^{∗} ≅ (V^{∗}(1)^{G_{Kn}})^{∗} ≅ (V^{∗}(1)^{G_{K}})^{∗}

est nulle, l’application H^{1}(K_{n}, V) → H^{1}(Γ_{n}, V^{∗}(1)^{G_{K∞}})^{∗} provenant de la dualité locale. Nous dirons que x ∈ H^{1}(K_{n}, V) est admissible s’il appartient à l’image de ℚ_{p} ⊗ Z_{∞}^{1}(K, T)_{Γ_{n}}. Ce qui précède montre que x est admissible si et seulement si sa trace à K l’est.

1.7. Les applications π_{n,k} se prolongent en des applications que l’on note de la même manière :

π_{n,k} : H_{r}(G_{∞}) ⊗_{ℚ_{p}⊗Λ} Z_{∞}^{1}(K, V) → H^{1}(K_{n}, V (k))

ou

\begin{matrix}π_{n,k} : H_{r}(G_{∞}) ⊗_{Λ} Z̃_{∞}^{1}(K, V) → & H^{1}(K_{n}, V (k))/H^{1}(Γ_{n}, V (k)^{G_{K∞}}) \\ = H^{1}(K_{∞}, V (k))^{Γ_{n}} \end{matrix}

pour tout entier n ≥ 0 et pour tout entier relatif k. Nous verrons souvent H^{1}(K_{∞}, V (k))^{Γ_{n}} comme contenu dans H^{1}(K_{∞}, V). On note ∗_{k} l’action twistée : τ ∗_{k} m = χ(τ)^{k}τm. Nous allons donner un critère pour qu’une famille de points de H^{1}(K_{n}, V (k)) soit dans l’image de H_{r}(G_{∞}) ⊗_{ℚ_{p}⊗Λ} Z_{∞}^{1}(K, V) (interpolation de familles de points).

1.8. Proposition. Soit s ∈ \overline{ℝ} et h un entier > s. Soit P_{n,k} une famille d’éléments admissibles de H^{1}(K_{n}, V (k)) pour n ∈ ℕ et k = 0, … h−1 telle que

(i) T r_{n+1,n}(P_{n+1,k}) = P_{n,k} ; (ii) les suites p^{⌊n(s−j)⌋} ∑_{k=0}^{j}(−1)^{k}\binom{j}{k}res_{∞}P_{n,k} convergent vers 0 dans

H^{1}(K_{∞}, V) pour tout 0 ≤ j ≤ h − 1. Alors, il existe un unique élément z de H_{s^{−}}(G_{∞})⊗Z̃_{∞}^{1}(K, T) tel que π̃_{n,k}(z) = P̃_{n,k}.

Démonstration. On commence par remplacer G_{∞} par Γ (on a H_{s^{−}}(G_{∞}) ⊗ Z_{∞}^{1}(K, T) = H_{s^{−}}(Γ)⊗ℤ_{p}[Δ]⊗Z_{∞}^{1}(K, T)). Il existe un système libre X_{1}, ⋯, X_{d} du Λ_{Γ}-module Z_{∞}^{1}(K, T) tels que pour tout entier k compris entre 0 et h − 1, les éléments π̃_{n,k}(X_{i}) de res_{∞}H^{1}(K_{n}, T (k)) = H^{1}(K_{∞}, T (k))^{Γ_{n}} ⊂ H^{1}(K_{∞}, T) en forment un système libre (modulo torsion) engendrant un ℤ_{p}[G_{n}]-module d’indice borné c par rapport à n dans le ℚ_{p}-espace vectoriel des éléments admissibles de H^{1}(K_{∞}, T (k))^{Γ_{n}}. On écrit alors les points res_{∞}(P_{n,k}) dans cette base :

res_{∞}(P_{n,k}) = ∑_{i=1}^{d} b_{n,k}^{(i)} ∗_{k} π̃_{n,k}(X_{i}) = ∑_{i=1}^{d} T w^{k}b_{n,k}^{(i)}π̃_{n,k}(X_{i})

avec les b_{n,k}^{(i)} dans ℚ_{p}[G_{n}]. On peut écrire b_{n,k}^{(i)} = R_{n,k}^{(i)}(γ − 1) avec γ générateur

de Γ et R_{n,k}^{(i)} polynôme en T de degré < p^{n} à coefficients dans ℚ_{p}[Δ]. La première condition signifie que par l’application naturelle de ℚ_{p}[G_{n+1}] dans ℚ_{p}[G_{n}], l’image de b_{n+1,k}^{(i)} est b_{n,k}^{(i)} et donc que R_{n+1,k}^{(i)} ≡ R_{n,k}^{(i)} mod (1+T)^{p^{n}}−1. La deuxième condition signifie que pour tout entier j avec 0 ≤ j ≤ h−1 et pour i = 1, ⋯, d, les suites p^{n(s−j)} ∑_{k=0}^{j}(−1)^{k}\binom{j}{k}R_{n,k}^{(i)}(χ(γ)^{k}(1+T)−1) tendent vers 0, ce qui est la condition pour qu’il existe un unique élément de f^{(i)} ∈ H_{s^{−}} tel que f^{(i)}(T) ≡ R_{n,k}^{(i)}(χ(γ)^{k}(1 + T) − 1) mod χ(γ^{p^{n}})^{k}γ^{p^{n}} − 1. L’élément ∑_{i=1}^{d} f^{(i)}(γ − 1)X_{i} ∈ H_{s^{−}}(G_{∞}) ⊗ Z_{∞}^{1}(K, T) convient. L’unicité de z vient de l’unicité des f^{(i)}.

Remarques : 1. Une famille d’éléments vérifiant les conditions de la proposition sera dite tempérée d’ordre < s. Nous parlerons de congruences pour évoquer les conditions (ii).

2. On peut mettre d’autres types de conditions : par exemple, si s est un entier, une famille de points P_{n,k} pour n ≥ 1 et k ∈ {0, …, s − 1} telle que

(i) T r_{n+1,n}(P_{n+1,k}) = P_{n,k} (ii) les suites p^{n} ∑_{k=0}^{s−1}(−a)^{k}\binom{s−1}{k}res_{∞}P_{n,k} convergent vers 0 pour tout a ∈

ℤ_{p},

est tempérée d’ordre < s. Pour le démontrer, on écrit (X − 1)^{j} pour j ∈ {0, …, s − 1} dans le système libre formé des (X − a_{l})^{s−1} pour a_{l} s points distincts de ℤ_{p} et on en déduit une relation

∑_{k=0}^{j}(−1)^{k}\binom{j}{k}res_{∞}P_{n,k} = ∑_{l=0}^{s−1} c_{k,l} ∑_{k=0}^{s−1}(−a_{l})^{k}\binom{s − 1}{k}res_{∞}P_{n,k} .

Le résultat s’en déduit.

3. La proposition dit aussi que l’application naturelle

H_{s^{−}}(G_{∞}) ⊗ Z̃_{∞}^{1}(K, T) \underrightarrow{∏ π̃_{n,k}} ∏_{n,0≤k≤h−1} H^{1}(K_{∞}, V (k))

est injective.

1.9. L’application naturelle de Λ-modules de Z_{∞}^{1}(K, T) dans H^{1}(K, Λ⊗T) se prolonge en une application δ de H_{s}(G_{∞})⊗_{Λ} Z_{∞}^{1}(K, T) dans H^{1}(K, H_{s}(G_{∞})⊗ T). Colmez démontre qu’il s’agit en fait d’un isomorphisme. Pour cela, on remarque qu’il suffit de montrer que l’homomorphisme H_{s}(G_{∞}) ⊗_{Λ} Z̃_{∞}^{1}(K, T) → H^{1}(K_{∞}, H_{s}(G_{∞}) ⊗ T)^{G_{∞}} est un isomorphisme. On a en effet un diagramme commutatif dont les lignes sont exactes :

0 →  H_{s}(G_{∞}) ⊗ T^{G_{K∞}}  → H_{s}(G_{∞}) ⊗ Z_{∞}^{1}(K, T) →
↓  ↓
0 → H^{1}(G_{∞}, H_{s}(G_{∞}) ⊗ T^{G_{K∞}}) → H^{1}(K, H_{s}(G_{∞}) ⊗ T) →
→ H_{s}(G_{∞}) ⊗ Z̃_{∞}^{1}(K, T) → 0
↓
→ H^{1}(K_{∞}, H_{s}(G_{∞}) ⊗ T)^{G_{∞}} → 0

Il est facile de vérifier que la première flèche verticale est un isomorphisme. Il ne reste donc plus qu’à montrer que la troisième l’est. On a des applications naturelles de H^{1}(K, H_{s}(G_{∞}) ⊗ T) dans H^{1}(K_{n}, V (k)) pour tout entier n ≥ 1 et k ∈ ℤ induites par l’homomorphisme s_{n,k} de G_{K_{n}}-modules H_{s}(G_{∞}) ⊗ V → ℤ_{p}[G_{n}] ⊗ V (k) → V (k) donné par f ↦ R_{n,k}(f) ≡ T w^{k}(f) mod γ^{p^{n}} − 1 ↦ ν_{Id}^{n}(R_{n,k}(f)) où ν_{Id}^{n}(∑_{τ} a_{τ} τ) = a_{Id} (cf. l’appendice A.1) et le diagramme suivant commute

H_{s}(G_{∞}) ⊗_{Λ} Z̃_{∞}^{1}(K, T) →^{δ} H^{1}(K_{∞}, H_{s}(G_{∞}) ⊗ T)^{G_{∞}}
π̃ ↓  π′ ↓
∏_{n,k} H^{1}(K_{∞}, V (k))^{Γ_{n}} = ∏_{n,k} H^{1}(K_{∞}, V (k))^{Γ_{n}}

L’image d’un élément de H^{1}(K_{∞}, H_{s}(G_{∞}) ⊗ T)^{G_{∞}} vérifie les conditions de la proposition 1.8, ce qui permet de définir un homomorphisme δ′ de Λ-modules de H^{1}(K_{∞}, H_{s}(G_{∞})⊗T)^{G_{∞}} dans H_{s}(G_{∞})⊗_{Λ}Z̃_{∞}^{1}(K, T) tel que π′(δ∘δ′(x)−x) = 0 et tel que π̃(δ′ ∘δ(x)−x) = 0. Comme ∏_{n,0≤k≤h−1} π̃_{n,k} est injective, δ′ ∘δ(x) = x. De même, il n’est pas difficile de voir que ∏_{n,0≤k≤h−1} π′_{n,k} est injective, ce qui implique δ ∘ δ′(x) = x. D’où l’isomorphisme.

2. Equations (1 − p^{r}Φ)G_{r} = D^{r}(g)

On fixe un φ-module D de dimension finie, c’est-à-dire un ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie muni d’un automorphisme φ. Le ℚ_{p}-espace vectoriel H_{∞}⊗D est muni d’une action continue de G_{∞}, des opérateurs Φ = φ⊗φ et D = D ⊗1.

2.1. On note Δ̃ : H_{∞}^{ψ=0} ⊗ D → ⊕_{k∈ℤ}D/(1 − p^{−k}φ)D l’application définie par g ↦ (\frac{D^{k}(g)(0)}{k!} mod (1 − p^{−k}φ)D)_{k∈ℤ}. On note D_{∞,e} = (H_{∞}^{ψ=0} ⊗ D)^{Δ̃=0}

l’ensemble des éléments g ∈ H_{∞}^{ψ=0} ⊗ D tels que \frac{D^{k}(g)(0)}{k!} ∈ (1 − p^{−k}φ)D pour tout k ∈ ℤ. Soit g ∈ D_{∞,e}. Alors, l’équation (1−p^{r}Φ)H = D^{r}g a une solution dans H_{∞}⊗D pour tout r ∈ ℤ. Pour le démontrer, on fixe un entier h assez grand pour que la série ∑_{n=0}^{∞} Φ^{n}(f) converge dans H_{∞} ⊗ D dès que f ∈ H ∩ T^{h}ℚ_{p}[[T]], on remarque que f = D^{r}(g)−∑_{0≤k<h} \frac{D^{r+k}(g)(0)}{k!} log^{k}(1+T) ∈ T^{h}ℚ_{p}[[T]] ; comme

\frac{D^{r+k}(g)(0)}{k!} = (1 − p^{r+k}φ)a_{k} et que (1 − p^{r}Φ)(a_{k} \frac{log^{k}(1+T)}{k!}) = \frac{D^{r+k}(g)(0)}{k!} log^{k}(1 + T), on en déduit l’existence d’une solution de l’équation (1 − p^{r}Φ)H = D^{r}(g).

Définition : Soit g ∈ D_{∞,e}. On appelle solution compatible des équations (1 − p^{r}Φ)G_{r} = D^{r}(g) une famille \overline{G} = (G_{r}) de solutions G_{r} ∈ H_{∞} ⊗ D de l’équation (1 − p^{r}Φ)G_{r} = D^{r}g tels que D(G_{r}) = G_{r+1}. On pose alors D^{r}(\overline{G}) = G_{r} pour tout r et D^{0}(\overline{G}) = G.

Deux solutions compatibles des équations (1 − p^{r}Φ)G_{r} = D^{r}(g) différent d’un élément \overline{H} = (H_{r}) avec H_{r} = ∑_{i≥0} \frac{a_{i+r}}{i!} log^{i}(1+T) = ∑_{j≥r} \frac{a_{j}}{(j−r)!} log^{j−r}(1+T)

avec a_{j} ∈ D^{φ=p^{−j}}. D’autre part, il existe toujours une telle solution pour g ∈ D_{∞,e} : soit r vérifiant D^{φ=p^{−s}} = 0 pour tout s < r ; pour s < r deux solutions H et H′ de l’équation (1 − p^{s}Φ)H = D^{s}g telles que D^{r−s}(H) = D^{r−s}(H′) sont égales. Pour exhiber une solution compatible des équations (1 − p^{r}Φ)G_{r} = D^{r}(g), il suffit donc de choisir G_{r} ∈ H_{∞} ⊗ D tel que (1 − p^{r}Φ)G_{r} = D^{r}(g) et de prendre G_{k} = D^{k−r}(G_{r}) pour k ≥ r et G_{k} = l’unique solution de (1 − p^{k}Φ)H = D^{k}g telle que D^{r−k}(H) = G_{r} pour k < r. On obtient aussi que \overline{G} est déterminé par G_{r} pour r assez petit. De plus, si D^{φ=p^{r}} est nul pour tout r ∈ ℤ, la donnée de G_{0} détermine tous les G_{r}. Il suffit donc de se donner une solution G de l’équation (1 − Φ)G = g.

2.2. Notons D_{∞,f} = H_{∞}^{ψ=0} ⊗ D. Pour tout entier r, définissons une application L_{r} : ⊕_{j∈ℤ}D → H_{∞} ⊗ D par L_{r}(c) = ∑_{j≥r} \frac{c_{j}}{(j−r)!} log^{j−r}(1 + T). On a D(L_{r}(c)) = L_{r+1}(c).

Définition : Soit g ∈ D_{∞,f}. On appelle solution compatible des équations (1 − p^{r}Φ)G_{r} = D^{r}(g) un couple \overline{G} = (b, G) où b ∈ ⊕_{j∈ℤ}D et où G = (G_{r})_{r∈ℤ} est une famille d’éléments de H_{∞} ⊗ D tels que

1. D(G_{r}) = G_{r+1}

2. (1 − p^{r}Φ)G_{r} − L_{r}(b) = D^{r}(g) .

Il existe toujours une solution compatible des équations (1 − p^{r}Φ)G_{r} = D^{r}(g). Il suffit en effet de choisir des éléments a_{j} presque tous nuls tels que a_{j} ≡ D^{j}(g)(0) mod (1 − p^{j}φ)D pour tout j ∈ ℤ, de poser b = (a_{i})_{i∈ℤ} et de prendre pour r_{0} assez petit une solution G_{r_{0}} de l’équation (1 − p^{r_{0}}Φ)G_{r_{0}} = D^{r_{0}}(g) − ∑_{j≥r_{0}} \frac{a_{j}}{(j−r_{0})!} log^{j−r_{0}}(1 + T). et de poser pour tout r ≥ r_{0}, G_{r} = D^{r−r_{0}}G_{r_{0}} et pour r < r_{0} l’unique solution G_{r} telle que D^{r_{0}−r}G_{r} = G_{r_{0}}. Considérons l’application β : ⊕_{j∈ℤ}D → (⊕_{j∈ℤ}D) ⊕ ⊕_{r∈ℤ}H_{∞} ⊗ D donnée par

(α_{j})_{j∈ℤ} ↦ (((1 − p^{j}φ)α_{j})_{j∈ℤ}, (∑_{j≥r} \frac{α_{j}}{(j − r)!}(log(1 + T))^{j−r}))_{r∈ℤ}

Deux solutions compatibles des équations (1 − p^{r}Φ)G_{r} = D^{r}(g) différent d’un élément (β_{r}(α)) avec α ∈ ⊕_{j∈ℤ}D. Si \overline{G} = (b, G) est une solution compatible des équations (1 − p^{r}Φ)G_{r} = D^{r}(g), on note D^{r}(\overline{G}) = (L_{r}(b), G_{r}) pour tout r ∈ ℤ.

2.3. Si τ est un élément de G_{∞}, on pose

Π_{τ} (T) = (1 − p^{−1}φ) log \frac{(1 + T)^{χ(τ)} − 1}{T} .

Comme ((1 + T)^{χ(τ)} − 1)/T appartient à ℤ_{p}^{×} + T ℤ_{p}[[T]], Π_{τ} ∈ ℚ_{p} ⊗ ℤ_{p}[[T]] par le lemme de Dwork. C’est de plus un élément de ℚ_{p} ⊗ ℤ_{p}[[T]]^{ψ=0} et l’on peut donc considérer pour tout entier r ∈ ℤ l’élément D^{r}(Π_{τ}) ∈ ℚ_{p} ⊗ ℤ_{p}[[T]]^{ψ=0}.

Définition : On définit D_{∞,g} comme l’extension de G_{∞}-modules de ⊕D^{φ=p^{i}}(i+ 1) par D_{∞,f} = H_{∞}^{ψ=0} ⊗ D donnée par le cocycle

τ ↦ ((a_{i}) ↦ ∑_{i∈ℤ} D^{i+1}(Π_{τ})a_{i}) ,

l’action de G_{∞} sur D^{φ=p^{i}}(i + 1) = D^{φ=p^{i}} étant donnée par le caractère χ^{i+1}. Si a ∈ D^{φ=p^{i}}(i + 1), on note U(a) l’élément de D_{∞,g} tel que (τ − 1)(U(a)) = D^{i+1}(Π_{τ})a.

On a donc une suite exacte de G_{∞}-modules

0 → D_{∞,f} → D_{∞,g} → ⊕D^{φ=p^{i}}(i + 1) → 0 .

Remarquons aussi que si l’on tensorise par l’anneau total des fractions K(G_{∞}) de H(G_{∞}), on obtient un isomorphisme K(G_{∞}) ⊗ D_{∞,f} ≅ K(G_{∞}) ⊗ D_{∞,g}. On prolonge l’application U par linéarité sur ⊕D^{φ=p^{i}}(i + 1). La formule D ∘ τ = χ(τ)τ ∘D et le fait que l’on a muni ici D^{φ=p^{i}} de l’action de G_{∞} donnée par χ^{i+1} impliquent que l’expression écrite est bien un cocycle. L’équation D∘φ = pφ∘D implique que pour a ∈ D^{φ=p^{i}},

(1 − Φ)(D^{i+1} log \frac{(1 + T)^{χ(τ)} − 1}{T}a) = D^{i+1}(Π_{τ})a .

Ainsi, moralement pour a ∈ D^{φ=p^{−1}}, on a U(a) = (1 − Φ)(a log T) et pour a ∈ D^{φ=p^{i}}, U(a) = (1 − Φ)((D^{i+1} log T)a). On notera symboliquement Ũ(a) = (D^{i+1} log T)a et (1 − Φ)Ũ(a) = U(a). Remarquons que si l’on veut évaluer log T en T = ζ_{n} − 1, il est nécessaire de faire un choix du logarithme : nous prendrons lorsque cela sera nécessaire l’extension de log telle que log p = 0. Si g ∈ D_{∞,g}, on note λ_{i}(g) sa projection sur D^{φ=p^{i}}(i + 1) ; donc

g − ∑_{i} U(λ_{i}(g)) ∈ D_{∞,f} .

Définition : Soit g ∈ D_{∞,g}. On appelle solution compatible des équations de (1 − p^{r}Φ)G_{r} = D^{r}(g) une solution compatible des équations (1 − p^{r}Φ)H_{r} = D^{r}(g − ∑_{i} U(λ_{i}(g))) ∈ D_{∞,f}.

Ainsi, on se donne b ∈ ⊕_{j∈ℤ}D et H_{r} ∈ H_{∞} ⊗ D tels que 1. D(H_{r}) = H_{r+1}

2. (1 − p^{r}Φ)H_{r} − ∑_{j≥r} \frac{b_{j}}{(j − r)!} log^{j−r}(1 + T) = D^{r}(g − ∑_{i} U(λ_{i}(g))).

Si \overline{G} est une telle solution, on pose D^{r}(\overline{G}) = (λ_{r}(g), L_{r}(b), H_{r}).

3. Application exponentielle

3.1. Nous utiliserons comme Colmez les anneaux A_{max} et B_{max}[t^{−1}] à la place de B_{cris}. La norme définie sur B_{max} par ||x||_{max} ≤ 1 si et seulement si x ∈ A_{max} vérifie la propriété

p^{−1}||x||_{max}.||y||_{max} ≤ ||xy||_{max} ≤ ||x||_{max}.||y||_{max}

L’importance de la norme || ||_{max} vient en particulier de son lien avec les || ||_{ρ} définies sur H. Pour l’énoncer, introduisons [ϵ] le relèvement de Teichmüller de ϵ = (ζ_{n}) dans A_{max} et β_{n} = φ^{−n}([ϵ]) = [(ζ_{m+n})_{m}].

3.1.1. Lemme. Si F est un élément de H, alors F (β_{n} − 1) = Φ^{−n}(F ([ϵ] − 1)) vérifie

||F ||_{ρ_{n}} ≤ ||F (β_{n} − 1)||_{max} ≤ p||F ||_{ρ_{n}} .

Ainsi, si F est p^{−u}φ^{−}-borné, la suite ||p^{nu}(1 ⊗ φ)^{−n}F (β_{n} − 1)||_{max} tend vers 0 lorsque n → ∞.

Démonstration. Nous ne donnons qu’une esquisse de la démonstration. Colmez ([1, corollaire V.5.5]) démontre que dans B_{max}^{G_{K∞}} muni de la norme || ||_{max}, les éléments e_{n,k} = \frac{(β_{n}−1)^{k}}{p^{[ \frac{k}{p^{n}(p−1)} ]}} (à n fixé) forment un système libre de Banach, c’est-

à-dire que la série ∑_{k≥0} a_{k}e_{n,k} converge dans B_{max} pour a_{k} ∈ K si et seulement si sup |a_{k}| < ∞ et on a alors

|| ∑_{k≥0} a_{k}e_{n,k}||_{max} = sup |a_{k}|

(il démontre plus que cela, mais nous ne nous servirons que de cela). Si F ∈ H, on a d’autre part

||F ||_{ρ_{n}} = sup |a_{k}|ρ_{n}^{k} = sup |a_{k}|p^{− \frac{k}{p^{n}(p−1)}} .

En utilisant le fait que

\frac{k}{p^{n}(p − 1)} − 1 ≤ [\frac{k}{p^{n}(p − 1)}] ≤ \frac{k}{p^{n}(p − 1)} ,

on en déduit que F (β_{n} − 1) existe dans B_{max} et que

||F ||_{ρ_{n}} ≤ ||F (β_{n} − 1)||_{max} ≤ p||F ||_{ρ_{n}} ,

ce qui termine la démonstration. Remarquons qu’en utilisant le fait que ||F G||_{ρ} = ||F ||_{ρ}||G||_{ρ}, on peut en déduire l’inégalité pour x = F (β_{n} − 1) et y = G(β_{n} − 1)

p^{−2}||x||_{max}||y||_{max} ≤ ||xy||_{max} ≤ p||x||_{max}||y||_{max} ,

ce qui est bien sûr moins fort que ce que démontre Colmez, mais suffisant.

Soit D_{p}(V) = (B_{cris} ⊗ V)^{G_{K}} = (B_{max} ⊗ V)^{G_{K}} et D_{dR}(V) = (B_{dR} ⊗ V)^{G_{K}}. On note e_{k} la base canonique du φ-module filtré ℚ_{p}[k] égal à ℚ_{p} avec φα = p^{k}α ; on a donc un isomorphisme canonique entre D_{p}(V) et D_{p}(V (k)) donné par d ↦ d ⊗ e_{−k}. On plonge D_{p}(V (k)) dans B_{max} ⊗ D_{p}(V) par d ↦ t^{−k} ⊗ (de_{k}), ce qui donne l’identification D_{p}(V (k)) = D_{p}(V) ⊗ e_{−k} → B_{max} ⊗ D_{p}(V) : d ⊗ e_{−k} ↦ t^{−k} ⊗ d. Remarquons que cette identification est compatible avec la filtration et avec l’homomorphisme de Frobenius, mais non avec l’action de Galois : ainsi, on obtient bien que Fil^{0}(B_{max} ⊗ D_{p}(V (k)))^{φ=1} est V (k). Nous utiliserons la propriété suivante du φ-module filtré D_{p}(V) : si Fil^{−h} D_{p}(V) = D_{p}(V), les applications 1 − p^{s}φ sont des isomorphismes de D_{p}(V) pour s > h. Bloch et Kato définissent une application exp_{V} = exp_{V,K_{n}} : D_{p}(V) ⊕ K_{n} ⊗ D_{dR}(V) → H^{1}(K_{n}, V). Plus précisément, nous noterons :

exp_{V,e} = exp_{V,K_{n},e} :K_{n} ⊗ D_{dR}(V) → H_{e}^{1}(K_{n}, V),
exp_{V,f} = exp_{V,K_{n},f} :D_{p}(V) ⊕ K_{n} ⊗ D_{dR}(V) → H_{e}^{1}(K_{n}, V)
exp_{V,g} = exp_{V,K_{n},g} :D_{p}(V)^{φ=p^{−1}} ⊕ D_{p}(V) ⊕ K_{n} ⊗ D_{dR}(V) → H_{g}^{1}(K_{n}, V)

la dermière de ces exponentielles dépendant du choix d’un logarithme (nous prendrons ici log_{p} p = 0). Rappelons les définitions des applications exp_{∗} pour ∗ ∈ {e, f, g} sur la partie “cristalline” qui nous intéresse. Fixons un scindage continu Eul de

1 − φ : Fil^{0}(B_{max} ⊗ D_{p}(V)) → B_{max} ⊗ D_{p}(V) .

Deux tels scindages diffèrent d’un homomorphisme continu de B_{max} ⊗ D_{p}(V) dans V. Ainsi, si b ∈ B_{max} ⊗D_{p}(V), (1−φ)Eul(b) = b et Eul(b) ∈ Fil^{0}(B_{max} ⊗ D_{p}(V)). Soit L une extension algébrique de K contenue dans K̄.

3.1.2. Soit a ∈ L ⊗ D_{p}(V). Alors P = exp_{V,e}(a) ∈ H^{1}(L, V) est la classe du cocycle

τ ∈ G_{L} ↦ (τ − 1)(c − Eul((1 − φ)c))

où c ∈ B_{max}⊗D_{p}(V) vérifie c−a ∈ Fil^{0}(B_{dR}⊗D_{p}(V)). Si C = c−Eul((1−φ)c), on a donc (1 − φ)C = 0, NC = 0 et C ≡ a mod Fil^{0}(B_{dR} ⊗ D_{p}(V)).

3.1.3. Soit (b, a) ∈ D_{p}(V) ⊕ L ⊗ D_{p}(V). Alors P = exp_{V,f}(b, a) ∈ H^{1}(L, V) est la classe du cocycle

τ ∈ G_{L} ↦ (τ − 1)(c − Eul((1 − φ)c − b))

où c ∈ B_{max} ⊗ D_{p}(V) vérifie c − a ∈ Fil^{0}(B_{dR} ⊗ D_{p}(V)). De nouveau, si C = c−Eul((1−φ)c−b), il vérifie (1−φ)C = b et C ≡ a mod Fil^{0}(B_{dR} ⊗D_{p}(V)).

3.1.4. Soit (d, b, a) ∈ D_{p}(V)^{φ=p^{−1}} ⊕ D_{p}(V) ⊕ L ⊗ D_{p}(V). Alors P = exp_{V,g}(d, b, a) ∈ H^{1}(L, V) est la classe du cocycle

τ ∈ G_{L} ↦ (τ − 1)(c − Eul((1 − φ)c − b))

où c ∈ B_{st} ⊗ D_{p}(V) vérifie 1. c − a ∈ Fil^{0}(B_{dR} ⊗ D_{p}(V)),

2. Nc = d (remarquons que N((1 − φ)c − b) = (1 − p^{−1}φ)Nc = 0 et Eul((1 − φ)c − b) est donc définie) et C = c − Eul((1 − φ)c − b) vérifie (1 − φ)C = b, NC = d et C ≡ a mod Fil^{0}(B_{dR} ⊗ D_{p}(V)).

Remarque : e_{B}(a) = c−Eul((1−φ)c) est bien définie à valeurs dans B_{max}^{φ=1}⊗ V/V. Lorsque L est contenue dans K_{∞}, on peut en fait choisir c dans B_{max}^{G_{K∞}} ⊗ D_{p}(V) : en effet la nullité de H^{1}(K_{∞}, Fil^{0} B_{max}) (voir [1, IV], voir aussi le §4.1) implique la surjectivité de l’application B_{max}^{G_{K∞}} → (B_{dR}/B_{dR}^{+})^{G_{K∞}} et donc en tensorisant par V celle de B_{max}^{G_{K∞}} ⊗ V → (B_{dR}/B_{dR}^{+})^{G_{K∞}} ⊗ V; nous allons le faire explicitement au paragraphe suivant. On en déduit que la restriction res_{∞}(P) de P à K_{∞} est la classe du cocycle τ ↦ −(τ − 1)Eul((1 − φ)c), où c est un élément de B_{max}^{G_{K∞}} ⊗ D_{p}(V) congru à a mod Fil^{0}(B_{dR} ⊗ D_{p}(V)).

3.2. On pose

\begin{matrix}D_{∞,e}(V) = & (H_{∞}^{ψ=0} ⊗ D_{p}(V))^{Δ̃=0} \\ D_{∞,f}(V) = & H_{∞}^{ψ=0} ⊗ D_{p}(V) \\ D_{∞,g}(V) = & D_{∞,g}(D_{p}(V)) \end{matrix}

Soit h un entier ≥ 1 et k un entier tel que h + k − 1 ≥ 0.

3.2.1. Soient g ∈ D_{∞,e}(V) et \overline{G} une solution compatible des équations (1 − p^{r}Φ)G_{r} = D^{r}(g). Posons pour n ≥ 1

\begin{matrix}Ξ_{n,k}^{(h)}(\overline{G}) = & (−1)^{h+k−1}(h + k − 1)!p^{−n}(1 ⊗ φ)^{−n}(D^{−k}(\overline{G})(ζ_{n} − 1) ⊗ e_{−k}) \\ = & (−1)^{h+k−1}(h + k − 1)!p^{n(k−1)}(1 ⊗ φ)^{−n}D^{−k}(\overline{G})(ζ_{n} − 1) ⊗ e_{−k} ; \end{matrix}

c’est un élément de K_{n} ⊗ D_{p}(V (k)). Posons pour n ≥ 1

P_{n,k}^{(h)}(\overline{G}) = exp_{V (k),e}(Ξ_{n,k}^{(h)}(\overline{G})) ∈ H_{e}^{1}(K_{n}, V (k)) .

3.2.2. Soient g ∈ D_{∞,f}(V) et \overline{G} une solution compatible des équations (1 − p^{r}Φ)G_{r} = D^{r}(g) : \overline{G} = (b, (G_{r})_{r∈ℤ}) avec b ∈ ⊕_{j∈ℤ}D et G_{r} ∈ H_{∞} ⊗ D. Posons pour n ≥ 1

\begin{matrix}Ξ_{n,k}^{(h)}(\overline{G}) = & (−1)^{h+k−1}(h + k − 1)!p^{−n}(1 ⊗ φ)^{−n}(D^{−k}(\overline{G})(ζ_{n} − 1) ⊗ e_{−k}) \\ = & (−1)^{h+k−1}(h + k − 1)!p^{n(k−1)}(1 ⊗ φ)^{−n}D^{−k}(\overline{G})(ζ_{n} − 1) ⊗ e_{−k} ; \end{matrix}

c’est un élément de D_{p}(V (k)) ⊕ K_{n} ⊗ D_{p}(V (k)). Posons

P_{n,k}^{(h)}(\overline{G}) = exp_{V (k),f}(Ξ_{n,k}^{(h)}(\overline{G})) ∈ H_{f}^{1}(K_{n}, V (k)) .

Comme log ζ_{n} = 0, les contributions des b_{i} dans L_{−k}(b) pour i > −k sont nulles et on a donc

\begin{matrix}Ξ_{n,k}^{(h)}(\overline{G}) = \\ (−1)^{h+k−1} & (h + k − 1)!p^{n(k−1)}(φ^{−n}b_{−k} ⊗ e_{−k}, (1 ⊗ φ)^{−n}G_{−k}(ζ_{n} − 1) ⊗ e_{−k}) . \end{matrix}

3.2.3. Enfin, soit g ∈ D_{∞,g}(V). On fixe une solution compatible \overline{Ψ}_{τ} des équations (1 − p^{r}φ)G_{r} = D^{r}(Π_{τ}), c’est-à-dire une famille de Ψ_{τ}^{(r)} = D^{r}(\overline{Ψ}_{τ}) de solutions de l’équation (1 − p^{r}φ)Ψ_{τ}^{(r)} = D^{r}Π_{τ} pour tout entier r ∈ ℤ vérifiant D(Ψ_{τ}^{(r)}) = Ψ_{τ}^{(r+1)}. On vérifie alors que pour τ ∈ Gal(K_{∞}/K_{n}) non trivial et i ≠ 0, l’expression (χ^{−i}(τ) − 1)^{−1}D^{i}(\overline{Ψ}_{τ})(ζ_{n} − 1) est un élément de K_{n} ne dépendant pas du choix de τ. On le note ℓ^{(1−i)}(ζ_{n} − 1). On pose l^{(1)}(ζ_{n} − 1) = log(ζ_{n} − 1) (où l’on a choisi log_{p} p = 0). Si a ∈ D_{p}(V)^{φ=p^{k−1}}, on pose

Ξ_{n,k}^{(h)}(Ũ(a)) = (−1)^{h+k−1}(h + k − 1)!(a, 0, log(ζ_{n} − 1)a) ⊗ e_{−k} .

Si a ∈ D_{p}(V)^{φ=p^{i}} avec k ≠ i + 1, on pose

\begin{matrix}Ξ_{n,k}^{(h)}(Ũ(a)) = & (−1)^{h+k−1}(h + k − 1)!(0, 0, ℓ^{(k−i)}(ζ_{n} − 1)a ⊗ e_{−k} \\ = & (−1)^{h+k−1}(h + k − 1)!(0, 0, \frac{D^{−k+i+1}(\overline{Ψ}_{τ})(ζ_{n} − 1)}{(χ^{−k+i+1}(τ) − 1)}a ⊗ e_{−k}) . \end{matrix}

On pose P_{n,k}^{(h)}(Ũ(a)) = exp_{V (k),g}(Ξ_{n,k}^{(h)}(Ũ(a)). On note P̃_{n,k}^{(h)}(U(a)) la restriction

de P_{n,k}^{(h)}(Ũ(a)) à H^{1}(K_{∞}, V (k)). Si maintenant g = h + ∑_{i∈ℤ} U(a_{i}) est un élément de D_{∞,g}(V) et si \overline{G} = \overline{H} +∑_{i∈ℤ} Ũ(a_{i}) est une solution compatible des équations (1−p^{r}Φ)G = D^{r}(g), on étend les définitions de Ξ_{n,k}^{(h)} et de P_{n,k}^{(h)} par linéarité. On a donc P̃_{n,k}^{(h)}(\overline{G}) =

P̃_{n,k}^{(h)}(\overline{H}) + ∑_{i∈ℤ} P̃_{n,k}^{(h)}(U(a_{i})).

3.3. Théorème. Soit V une représentation de de Rham et soit h un entier ≥ 1 tel que Fil^{−h} D_{dR}(V) = D_{dR}(V). Soient g ∈ D_{∞,f}(V) et \overline{G} une solution compatible des équations (1 − p^{r}Φ)G_{r} = D^{r}(g). Soit u un entier > −h tel que g soit p^{−u}φ^{−}-bornée. Si g n’est pas dans D_{∞,e}(V), on suppose de plus que D^{h}(g)(0) ∈ (1 − p^{h}φ)D_{p}(V). La famille (P_{n,k}^{(h)}(\overline{G}))_{n≥1,k≥−h+1} est tempérée d’ordre ≤ (u + h)^{−} et définit un élément Ω_{V,h}(g) de H_{(u+h)^{−}}(G_{∞}) ⊗ Z̃_{∞}^{1}(K, T) ne dépendant que de g. Ainsi, on a

π̃_{n,k}(Ω_{V,h}(g)) = P̃_{n,k}^{(h)}(g)

pour n ≥ 1 et pour k ∈ {1 − h, ⋯, +∞}.

On a

𝔬(Ω_{V,h}(g)) ≤ h + 𝔬_{φ}(g)

et lorsque V est cristalline,

𝔬(Ω_{V,h}(g)) = h + 𝔬_{φ}(g) .

Ainsi, si r_{0} est un entier tel que la suite d’opérateurs p^{nr_{0}}φ^{−n} de D_{p}(V) est bornée et si g appartient de plus à H_{s^{−}}^{ψ=0} ⊗ D_{p}(V), Ω_{V,h}(g) appartient à H_{(r_{0}+s+h)^{−}}(G_{∞}) ⊗ Z̃_{∞}^{1}(T). En effet, g est alors p^{−(r_{0}+s)}φ^{−}-borné. Remarquons que r_{0} peut être négatif, mais on a nécessairement r_{0} + h ≥ 0 et donc r_{0} + s > −h. Par exemple, si V = ℚ_{p}(r), on peut prendre h = r et r_{0} = −r. La relation entre les ordres de tempérance signifie : Ω_{V,h}(g) est un o(log^{s}) si et seulement si g est p^{−(s−h)}φ^{−}-bornée et Ω_{V,h}(g) est un O(log^{s}) si et seulement si g est p^{−(s−h)}φ-bornée.

Remarques : 1) Cet homomorphisme est (−1)^{h−1} fois le Ω_{V,h} de [4]. Cela permet d’éliminer certains signes : par exemple, il n’est pas difficile de déduire du théorème la relation suivante entre Ω_{V,h+1} et Ω_{V,h} :

Ω_{V,h+1} = ℓ_{h}Ω_{V,h}

avec

ℓ_{h} = \frac{log γ}{log χ(γ)} − h = \frac{log χ(γ)^{−h}γ}{log χ(γ)} = T w^{−h}(\frac{log γ}{log χ(γ)})

(attention au changement de signe par rapport à [4]). On pose pour tout entier r,

Ω_{V,r} = ( ∏_{r≤j<h} ℓ_{j})^{−1}Ω_{V,h} (3.3.1)

pour h > r et tel que Fil^{−h} D_{p}(V) = D_{p}(V). C’est un élément de K(G_{∞}) ⊗ Z̃_{∞}^{1}(K, T) avec K(G_{∞}) l’anneau des factions total de H(G_{∞}) (il suffit en fait d’inverser les ℓ_{j}). De même, avec des identifications convenables, on a

Ω_{V (j),h+j}(g) = T w^{j}(Ω_{V,h}(D^{j}(g))) .

2) La lettre Ω évoque pour certains une période : isomorphisme de périodes entre H_{∞} ⊗ D_{p}(V) et H(G_{∞}) ⊗ Z̃_{∞}^{1}(K, V). On peut le voir aussi comme une manière de mettre ensemble toutes les exponentielles de Bloch-Kato relatives à V et à ses twists cyclotomiques, d’où la notation Exp_{h,V} de [2]. Il est d’ailleurs amusant de remarquer que dans [2], c’est le point de vue “matrice de périodes” de cet homomorphisme qui est utilisé.

3) Ici, on n’a pas supposé V cristalline mais si V ne l’est pas, la dimension de K_{n} ⊗ D_{p}(V) est de dimension sur K_{n} strictement inférieure à la dimension de V et donc le rang de Λ ⊗ D_{p}(V) est strictement inférieure à celui de Z_{∞}^{1}(K, T).

Nous ne démontrons dans les paragraphes qui suivent que l’inégalité

𝔬(Ω_{V,h}(g)) ≤ h + 𝔬_{φ}(g) ;

l’égalité dans le cas où V est cristalline sera une conséquence de la loi de réciprocité (cf. 4.2.4).

4) Si D_{p}(V)^{φ=p^{−h}} ≠ 0, V contient alors ℚ_{p}(h). Dans ce cas, si D^{h}(g)(0) ∉ (1 − p^{h}φ)D_{p}(V), on peut définir Ω_{V,h}(g) à valeurs dans (χ(γ)^{−h}χ − 1)^{−1}H_{(u+h)^{−}}(G_{∞}) ⊗ Z̃_{∞}^{1}(T) par

Ω_{V,h}(g) = (χ(γ)^{−h}γ − 1)^{−1}Ω_{V,h}((χ(γ)^{−h}χ − 1)g) .

Remarquons qu’alors Ω_{V,h+1}(g) est défini directement par le théorème, ce qui est cohérent avec la relation Ω_{V,h+1}(g) = ℓ_{h}Ω_{V,h}(g) : Ω_{V,h+1}(g) n’a plus de pôles. Donnons maintenant les formules qui s’en déduisent pour n = 0 :

3.3.1. Proposition. Sous les hypothèses du théorème 3.3, on a

π̃_{0,k}(Ω_{V,h}(g)) = exp_{V (k),f}(Ξ_{0,k}^{(h)}(\overline{G}))

avec

\begin{matrix}Ξ_{0,k}^{(h)}(\overline{G}) = & (−1)^{h+k−1}(h + k − 1)! × \\ ((1 − p^{k+1}φ^{−1})b_{−k} ⊗ e_{−k}, (1 − p^{k+1}φ^{−1})D^{−k}(G)(0) ⊗ e_{−k}) . \end{matrix}

En particulier, si 1 − p^{−k}φ est un isomorphisme sur D_{p}(V), on a

π̃_{0,k}(Ω_{V,h}(g)) = exp_{V (k),e}(Ξ_{0,k}^{(h)}(\overline{G}))

avec

\begin{matrix}Ξ_{0,k}^{(h)}(\overline{G}) = & (−1)^{h+k−1}(h + k − 1)! × \\ (1 − p^{k+1}φ^{−1})(1 − p^{−k}φ)^{−1}D^{−k}(g)(0) ⊗ e_{−k} . \end{matrix}

La proposition se déduit de l’équation fonctionnelle reliant G et g et de ce que ψ(g) = 0 (voir (4.3.2)). Avant de commencer la démonstration du théorème, expliquons comment on peut traiter le cas où g ∈ D_{∞,g}(D_{p}(V)). Il s’agit de définir l’image de U(a) pour a ∈ D_{p}(V)^{φ=p^{i}}. Pour cela, plutôt que de vérifier les congruences, ce que nous n’avons pas su faire, on définit directement Ω_{V,h}(U(a)) puis on vérifie que π_{n,k}(Ω_{V,h}(U(a)) est bien exp_{V (k),g}(Ξ_{n,k}^{(h)}(Ũ(a))). Pour cela, on commence par énoncer le lemme suivant :

Lemme. Soit τ un élément de G_{∞} non de torsion. Soit u ∈ H(G_{∞}) ⊗ Z_{∞}^{1}(K, T) tel que π_{0,0}(u) = 0. Alors, il existe v_{τ} ∈ H(G_{∞}) ⊗ Z_{∞}^{1}(K, T) tel que (τ − 1)v_{τ} = u.

On peut exprimer le lemme sous la forme suivante en le twistant : si π_{0,j}(u) = 0, il existe v_{τ} tel que (χ(τ)^{j}τ − 1)v_{τ} = u. Remarquons qu’on a alors pour tout entier k la formule (χ(τ)^{j−k} − 1)π_{n,k}(v_{τ}) = π_{n,k}(u) pour τ laissant fixe K_{n}, c’est-à-dire que pour tout entier k ≠ j, π_{n,k}(v_{τ}) = \frac{1}{χ(τ)^{j−k}−1}π_{n,k}(u). Enfin, remarquons que l’on a unicité de v_{τ} si l’on ne regarde que son image dans H(G_{∞}) ⊗ Z̃_{∞}^{1}(K, T) et que si u est tempérée d’ordre ≤ r, il en est de même de v_{τ}. Appliquons ce lemme à x_{τ} = Ω_{V,h}(D^{i+1}Π_{τ} a) pour a ∈ D_{p}(V)^{φ=p^{i}}. Par twist, on peut se ramener au cas où i = −1. Comme π_{n,0}(x_{τ}) = exp_{V,e}((−1)^{h−1}(h − 1)! G_{τ} (ζ_{n} − 1)a) pour n ≥ 1 avec G_{τ} =

log \frac{(1+T)^{χ(τ)}−1}{T}, on a

π_{0,0}(x_{τ}) = T r_{K_{1}/K}(exp_{V,e}((−1)^{h−1}(h − 1)! log \frac{ζ_{1}^{χ(τ)} − 1}{ζ_{1} − 1}a)) = 0 .

Il existe donc y ∈ H_{∞}(G_{∞}) ⊗ Z̃_{∞}(K, T) tel que (τ − 1)y = x_{τ} et on vérifie facilement que y ne dépend pas de τ. On pose alors Ω_{V,h}(U(a)) = y. On a donc

Ω_{V,h}(U(a)) = (τ − 1)^{−1}Ω_{V,h}(Π_{τ} (a)

et en général pour a ∈ D_{p}(V)^{φ=p^{i}}

Ω_{V,h}(U(a)) = (χ(τ)^{i+1}τ − 1)^{−1}Ω_{V,h}(D^{i+1}Π_{τ} (a) .

On définit ainsi un prolongement de Ω_{V,h} à D_{∞,g}(D_{p}(V)). La formule

exp_{V (k),f}(Ξ_{n,k}^{(h)}(U(a))) = π_{n,k}(Ω_{V,h}(U(a)))

est claire pour k ≠ i + 1. Pour k = i + 1, nous la montrerons plus tard en utilisant la loi de réciprocité.

3.4. Démonstration du théorème.

3.4.1. Il s’agit de montrer que les points P_{n,k}(\overline{G}) vérifient les conditions de la proposition 1.8. La propriété que

T r_{n+1,n}(P_{n+1,k}^{(h)}(\overline{G})) = P_{n,k}^{(h)}(\overline{G})

dans H^{1}(K_{n}, V (k)) se déduit de la condition ψ(g) = 0. Pour montrer que les points P_{n,k}(\overline{G}) sont admissibles, il suffit de le faire pour P_{0,k}(\overline{G}) = T r_{K_{n}/K}(P_{n,k}(\overline{G})). Prenons k = 0 pour simplifier (on s’y ramène en remplaçant V par V (k)). Ce point est admissible si et seulement son accouplement local avec un élément v de V^{∗}(1)^{G_{K}} ≅ H^{1}(Γ, V^{∗}(1)^{G_{K}}) ⊂ H^{1}(K, V^{∗}(1)) est nul (§1.6). Pour le calculer, nous utilisons les formules de Kato qui sont rappelées en 4.1.3. On en déduit que si v est vu comme élément de Fil^{0} D_{p}(V^{∗}(1))^{φ=1} ⊂ D_{p}(V^{∗}(1)), cet accouplement est de la forme [(1−pφ^{−1})(u), v] = [u, (1−φ)v] = 0. Démontrons les congruences vérifiées par les P_{n,k}^{(h)}. Comme me l’a fait remarqué Colmez, il y a une démonstration beaucoup plus simple au niveau des calculs que celle faite dans [4]. Nous allons commencer par celle-là. Cependant, nous avons besoin pour la démonstration de la loi de réciprocité du calcul explicite du cocycle fait dans [4]. Aussi, ferons-nous ensuite ce calcul. Notons [ϵ] le relèvement de Teichmüller de ϵ = (ζ_{n}) dans A_{max} et β_{n} = φ^{−n}([ϵ]) = [(ζ_{m+n})_{m}]. Il s’agit donc d’un relèvement de la racine de l’unité ζ_{n} dans B_{max} puisque l’image de β_{n} dans \overline{K} ⊂ B_{dR}/B_{dR}^{+} est ζ_{n}. Prenons g ∈ D_{∞,e}(V). On se donne une solution compatible \overline{G} de l’équation(1− Φ)G = g, c’est-à-dire des éléments G_{r} de H_{∞} ⊗ D_{p}(V) vérifiant D(G_{r}) = G_{r+1} et (1 − p^{r}Φ)G_{r} = D^{r}(g). On pose D^{r}(\overline{G}) = D^{r}(G) = G_{r}. Le point P_{n,k}^{(h)}(\overline{G}) est la classe du cocycle

(−1)^{h+k−1}(h + k − 1)!p^{n(k−1)}e_{B}((1 ⊗ φ)^{−n}G_{−k}(ζ_{n} − 1) ⊗ e_{−k}) .

Pour démontrer les congruences, il suffit de montrer que pour s′ ≥ h + u et pour τ ∈ G_{K_{∞}}, la limite de la suite

p^{n(s′−(j+h−1))}(τ − 1)e_{B}( ∑_{k=1−h}^{j}(−1)^{k+h−1}\binom{j + h − 1}{k + h − 1}Ξ_{n,k}^{(h)}(\overline{G})t^{−k})

tend vers 0 lorsque n → ∞. (rappelons que Ξ_{n,k}^{(h)}(G) ∈ D_{p}(V (k)) est identifié à

Ξ_{n,k}^{(h)}(G)t^{−k}e_{k} ∈ B_{max} ⊗ D_{p}(V)). Notons

Y_{j}^{h} = ∑_{k=1−h}^{j}(−1)^{k+h−1}\binom{j + h − 1}{k + h − 1}Ξ_{n,k}^{(h)}(\overline{G})t^{−k}

On a

\begin{aligned}Y_{j}^{h} & = (j + h − 1)! ∑_{k=1−h}^{j} \frac{p^{n(k−1)}}{(j − k)!}(1 ⊗ φ)^{−n}G_{−k}(ζ_{n} − 1)t^{−k} \\ & = (j + h − 1)!p^{n(j−1)} ∑_{k=0}^{h+j−1} \frac{p^{−nk}}{k!} (1 ⊗ φ)^{−n}D^{k}(G_{−j})(ζ_{n} − 1)t^{k−j} \end{aligned}

en changeant k en j − k. Soit H ∈ H_{∞} ⊗ D_{p}(V). Posons H̃(Z) = H(ζ_{n} exp(Z) − 1) : comme β_{n} = ζ_{n} exp(t/p^{n}), on a H(β_{n} − 1) = H̃(t/p^{n}). Si T_{h−1}(H̃) est le développement de Taylor d’ordre h − 1 de H̃ en 0, on vérifie facilement que

H̃(t/p^{n}) − T_{h−1}(H̃)(t/p^{n}) ∈ t^{h}B_{dR}^{+} ⊗ D_{p}(V) = Fil^{h} B_{dR} ⊗ D_{p}(V)

et que

T_{h−1}(H̃)(t/p^{n}) = ∑_{i=0}^{h−1} \frac{1}{i!}D^{i}(H)(ζ_{n} − 1)\frac{t^{i}}{p^{ni}}

On en déduit que

∑_{i=0}^{h−1} \frac{1}{i!}D^{i}(H)(ζ_{n} − 1)\frac{t^{i}}{p^{ni}} − H(β_{n} − 1) ∈ Fil^{h}(B_{dR}) ⊗ D_{p}(V) ,

et en remplaçant h par h + j, que

∑_{i=0}^{h+j−1} \frac{1}{i!}D^{i}(H)(ζ_{n} − 1)\frac{t^{i}}{p^{ni}} t^{−j} − H(β_{n} − 1)t^{−j} ∈ Fil^{h}(B_{dR}) ⊗ D_{p}(V)) .

Remarquons que la condition sur h implique que Fil^{h} B_{dR} ⊗D_{p}(V) est contenu dans Fil^{0}(B_{dR}⊗D_{p}(V)). En appliquant cela à H = (1⊗φ)^{−n}G_{−j} et en utilisant le fait que e_{B} est nul sur Fil^{0}(B_{dR} ⊗ D), on obtient que

\begin{aligned}e_{B}(Y_{j}^{h}) & = e_{B}((j + h − 1)!p^{n(j−1)}(1 ⊗ φ)^{−n}G_{−j}(β_{n} − 1)t^{−j}) \\ & = (j + h − 1)!p^{n(j−1)}e_{B}(Φ^{−n}(G_{−j}(ϵ − 1))t^{−j} \end{aligned}

Par définition de e_{B} et de Eul et comme Φ^{−n}(G_{−j}(ϵ − 1))t^{−j} appartient à (B_{max} ⊗ D_{p}(V))^{G_{K∞}}, on a

(τ − 1)e_{B}(Y_{j}^{h}) = −(j + h − 1)!p^{n(j−1)}(τ − 1)Eul(Φ^{−n}(D^{−j}(g)([ϵ] − 1))t^{−j}) .

Il s’agit donc de montrer par continuité de Eul et stabilité de A_{max} par G_{K} que pour s′ − h ≥ u, la suite p^{n(s′−h)}Φ^{−n}(D^{−j}(g)([ϵ] − 1)) tend vers 0 lorsque n → ∞. On applique pour cela le lemme 3.1.1 à D^{−j}(g) qui est p^{−u}φ^{−}-bornée :

||p^{n(s′−h)}Φ^{−n}(D^{−j}(g)([ϵ] − 1))||_{max} = p^{n(h+u−s′)}||p^{nu}(1 ⊗ φ)^{−n}D^{−j}(g)||_{ρ_{n}}

tend vers 0 lorsque n → ∞. Il n’est pas difficile de voir que la même démonstration s’applique à g ∈ D_{∞,f}(V).

3.4.2. Comme annoncé, nous allons maintenant reprendre la démonstration en calculant explicitement un cocycle représentant P_{n,k}^{(h)} pour g ∈ D_{∞,f}(V). On se donne donc une solution compatible \overline{G}, c’est-à-dire b = (b_{r}) ∈ ⊕_{r∈ℤ}D_{p}(V) et des éléments G_{r} de H_{∞} ⊗ D_{p}(V) vérifiant D(G_{r}) = G_{r+1} et (1 − p^{r}Φ)G_{r} = D^{r}(g) + L_{r}(b) avec L_{r}(b) = ∑_{i≥r} \frac{b_{i}}{(i−r)!} log^{i−r}(1 + T). Il est commode de noter formellement L(b) = ∑_{i} \frac{b_{i}}{i!} log^{i}(1 + T) et L(b)_{r} = D^{r}(L(b)) = L_{r}(b). On pose \overline{G} = (b, G) avec G = (G_{r}) et D^{r}(\overline{G}) = (L_{r}(b), D^{r}(G)) = (L_{r}(b), G_{r}). Posons

\begin{matrix}S_{0}^{(h)}(G) = & (−1)^{h−1}(h − 1)! ∑_{i=0}^{h−1}(−1)^{i} \frac{1}{i!}D^{i}(G)([ϵ] − 1)t^{i} \\ S_{k}^{(h)}(G) = & (−1)^{h+k−1}(h + k − 1)! ∑_{i=0}^{h+k−1}(−1)^{i} \frac{1}{i!}D^{i−k}(G)([ϵ] − 1)t^{i−k} \\ = & (−1)^{h−1}(h + k − 1)! ∑_{i=−k}^{h−1}(−1)^{i} \frac{1}{(i + k)!}D^{i}(G)([ϵ] − 1)t^{i} \end{matrix}

et

\begin{matrix}S_{n,0,cris}^{(h)}(G) = & (pΦ)^{−n}(S_{0}^{(h)}(G)) \\ S_{n,k,cris}^{(h)}(G) = & (pΦ)^{−n}(S_{k}^{(h)}(G)) \end{matrix}

Ainsi, S_{k}^{(h)}(G) = S_{0}^{(h+k)}(D^{−k}(G))t^{−k}. Lorsque h = 1, les formules se simplifient et deviennent

\begin{matrix}S_{n,0,cris}^{(1)}(G) = & (pΦ)^{−n}(G_{0}([ϵ] − 1)) \\ S_{n,k,cris}^{(1)}(G) = & (pΦ)^{−n}(k! ∑_{i=0}^{k}(−1)^{i−k} \frac{1}{i!}D^{i−k}(G)([ϵ] − 1)t^{i−k}) \\ = & (pΦ)^{−n}(k! ∑_{u=0}^{k}(−1)^{u} \frac{1}{(k − u)!}D^{−u}(\overline{G})([ϵ] − 1)t^{−u}) . \end{matrix}

Notons b^{(r)} la suite b où l’on a remplacé le r-ième terme par 0. On définit par les mêmes formules S_{n,k,cris}^{(h)}(L(b)) et S_{n,k,cris}^{(h)}(L(b^{(r)})).

3.4.3. Lemme. Supposons comme dans le théorème que Fil^{−h} D_{dR}(V) = D_{dR}(V) et que h + k − 1 ≥ 0. Alors,

(i) P_{n,k}^{(h)}(\overline{G}) est la classe du cocycle

τ ∈ G_{K_{n}} ↦ (τ − 1)(S_{n,k,cris}^{(h)}(G) − Eul(S_{n,k,cris}^{(h)}(g + L(b^{(−k)}))) ;

(ii) res_{∞}(P_{n,k}^{(h)}(\overline{G})) est la classe du cocycle

τ ∈ G_{K_{∞}} ↦ −(τ − 1)Eul(S_{n,k,cris}^{(h)}(g) − p^{−n} \frac{D^{h}(g)(0)t^{h}}{h + k})

Si D^{h}(g)(0) ∈ (1 − p^{h}φ)D_{p}(V), res_{∞}(P_{n,k}^{(h)}(\overline{G})) est la classe du cocycle

τ ∈ G_{K_{∞}} ↦ −(τ − 1)Eul(S_{n,k,cris}^{(h)}(g)) .

Démonstration. Soit H ∈ H_{∞} ⊗ D_{p}(V). Posons H̃(Z) = H(β_{n} exp(−Z) − 1) : en utilisant la formule ζ_{n} = β_{n} exp(−t/p^{n}), on a H(ζ_{n} − 1) = H̃(t/p^{n}). La même démonstration que précédemment donne que

H(ζ_{n} − 1) − ∑_{i=0}^{h−1} \frac{(−1)^{i}}{i!} D^{i}(H)(β_{n} − 1)\frac{t^{i}}{p^{ni}} ∈ t^{h}B_{dR}^{+} ⊗ D_{p}(V)

En appliquant cette formule à D^{−k}(G) et à h + k − 1 ≥ 0, on en déduit que

Ξ_{n,k}^{h}(G) − S_{n,k,cris}^{(h)}(G) ∈ Fil^{h}(B_{dR}) ⊗ D_{p}(V) ⊂ Fil^{0}(B_{dR} ⊗ D_{p}(V (k)))

240 Bernadette Perrin-Riou De plus, S_{n,k,cris}^{(h)}(G) est invariant par G_{K_{∞}}. En utilisant la formule (1 − p^{r}Φ)D^{r}(G) = D^{r}(g) + L_{r}(b), on a

(1 − Φ)S_{n,k,cris}^{(h)}(G) = S_{n,k,cris}^{(h)}(g) + S_{n,k,cris}^{(h)}(L(b)) .

En revenant à la définition de exp_{f} et en remarquant que S_{n,k,cris}^{(h)}(L(b)) − (−1)^{h+k−1}(h + k − 1)!(pφ)^{−n}b_{−k}t^{−k} = S_{n,k,cris}^{(h)}(L(b^{(−k)})) , on obtient que res_{∞}(P_{n,k}^{(h)}(\overline{G})) est la classe du cocycle

τ ∈ G_{K_{∞}} ↦ −(τ − 1)Eul(S_{n,k,cris}^{(h)}(g + L(b^{(−k)}))) .

Calculons maintenant S_{n,k,cris}^{(h)}(L(b^{(−k)}). On a

S_{n,k,cris}^{(h)}(L(b))

= (−1)^{h+k−1}(h + k − 1)! ∑_{i=0}^{h+k−1} \frac{(−1)^{i}}{i!} ( ∑_{u≥i−k} \frac{b_{u}}{(u − i + k)!}t^{u−i+k})t^{i−k}

= (−1)^{h+k−1}(h + k − 1)! ∑_{i=0}^{h+k−1} \frac{(−1)^{i}}{i!} ∑_{u≥i−k} \frac{b_{u}}{(u − i + k)!}t^{u}

= (−1)^{h+k−1}(h + k − 1)! ∑_{u≥−k} α_{u,k}^{h}b_{u}t^{u}

avec

α_{u,k}^{h} = ∑_{i≤u+k_{0≤i≤h+k−1}} \frac{(−1)^{i}}{i!(u − i + k)!} .

Lorque u ≤ h − 1, on a

(u + k)!α_{u,k}^{h} = ∑_{0≤i≤u+k} \frac{(−1)^{i}(u + k)!}{i!(u − i + k)!} = (1 − 1)^{u+k} = \begin{cases}0 & si −k < u ≤ h − 1 \\ 1 & si u = −k \end{cases}

Ainsi,

S_{n,k,cris}^{(h)}(L(b)) = (h + k − 1)!(−1)^{h+k−1}(b_{−k}t^{−k} + ∑_{u≥h} α_{u,k}^{h}b_{u}t^{u})

et

S_{n,k,cris}^{(h)}(L(b^{(k)})) = (−1)^{h+k−1}(h + k − 1)! ∑_{u≥h} α_{u,k}^{h}b_{u}t^{u}

et α_{h,k}^{h} = \frac{(−1)^{h+k−1}}{(h+k)!} . On en déduit que

S_{n,k,cris}^{(h)}(L(b^{(k)})) ∈ t^{h}B^{+}_{max}^{G_{K∞}} ⊗ D_{p}(V) ⊂ Fil^{0}(B_{max} ⊗ D_{p}(V)) . Plus précisément, pour u > h ou pour b_{h} ∈ (1 − p^{h}φ)D_{p}(V), b_{u}t^{u} appartient à (1 − φ) Fil^{0}(B^{+}_{max}^{G_{K∞}} ⊗ D_{p}(V)), car 1 − p^{u}φ est alors un isomorphisme de

Documenta Mathematica 4 (1999) 219–273

D_{p}(V), et on en déduit que (τ − 1)Eul(S_{n,k,cris}^{(h)}(L(b^{(k)})) = 0 pour τ ∈ G_{K_{∞}} et res_{∞}(P_{n,k}^{(h)}(\overline{G})) est simplement la classe du cocycle

τ ∈ G_{K_{∞}} ↦ −(τ − 1)Eul(S_{n,k,cris}^{(h)}(g) + p^{−n(h+1)} \frac{φ^{−n}(b_{h})t^{h}}{h + k})

et si b_{h} ∈ (1 − p^{h}φ)D_{p}(V), c’est la classe du cocycle

τ ∈ G_{K_{∞}} ↦ −(τ − 1)Eul(S_{n,k,cris}^{(h)}(g)) .

Sans condition sur b_{h}, remarquons que b_{h} + D^{h}(g)(0) ∈ (1 − p^{h}φ)D_{p}(V) et pour les mêmes raisons,

\begin{aligned}(τ − 1)Eul & (φ^{−n}(b_{h})t^{h}) \\ & = (τ − 1)Eul(p^{nh}b_{h}t^{h}) = −p^{nh}(τ − 1)Eul(D^{h}(g)(0)t^{h}) . \end{aligned}

On en déduit le lemme. 3.4.4. Corollaire. La restriction de P_{n,k}^{(h)}(\overline{G}) à H^{1}(K_{∞}, V (k)) ne dépend que de g, on la note P̃_{n,k}^{(h)}(g).

3.4.5. Plaçons-nous sous les hypothèses du théorème en supposant que D^{h}(g)(0) ∈ (1 − p^{h}φ)D_{p}(V). Montrons que pour s′ ≥ h + u, la suite

\begin{matrix}p^{n(s′−(j+h−1))} ∑_{k=1−h}^{j} & (−1)^{k+h−1}\binom{j + h − 1}{k + h − 1}S_{n,k,cris}^{(h)}(g) \\ = p^{n(s′−j−h+1)} ∑_{k=0}^{j+h−1}(−1)^{k}\binom{j + h − 1}{k}S_{n,k−h+1,cris}^{(h)}(g) \end{matrix}

tend vers 0. Notons

\begin{matrix}Z_{j}^{(h)} = \\ ∑_{k=0}^{j+h−1}(−1)^{k}\binom{j + h − 1}{k}k!(−1)^{k} ∑_{i=0}^{k}(−1)^{i} \frac{1}{i!}D^{i−k+h−1}(g)([ϵ] − 1)t^{i−k+h−1}) . \end{matrix}

On a donc (pΦ)^{−n}(Z_{j}^{(h)}) = ∑_{k=1−h}^{j}(−1)^{k+h−1}\binom{j+h−1}{k+h−1}S_{n,k,cris}^{(h)}(g). On a en changeant i en k − i

Z_{j}^{(h)} =

= ∑_{k=0}^{j+h−1}(−1)^{k}\binom{j + h − 1}{k}k! ∑_{i=0}^{k}(−1)^{i} \frac{1}{(k − i)!}D^{−i+h−1}(g)([ϵ] − 1)t^{−i+h−1})

= ∑_{i=0}^{j+h−1}(−1)^{i}v_{i,j+h−1}D^{−i+h−1}(g)([ϵ] − 1)t^{−i+h−1}

avec

\begin{matrix}v_{i,t} = & ∑_{k=i}^{t}(−1)^{k}\binom{t}{k}\frac{k!}{(k − i)!} \\ = & ∑_{k=i}^{t}(−1)^{k}\binom{u}{k}k(k − 1) … (k − i + 1) \\ = & (\frac{d^{i}}{dX^{i}} (1 − X)^{t})_{|X=1} \end{matrix}

Donc, seul v_{t,t} est non nul, il vaut (−1)^{t}t! et on obtient finalement

\begin{matrix}p^{−nj}(pΦ)^{−n}(Z_{j}^{(h)}) = & p^{−nj}(pΦ)^{−n}((j + h − 1)!D^{−j}(g)([ϵ] − 1)t^{−j}) \\ = & (pΦ)^{−n}((j + h − 1)!D^{−j}(g)([ϵ] − 1))t^{−j} \end{matrix}

Il s’agit donc de montrer que p^{n(s′−1−h+1)}Φ^{−n}(D^{−j}(g)([ϵ]−1)) tend vers 0 pour s′ ≥ h + u. On applique pour cela le lemme 3.1.1 à D^{−j}(g) ∈ H_{∞}^{ψ=0} ⊗ D_{p}(V) qui est p^{−u}φ^{−}-bornée pour obtenir que

||p^{n(s′−h)}Φ^{−n}(D^{−j}(g)([ϵ] − 1))||_{max} = p^{n(h+u−s′)}||p^{nu}(1 ⊗ φ)^{−n}D^{−j}(g)||_{ρ_{n}}

tend vers 0 lorsque n → ∞. Cela termine la démonstration du théorème 3.3.

3.4.6. Revenons sur le cas où D^{h}(g)(0) ∉ (1 − p^{h}φ)D_{p}(V). Rappelons que le fait que D_{p}(V)^{φ=p^{−h}} ≠ 0 avec Fil^{−h} D_{p}(V) = D_{p}(V) implique que V (−h)^{G_{K}} est non nul. On voit alors apparaître dans le cocycle définissant le point P_{n,k}^{(h)}(G) un terme de la forme \frac{c_{k,h}}{p^{n}}. Ce terme est signe de l’existence d’un pôle dans Ω_{V,h}(g). Il disparaît si l’on remplace g par g̃ = (χ(γ)^{−h}γ − 1)g (on a alors D^{h}(g̃)(0) = 0), d’où la définition

Ω_{V,h}(g) = (χ(γ)^{−h}γ − 1)^{−1}Ω_{V,h}(g̃) .

Il disparaît aussi lorsqu’on remplace par h par h + 1 et cela s’explique par la formule :

Ω_{V,h+1}(g) = ℓ_{h}Ω_{V,h}(g)

et le fait que χ(γ)^{−h}γ − 1 divise l_{h}. Que peut-on dire du résidu, c’est-à-dire de π_{0,−h}((χ(γ)^{−h}γ − 1)Ω_{V,h}(g) ? D’après la deuxième formule, il s’agit de

\begin{aligned}π̃_{0,−h}(Ω_{V,h+1}(g)) & = P̃_{0,−h}^{(h+1)} = T r_{K_{1}/K_{0}}(P̃_{0,−h}^{(h+1)}) \\ & = res_{∞} exp_{V (−h),f}(b_{h} ⊗ e_{h}, (1 − p^{−h+1}φ^{−1})D^{h}(\overline{G})(0) ⊗ e_{h}) . \end{aligned}

Le cocycle associé (restreint à K_{∞}) est

τ ↦ (τ − 1)Eul(D^{h}(g)([ϵ] − 1)t^{h}) .

On peut supposer que b_{h} = D^{h}(g)(0) car

\begin{matrix}D^{h}(g)([ϵ] − 1)t^{h} ≡ \\ (1 − Φ)(D^{h}(G) & ([ϵ] − 1)t^{h}) + D^{h}(g)(0)t^{h} mod (1 − Φ)(t^{h} ⊗ D_{p}(V)) . \end{matrix}

Le premier terme disparaît lorsqu’on applique (τ − 1)Eul pour τ ∈ G_{K_{∞}}, on obtient donc

(τ − 1)Eul(D^{h}(g)(0)t^{h}) .

Dans ce cas, Eul(D^{h}(g)(0)t^{h}) appartient en fait à ℚ̂_{p}^{nr} ⊗D_{p}(V (−h)) = ℚ̂_{p}^{nr}t^{h} ⊗ D_{p}(V)e_{h}, où ℚ̂_{p}^{nr} est le complété de l’extension maximale non ramifiée de ℚ_{p}, c’est-à-dire que comme il est bien connu, on n’a pas besoin de passer dans ce cas à B_{cris}. Par exemple, prenons V = ℚ_{p}(h) et D^{h}(g)(0) = 1, on est donc en train de construire un élément de H^{1}(K_{∞}, ℚ_{p})^{G_{∞}} par la recette

τ ↦ (τ − 1)Eul(t^{h}) .

Il s’agit en fait de résoudre l’équation (1 − φ)Ω = 1, ce qui se résoud dans ℚ̂_{p}^{nr}. 0n a dans ce cas un isomorphisme

H_{f/e}^{1}(K, ℚ_{p}) = H_{/e}^{1}(K, ℚ_{p}) ≅ H^{1}(K_{∞}, ℚ_{p})^{G_{∞}} = Hom_{G_{∞}}(G_{K_{∞}}^{ab}, ℚ_{p})

Cette situation ne se produit pas si V^{G_{K∞}} = 0. On ne le voit non plus pas très bien si V (−i)^{G_{K}} ≠ 0 pour un i < h à cause des relations du type

Ω_{V,h+1}(g) = ℓ_{h}Ω_{V,h}(g)

qui font disparaître le pôle. Cependant cela doit apparaître en théorie globale avec une bonne normalisation des “facteurs Γ”.

4. Lois de réciprocité

On désigne toujours par γ un générateur fixé de Γ et on pose γ_{n} = γ^{p^{n−1}}.

4.1. L’application exponentielle duale. Ce paragraphe repose sur les théorèmes de Tate dont on rappelle ici l’énoncé : on note K̂_{∞} le complété de K_{∞}.

4.1.1. Théorème. (Tate)

1. H^{1}(K_{∞}, ℂ_{p}) = 0, H^{0}(K_{∞}, ℂ_{p}) = K̂_{∞} ;

2. Pour n ≥ 1, il existe un unique isomorphisme T_{K_{n}} : K̂_{∞}/(γ_{n} − 1) → K_{n} induisant \frac{1}{p^{m−n}} T r_{K_{m}/K_{n}} sur K_{m} ;

3. H^{m}(K_{∞}/K_{n}, K̂_{∞}(i)) = 0 pour i ≠ 0 ; H^{0}(K_{∞}/K_{n}, , K̂_{∞}) = K_{n} et H^{1}(K_{∞}/K_{n}, , K̂_{∞}) ≅ K_{n} où cette dernière application est donnée par

\begin{matrix}H^{1}(Γ_{n}, K̂_{∞}) & = & K̂_{∞}/(γ_{n} − 1) & → & K_{n} \\ c & ↦ & c_{γ_{n}} & ↦ & \frac{1}{log χ(γ_{n})}T_{K_{n}}(c_{γ}) \end{matrix}

Avec cette normalisation, on a T_{K_{m}} = p^{n−m}T r_{K_{n}/K_{m}} ∘ T_{K_{n}} pour n ≥ m ≥ 1. On a le diagramme commutatif pour m ≤ n

H^{1}(K_{∞}/K_{n}, K̂_{∞}) → K̂_{∞}/(γ^{p^{n}} − 1) → K_{n}
res ↑ ↑ ↑
H^{1}(K_{∞}/K_{m}, K̂_{∞}) → K̂_{∞}/(γ^{p^{m}} − 1) → K_{m}

où la deuxième flèche verticale est donnée par c ↦ ∑_{i=0}^{p^{n−m}−1} γ^{ip^{m}}c et la troisième par l’inclusion. Remarquons aussi que si x ∈ K_{m} avec m ≥ n ≥ 1, on a T_{K_{n}}(x) = \frac{1}{p^{m−n}} T r_{K_{m}/K_{n}}(x).

4.1.2. Construisons une famille d’applications λ_{k,n} : B_{dR}^{G_{K∞}} → K_{n} pour n ≥ 0 et k ∈ ℤ. On rappelle que Fil^{i} B_{dR}/ Fil^{i+1} B_{dR} = ℂ_{p}(i) en tant que G_{K}-modules. La nullité de H^{1}(K_{∞}, ℂ_{p}) implique que Fil^{i} B_{dR}^{G_{K∞}} / Fil^{i+1} B_{dR}^{G_{K∞}} = K̂_{∞}(i). On déduit alors de la nullité des H^{m}(G_{∞}, K̂_{∞}(i)) pour i ≠ 0 que γ_{n} − 1 est inversible sur Fil^{1} B_{dR}^{G_{K∞}} de même que sur B_{dR}^{G_{K∞}} / Fil^{0} B_{dR}^{G_{K∞}} et donc que

B_{dR}^{G_{K∞}} /(γ_{n} − 1)B_{dR}^{G_{K∞}} ≅B_{dR}^{+}^{G_{K∞}} /(γ_{n} − 1)B_{dR}^{+}^{G_{K∞}}
=B_{dR}^{+}^{G_{K∞}} / Fil^{1} B_{dR}^{G_{K∞}} /(γ_{n} − 1)
=K̂_{∞}/(γ_{n} − 1)K̂_{∞} .

En composant avec T_{K_{n}}, on obtient une application λ_{0,n} : B_{dR}^{G_{K∞}} → K_{n}. Les applications λ_{k,n} : B_{dR}^{G_{K∞}} /(χ(γ_{n})^{−k}γ_{n} − 1)B_{dR}^{G_{K∞}} → K_{n} sont obtenues par twist :

B_{dR}^{G_{K∞}} →^{×t^{−k}} B_{dR}^{G_{K∞}} /(γ_{n} − 1) →^{λ_{0,n}} K_{n} .

On a ainsi λ_{k,n}(b) = λ_{0,n}(t^{−k}b).

Lemme. Les applications λ_{k,n} vérifient :

1. λ_{k,n}(τx) = χ(τ)^{k}λ_{k,n}(x) ;

2. T r_{K_{m}/K_{n}}(λ_{k,n}(x)) = p^{m−n}λ_{k,n}(x) pour m ≥ n.

3. Soit G ∈ H_{∞}. Alors, pour m ≥ n et k ≥ 0

λ_{k,n}(G(β_{m} − 1)) = \frac{1}{p^{m−n}} \frac{T r_{K_{m}/K_{n}}(D^{k}(G)(ζ_{m} − 1))}{p^{mk}k!}

Démonstration. Démontrons la troisième assertion. Remarquons d’abord qu’il est facile de calculer λ_{k,n} sur un élément de K_{m}((t)). En effet, si α ∈ K_{m} et m ≥ n, on a λ_{k,n}(αt^{i}) = 0 si i ≠ k et \frac{1}{p^{m−n}} T r_{K_{m}/K_{n}}(α) si i = k. Le premier cas vient de ce que χ(γ_{n})^{i−k}γ_{n} − 1 est un isomorphisme sur K̂_{∞}, le deuxième de ce que λ_{k,n}(αt^{i}) = λ_{0,n}(α) = T_{K_{n}}(α).

Si on utilise le fait que β_{m} = ζ_{m}e^{t/p^{m}}, on obtient que

G(β_{m} − 1) = ∑_{j=0}^{∞} \frac{D^{j}(G)(ζ_{m} − 1)}{j!} \frac{t^{j}}{p^{mj}}

et donc que

\begin{matrix}λ_{k,n}(G(β_{m} − 1)) = & λ_{k,n}(\frac{D^{k}(G)(ζ_{m} − 1)}{k!} \frac{t^{k}}{p^{mk}}) \\ = & p^{n−m} \frac{T r_{K_{m}/K_{n}}(D^{k}(G)(ζ_{m} − 1))}{k!p^{mk}} \end{matrix}

Remarquons (ce qui a été utilisé dans la démonstration) que si f = ∑_{j} a_{j}(f)t^{j} ∈ K_{n}((t)), on a λ_{k,n}(f) = a_{k}(f) et que l’on peut définir une application T_{n} de K_{∞}((t)) dans K_{n}((t)) par T_{n}(f) = p^{−n} ∑_{k} λ_{k,n}(f)t^{k}. Un résultat important de Colmez est que T_{n} se prolonge en une application continue de B_{max}^{G_{K∞}} dans K_{n}((t)). Nous n’en avons pas besoin pour la démonstration de la loi de réciprocité pour l’application Ω_{V,h} que nous avons construite ici. Ce prolongement semble par contre fondamental dans l’extension qu’en donne Colmez.

4.1.3. Rappelons le théorème de Kato relatif à l’application exponentielle duale. Si W est une représentation p-adique de de Rham de G_{ℚ_{p}} et L une extension algébrique de ℚ_{p}, on note exp_{W^{∗}(1),L,/u^{∗}}^{∗} l’application duale de l’application exponentielle exp_{W^{∗}(1),L,u} avec u ∈ {e, f} et e^{∗} = g, f^{∗} = f. On pose

λ_{W,L} = exp_{W^{∗}(1),L,/g}^{∗} : H^{1}(L, W) → L ⊗ Fil^{0} D_{dR}(W) .

En notant par < ., . >_{W,L} le cup produit :

H^{1}(L, W) × H^{1}(L, W^{∗}(1)) → H^{2}(L, ℚ_{p}(1)) ≅ ℚ_{p}

et [., .]_{D_{dR}(W)} la dualité naturelle

L ⊗ D_{dR}(W) × L ⊗ D_{dR}(W^{∗}(1)) → L →^{T r_{L/ℚp}} ℚ_{p} ,

on a donc par exemple la formule

< x, exp_{W^{∗}(1),L,e}(b) >_{W,L}= [exp_{W^{∗}(1),L,/g}^{∗}(x), b]_{D_{p}(W)} = [λ_{W,L}(x), b]_{D_{p}(W)} .

On fera attention que

< exp_{W,L,e}(a), y >_{W,L}= −[a, exp_{W,L,/g}^{∗}(y)]_{D_{p}(W)} = −[a, λ_{W^{∗}(1),L}(y)]_{D_{p}(W)} .

Proposition. L’application λ_{V (k),K_{n}} : H^{1}(K_{n}, V (k)) → K_{n} ⊗ Fil^{0} D_{dR}(V (k)) peut se calculer de la manière suivante : soit τ ↦ c_{τ} un cocycle de G_{K_{n}} à valeurs dans B_{dR}^{G_{K∞}} ⊗ D_{dR}(V) ayant même image que x ∈ H^{1}(K_{n}, V (k)) dans H^{1}(K_{n}, B_{dR} ⊗ V) ; alors,

λ_{V (k),K_{n}}(x) = λ_{−k,n}(\frac{c_{γ_{n}}}{log χ(γ_{n})}) .

Démonstration. L’existence de c vient de ce que H^{1}(K_{∞}, B_{dR} ⊗ V) = 0, ce qui implique que l’application inflation suivante est un isomorphisme :

H^{1}(G_{∞}, (B_{dR} ⊗ V)^{G_{K∞}}) = H^{1}(G_{∞}, B_{dR}^{G_{K∞}} ⊗ D_{dR}(V)) →^{≅} H^{1}(K, B_{dR} ⊗ V) .

Kato démontre que si x est représenté par un cocycle τ ↦ d_{τ}, les deux cocycles de G_{K_{n}} à valeurs dans B_{dR} ⊗ V donnés par τ ↦ λ_{V,K_{n}}(x) log χ(τ) et par τ ↦ d_{τ} ont même image dans H^{1}(K_{n}, B_{dR} ⊗ V). Colmez remarque alors qu’on peut remplacer d par le cocycle τ ↦ c_{τ} ayant même image que d dans H^{1}(K_{n}, B_{dR} ⊗ V). On en déduit que λ_{V,K_{n}}(x) log χ(γ_{n}) ≡ c_{γ_{n}} mod γ_{n} − 1 et donc que

λ_{V,K_{n}}(x) log χ(γ_{n}) = λ_{0,n}(λ_{V,K_{n}}(x) log χ(γ_{n})) = λ_{0,n}(c_{γ_{n}}) .

Pour passer à V (k), il suffit de faire un twist convenable.

Remarques : 1) L’image de H^{1}(G_{n}, V^{G_{K∞}}) dans K_{n} ⊗ Fil^{0} D_{dR}(V) par λ_{V,K} est égale à V^{G_{K}} = Fil^{0} D_{dR}(V)^{φ=1}. Notons λ̃_{V (k),K_{n}} le composé de λ_{V (k),K_{n}} avec la projection modulo V (k)^{G_{K}}.

2) On a le diagramme commutatif

H^{1}(K, V)
↓
H^{1}(K, B_{dR} ⊗ D_{dR}(V)) ←^{∪ log χ} H^{0}(K, B_{dR} ⊗ D_{dR}(V)) = K ⊗ D_{dR}(V)
≅↑  ↓  ||
H^{1}(G_{∞}, B_{dR}^{G_{K∞}} ⊗ D_{dR}(V)) ←^{∪ log χ} B_{dR}^{G_{K∞}} ⊗ D_{dR}(V)/(γ − 1) → K ⊗ D_{dR}(V)

où log χ est vu comme élément de H^{1}(K, ℚ_{p}) = H^{1}(G_{∞}, ℚ_{p}) = Hom(G_{∞}, ℚ_{p}).

4.2. Loi de réciprocité (Enoncés).

4.2.1. Théorème. (Colmez) Soit h un entier tel que Fil^{−h} D_{dR}(V) = D_{dR}(V). Soit g ∈ D_{∞,e}(V), G une solution compatible des équations (1 − p^{r}Φ)G_{r} = D^{r}(g). Alors, pour tout entier k ≤ −h et pour tout entier n ≥ 1, on a

\begin{aligned}λ̃_{V (k),K_{n}}(π̃_{n,k} & (Ω_{V,h}(g))) ≡ \\ & \frac{p^{n(k−1)}(1 ⊗ φ)^{−n}D^{−k}(G)(ζ_{n} − 1)}{(−k − h)!} ⊗ e_{−k} mod V (k)^{G_{K}} . \end{aligned}

Documenta Mathematica 4 (1999) 219–273

Remarquons que sous les hypothèses du théorème, V (k)^{G_{K}} = 0 sauf peut-être pour k = −h. Rappelons que l’on a par définition même de Ω_{V,h}(g) les formules pour k ≥ 1−h,

log_{V (k),n}(π_{n,k}Ω_{V,h}(g)) ≡ (−1)^{h+k−1}(h + k − 1)! ×

× p^{n(k−1)}(1 ⊗ φ)^{−n}D^{−k}(G)(ζ_{n} − 1) ⊗ e_{−k} mod Fil^{0} D_{p}(V (k)) .

Pour uniformiser les formules, posons (cf. [5]) Γ^{∗}(k) = (k − 1)! si k > 0 et (−1)^{k}/(−k!) si k ≤ 0. On a encore l’équation fonctionnelle : Γ^{∗}(k+1) = kΓ^{∗}(k) pour tout k ∈ ℤ sauf pour k = 0. On obtient alors que

\frac{p^{n(k−1)}(1 ⊗ φ)^{−n}D^{−k}(G)(ζ_{n} − 1)}{Γ^{∗}(−k − (h − 1))} =\begin{cases}log_{V (k),n}(π_{n,k}Ω_{V,h}(g)) & si h + k − 1 > 0 \\ λ_{V (k),K_{n}}(π_{n,k}(Ω_{V,h}(g))) & si h + k − 1 < 0 \end{cases} (4.2.1)

On peut aussi remarquer que

Γ^{∗}(−k) = ∏_{i=1}^{h−1}(−k − i).Γ^{∗}(−k − (h − 1))

à condition que k ∉ {−h + 1, ⋯ − 1}. Le produit ∏_{i=1}^{h−1}(−k − i) est un produit de h − 1 termes et c’est aussi la valeur de ∏_{i=1}^{h−1} ℓ_{i} sur le caractère χ^{−k}. On a donc aussi

\frac{p^{n(k−1)}(1 ⊗ φ)^{−n}D^{−k}(G)(ζ_{n} − 1)}{Γ^{∗}(−k)} = \begin{cases}log_{V (k),n}(Ω_{V,1}(g)) & si k ≥ 0 \\ λ_{V (k),K_{n}}(π_{n,k}(Ω_{V,1}(g))) & si k ≤ −h \end{cases}

en posant Ω_{V,1} = (∏_{i=1}^{h−1} ℓ_{i})^{−1}Ω_{V,h}. On a en effet alors

π_{n,k}(Ω_{V,1}(g)) = (∏_{i=1}^{h−1}(−i − k))^{−1}π_{n,k}(Ω_{V,h})

On a bien sûr perdu un certain nombre de termes.

4.2.2. Il est commode de transformer le théorème 4.2.1 et de le mettre sous la forme de la conjecture Réc(V) de [4]. Cela permettra ensuite d’obtenir de nouvelles formules que nous donnerons dans le §5.2. Nous supposons dans la fin du §4.2 que V est une représentation cristalline. Rappelons que l’on a un accouplement naturel sesquilinéaire par rapport à l’involution ι induite par τ ↦ τ^{−1}

Z_{∞}^{1}(K, V) × Z_{∞}^{1}(K, V^{∗}(1)) → ℚ_{p} ⊗ Λ

donnée par

< x, y >_{V} = lim_{←_{n}} ∑_{τ∈G_{n}} < τ^{−1}π_{n,0}(x), π_{n,0}(y) >_{V,K_{n}} τ

où < , >_{V,K_{n}} est l’accouplement de Kummer H^{1}(K_{n}, V) × H^{1}(K_{n}, V^{∗}(1)) → ℚ_{p}. Il vérifie pour tout entier i

T w^{−i}(< x, y >_{V}) =< T w^{i}(x), T w^{−i}(y) >_{V (i)} .

On a d’autre part l’accouplement naturel

D_{p}(V) × D_{p}(V^{∗}(1)) → ℚ_{p} .

On prolonge respectivement ces deux accouplements par extension des scalaires à K(G_{∞}) :

< ., . >_{V}: K(G_{∞}) ⊗_{Λ} Z_{∞}^{1}(K, V) × K(G_{∞}) ⊗_{Λ} Z_{∞}^{1}(K, V^{∗}(1)) → K(G_{∞})

et

[ ., .]_{D_{p}(V)} : K(G_{∞}) ⊗_{Λ} D_{p}(V) × K(G_{∞}) ⊗_{Λ} D_{p}(V^{∗}(1)) → K(G_{∞})

On note de la même manière l’accouplement qui s’en déduit sur H_{∞}^{ψ=0} ⊗ D_{p}(V) × H_{∞}^{ψ=0} ⊗ D_{p}(V). Notons encore ι l’involution de H_{∞}^{ψ=0} correspondant à l’involution ι précédemment définie sur H(G_{∞}). Enfin, notons σ_{−1} l’élément de G_{∞} agissant sur les racines de l’unité par ζ ↦ ζ^{−1}. On a donc σ_{−1}(1 + T) = (1 + T)^{−1}.

4.2.3. Théorème. (Réc(V)) Supposons que V est une représentation cristalline. On a pour tout entier h

<Ω_{V,h}(g_{1}), σ_{−1}Ω_{V^{∗}(1),1−h}(g_{2})>_{V} .(1 + T) = (−1)^{h}[g_{1}, ι(g_{2})]_{D_{p}(V)} .

Autrement dit, l’inverse de Ω_{V,h} est au signe près l’adjoint de Ω_{V^{∗}(1),1−h}.

Ainsi, au lieu de commencer à construire Ω_{V,h} à partir des exponentielles de Bloch-Kato, on aurait pu construire Ω_{V^{∗}(1),1−h}^{∗} à partir de l’exponentielle duale, ou son inverse, ou l’adjoint de son inverse. Remarquons que l’application Ω_{V,h} dépend du choix de ϵ. Appliquer σ_{−1} revient à changer ϵ en ϵ^{−1}. Nous donnerons au §5 les formules sur l’application inverse L_{V,h} de Ω_{V,h} se déduisant de ce théorème.

Démonstration. Montrons comment le théorème 4.2.3 se déduit du théorème 4.2.1. On s’appuie sur les formules données dans l’appendice A.2. On vérifie facilement que cela ne dépend pas de h, on prend alors h tel que Fil^{−h} D_{p}(V) = D_{p}(V). Soit h^{∗} tel que Fil^{−h^{∗}} D_{p}(V^{∗}(1)) = D_{p}(V^{∗}(1)). On a alors Fil^{h^{∗}} D_{p}(V) = 0. Prenons k tel que −k ≥ 1 − h et k < −h^{∗}. On pose x = Ω_{V,h}(g_{1}) et y = Ω_{V^{∗}(1),h^{∗}}(g_{2}). On note encore abusivement π_{n,k} la projection H(G_{∞}) ⊗ Z_{∞}^{1}(K, T^{∗}(1)) → H^{1}(K_{n}, V^{∗}(1)(k)). On a alors

s_{n,k}(< Ω_{V,h}(g_{1}), Ω_{V^{∗}(1),1−h}(g_{2}) >_{V})

= s_{n,k}(< Ω_{V,h}(g_{1}), ( ∏_{−h<j<h^{∗}} ℓ_{j})^{−1}Ω_{V^{∗}(1),h^{∗}}(g_{2}) >_{V})

= s_{n,k}(< ( ∏_{−h<j<h^{∗}} −ℓ_{−j})^{−1}x, y >_{V})

= \frac{(−k − h^{∗})!}{(−k + h − 1)!} < π_{n,−k}(x), π_{n,k}(y) >_{V (−k),K_{n}}

car π_{n,−k}(ℓ_{−j}x) = (j + k)π_{n,−k}(x) ;

= −\frac{(−k − h^{∗})!}{(−k + h − 1)!}T r_{K_{n}/K}([log_{V (−k),K_{n}} π_{n,−k}(x), λ_{V (k),K_{n}}(π_{n,k}(y))]_{D_{p}(V (−k))})

(remarquons que π_{n,−k}(x) ∈ H_{e}^{1}(K_{n}, V (−k)) sous les hypothèses faites sur k : Fil^{0} D_{dR}(V (−k)) = 0 ; le signe − provient de 4.1.3). Exprimons le dernier terme à l’aide de g_{1} et g_{2}. Avec (1 − p^{k}Φ)D^{k}(G_{1}) = D^{k}(g_{1}) et (1 − p^{−k}Φ)D^{−k}(G_{2}) = D^{−k}(g_{2}), on a

\begin{matrix}\frac{(−k − h^{∗})!}{(−k + h − 1)!} & < π_{n,−k}(x), π_{n,k}(y) >_{V (−k),K_{n}} \\ = (−1)^{h−k}p^{−n} & T r_{K_{n}/K}([D^{k}(G_{1})(ζ_{n} − 1), D^{−k}(G_{2})(ζ_{n} − 1)]_{D_{p}(V (−k))}) \end{matrix}

en utilisant les formules (4.2.1) et

[φu, φv]_{D_{p}(V (−k))} = p^{−1}[u, v]_{D_{p}(V (−k))} .

Ce qui vaut pour n ≥ 1,

(−1)^{h−k}p^{−n} ∑_{ζ∈μ_{p^{n}} −μ_{p^{n−1}}}[D^{k}(G_{1})(ζ − 1), D^{−k}(G_{2})(ζ − 1)]_{D_{p}(V)} .

On remarque que pour n > 1

∑_{ζ∈μ_{p^{n}} −μ_{p^{n−1}}}[D^{k}(G_{1})(ζ^{p} − 1), D^{−k}(g_{2})(ζ − 1)]_{D_{p}(V)} = 0

car ψ(g_{2}) = 0 et idem en renversant les rôles de G_{2} et G_{1}. Donc,

∑_{ζ∈μ_{p^{n}} −μ_{p^{n−1}}}[D^{k}(G_{1})(ζ − 1), D^{−k}(G_{2})(ζ − 1)]_{D_{p}(V)}

= ∑_{ζ∈μ_{p^{n}} −μ_{p^{n−1}}}[D^{k}(g_{1})(ζ − 1), D^{−k}(g_{2})(ζ − 1)]_{D_{p}(V)}

+ p.p^{−1} ∑_{ζ∈μ_{p^{n−1}} −μ_{p^{n−2}}}[D^{k}(G_{1})(ζ − 1), D^{−k}(G_{2})(ζ − 1)]_{D_{p}(V)}

250 Bernadette Perrin-Riou En recommençant, on en déduit que

∑_{ζ∈μ_{p^{n}} −μ_{p^{n−1}}}[D^{k}(G_{1})(ζ − 1), D^{−k}(G_{2})(ζ − 1)]_{D_{p}(V)}

= ∑_{ζ∈μ_{p^{n}} −μ_{p}}[D^{k}(g_{1})(ζ − 1), D^{−k}(g_{2})(ζ − 1)]_{D_{p}(V)}

+ ∑_{ζ∈μ_{p}−{1}}[D^{k}(G_{1})(ζ − 1), D^{−k}(G_{2})(ζ − 1)]_{D_{p}(V)}

Enfin,

∑_{ζ∈μ_{p}−{1}}[D^{k}(G_{1})(ζ − 1), D^{−k}(G_{2})(ζ − 1)]_{D_{p}(V)}

= ∑_{ζ∈μ_{p}}[D^{k}(G_{1})(ζ − 1), D^{−k}(G_{2})(ζ − 1)]_{D_{p}(V)} − [D^{k}(G_{1})(0), D^{−k}(G_{2})(0)]_{D_{p}(V)}
= ∑_{ζ∈μ_{p}}[D^{k}(g_{1})(ζ − 1), D^{−k}(g_{2})(ζ − 1)]_{D_{p}(V)}

+ [D^{k}(G_{1})(0), D^{−k}(G_{2})(0)]_{D_{p}(V)} − [D^{k}(G_{1})(0), D^{−k}(G_{2})(0)]_{D_{p}(V)}

= ∑_{ζ∈μ_{p}}[D^{k}(g_{1})(ζ − 1), D^{−k}(g_{2})(ζ − 1)]_{D_{p}(V)}

D’où l’égalité pour n ≥ 1

\begin{aligned}p^{−n} ∑_{ζ∈μ_{p^{n}} −μ_{p^{n−1}}} & [D^{k}(G_{1})(ζ − 1), D^{−k}(G_{2})(ζ − 1)]_{D_{p}(V)} \\ & = p^{−n} ∑_{ζ∈μ_{p^{n}}} D^{k}(g_{1})(ζ − 1), D^{−k}(g_{2})(ζ − 1)]_{D_{p}(V)} . \end{aligned}

Comme D^{−k} ∘ σ_{−1} = (−1)^{k}σ_{−1}D^{k}, on obtient finalement que pour n ≥ 1,

s_{n,k}(< Ω_{V,h}(g_{1}),Ω_{V^{∗}(1),1−h}(g_{2}) >_{V})

= (−1)^{h}p^{−n} ∑_{ζ∈μ_{p^{n}}}[D^{k}(g_{1})(ζ − 1), D^{−k}(σ_{−1}g_{2})(ζ^{−1} − 1)]_{D_{p}(V)}

= (−1)^{h}s_{n,k}([ĝ_{1}, σ_{−1}ĝ_{2}^{ι}]_{D_{p}(V)})

L’égalité ayant lieu pour tout k inférieur à h et à −h^{∗}, on en déduit que

< Ω_{V,h}(g_{1}), Ω_{V^{∗}(1),1−h}(g_{2}) >_{V} = (−1)^{h}[ĝ_{1}, σ_{−1}ĝ_{2}^{ι}]_{D_{p}(V)} ,

ou ce qui revient au même que < Ω_{V,h}(g_{1}), Ω_{V^{∗}(1),1−h}(g_{2}) >_{V} .(1 + T) = (−1)^{h}[g_{1}, σ_{−1}g_{2}^{ι}]_{D_{p}(V)} .

4.2.4. Avant de passer à la démonstration de la loi de réciprocité, montrons comment elle permet de transformer l’inégalité

𝔬(Ω_{V,h}(g)) ≤ h + 𝔬_{φ}(g)

pour g ∈ D_{∞,f}(V) en égalité. On a de même

𝔬(Ω_{V^{∗}(1),h^{∗}}(g^{∗})) ≤ h^{∗} + 𝔬_{φ}(g^{∗})

pour g^{∗} ∈ D_{∞,f}(V^{∗}(1)) avec h^{∗} comme précédemment. Choisissons g^{∗} de manière à ce que 𝔬_{φ}(g) + 𝔬_{φ}(g^{∗}) = 𝔬_{φ}([g, σ_{−1}g^{∗}^{ι}]_{D_{p}(V)}). Les inégalités déjà montrées et le théorème 4.2.3 impliquent alors que

\begin{aligned}𝔬(Ω_{V,h}(g)) + 𝔬(Ω_{V,h^{∗}}(g^{∗})) & ≤ 𝔬_{φ}(g) + h + 𝔬_{φ}(g^{∗}) + h^{∗} \\ & ≤ 𝔬(Ω_{V,h}(g)) + 𝔬(Ω_{V,h^{∗}}(g^{∗})) \end{aligned}

à cause du terme (∏_{−h<j<h^{∗}} ℓ_{j})^{−1}. On en déduit l’égalité

𝔬(Ω_{V,h}(g)) = h + 𝔬_{φ}(g) .

4.3. Loi de réciprocité (Démonstration). Soient g un élément de D_{∞,e}(V) et \overline{G} une solution compatible des équations (1 − p^{r}Φ)G_{r} = D^{r}(g). On suppose que g est p^{−u}φ^{−}-bornée, ce qui assure que Ω_{V,h}(g) appartient à H_{(h+u)^{−}}(G_{∞})⊗Z̃_{∞}^{1}(K, T). Au cours de la construction de Ω_{V,h}(G), nous avons construit explicitement (lemme 3.4.3) un cocycle Z_{n,k,τ} de G_{K_{n}} à valeurs dans V représentant π_{n,k}(Ω_{V,h}(G)) pour n ≥ 0 et k + h − 1 ≥ 0 : pour τ ∈ G_{K_{n}},

Z_{n,k,τ} = (χ(τ)^{k}τ − 1)(e_{n,k})

avec e_{n,k} = c_{n,k} − Eul((1 − φ)c_{n,k}) et c_{n,k} = S_{n,k,cris}^{(h)}(G). Une remarque fondamentale de P. Colmez est qu’on peut retrouver G à partir d’un tel cocycle :

4.3.1. Proposition. Soit g un élément p^{−u}φ^{−}-borné de H_{∞}^{ψ=0} ⊗ D et et \overline{G} une solution des équations (1 − p^{r}Φ)G_{r} = D^{r}(g). Alors, la suite p^{m} ∑_{j=0}^{u+h−1}(−1)^{j}\binom{u+h−1}{j}e_{m,j−h+1} converge dans (B_{max}^{G_{K∞}} ⊗ D_{p}(V))^{Φ=p^{u}} et on a pour tout entier n ≥ 0 et tout entier k tel que k + u ≥ 0,

\begin{matrix}λ_{k,n}( lim_{m→∞} p^{m} ∑_{j=0}^{u+h−1}(−1)^{j}\binom{u + h − 1}{j}e_{m,j−h+1}) & = \\ \frac{(u + h − 1)!}{(k + u)!} & \frac{(1 ⊗ φ)^{−n}D^{k}(G)(ζ_{n} − 1)}{p^{nk}} . \end{matrix}

Remarquons que pour k + u < 0, le membre de gauche est nul.

Démonstration. La limite de p^{m} ∑_{j=0}^{u+h−1}(−1)^{j}\binom{u+h−1}{j}S_{n,j−h+1,cris}^{(h)}(g) est nulle (3.4.5, c’est d’ailleurs un argument essentiel dans l’existence de l’homomorphisme Ω_{V,h}) et donc par continuité de Eul, il s’agit d’étudier la limite de

p^{m} ∑_{j=0}^{u+h−1}(−1)^{j}\binom{u + h − 1}{j}S_{n,j−h+1,cris}^{(h)}(G) .

Nous avons calculé dans le §3.4.5 (avec g à la place de G, mais le calcul est bien sûr identique)

\begin{aligned}∑_{j=0}^{u+h−1}(−1)^{j} & \binom{u + h − 1}{j}S_{m,j−h+1,cris}^{(h)}(G) = \\ & = (u + h − 1)!p^{m(u−1)}Φ^{−m}D^{−u}(G)([ϵ] − 1)t^{−u} \end{aligned}

On utilise alors le lemme suivant :

Lemme. Si g est p^{−u}φ^{−}-bornée, alors, p^{mu}Φ^{−m}D^{−u}(G)([ϵ]−1)) a une limite dans (B_{max}^{G_{K∞}} ⊗ D_{p}(V))^{Φ=p^{u}}.

Démonstration. On s’appuie sur le fait que si F ∈ H_{∞}, F (β_{m} − 1) existe dans B_{max}^{+} et que l’on a

||F (β_{m} − 1)||_{max} ∼ ||F ||_{ρ_{m}} , (4.3.1)

(le symbole ∼ signifiant que ||F ||_{ρ_{m}} ≤ ||F (β_{m} −1)||_{max} ≤ p||F ||_{ρ_{m}}). Rappelons que D^{−u}(g) = (1 − p^{−u}Φ)D^{−u}(G) et que ψ(D^{−u}(g)) = 0. Posons u_{m} = p^{mu}Φ^{−m}D^{−u}(G)([ϵ] − 1) = p^{mu}(1 ⊗ φ)^{−m}D^{−u}(G)(β_{m} − 1). On a

\begin{matrix}u_{m} − u_{m−1} = & p^{mu}Φ^{−m}(1 − p^{−u}Φ)(D^{−u}(G))([ϵ] − 1) \\ = & p^{mu}Φ^{−m}(D^{−u}(g)([ϵ] − 1)) . \end{matrix}

On a grâce à 3.1.1

||u_{m} − u_{m+1}||_{max} ∼ ||p^{mu}(1 ⊗ φ)^{−m}f||_{ρ_{m}}

Comme g est par hypothèse p^{−u}φ^{−}-borné, il en est de même de D^{−u}(g) (voir 1.3, 1.4) ; u_{m} − u_{m+1} tend donc vers 0 dans B_{max}^{+} ⊗ D_{p}(V) et la suite (u_{m}) converge dans B_{max}^{+} ⊗ D_{p}(V). Il est clair que sa limite est fixe par G_{K_{∞}} puisque ce groupe de Galois laise fixe les β_{m}. Comme p^{−u}Φ(u_{m+1}) = u_{m}, elle appartient à (B_{max}^{G_{K∞}} ⊗ D_{p}(V))^{Φ=p^{u}}

On déduit de ce qui précède que

λ_{k,n}( lim_{m→∞}p^{m} ∑_{j=0}^{u+h−1}(−1)^{j}\binom{u + h − 1}{j}S_{m,j−h+1,cris}(G)) =

= (u + h − 1)!λ_{k,n}( lim_{m→∞} p^{mu}Φ^{−m}D^{−u}(G)([ϵ] − 1)t^{−u})

= (u + h − 1)! lim_{m→∞} λ_{k+u,n}(p^{mu}Φ^{−m}D^{−u}(G)([ϵ] − 1))

= \frac{(u + h − 1)!}{(k + u)!} lim_{m→∞} \frac{1}{p^{m−n}} \frac{T r_{K_{m}/K_{n}}(p^{mu}(1 ⊗ φ)^{−m}D^{k}(G)(ζ_{m} − 1)}{p^{m(k+u)}}

Documenta Mathematica 4 (1999) 219–273

pour k + u ≥ 0. Comme Ψ((1 − p^{k}Φ)(D^{k}(G))) = 0, on a

∑_{ζ∈μ_{p}} D^{k}(G)(ζ(1 + T) − 1) = p^{k+1}(1 ⊗ φ)D^{k}(G)((1 + T)^{p} − 1) . (4.3.2)

On en déduit que

\begin{aligned}T r_{K_{m}/K_{n}}((1 ⊗ φ)^{−m} & (D^{k}(G)(ζ_{m} − 1)) = \\ & p^{(k+1)(m−n)}(1 ⊗ φ)^{m−n}D^{k}(G))(ζ_{n} − 1) , \end{aligned}

d’où,

\frac{1}{p^{m−n}} \frac{T r_{K_{m}/K_{n}}(p^{mu}(1 ⊗ φ)^{−m}D^{k}(G)(ζ_{m} − 1)}{p^{m(k+u)}} = \frac{(1 ⊗ φ)^{−n}D^{k}(G)(ζ_{n} − 1)}{p^{kn}} .

On en déduit la proposition.

4.3.2. Posons pour simplifier h̃ = h + u. Notons A_{max,v} = t^{−v}A_{max}. On a des applications

α : H^{1}(G_{∞}, Hh̃^{−}(G_{∞})⊗(A_{max,v}^{G_{K∞}} ⊗ D_{p}(V)))
→ H^{1}(K_{∞}, Hh̃^{−}(G_{∞}) ⊗ (A_{max,v}^{G_{K∞}} ⊗ D_{p}(V)))

et

\begin{aligned}β : Hh̃^{−}(G_{∞}) ⊗ Z_{∞}^{1}(K, T) & → H^{1}(K, Hh̃^{−}(G_{∞}) ⊗ V) \\ & → H^{1}(K_{∞}, Hh̃^{−}(G_{∞}) ⊗ (A_{max,v}^{G_{K∞}} ⊗ D_{p}(V))) \end{aligned}

Lemme. Il existe un élément z′ de H^{1}(G_{∞}, Hh̃^{−}(G_{∞}) ⊗ (A_{max,v}^{G_{K∞}} ⊗ V)) tel que

α(z) = β(Ω_{V,h}(g)).

La démonstration utilise les résultats du type de ceux de Tate et de Sen. On renvoie à [1, chap. IV,§1-3 et lemme VI.3.2]. Choisissons un cocycle Z′ représentant z′. Pour j + h − 1 ≥ 0, l’image de Ω_{V,h}(g) dans H^{1}(K_{n}, (B_{max} ⊗ V (j))^{φ=1}) est nulle, il en est donc de même de celle de z′ et on a donc π_{n,j}(Z′_{τ}) = (τ − 1) ∗_{j} d_{n,j} = (χ(τ)^{j}τ − 1)d_{n,j}.

Lemme. Avec les notations précédentes, la suite p^{m} ∑_{j=0}^{u+h−1}(−1)^{j}\binom{u+h−1}{j}d_{m,j−h+1} a une limite dans (B_{max}^{G_{K∞}} ⊗ D_{p}(V))^{Φ=p^{u}} et pour tout entier n ≥ 0 et tout entier k tel que k + u ≥ 0, on a

\begin{matrix}λ_{k,n}( lim_{m→∞} p^{m} ∑_{j=0}^{u+h−1}(−1)^{j}\binom{u + h − 1}{j}d_{m,j−h+1}) & = \\ \frac{(u + h − 1)!}{(k + u)!} & \frac{(1 ⊗ φ)^{−n}D^{k}(G)(ζ_{n} − 1)}{p^{nk}} . \end{matrix}

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254 Bernadette Perrin-Riou Démonstration. Il suffit de montrer que la limite de

p^{m} ∑_{j=0}^{u+h−1}(−1)^{j}\binom{u + h − 1}{j}(d_{m,j−h+1} − e_{m,j−h+1})

est nulle. Or si Z est le cocycle représentant Ω_{V,h}(g) tel que

π_{m,k}(Z)_{τ} = (τ − 1)(e_{m,k}) ,

on a Z_{τ} − Z′_{τ} = (τ − 1)(B) avec B ∈ Hh̃^{−} ⊗ (A_{max,v}^{G_{K∞}} ⊗ D_{p}(V)) et donc e_{m,j−h+1} − d_{m,j−h+1} = s_{m,j−h+1}(B). Il s’agit donc de montrer que

lim_{m→∞} p^{m} ∑_{j=0}^{h̃−1}(−1)^{j}\binom{h̃ − 1}{j}π_{m,j−h+1}(B) = 0 ,

ce qui se déduit du fait que B appartient à Hh̃^{−} ⊗ A_{max,v} ⊗ D_{p}(V). 4.3.3. Prenons donc un cocycle Z′ comme dans le paragraphe précédent et posons Z̃ = Z′_{γ}. Avec les notations précédentes, on a pour i + h − 1 > 0,

π_{m,i}(Z′)_{τ} = (τ − 1) ∗_{i} d_{m,i} = (χ(τ)^{i}τ − 1)d_{m,i}

avec d_{m,i} ∈ (A_{max,v}^{G_{K∞}} ⊗ D_{p}(V))^{Φ=1} et τ ∈ G_{K_{m}}. D’où, pour i + h − 1 ≥ 0,

π_{m,i}(Z′)_{γ_{m}} = (χ(γ_{m})^{i}γ_{m} − 1)d_{m,i}

et pour k ≠ i

λ_{−k,n}(d_{m,i}) = \frac{1}{χ(γ_{m})^{−k+i} − 1}λ_{−k,n}(π_{m,i}(Z′)_{γ_{m}}) .

Commençons par faire le cas où m ≥ n = 1. Dans l’appendice A, est fait le calcul explicite de π_{m,i}(Z′). Si R_{m,i}(Z̃) est le polynôme d’interpolation de T w^{i}Z̃ modulo γ_{m} − 1 vu comme élément de ℤ_{p}[G_{m}] ⊗ M, on a

λ_{−k,1}(π_{m,i}(Z′)_{γ_{m}}) =< χ >^{k−i} (R_{m,i}(Z̃))

avec M = (A_{max,v}^{G_{K∞}} ⊗ D_{p}(V))^{Φ=1}. D’où

\begin{matrix}lim_{m→∞} & λ_{−k,1}(∑_{j=0}^{h̃−1}(−1)^{j}\binom{h̃ − 1}{j}p^{m}d_{m,j−h−1}) \\ = λ_{−k,1}( lim_{m→∞} ∑_{j=0}^{h̃−1}(−1)^{j}\binom{h̃ − 1}{i}\frac{p^{m} < χ >^{k−j+h−1} (R_{m,j−h+1}(Z̃))}{< χ > (γ_{m})^{j−h+1−k} − 1}) . \end{matrix}

On applique alors la proposition de l’appendice B à T w^{−h+1}Z̃ (avec k remplacé par k + h − 1, h par h̃ et < χ > (γ) par < χ > (γ)^{−1}) et on obtient que pour

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k n’appartenant pas à {1 − h, ⋯, u}

\begin{matrix}lim_{m→∞} λ_{−k,1}(∑_{j=0}^{h̃−1} & (−1)^{j}\binom{h̃ − 1}{j}p^{m}d_{m,j−h−1}) \\ = (−1)h̃ \frac{(h̃ − 1)!}{(k + h − 1) ⋯ (k − u)} \frac{λ_{−k,1}(< χ >^{k} (Z̃))}{log < χ > (γ)} \end{matrix}

Lorsque n est quelconque (avec toujours m ≥ n), on décompose π_{m,i}(Z′)_{γ_{m}} sous la forme d’une somme de termes de la forme π_{m,i}(Z′)_{γ_{m}}^{(j)}γ^{j} ∈ ℚ_{p}[Gal(K_{m}/K_{n})]γ^{j} pour j compris entre 0 et p^{n−1} − 1, ce qui revient à remplacer le groupe Γ par le groupe Γ_{n}, on utilise le fait que λ_{−k,n}(τx) =< χ >^{−k} (τ)λ_{−k,n}(x) pour τ ∈ Γ_{n} (cela n’est pas vrai pour γ^{j} avec j = 0, ⋯, p^{n−1} − 1) et on procède ensuite de la même manière. On obtient alors de nouveau que pour k n’appartenant pas à {1 − h, ⋯, u}

\begin{matrix}lim_{m→∞} λ_{−k,n}(∑_{j=0}^{h̃−1} & (−1)^{j}\binom{h̃ − 1}{j}p^{m}d_{m,j−h−1}) \\ = (−1)h̃ \frac{(h̃ − 1)!}{(k + h − 1) ⋯ (k − u)} \frac{λ_{−k,n}(< χ >^{k} (Z̃))}{log < χ > (γ)} \end{matrix}

Le premier membre vaut pour −k + u ≥ 0,

\frac{(h̃ − 1)!}{(−k + u)!}p^{nk}(1 ⊗ φ)^{−n}D^{−k}(G)(ζ_{n} − 1) .

D’où,

\begin{matrix}\frac{(h̃ − 1)!}{(−k + u)!}p^{nk}(1 ⊗ φ)^{−n}D^{−k}(G)(ζ_{n} − 1) = \\ (−1)h̃ \frac{(h̃ − 1)!}{(k + h − 1) ⋯ (k − u)} & \frac{λ_{−k,n}(< χ >^{k} (Z̃))}{log χ(γ)} . \end{matrix}

Grâce au lemme de Kato

\frac{λ_{−k,n}(< χ >^{k} (Z̃))}{p^{n} log χ(γ)} = λ_{V (k),n}(π_{n,k}(z)) .

D’où,

\begin{aligned}λ_{V (k),K_{n},/g} & (π_{n,k}(z)) = \\ & \frac{(−1)h̃(k + h − 1) ⋯ (k − u)}{(−k + u)!}p^{(k−1)n}(1 ⊗ φ)^{−n}D^{−k}(G)(ζ_{n} − 1) \end{aligned}

pour k − u < 0 et k ≠ 1 − h, …, u, c’est-à-dire k < 1 − h. En posant k̃ = k − u (on a toujours h̃ = h+u), on trouve que le coefficient dans le membre de droite est

C =\frac{(−1)h̃(k̃ + h̃ − 1) ⋯ k̃}{(−k̃)!} = \frac{k̃′ ⋯ (k̃′ − h̃ + 1)}{k̃′!}

avec k̃′ = −k̃ ≥ h

=\frac{1}{(k̃′ − h̃)!} = \frac{1}{(−k − h)!} .

D’où,

λ_{V (k),K_{n}}(π_{n,k}(z)) = \frac{p^{n(k−1)}(1 ⊗ φ)^{−n}D^{−k}(G)(ζ_{n} − 1)}{(−k − h)!}

Ce qui termine la démonstration du théorème 4.2.1.

5. Quelques conséquences

On suppose dans ce paragraphe V cristalline. Nous trouvons commode d’identifier ici ℤ_{p}[[G_{∞}]] avec ℤ_{p}[[T]]^{ψ=0} et H(G_{∞}) avec H_{∞}^{ψ=0} par l’application induite par τ ↦ (1 + T)^{χ(τ)} pour τ ∈ G_{∞}. On a donc canoniquement D_{∞,f}(V) = H(G_{∞}) ⊗ D_{p}(V). Pour tout entier r, on note L_{V,r} l’inverse de Ω_{V,r}. Il est donc à valeurs dans K(G_{∞}) ⊗ D_{p}(V).

5.1. Déterminant et inverse de Ω_{V,h}. Si Fil^{−h} D_{p}(V) = D_{p}(V), on note δ_{h}(Ω_{V}) l’idéal suivant de ℚ_{p} ⊗ K(G_{∞}) : c’est l’image par l’application déterminant det Ω_{V,h} du ℚ_{p} ⊗ Λ-module det_{ℚ_{p}⊗Λ}(Λ ⊗ D_{p}(V)) ⊗

⊗_{i∈{1,2}}(det_{ℚ_{p}⊗Λ} Z_{∞}^{i}(K, V))^{(−1)^{i}} où Z_{∞}^{2}(K, V) = ℚ_{p} ⊗ lim_{←_{n}} H^{2}(K_{n}, T) ≅

(V^{∗}(1)^{G_{K∞}})^{∗}. Ainsi, si B est une base du ℚ_{p}-espace vectoriel D_{p}(V) et B′ un système libre de Z_{∞}^{1}(K, T) engendrant un Λ-module Z de Z_{∞}^{1}(K, T), si det_{B′} Ω_{V,h}(B) est le déterminant de Ω_{V,h} dans les systèmes libres B et B′, si F_{Z_{∞}^{1}(K,T)/B} est une série caractéristique du module Z_{∞}^{1}(K, T)/Z et F_{T^{∗}(1)^{G_{K∞}}} une série caractéristique de T^{∗}(1)^{G_{K∞}}, on a

δ_{h}(Ω_{V}) = F_{Z_{∞}^{1}(K,T)/B}(F_{T^{∗}(1)^{G_{K∞}}}^{ι})^{−1}det_{B′}Ω_{V,h}(B)Λ .

On pose ensuite

δ(Ω_{V}) = ∏_{j>−h} ℓ_{−j}^{− dim_{ℚp} Fil^{j} D_{p}(V)}δ_{h}(V)

qui est indépendant de h à condition que Fil^{−h} D_{p}(V) = D_{p}(V). Il est démontré dans [4] que δ(V) est contenu dans ℚ_{p} ⊗ Λ et que (Réc(V)) implique que δ(V) = ℚ_{p} ⊗ Λ. On obtient ainsi le théorème.

5.1.1. Théorème. (δ(V)) Si V est une représentation cristalline, alors

δ(Ω_{V}) = ℚ_{p} ⊗ Λ .

Soit h ≥ 1 tel que Fil^{−h} D_{p}(V) = D_{p}(V). On déduit de δ(V) que

L_{h}(z) ∈ ∏_{j>−h} ℓ_{−j}^{− dim_{ℚp} Fil^{j} D_{p}(V)}(F_{T^{∗}(1)^{G_{K∞}}}^{ι})^{−1}H(G_{∞}) ⊗ D_{p}(V) .

En particulier, si F rac(Λ) est l’anneau total des fractions de Λ,

L_{h}(z) ∈ ∏_{j>−h} ℓ_{−j}^{− dim_{ℚp} Fil^{j} D_{p}(V)}F rac(Λ)H(G_{∞}) ⊗ D_{p}(V) .

Soit h^{∗} ≥ 1 tel que Fil^{h^{∗}} D_{p}(V) = 0 (remarquons que cela est équivalent à dire que Fil^{−h^{∗}} D_{p}(V^{∗}(1)) = D_{p}(V^{∗}(1))). Dans le cas où V contient ℚ_{p}(h), (resp. où V^{∗}(1) contient ℚ_{p}(h^{∗})), on augmente h (resp. h^{∗}) de 1. En utilisant le fait que V^{∗}(1)^{G_{K∞}} est de la forme ⊕_{j∈J}V^{∗}(1)(−j)^{G_{K}} (j) avec J un sous-ensemble de ] − h^{∗}, … h[, on en déduit qu’il existe des entiers α_{j} pour −h < j < h^{∗} tels que L_{V,h}(∏_{−h<j<h^{∗}} ℓ_{−j}^{α_{j}}x) ∈ H(G_{∞}) ⊗ D_{p}(V). On a en fait la proposition plus précise suivante.

5.1.2. Proposition. Si x ∈ H(G_{∞}) ⊗ Z_{∞}^{1}(K, T), alors

L_{−h^{∗}}(x) = ∏_{−h<j<h^{∗}} ℓ_{−j}L_{h}(x)

appartient à H(G_{∞}) ⊗ D_{p}(V).

Remarquons que x′ = ∏_{−h<j<h^{∗}} ℓ_{−j}x vérifie automatiquement la condition que π_{n,k}(x′) ∈ H_{e}^{1}(K_{n}, V (k)) pour tout k ≥ 1 − h.

Démonstration. Soit g = L_{V,h}(∏_{−h<j<h^{∗}} ℓ_{−j}^{α_{j}}x) ∈ H(G_{∞}) ⊗ D_{p}(V) avec α_{j} ≥ 1. On désire montrer que si α_{j} ≥ 2, il est possible de diviser g par ℓ_{−j} dans H(G_{∞}) ⊗ D_{p}(V), c’est-à-dire que g s’annule sur tout caractère du type χ^{−j}η avec η d’ordre fini. Soit g_{2} ∈ H(G_{∞}) ⊗ D_{p}(V^{∗}(1)) quelconque, on a alors en remarquant que Ω_{V^{∗}(1),1−h} = (∏_{−h<j<h^{∗}} l_{j})^{−1}Ω_{V^{∗}(1),h^{∗}}

\begin{aligned}(−1)^{h} & [g, σ_{−1}g_{2}^{ι}]_{D_{p}(V)} =< Ω_{V,h}(g), ( ∏_{−h<j<h^{∗}} l_{j})^{−1}Ω_{V^{∗}(1),h^{∗}}(g_{2}) >_{V} \\ & =< ∏_{−h<j<h^{∗}} ℓ_{−j}^{α_{j}−1}x, Ω_{V^{∗}(1),h^{∗}}(g_{2}) >_{V} ∈ ∏_{−h<j<h^{∗}} ℓ_{−j}^{α_{j}−1}H(G_{∞}) . \end{aligned} (5.1.1)

Ainsi, si α_{j} ≥ 2, le dernier terme est nul sur tout caractère ηχ^{−j} ; comme g_{2} est quelconque, cela implique qu’il en est de même de g qui est donc divisible par ℓ_{−j}.

5.1.3. Proposition. Soit J un ensemble fini d’entiers contenu dans {−h + 1, …, h^{∗} − 1} et J^{c} le complémentaire de J dans {−h + 1, …, h^{∗} − 1}. On suppose que x ∈ H(G_{∞}) ⊗ Z_{∞}^{1}(K, T) vérifie π_{n,k}(x) ∈ H_{e}^{1}(K_{n}, V (k)) pour tout entier n ≥ 0 et pour tout k ∈ J. Alors, g_{x}^{h,h^{∗},J} = ∏_{j∈J^{c}} ℓ_{−j}L_{h}(x) appartient à H(G_{∞})⊗D_{p}(V). Autrement dit, ∏_{j∈J^{c}} ℓ_{−j}.x appartient à l’image de H(G_{∞})⊗ D_{p}(V) par Ω_{V,h}. De plus, 𝔬_{φ}(g_{x}^{h,h^{∗},J}) = 𝔬(x) + h^{∗} − ♯J − 1.

Démonstration. On prend g = L_{V,h}(∏_{−h<j<h^{∗}} ℓ_{−j}x). On a alors comme précédemment

(−1)^{h}[g, σ_{−1}g_{2}^{ι}]_{D_{p}(V)} =< x, Ω_{V^{∗}(1),h^{∗}}(g_{2}) >_{V} . (5.1.2)

Soit k ∈ J. Il s’agit de montrer que ℓ_{−k} divise g. Comme h^{∗} − k − 1 ≥ 0, π_{n,−k}(Ω_{V^{∗}(1),h^{∗}}(g_{2})) appartient à H_{f}^{1}(K_{n}, V (k)^{∗}(1)), on en déduit que pour tout g_{2} ∈ H(G_{∞}) ⊗ D_{p}(V), χ^{−k}η([g, σ_{−1}g_{2}^{ι}]_{D_{p}(V)}) = 0 pour tout caractère d’ordre fini (cf. Appendice A.2, rappelons que l’orthogonal de H_{f}^{1}(K_{n}, V (k)) est égal à H_{f}^{1}(K_{n}, V (k)^{∗}(1)) pour la dualité locale). Donc g est divisible par ℓ_{−k}. La formule sur l’ordre de tempérence se déduit de ce que

𝔬_{φ}(g_{x}^{h,h^{∗},J}) + h = 𝔬(x) + h + h^{∗} − 1 − ♯J ,

(cf. 3.3).

Prenons par exemple comme dans [1] J = {−r + 1, ⋯, 0} avec r = 𝔬(x). On a donc alors

𝔬_{φ}(g_{x}^{h,h^{∗},J}) = h^{∗} − 1 .

Ainsi, g_{x}^{h,h^{∗},J} est p^{−(h^{∗}−1)}φ^{−}-bornée. On peut alors appliquer le lemme 4.3.2 : si l’on choisit un cocycle Z(y) représentant y = ∏_{j∈J^{c}} ℓ_{−j}x avec π_{n,k}(Z(y)_{τ}) = (χ(τ)^{k}τ − 1)d_{n,k}(y) pour k > −h, la limite de

p^{n} ∑_{j=−h+1}^{h^{∗}−1}(−1)^{j+h−1}\binom{h^{∗} + h − 2}{j + h − 1}d_{n,j}(y)

existe et vaut

lim_{m→∞} p^{m(h^{∗}−1)}Φ^{−m}(D^{−(h^{∗}−1)}(G)([ϵ] − 1))t^{−(h^{∗}−1)} =

lim_{m→∞} Φ^{−m}(D^{−(h^{∗}−1)}(G)([ϵ] − 1)t^{−(h^{∗}−1)}) .

On remarque alors que l’on peut d’abord choisir un cocycle Z(x) représentant x avec π_{n,k}(Z(x)_{τ}) = (χ(τ)^{k}τ − 1)d_{n,k}(x) pour k > −h et que l’on peut alors prendre

d_{n,k}(y) = ( ∏_{j∈J^{c}} j − k)d_{n,k}(x)

pour j ∈ {−h + 1, ⋯, h^{∗} − 1} ; en particulier, d_{n,k}(y) est nul pour k ∈ J^{c}. Un calcul élémentaire montre que

\begin{matrix}\frac{1}{(h + h^{∗} − 2)!} ∑_{j=−h+1}^{h^{∗}−1} & (−1)^{j+h−1}\binom{h^{∗} + h − 2}{j + h − 1}d_{n,j}(y) \\ = \frac{1}{(r − 1)!} ∑_{j=−r+1}^{0}(−1)^{j+r−1}\binom{r − 1}{j + r − 1}d_{n,j}(x) \end{matrix}

Faisons-le ! Le premier terme vaut

\frac{1}{(h + h^{∗} − 2)!} ∑_{j=−r+1}^{0}(−1)^{j+h−1}\binom{h^{∗} + h − 2}{j + h − 1} ∏_{k=−h+1}^{−r} (k − j) ∏_{k=1}^{h^{∗}−1}(k − j)d_{n,j}(x) .

On a pour j compris entre −r + 1 et 0

\frac{(−1)^{j+h−1}}{(h + h^{∗} − 2)!}\binom{h^{∗} + h − 2}{j + h − 1} ∏_{k=−h+1}^{−r}(k − j) ∏_{k=1}^{h^{∗}−1}(k − j)

= (−1)^{r+1−j} \frac{1}{(h + j − 1)!(h^{∗} − j − 1)!} \frac{(h + j − 1)!}{(r + j)!} \frac{(h^{∗} − 1 − j)!}{(−j)!}

= (−1)^{r+1−j} \frac{1}{(r − 1 + j)!(−j)!} = \frac{(−1)^{r−1−j}}{(r − 1)!} \binom{r − 1}{j + r − 1} .

La limite de la suite \frac{p^{n}}{(r−1)!} ∑_{j=−r+1}^{0}(−1)^{j+r−1}\binom{r−1}{j+r−1}d_{n,j}(x) lorque n → ∞

est ce que Colmez appelle Log_{V}^{(r)}(x) modulo un isomorphisme entre (B_{max}^{G_{K∞}} ⊗ D_{p}(V))^{Φ=1} et H(G_{∞}) ⊗ D_{p}(V) (voir appendice C). Ainsi,

\frac{1}{(h + h^{∗} − 2)!} lim_{m→∞} p^{m(h^{∗}−1)}Φ^{−m}(D^{−(h^{∗}−1)}(G)([ϵ] − 1))t^{−(h^{∗}−1)} = Log_{V}^{(r)}(x)

pour Ω_{V,h}(g) = ∏_{j∈{−h+1,...,−r}∪{1,··· ,h^{∗}−1}} ℓ_{−j}.x. Remarquons que l’on peut préciser dans quel cran de la filtration il est. A priori, on obtient un élément de (Fil^{−(h^{∗}−1)} B_{max}^{G_{K∞}} ⊗ D_{p}(V))^{Φ=1}.

5.2. Un formulaire. Nous allons essayer de donner un formulaire complet. On a les formules

\begin{aligned}L_{V,r} & = ℓ_{r}L_{V,r+1} \\ L_{V (k),r+k}(T w^{k}(z)) & = D^{−k}(L_{V,r}) . \end{aligned}

Nous avons ici abandonné l’idée de ne pas identifier D_{p}(V (k)) avec D_{p}(V) ! Nous réserverons la notation h pour un entier tel que Fil^{−h} D_{p}(V) = D_{p}(V). On fait agir φ sur K_{n} ⊗ D_{p}(V) par 1 ⊗ φ. Soient ρ =< χ >^{k_{ρ}} η_{ρ} où k_{ρ} est un entier et η_{ρ} un caractère d’ordre fini et de conducteur p^{𝔣(η_{ρ})}. On note log_{V (ρ)} et 260 Bernadette Perrin-Riou exp_{V (ρ),∗} le logarithme et les exponentielles associés à la représentation twistée V (ρ) et π_{ρ} l’application composée

Z_{∞}^{1}(K, V) →^{π_{k,f(ηρ)}} H^{1}(K_{f(η_{ρ})}, V (k)) →^{e_{η{−1 \atop ρ}}} H^{1}(K_{f(η_{ρ})}, V (k))^{(η_{ρ})} = H^{1}(K, V (ρ))

Enfin, on pose

Γ^{∗}(ρ) = Γ^{∗}(k − h + 1)
P_{ρ}(φ) = \begin{cases}p^{f_{η}k_{ρ}}φ^{−f_{η}} & si η est non trivial \\ (1 − p^{k_{ρ}+1}φ^{−1})(1 − p^{−k_{ρ}}φ) & si η est le caractère trivial \end{cases}
ℓ_{ρ} = l_{k(ρ)} = \frac{log ρ^{−1}(τ)τ}{χ(τ)}
G(ρ) = G(η_{ρ})

La proposition suivante est une simple traduction de résultats déjà démontrés: 5.2.1. Proposition. Soit x ∈ H(G_{∞}) ⊗ Z_{∞}^{1}(K, V) appartenant à l’image de H(G_{∞}) ⊗ D_{p}(V). Soit ρ un caractère géométrique de G_{∞}.

1. Si k_{ρ} ≥ 1 − h,

P (φ_{ρ})(ρ^{−1}(L_{V,h}(x))) = G(ρ^{−1})\frac{log_{V (ρ)}(π_{ρ}(x))}{Γ^{∗}(ρχ^{h−1})}

2. Si k_{ρ} < 1 − h,

P_{ρ}(φ)(ρ^{−1}(L_{V,h}(x))) = G(ρ^{−1})\frac{λ_{V (ρ),}(π_{ρ}(x))}{Γ^{∗}(ρχ^{h−1})}

On ne suppose maintenant plus que x est dans l’image de H(G_{∞}) ⊗ D_{p}(V). Il ne l’est en particulier pas si π_{n,k}(x) n’appartient pas à H_{g}^{1} pour tout n ≥ 0 et k ≥ 1 − h. On trouvera la démonstration des formules suivantes dans [7]. 5.2.2. Proposition. Soit x ∈ H(G_{∞}) ⊗ Z_{∞}^{1}(K, V).

1. Si Fil^{k_{ρ}} D_{p}(V) = Fil^{0} D_{p}(V (ρ)) = 0 et si D_{p}(V (ρ))^{φ=p^{−1}} = 0,

P_{ρ}(φ)ρ^{−1}(ℓ_{ρ^{−1}}^{−1}L_{V,h}(x)) = G(ρ^{−1})\frac{log_{V (ρ)}(π_{ρ}(x))}{Γ^{∗}(ρχ^{h−1})} .

2. Si Fil^{0} D_{p}(V (ρ)) ≠ 0 et D_{p}(V (ρ))^{φ=p^{−1}} = 0, alors

P_{ρ}(φ)ρ^{−1}(L_{V,h}(x)) = G(ρ^{−1})\frac{λ_{V (ρ),}(π_{ρ}(x))}{Γ^{∗}(ρχ^{h−1})}

Si de plus π_{ρ}(x) ∈ H_{f}^{1}(K, V (ρ)), on a

P_{ρ}(φ)ρ^{−1}(ℓ_{ρ^{−1}}^{−1}L_{V,h}(x)) ≡ G(ρ^{−1})\frac{log_{V (ρ)} π_{ρ}(x)}{Γ^{∗}(ρχ^{h−1})} mod Fil^{0} D_{p}(V (ρ))

Documenta Mathematica 4 (1999) 219–273

3. Si D_{p}(V (ρ))^{φ=p^{−1}} ≠ 0, alors

\begin{matrix}(ρ^{−1}L_{V (ρ),h}(x), −(1 − p^{k_{ρ}+1}φ^{−1})(ρ^{−1}L_{V (ρ),h}(x))) & = \\ (1 − p^{−k_{ρ}}φ) & \frac{exp_{V (ρ),f}^{∗}(π_{ρ}(x))}{Γ^{∗}(ρχ^{h−1})} . \end{matrix}

Si de plus π_{ρ}(x) ∈ H_{f}^{1}(K, V (ρ)), on a

(1 − p^{k_{ρ}+1}φ^{−1})(ρ^{−1}(ℓ_{ρ^{−1}}^{−1}L_{V,h}(x)))

≡ \frac{log_{f,1}(π_{ρ}(x)) − (1 − p^{−k_{ρ}}φ) log_{f,2}(π_{ρ}(x))}{Γ^{∗}(ρχ^{h−1})} mod (1 − p^{−k_{ρ}}φ) Fil^{0} D_{p}(V (ρ))

où log_{f,1} et log_{f,2} désignent les composantes de l’application réciproque de exp_{f} (voir 3.1).

5.3. Conjecture de Tamagawa locale. On renvoie à [4] et à [6] pour les conséquences sur les conjectures de Tamagawa locales. La loi de réciprocité implique que ces conjectures sont invariantes par twist. En particulier, on peut pour la démontrer twister V de manière à ce que Fil^{0} D_{p}(V) = 0 (un des nombres de Tamagawa est alors juste un cardinal d’un groupe de torsion).

Appendice A. Formules diverses

A.1. Lemme de Shapiro.

A.1.1. Soit G un groupe profini et H un sous-groupe fermé distingué de G. Soit M un H-module. On définit Ind M comme l’ensemble des applications localement constantes f de G dans M vérifiant f(hx) = hf(x) pour h ∈ H. Le groupe G opère sur Ind M par g(f)(x) = f(xg). L’application α : Ind M → M donnée par α(f) = f(1) est un homomorphisme de H-modules. On a en effet

α(h(f)) = (hf)(1) = f(h) = hf(1) .

On en déduit une application de Z^{1}(G, Ind M) dans Z^{1}(H, M) puis de H^{1}(G, Ind M) dans H^{1}(H, M) qui est en fait un isomorphisme. Le cas qui nous intéresse ici est celui où M est déjà muni d’une action de Gmodules et où G/H est abélien et même cyclique. On a alors un isomorphisme de G-modules

ℤ[G/H] ⊗ M = M[G/H] → Ind M :

l’image de ∑_{τ∈G/H} a_{τ} τ est l’application f : x ↦ xa_{x^{−1}} avec un abus sur a_{x^{−1}} : il ne dépend que de l’image de x^{−1} dans G/H ; f ∈ Ind M car f(hx) = hxa_{(hx)^{−1}} = hxa_{x^{−1}} = hf(x)) ; l’application réciproque est donnée par f ↦ α = ∑_{τ∈G/H} τ̃^{−1}(f(τ̃))τ^{−1} (on vérifie que la définition ne dépend pas du choix des représentants τ̃ des éléments τ de G/H, puisque pour h ∈ H, (hτ̃)^{−1}(f(hτ̃)) = τ̃^{−1}h^{−1}h(f(τ̃)) = τ̃^{−1}(f(τ̃)), le composé des deux applications est d’une part f ↦ g avec g(x) = xa_{x^{−1}} = xx^{−1}f(x) = f(x), d’autre part α ↦ β avec β = ∑_{τ∈G/H} τ̃^{−1}(τ̃a_{}_{τ̃^{−1}}).τ^{−1} = ∑_{τ∈G/H} a_{τ} .τ = α. L’action de G sur ℤ[G/H] ⊗ M est l’action diagonale (si g ∈ G, l’image de gf est ∑_{τ∈G/H} τ̃^{−1}(g(f)(τ̃))τ^{−1} = ∑_{τ∈G/H} τ̃^{−1}(f(τ̃g))τ^{−1} = ∑_{τ∈G/H} gτ̃^{−1}(f(τ̃))gτ^{−1} = g(∑_{τ∈G/H} τ̃^{−1}(f(τ̃))τ^{−1}). En composant avec l’application Ind M → M, on obtient un homomorphisme de ℤ-modules ν_{Id}^{G/H} : ℤ[G/H] ⊗ M → M donnée par ∑_{τ∈G/H} a_{τ} τ → a_{Id} , qui induit un isomorphisme de G/H-modules H^{1}(G, ℤ[G/H] ⊗ M) ≅ H^{1}(H, M), l’action sur le premier étant donnée par l’action de G/H sur ℤ[G/H] par multiplication. On a ν_{Id}^{G/H}(g(∑_{τ∈G/H} a_{τ} .τ)^{)} = ν_{Id}^{G/H}(∑_{τ∈G/H} g(a_{τ}).gτ) =

ν_{Id}^{G/H}(∑_{τ∈G/H} g(a_{g^{−1}τ}).τ) = ga_{g^{−1}}.

Notons ν_{g}^{G/H} l’application ∑_{τ∈G/H} a_{τ} .τ ↦ a_{g^{−1}}. On a donc ν_{Id}^{G/H}(gf) =

gν_{g}^{G/H}(f) pour f ∈ ℤ[G/H] ⊗ M et g ∈ G.

A.1.2. Reprenons la situation du texte. Si M est un G_{∞}-module avec action continue de G_{∞}, on identifie M et M(k) en tant que ℤ_{p}-modules, on note τ ∗_{k}m l’action sur M(k) : τ ∗_{k} m = χ(τ)^{k}τm. On note ν^{G_{n}} = ν^{n} pour alléger les notations. On considère d’abord l’isomorphisme de G_{∞}-modules ι_{k} : H(G_{∞}) ⊗ M → H(G_{∞}) ⊗ M(k) induit par τ ⊗ m ↦ χ(τ)^{k}τ ⊗ m [vérifions que c’est compatible avec l’action diagonale de G_{∞} : ι_{k}(g(τ ⊗ m)) = ι(gτ ⊗ gm) = χ(g)^{k}χ(τ)^{k}gτ ⊗ gm = χ(τ)^{k}gτ ⊗ g ∗_{k} m = g ∗_{k} (χ(τ)^{k}τ ⊗ m) = g ∗_{k} ι_{k}(τ ⊗ m)]. On peut aussi écrire ι_{k} = T w^{k} ⊗ id. Soit R_{n} la projection de H(G_{∞}) sur ℚ_{p}[G_{n}]. On pose alors

s_{n,k} = ν_{Id}^{n} ∘ R_{n} ∘ ι_{k} = ν_{Id}^{n} ∘ R_{n} ∘ T w^{k} ;

c’est une application de H(G_{∞}) ⊗ M → M(k). Remarquons que R_{n} ∘ T w^{k} a à voir avec le “polynôme d’interpolation”. Ainsi, on peut écrire avec d’autres notations R_{n,k}(f) = R_{n} ∘ T w^{k}(f) et T w^{−k}R_{n,k}(f) ≡ f mod χ(γ)^{−kp^{n}}γ^{p^{n}} − 1 ou R_{n,k}(f) ≡ T w^{k}f mod γ^{p^{n}} − 1. Vérifions pour se rassurer que s_{n,k} est bien un homomorphisme de G_{K_{n}}-modules : on a en effet pour f ∈ H(G_{∞}) et m ∈ M

s_{n,k}(g(f ⊗ m)) = ν_{Id}^{n}(χ(g)^{k}R_{n}(gT w^{k}(f) ⊗ g(m))
= χ(g)^{k}ν_{g}^{n}(R_{n}(T w^{k}(f)) ⊗ g(m)
= ν_{g}^{n}(R_{n}(T w^{k}(f)) ⊗ g ∗_{k} m)

Utilisons maintenant le fait que g ∈ G_{K_{n}}, ce qui implique que ν_{g}^{n} = ν_{Id}^{n} et donc

s_{n,k}(g(f ⊗ m)) = ν_{Id}^{n}(R_{n}(T w^{k}(f)) ⊗ g ∗_{k} m)
= g ∗_{k} ν_{Id}^{n}(R_{n}(T w^{k}(f)) ⊗ m)
= g ∗_{k} s_{n,k}(f ⊗ m)

On désire maintenant décrire l’application

π_{n,k} : H^{1}(G_{∞}, H(G_{∞}) ⊗ M) → H^{1}(K_{∞}/K_{n}, M(k)) .

induite par s_{n,k} : H(G_{∞}) ⊗ M → M(k). Rappelons que l’on a des isomorphismes

H^{1}(G_{∞}, H(G_{∞}) ⊗ M) →^{≅} H(G_{∞}) ⊗ M/(γ_{n} − 1)

et

H^{1}(K_{∞}/K_{n}, M(k)) →^{≅} M(k)/(χ(γ_{n})^{k}γ_{n} − 1)

obtenu en fixant un générateur γ de G_{∞}; γ_{n} = γ^{p^{n}} est alors un générateur de Gal(K_{∞}/K_{n}) : si Z est un cocycle de G_{∞} (resp. de Gal(K_{∞}/K_{n})), on lui associe Z_{γ} ∈ H(G_{∞}) ⊗ M (resp. Z_{γ_{n}}). Soit donc Z̃ ∈ H(G_{∞}) ⊗ M et Z le cocycle déterminé par Z_{γ} = Z̃. On a alors T w^{k}(Z_{γ^{r}}) = T w^{k}(∑_{i=0}^{r−1} γ^{i}Z̃) = ∑_{i=0}^{r−1} χ(γ)^{ik}T w^{k}(γ^{i}Z̃). Le cocycle π_{n,k}(Z) associé dans Z^{1}(K_{∞}/K_{n}, M(k)) est déterminé par sa valeur en γ^{p^{n}} qui est

π_{n,k}(Z)_{γ^{n}} = ν_{Id}^{n}( ∑_{i=0}^{p^{n}−1} χ(γ)^{ik}R_{n}(γ^{i}T w^{k}Z̃)

= ∑_{i=0}^{p^{n}−1} χ(γ)^{ik}γ^{i}ν_{γ^{i}}(R_{n}(T w^{k}Z̃))

= ∑_{i=0}^{p^{n}−1} γ^{i} ∗_{k} ν_{γ^{i}}(R_{n}(T w^{k}Z̃))

= ν̃_{k}^{n}(R_{n}(T w^{k}Z̃))

avec

ν̃_{k}^{n}( ∑_{i=0}^{p^{n}−1} a_{γ^{i}} ⊗ γ^{i}) = ∑_{i=0}^{p^{n}−1} γ^{i} ∗_{k} a_{γ^{−i}} .

Si maintenant λ_{s} est un homomorphisme de M dans N vérifiant λ_{s}(τm) = χ^{s}(τ)λ_{s}(m), on a pour f ∈ ℤ_{p}[G_{n}] ⊗ M, λ_{s} ∘ ν̃_{k}^{n}(f) = λ_{s}(χ^{−k−s}(f)), d’où

λ_{s}(π_{n,k}(Z)_{γ^{n}}) = λ_{s}(χ^{−k−s}(R_{n}(T w^{k}Z̃))) = λ_{s}(χ^{−k−s}(R_{n,k}(Z̃)))

Si on écrit Z̃ = f(γ − 1) avec f ∈ H ⊗ (ℤ_{p}[Δ] ⊗ M), si u = χ(γ), R_{n,k}(f) est le polynôme en T de degré < p^{n} tel que R_{n,k}(f) ≡ f(u^{k}(1 + T) − 1) mod (1 + T)^{p^{n}} − 1 et la formule devient

λ_{s}(π_{n,k}(Z)_{γ^{n}}) = λ_{s}(R_{n,k}(f)(u^{−k−s} − 1)) .

A.2. Formulaire d’évaluation. Rappelons que l’on a un isomorphisme canonique de G_{∞}-modules entre Λ et ℤ_{p}[[T]]^{ψ=0} qui se prolonge en un isomorphisme entre H(G_{∞}) et H_{∞}^{ψ=0}. Il est induit par τ ↦ (1 + T)^{χ(τ)} pour τ ∈ G_{∞}. D’où l’isomorphisme canonique D_{∞,f}(V) ≅ H(G_{∞}) ⊗ D_{p}(V). Si g ∈ H_{∞}^{ψ=0} ⊗ D_{p}(V), on posera g = ĝ.(1 + T).

A.2.1. Si η est un caractère d’ordre fini de conducteur p^{n} avec n ≥ 0, on note e_{η} = ∑_{τ∈Gal(K_{n}/K)} η(τ)τ. Soit ρ = ηχ^{k} un caractère continu de G_{∞} à valeurs dans ℂ_{p}^{∗} avec η un caractère d’ordre fini de Gal(K_{n}/K) de conducteur p^{n} (c’est-à-dire ne se factorisant pas par K_{n−1}). On peut évaluer les éléments de H(G_{∞}) sur un tel caractère. On a

e_{η}g(ζ_{n} − 1) = G(η)η^{−1}(ĝ)

avec

G(η) = e_{η}(ζ_{n}) = ∑_{τ∈Gal(K_{n}/K)} η(τ)τζ_{n}

la somme de Gauss associée à η. On a d’autre part

D^{k}(g) = T w^{k}(ĝ).(1 + T) .

On en déduit que

G(η)ρ^{−1}(ĝ) = e_{η}D^{−k}(g)(ζ_{n} − 1) . (A.2.1)

A.2.2. On a une application R_{n,k} : H(G_{∞}) → ℚ_{p}[G_{n}], composé du twist T w^{k} et de la projection sur ℚ_{p}[G_{n}]. Si x ∈ H(G_{∞}) ⊗ Z_{∞}^{1}(K, T) et y ∈ H(G_{∞}) ⊗ Z_{∞}^{1}(K, T^{∗}(1)), l’image twistée de < x, y >_{V} dans ℤ_{p}[G_{n}] est donnée par

\begin{aligned}R_{n,k}(< x, y >_{V}) & = R_{n}(< T w^{−k}(x), T w^{k}(y) >_{V (k)} \\ & = ∑_{τ∈G_{n}} < τ^{−1}.π_{n,−k}(x), π_{n,k}(y) >_{V (−k),K_{n}} τ . \end{aligned}

En prenant le coefficient de Id ∈ G_{n}, on obtient que

s_{n,k}(< x, y >_{V}) =< π_{n,−k}(x), π_{n,k}(y) >_{V (−k),K_{n}} .

Enfin,

ρ^{−1}(< x, y >_{V}) = η^{−1}(R_{n,−k}(< x, y >_{V}))

= ∑_{τ∈G_{n}} < τ^{−1}.π_{n,k}(x), π_{n,−k}(y) >_{V (k),K_{n}} η^{−1}(τ)

=< ∑_{τ∈G_{n}} η^{−1}(τ)τ^{−1}.π_{n,k}(x), π_{n,−k}(y) >_{V (k),K_{n}}

D’où

ρ^{−1}(< x, y >_{V}) = (♯G_{n})^{−1} < e_{η}π_{n,k}(x), e_{η^{−1}}π_{n,−k}(y) >_{V (k),K_{n}} (A.2.2)

A.2.3. Passons aux formules concernant le produit de convolution. On a g_{1} ∗ g_{2} = ĝ_{1}ĝ_{2}.(1 + T). On a D^{k}(g_{1} ∗ g_{2}) = D^{k}(g_{1}) ∗ D^{k}(g_{2}). D’autre part, on note ι l’involution de H_{∞}^{ψ=0} correspondant à l’involution ι de H(G_{∞}) changeant τ en τ^{−1}. On a alors D^{k}(g^{ι}) = D^{−k}(g)^{ι} et D^{k}(g_{1} ∗ g_{2}^{ι}) = D^{k}(g_{1}) ∗ D^{−k}(g_{2})^{ι}. Enfin, σ_{−1} ∘ D^{k}(g) = (−1)^{k}D^{k}(σ_{−1}g).

Le polynôme d’interpolation de g_{1} ∗ g_{2} modulo (1 + T)^{p^{n}} − 1 est

R_{n}(g_{1} ∗ g_{2}) = ∑_{j=0,(j,p)=1}^{p^{n}−1} \frac{1}{p^{n}} ∑_{ζ∈μ_{p^{n}}} g_{1}(ζ^{j^{−1}} − 1)g_{2}(ζ^{−1} − 1)(1 + T)^{j} .

D’où,

s_{n,k}(ĝ_{1}ĝ_{2}^{ι}) = s_{n,0}(T w^{k}(ĝ_{1}ĝ_{2}^{ι})) = \frac{1}{p^{n}} ∑_{ζ∈μ_{p^{n}}} D^{k}(g_{1})(ζ − 1)D^{−k}(g_{2})^{ι}(ζ^{−1} − 1) .

Enfin,

e_{η}(D^{−k}(g_{1} ∗ g_{2}^{ι})) = G(η)ρ^{−1}(ĝ_{1})ρ(ĝ_{2}) .

Appendice B. Interpolation

Soit u un générateur topologique de 1 + pℤ_{p}. Un élément f ∈ H_{h^{−}} est connu par ses polynômes d’interpolation modulo les u^{−ip^{n}}(1 + T)^{p^{n}} − 1 pour i ∈ {0, … h − 1) et on peut calculer f(u^{k} − 1) pour tout entier k comme une limite de combinaisons linéaires des R_{n,i}(f)(u^{j} − 1) pour i ∈ {0, … h − 1) ([4, lemme 1.3.4]. Nous allons ici démontrer la formule exacte. Pour tout entier i, on désigne par R_{n,i}(f) est le polynôme de degré < p^{n} tel que

f ≡ R_{n,i}(f)(u^{−i}(1 + T) − 1) mod u^{−ip^{n}}(1 + T)^{p^{n}} − 1 .

En particulier, on a f(u^{i} − 1) = R_{n,i}(f)(0).

Lemme. Si f ∈ H_{h^{−}}, alors pour tout entier k ≥ h (resp. pour tout élément k de ℤ_{p} − {0, ⋯ h − 1}), on a

\begin{aligned}(−1)^{h−1} \frac{(h − 1)!}{k(k − 1) … (k − h + 1)} & f(u^{k} − 1) \\ & = lim_{n→∞} ∑_{i=0}^{h−1}(−1)^{i}\binom{h − 1}{i}\frac{R_{n,i}(f)(u^{k−i} − 1)}{k − i}. \end{aligned}

La formule peut encore s’écrire pour f ∈ H_{h^{−}}(G_{∞}) et k ∈ ℤ_{p} − {0, ⋯ h − 1},

\begin{matrix}(−1)^{h−1} \frac{(h − 1)!}{k(k − 1) … (k − h + 1)} & <χ>^{k} (f) \\ = lim_{n→∞} ∑_{i=0}^{h−1}(−1)^{i} & \binom{h − 1}{i} < χ >^{k−i} \frac{R_{n}(T w^{i}(f))}{k − i} . \end{matrix}

Ici, < χ > est la projection de χ sur 1 + pℤ_{p}. La formule s’étend par continuité à tout élément de ℤ_{p} − {0, ⋯, h − 1}.

Ce lemme ou ses variantes est à la base de tous les calculs de valeurs de fonctions obtenues par interpolation p-adique. Lorsque f ∈ Λ ou H_{1^{−}}, le lemme dit simplement que

f(u^{k} − 1) = lim_{n→∞} R_{n,0}(f)(u^{k} − 1) .

Démonstration. Nous avons choisi une démonstration “élémentaire”. Il suffit de démontrer la formule pour k ≥ h et de conclure par continuité. Si g est une fonction sur les entiers positifs, on définit (cf [8])

δ_{s}(g) = ∑_{r=0}^{s}(−1)^{r}\binom{s}{r}g(s − r) .

On a alors la formule d’inversion

g(n) = ∑_{s=0}^{∞} δ_{s}(g)\binom{n}{s} .

En particulier, si les δ_{s}(g) sont nuls pour s ≥ h, on a

g(k) = ∑_{s=0}^{h−1} δ_{s}(g)\binom{k}{s} .

et toute valeur de g sur un entier positif s’exprime uniquement en fonction de g(0), g(1), …, g(h − 1). Plus précisément,

g(k) = ∑_{i=0}^{h−1}(−1)^{i}\binom{h − 1}{i}c_{h,k,i}g(i)

avec

c_{h,k,i} = (−1)^{i} \frac{k!(h − 1 − i)!}{(h − 1)!(k − i)!} ∑_{s=0}^{h−1−i}(−1)^{s}\binom{k − i}{s} .

On remarque alors que l’on a l’identité (que l’on peut montrer par récurrence)

∑_{s=0}^{u}(−1)^{s}\binom{v}{s} = (−1)^{u}\binom{v − 1}{u}

pour 0 < u < v. On obtient alors

\begin{aligned}c_{h,k,i} & = (−1)^{h−1} \frac{k!(h − 1 − i)!}{(h − 1)!(k − i)!}\binom{k − i − 1}{h − 1 − i} \\ & = (−1)^{h−1} \frac{k!}{(k − h)!(h − 1)!(k − i)} . \end{aligned}

Ainsi, si g est une fonction sur les entiers telle que δ_{s}(g) = 0 pour tout entier s ≥ h, on a pour tout entier k ≥ h

(−1)^{h−1} \frac{(h − 1)!}{k(k − 1) ⋯ (k − h + 1)}g(k) = ∑_{i=0}^{h−1}(−1)^{i}\binom{h − 1}{i}\frac{g(i)}{k − i}

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Revenons au lemme à démontrer et posons g_{n}(i) = R_{n,i}(f)(u^{k−i} − 1). Le fait que f ∈ H_{h^{−}} implique que pour tout entier s ≥ h, la suite δ_{s}(g_{n}) = ∑_{i=0}^{s}(−1)^{i}\binom{s}{i}g_{n}(s − i) tend vers 0 avec n. On en déduit que pour tout entier k ≥ h, la limite de g_{n}(k) − ∑_{s=0}^{h−1} δ_{s}(g_{n})\binom{k}{s} est nulle. Il ne reste plus qu’à utiliser le calcul précédent et à remarquer que g_{n}(k) = f(u^{k} − 1) pour tout entier n > 0 pour conclure.

Lemme. Si f ∈ H_{h^{−}} et P est un polynôme de degré < t, on a

lim_{n→∞} p^{n inf(t,h)} ∑_{i=0}^{h−1}(−1)^{i}\binom{h − 1}{i}P (k − i)R_{n}(f)(k − i) = 0 .

Démonstration. Soit g une fonction sur les entiers vérifiant δ_{r}(g) = 0 pour r ≥ h−1 et P un polynôme de degré < t avec t ≥ 1 ; on a en P (x) = ∑_{s=0}^{t−1} δ_{s}(P)\binom{x}{s} (ces deux polynômes de degré ≤ t − 1 coïncident en x = 0, ⋯, t − 1 et sont donc égaux), ainsi, δ_{s}(P) = 0 pour s ≥ t). On a

\begin{aligned}δ_{h−1}(P g) & = ∑_{j=0}^{h−1} δ_{j}(P)δ_{h−1−j}(g) \\ & = ∑_{j=0}^{t−1} δ_{j}(P)δ_{h−1−j}(g) . \end{aligned}

Prenons pour P le polynôme Q = P (k − x) et remplaçons g par g_{n} = i ↦ R_{i,n}(f)(u^{k−i} − 1). Rappelons que p^{n}δ_{r}(g_{n}) → 0 pour r ≥ h et que p^{nj}δ_{h−1−j}(g_{n}) → 0 lorsque n → ∞ pour 0 ≤ j ≤ h − 1. On déduit alors du calcul précédent que

lim_{n→∞} p^{nt} ∑_{i=0}^{h−1}(−1)^{i}\binom{h − 1}{i}P (k − i)R_{i,n}(f)(u^{k−i} − 1)

= lim_{n→∞} p^{nt}δ_{h−1}(Qg_{n})

= lim_{n→∞} p^{nt} ∑_{j=0}^{t−1} δ_{j}(P)δ_{h−1−j}(g) = 0

Si t ≤ h, on a encore

δ_{h−1}(P g) = ∑_{j=0}^{h−1} δ_{j}(P)δ_{h−1−j}(g)

268 Bernadette Perrin-Riou et

lim_{n→∞} p^{nh} ∑_{i=0}^{h−1}(−1)^{i}\binom{h − 1}{i}P (k − i)R_{i,n}(f)(u^{k−i} − 1)

= lim_{n→∞} p^{nh} ∑_{j=0}^{h−1} δ_{j}(P)δ_{h−1−j}(g)

= lim_{n→∞} p^{n(h−j)} ∑_{j=0}^{h−1} δ_{j}(P)p^{nj}δ_{h−1−j}(g) = 0

Proposition. Si f ∈ H_{h^{−}}, alors pour tout entier k ≥ h, on a

\begin{matrix}\frac{(−1)^{h}(h − 1)!}{k(k − 1) … (k − h + 1)} \frac{f(u^{k} − 1)}{log u} = \\ lim_{n→∞} ∑_{i=0}^{h−1}(−1)^{i} & \frac{p^{n}}{1 − u^{(k−i)p^{n}}} \binom{h − 1}{i}R_{n,i}(f)(u^{k−i} − 1) . \end{matrix}

Nous avonc utilisé cette proposition pour des éléments de f ∈ H_{h^{−}}(G_{∞}). Elle se traduit alors par la formule

\begin{matrix}\frac{(−1)^{h}(h − 1)!}{k(k − 1) … (k − h + 1)} \frac{χ^{k}(f)}{log χ(γ)} = \\ lim_{n→∞} ∑_{i=0}^{h−1}(−1)^{i} \frac{p^{n}}{1 − χ(γ)^{(k−i)p^{n}}} \binom{h − 1}{i}χ^{k−i}(R_{n,i}(f)) \end{matrix} (B.0.3)

Démonstration. On écrit \frac{1}{1−e^{T}} + \frac{1}{T} = ∑_{j=0}^{∞} c_{j}T^{j} avec p^{r_{0}}p^{j}c_{j} ∈ ℤ_{p} pour r_{0} indépendant de j. On a alors

\begin{aligned}\frac{p^{n}}{1 − u^{(k−i)p^{n}}} + & \frac{1}{(k − i) log u} = ∑_{j=0}^{∞} c_{j}p^{n(j+1)}(k − i)^{j} \\ & = ∑_{j=0}^{h−1} p^{n−j}p^{j}c_{j}p^{nj}(k − i)^{j} + ∑_{j=h}^{∞} p^{n(j+1−h)−j}p^{j}c_{j}p^{nh}(k − i)^{j} . \end{aligned}

Comme n(j + 1 − h) − j ≥ 1 − h pour j ≥ h, on en déduit du lemme précédent que si F_{n}(i) = \frac{p^{n}}{1−u^{(k−i)p^{n}}} + \frac{1}{(k−i) log u} que

lim_{n→∞} ∑_{i=0}^{h−1}(−1)^{i}\binom{h − 1}{i}F_{n}(i)R_{i,n}(f)(u^{k−i} − 1) = 0 .

Il ne reste plus qu’à appliquer le premier lemme.

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Appendice C. Suite exacte de Coleman-Colmez

C.1. Rappelons la définition suivante :

Définition : Soit D un espace vectoriel normé de dimension finie muni d’un automorphisme u. Si ϵ ∈ {±}, on dit qu’un élément F ∈ H ⊗ D est u^{ϵ}-borné si la suite ||(1 ⊗ u)^{−n}F ||_{ρ_{n}} est bornée pour ϵ = + et tend vers 0 pour ϵ = −.

On note (H ⊗ D)_{u^{ϵ}} l’ensemble des éléments u^{ϵ}-bornés et on pose alors ||F ||_{φ} = C_{u}(F) = sup_{n}(||(1 ⊗ u)^{−n}F ||_{ρ_{n}}).

C.2. Fixons un ℚ_{p}-espace vectoriel D de dimension finie muni d’un automorphisme φ. Colmez démontre le théorème suivant (nous avons déjà utilisé et démontré le A):

C.2.1. Théorème. (Colmez) A) Soit F un élément de H ⊗ D tel que

(1 − Φ)F ∈ (H ⊗ D)_{φ^{−}} .

Alors la suite Φ^{−n}(F ([ϵ] − 1)) = (1 ⊗ φ)^{−n}F (β_{n} − 1) converge dans B_{dR} ⊗ D vers un élément α_{F} de ((B_{max}^{+})^{G_{K∞}} ⊗ D)^{Φ=1}. B) Réciproquement, soit α un élément de ((B_{max}^{+})^{G_{K∞}} ⊗ D)^{Φ=1}. Il existe une série F_{α} ∈ H ⊗ D telle que (1 − Φ)F_{α} ∈ (H ⊗ D)_{φ^{−}} et telle que α = α_{F_{α}}. C) L’application α ↦ F_{α} est une bijection entre ((B_{max}^{+})^{G_{K∞}} ⊗ D)^{Φ=1} et les éléments de H ⊗ D tels que (1 − Φ)F ∈ (H^{ψ=0} ⊗ D)_{φ^{−}}.

On en déduit une application

C_{D} : ((B_{max}^{+})^{G_{K∞}} ⊗ D)^{Φ=1} → (H^{ψ=0} ⊗ D)_{φ^{−}}

donnée par α ↦ (1 − Φ)F_{α} .

C.3. Corollaire. On a la suite exacte de G_{∞}-modules

\begin{aligned}0 → ⊕_{k≥0}t^{k}D^{φ=p^{−k}} → ((B_{max}^{+})^{G_{K∞}} ⊗ D)^{Φ=1} & → (H^{ψ=0} ⊗ D)_{φ^{−}} \\ & → ⊕_{k≥0}D/(1 − p^{k}φ)(k) → 0 \end{aligned}

et on a ||C_{D}(α)||_{φ} = ||α||_{max}.

C.4. Remarques. 1. Un cas particulier est celui où D = D_{p}(ℚ_{p}(1)). On obtient alors la suite exacte de Coleman :

0 → ℤ_{p}t → ((B_{max}^{+})^{G_{K∞}})^{φ=p} → Λ ⊗ D_{p}(ℚ_{p}(1)) → ℤ_{p}(1) → 0

2. L’idée fondamentale de Colmez est de montrer la convergence des éléments du type (1 ⊗ φ)^{−n}F (β_{n} − 1) vers un élément de ((B_{max}^{+})^{G_{K∞}} ⊗ D)^{Φ=1} et de construire l’application réciproque de F ↦ α_{F}, c’est-à-dire de construire une série tempérée à partir d’un élément de ((B_{max}^{+})^{G_{K∞}} ⊗ D)^{Φ=1}. Pour cela, il a besoin d’opérateurs de trace sur (B_{max}^{+})^{G_{K∞}} que nous allons introduire dans le paragraphe C.6. Ces opérateurs nous permettront aussi de compléter le théorème en reliant α avec les valeurs de F_{α}.

C.5. Quelques propriétés de (B_{max}^{+})^{G_{K∞}}. Enonçons sans le démontrer la proposition cruxiale suivant [1, lemme VIII.3.3] :

C.5.1. Proposition. (Colmez) Si n ≥ 1, tout élément α de B_{max}^{+} ∩ K_{n}[[t]] s’écrit de manière unique sous la forme α = F (β_{n} − 1) où F ∈ K[[T]] a un rayon de convergence ≥ ρ_{n}. On a de plus ||F ||_{ρ_{n}} ≤ ||F (β_{n} −1)||_{max} ≤ p||F ||_{ρ_{n}}.

Ainsi, si F = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}T^{k}, la suite v_{p}(a_{k}) + \frac{k}{(p−1)p^{n−1}} en k tend vers +∞. On définit un opérateur δ̃_{k} sur K_{∞}[[t]] par

α = ∑_{k=0}^{∞} δ̃_{k}(α)t^{k}

et on pose δ_{k} = δ̃_{k}t^{k}. L’opérateur δ_{k} n’est pas continu pour la topologie de B_{dR} et ne se prolonge pas à (B_{dR}^{+})^{G_{K∞}}.

C.5.2. Lemme. Les opérateurs δ̃_{k} et D sont reliés par

δ̃_{k}(F (β_{n} − 1)) = \frac{D^{k}(F)(ζ_{n} − 1)}{p^{nk}k!}

Démonstration. Comme β_{n} = ζ_{n} exp(t/p^{n}), et que δ̃ laisse fixe K_{n}, on a

\begin{matrix}δ̃_{k}(F (β_{n} − 1)) = & \frac{1}{k!} \frac{d}{d^{k}T} (F (ζ_{n} exp(T/p^{n}) − 1))_{T =0} \\ = & \frac{1}{p^{nk}k!} \frac{d}{d^{k}T} (F (ζ_{n} exp(T) − 1))_{T =0} \\ = & \frac{D^{k}(F (ζ_{n}(1 + T) − 1))_{T =0}}{p^{nk}k!} \\ = & \frac{D^{k}(F)(ζ_{n} − 1)}{p^{nk}k!} \end{matrix}

C.6. Le projecteur T_{n} de (B_{dR}^{+})^{G_{K∞}} sur K_{n}[[t]]. L’inclusion de K_{n}[[t]] dans (B_{dR}^{+})^{G_{K∞}} admet une section naturelle définie par Colmez et dont les propriétés sont résumées dans la proposition suivante. On note T r_{K_{m}/K_{n}} l’application de K_{m}[[t]] induite par la trace sur K_{m} et par l’identité sur t.

C.6.1. Proposition. Pour n ≥ 1, il existe une unique application ℚ_{p}-linéaire continue T_{n} de (B_{dR}^{+})^{G_{K∞}} dans K_{n}[[t]] vérifiant

T_{n}(x) = \frac{1}{p^{m}} T r_{K_{m}/K_{n}}(x)

pour x ∈ K_{m}[[t]] et m ≥ n. Elle vérifie les propriétés suivantes :

1.

T_{n}(β_{m}) = \begin{cases}0 & pour m > n \\ \frac{1}{p^{n}} β_{m} & pour m ≤ n \end{cases}

2. lim_{n→∞} p^{n}T_{n}(α) = α pour α ∈ (B_{dR}^{+})^{G_{K∞}} ;

3. ||p^{n}T_{n}(α)||_{max} ≤ ||α||_{max} pour α ∈ B_{max}^{∗})^{G_{K∞}};

4. Si α ∈ (B_{cont}^{+})^{G_{K∞}} avec B_{cont}^{+} = ∩φ^{n}(B_{max}^{+}), φ^{n}p^{n}T_{n}φ^{−n}(α) est indépendant de n ≥ 1.

Ainsi, on a T_{n−1} ∘ φ = pφ ∘ T_{n}, p^{n}T_{n} est l’identité sur K_{n}[[t]] et fournit une section de K_{n}[[t]] → (B_{dR}^{+})^{G_{K∞}}. Si α ∈ φ((B_{dR}^{+})^{G_{K∞}}), par exemple si α ∈ (B_{cont}^{+})^{G_{K∞}}, on pose

T̃_{0}(α) = φ(pT_{1}(φ^{−1}(α)))

C.6.2. Lemme. Soit α un élément de ((B_{max}^{+})^{G_{K∞}} ⊗ D)^{Φ=1}. Il existe une unique série F_{α} ∈ H ⊗ D telle que

T̃_{0}(α) = F_{α}([ϵ] − 1) .

De plus, (1 − Φ)F_{α} ∈ (H^{ψ=0} ⊗ D)_{φ^{−}}.

Démonstration. Soit α ∈ ((B_{max}^{+})^{G_{K∞}} ⊗ D)^{Φ=1}. On vérifie facilement que ((B_{max}^{+})^{G_{K∞}} ⊗ D)^{Φ=1} = ((B_{cont}^{+})^{G_{K∞}} ⊗ D)^{Φ=1}. Soit δ = pT_{1}((φ^{−1} ⊗ 1)α). C’est un élément de ((B_{cont}^{+})^{G_{K∞}} ∩ K_{1}[[t]]) ⊗ D). Grâce à la proposition C.5.1, il existe une unique série F_{α} ∈ ℚ_{p}[[T]] ⊗ D de rayon de convergence ≥ p^{− \frac{1}{p−1}} tel que δ = F_{α}(β_{1} − 1). On a alors

T̃_{0}(α) = (φ ⊗ 1)δ = (φ ⊗ 1)F_{α}(β_{1} − 1) = F_{α}([ϵ] − 1) .

Montrons que F_{α} ∈ H ⊗ D. Comme

p^{n}(φ^{n} ⊗ 1)T_{n}((φ^{−n} ⊗ 1)α) = p(φ ⊗ 1)T_{1}((φ^{−1} ⊗ 1)α) = T̃_{0}(α) ,

on a

F_{α}(β_{n} − 1) = p^{n}T_{n}((φ^{−n} ⊗ 1)α) ∈ (B_{max}^{G_{K∞}} ∩ K_{n}[[t]]) ⊗ D_{p}(V) .

En appliquant de nouveau la proposition C.5.1, on en déduit que le rayon de convergence de F_{α} est ≥ ρ_{n} pour tout n et donc que F_{α} ∈ H ⊗ D. On vérifie que la limite de F_{α}(β_{n} − 1) est α. Utilisons maintenant l’invariance de α par Φ pour montrer que ψ((1 − Φ)F_{α}) = 0. Par définition, il est équivalent de montrer que

∑_{ζ∈μ_{p}} F_{α}(ζ(1 + T) − 1) = p(1 ⊗ φ)F_{α}((1 + T)^{p} − 1)

ou encore de montrer l’égalité obtenue en remplaçant T par un quelconque β_{n+1} − 1 pour n ≥ 1. On a

∑_{ζ∈μ_{p}} F_{α}(ζβ_{n+1} − 1) =T r_{K_{n+1}[[t]]/K_{n}[[t]]}(F_{α}(β_{n+1} − 1)
=T r_{K_{n+1}[[t]]/K_{n}[[t]]}(p^{n+1}T_{n+1}((φ^{−n+1} ⊗ 1)α))
=p^{n+1}T_{n}((φ^{−n+1} ⊗ 1)α) = p^{n+1}T_{n}((φ^{−n} ⊗ φ)α)

en utilisant le fait que φ ⊗ φ(α) = α

=p(1 ⊗ φ)p^{n}T_{n}((φ^{−n} ⊗ 1)α) = p(1 ⊗ φ)F_{α}(β_{n} − 1)

Montrons enfin que f = (1 − Φ)F_{α} est φ^{−}-borné. On montre facilement que

(1 ⊗ φ)^{−n}f(β_{n} − 1) = p^{n}T_{n}(Φ^{−n}α) − p^{n−1}T_{n−1}(Φ^{−(n−1)}α) .

Comme Φ(α) = α, cela vaut aussi

p^{n}T_{n}(α) − p^{n−1}T_{n−1}(α) ,

ce qui tend vers 0 dans B_{max} ⊗ D. En utilisant en fait que ||(1 ⊗ φ)^{−n}f(β_{n} − 1)||_{max} ∼ ||(1 ⊗ φ)^{−n}f||_{ρ_{n}}, on en déduit que f est φ^{−}-borné.

C.6.3. Démontrons le théorème C.2.1. Soit F ∈ H ⊗ D tel que (1 − Φ)F ∈ (H^{ψ=0} ⊗ D)_{φ^{−}}. Soit α_{F} = lim_{m→∞} Φ^{−m}(F ([ϵ] − 1)) ; calculons T_{n}(α_{F}). Par continuité de T_{n}, on a

T_{n}(α_{F}) = lim_{m→∞} T_{n}((1 ⊗ φ)^{−m}F (β_{m} − 1))

En voyant (1 ⊗ φ)^{−m}F (β_{m} − 1) dans K_{m}[[t]] grâce à la formule β_{m} = ζ_{m} exp(t/p^{m}), on a pour m ≥ n ≥ 1,

\begin{matrix}p^{n}T_{n}((1 ⊗ φ)^{−m}F (β_{m} − 1)) = & \frac{1}{p^{m−n}} T r_{K_{m}[[t]]/K_{n}[[t]]}((1 ⊗ φ)^{−m}F (β_{m} − 1)) \\ = & \frac{1}{p^{m−n}} ∑_{ζ∈μ_{p^{m−n}}}((1 ⊗ φ)^{−m}F (ζβ_{m} − 1)) \end{matrix}

Le fait que ψ((1 − Φ)F) = 0 implique que ψ(F) = (1 ⊗ φ)F et donc que (1 ⊗ φ^{−n})F = ψ^{m−n}((1 ⊗ φ^{−m})F). On en déduit que

p^{n}T_{n}((1 ⊗ φ)^{−m}F (β_{m} − 1)) = (1 ⊗ φ^{−n})F (β_{n} − 1) .

D’où

p^{n}T_{n}(α_{F}) = (1 ⊗ φ)^{−n}F (β_{n} − 1) .

La formule pour δ_{k}(T_{n}(α_{F})) se déduit du lemme C.5.2. Si α ∈ ((B_{max}^{+})^{G_{K∞}} ⊗ D)^{Φ=1} et F_{α} construit comme dans le lemme C.6.2, on a vu dans la démonstration que

(1 ⊗ φ^{−n})F_{α}(β_{n} − 1) = p^{n}T_{n}(Φ^{−n}α) = p^{n}T_{n}(α) .

On en déduit que α ↦ F_{α} ↦ α_{F_{α}} est l’identité sur ((B_{max}^{+})^{G_{K∞}} ⊗ D)^{Φ=1} et que F ↦ α_{F} ↦ F_{α_{F}} est l’identité à condition de se restreindre aux F tels que ψ((1 − Φ))F = 0.

Références

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[3] F. Destrempes, Explicit reciprocity laws for Lubin-Tate modules, J. reine angew. Math. 463 (1995), 27-47.

[4] B. Perrin-Riou, Théorie d’Iwasawa des représentations cristallines, Invent. Math. 115 (1994), 81-149.

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Bernadette Perrin-Riou Mathématiques, Bât 425 Université Paris-Sud F-91405 Orsay Cedex France Bernadette.PERRIN-RIOU@math.u-psud.fr 274

Documenta Mathematica 4 (1999)