Beiträge zur Algebra und Geometrie Contributions to Algebra and Geometry Volume 38 (1997), No. 2, 343-356.

Automorphismes de Ǔ_{q}(𝔟^{+})

Odile Fleury

Université de Reims, Département de Mathématiques, U.R.A 1870 Moulin de la Housse, B.P. 1039, 51687 REIMS Cedex 2, France e-mail: odile.fleury@univ-reims.fr

Résumé. Soit 𝔤 une algèbre de Lie simple sur ℂ et q un élément de ℂ \ {0} non racine de l’unité. Nous déterminons ici les automorphismes d’algèbre (puis les automorphismes d’algèbre de Hopf) de Ǔ_{q}(𝔟^{+}), forme augmentée de l’analogue quantique de l’algèbre enveloppante de la sous-algèbre de Borel de 𝔤.

Introduction. La recherche des automorphismes de certaines algèbres n’est en général pas aisée. Le cas de l’espace affine A^{n} en est un exemple: seul le cas du plan a été traité entièrement dans [12] et déjà le cas n = 3 paraît présenter des automorphismes “sauvages” ([9]).

En ce qui concerne U(𝔤), algèbre enveloppante d’une algèbre de Lie, M.K. Smith a traité le cas de certaines algèbres de Lie résolubles ([11]). Quant aux cas où 𝔤 est semi-simple, P. Polo ([10]) montre qu’un automorphisme d’algèbre de U(𝔤) n’agit sur le centre que comme un automorphisme du diagramme de Dynkin et conjecture qu’il en est de même pour l’action sur le spectre primitif (il montre en tout cas que c’est vrai pour une certaine catégorie d’idéaux primitifs).

Le passage à la quantification a permis la détermination des automorphismes de U_{q}(sl(2)) ([1]) alors que le cas U(sl(2)) reste encore ouvert ([6]). Il semble, d’après cet exemple, que la quantification rigidifie les structures au point de réduire sensiblement le groupe d’automorphismes d’algèbre dans le passage du cas classique au cas quantique.

Dans [2] sont décrits les automorphismes d’algèbre de U_{q}^{+}(sl(3)). L’étude des automorphismes d’algèbre de U_{q}^{+}(𝔤), 𝔤 simple, paraît difficile et c’est pourquoi nous avons étudié l’algèbre enveloppante quantifiée de la sous-algèbre borélienne 𝔟^{+}, U_{q}(𝔟^{+}), ou plutôt sa forme augmentée Ǔ_{q}(𝔟^{+}). Le théorème (2.14) obtenu aboutit à une structure simple du groupe des automorphismes d’algèbre:

Aut_{ℂ}(Ǔ_{q}(𝔟^{+})) ≃ (Γ⋉S) ⋉ (ℂ^{⋆})^{2n},

0138-4821/93 $ 2.50 \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} 1997 Heldermann Verlag

344 O. Fleury: Automorphismes de Ǔ_{q}(𝔟^{+})

où S est le sous-groupe de M_{n}(ℤ) des matrices symétrisables par les mêmes entiers d_{i} qui symétrisent la matrice de Cartan (n étant le rang de 𝔤), et où Γ désigne le groupe des automorphismes du diagramme de Dynkin.

Puis dans le théorème (3.2), on en déduit aussitôt la structure du groupe des automorphismes d’algèbre de Hopf de Ǔ_{q}(𝔟^{+}) et on obtient l’isomorphisme:

Aut_{Hopf}(Ǔ_{q}(𝔟^{+})) ≃ Γ ⋉ (ℂ^{⋆})^{n}.

1. Rappels et notations

Dans toute la suite, q désignera un élément non nul de ℂ, non racine de l’unité. Soient 𝔤 une algèbre de Lie simple de rang n, C_{𝔤} = (a_{ij}) sa matrice de Cartan, 𝔥 une sous-algèbre de Cartan de 𝔤, R (resp. R^{+}) le système de racines (resp. positives) de 𝔥 dans 𝔤, ϖ_{1}, ..., ϖ_{n} les poids fondamentaux, P le réseau des poids (=∑_{i=1}^{n} ℤϖ_{i}), α_{1}, ..., α_{n} les racines simples, et Q le réseau des racines (=∑_{i=1}^{n} ℤα_{i}). On a la relation:

∀ j ∈ [1, n], α_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}ϖ_{i}.  (1)

Soient d_{1}, ..., d_{n} les entiers naturels, premiers entre eux dans leur ensemble, tels que (d_{i}a_{ij}) soit symétrique. Pour k, j ∈ ℕ et d ∈ ℕ^{⋆}, posons:

[k]_{d} = \frac{q^{dk} − q^{−dk}}{q^{d} − q^{−d}} ; [k]_{d}! = [1]_{d}[2]_{d}...[k]_{d}; [ \begin{matrix}k \\ j \end{matrix} ]_{d} = [k]_{d}...[k − j + 1]_{d} / [j]_{d}!

Soit W le groupe de Weyl associé au système de racines R, engendré par les réflexions s_{i}, i = 1, ..., n. On sait que W agit transitivement sur les bases et qu’il existe un unique élément ω_{0} de plus grande longueur N = |R^{+}| tel que ω_{0}(R^{+}) = −R^{+}. Soit ω_{0} = s_{i_{1}}...s_{i_{N}} une expression réduite de ω_{0}. Posons alors β_{1} = α_{i_{1}}, β_{k} = s_{i_{1}}...s_{i_{k−1}}(α_{i_{k}}), i = 2, ..., N. On a ainsi ordonné R^{+} de façon “convexe” (si i < j et β_{i} + β_{j} ∈ R^{+}, alors β_{i} + β_{j} = β_{k} pour un certain k compris entre i et j). Cet ordre dépend évidemment de l’expression réduite choisie pour ω_{0}. On définit sur P × Q une forme bilinéaire par (ϖ_{i}, α_{j}) = δ_{ij}d_{i}. Soit Ǔ_{o} = ℂ[P] la ℂalgèbre multiplicative du groupe P, et τ : P ⟶ Ǔ_{o} le morphisme canonique vérifiant: si λ, μ ∈ P, alors τ(λ + μ) = τ(λ)τ(μ). Posons pour λ ∈ P, Ǩ_{λ} = τ(λ) puis Ǩ_{i} = Ǩ_{ϖ_{i}} et K_{i} = Ǩ_{α_{i}} (i = 1, ..., n). Alors Ǔ_{o} = ℂ[Ǩ_{1}^{±1}, ..., Ǩ_{n}^{±1}]. Soit Ǔ_{q}(𝔤) la ℂ-algèbre engendrée par Ǔ_{o} et les éléments x_{i}, y_{i} (i = 1, ..., n) avec les relations:

Ǩ_{λ}x_{j} = q^{(λ,α_{j})}x_{j}Ǩ_{λ}, Ǩ_{λ}y_{j} = q^{−(λ,α_{j})}y_{j}Ǩ_{λ},

et en particulier:

Ǩ_{i}x_{j} = q^{δ_{ij}d_{i}}x_{j}Ǩ_{i}, Ǩ_{i}y_{j} = q^{−δ_{ij}d_{i}}y_{j}Ǩ_{i};  (2)

[x_{i}, y_{j}] = δ_{ij} \frac{K_{i} − K_{i}^{−1}}{q^{d_{i}} − q^{−d_{i}}};

et les relations de Serre quantiques:

∑_{m=0}^{1−a_{ij}}(−1)^{m}[ \begin{matrix}1 − a_{ij} \\ m \end{matrix} ]_{d_{i}}x_{i}^{1−a_{ij}−m}x_{j}x_{i}^{m} = 0 , ∀ i ≠ j = 1, ..., n  (3)

∑_{m=0}^{1−a_{ij}}(−1)^{m}[ \begin{matrix}1 − a_{ij} \\ m \end{matrix} ]_{d_{i}}y_{i}^{1−a_{ij}−m}y_{j}y_{i}^{m} = 0 , ∀ i ≠ j = 1, ..., n.

On montre que Ǔ_{q}(𝔤) est une algèbre de Hopf avec la structure donnée par:

Δx_{i} = x_{i} ⊗ 1 + K_{i} ⊗ x_{i}, Δy_{i} = y_{i} ⊗ K_{i}^{−1} + 1 ⊗ y_{i}, ΔǨ_{λ} = Ǩ_{λ} ⊗ Ǩ_{λ},
Sx_{i} = −K_{i}^{−1}x_{i}, Sy_{i} = −y_{i}K_{i}, SǨ_{λ} = Ǩ_{λ}^{−1},
ε(x_{i}) = 0, ε(y_{i}) = 0, ε(Ǩ_{λ}) = 1.

Introduisons les sous - algèbres de Ǔ_{q}(𝔤):

U_{q}(𝔤) = ℂ[K_{i}^{±1}, x_{i}, y_{i}; i = 1..., n]
Ǔ_{q}(𝔟^{+}) = ℂ[Ǩ_{i}^{±1}, x_{i}; i = 1, ..., n], U_{q}(𝔟^{+}) = ℂ[K_{i}^{±1}, x_{i}; i = 1, ..., n].

Si Δx = ∑ x_{(1)} ⊗ x_{(2)}, alors on notera ad(x)(y) = ∑ x_{(1)}ySx_{(2)}. Appelons κ l’anti-automor-phisme de U_{q}(𝔤), “conjugué”-linéaire défini par:

κx_{i} = y_{i}, κy_{i} = x_{i}, κK_{i} = K_{i}^{−1} et κq = q^{−1}.

Soient alors les automorphismes T_{i} de l’algèbre U_{q}(𝔤) définis par:

T_{i}Ǩ_{α} = Ǩ_{s_{i}(α)}, T_{i}x_{i} = −y_{i}K_{i}, T_{i}x_{j} = (−adx_{i})^{−a_{ij}}(x_{j}), T_{i}κ = κT_{i},

où α ∈ Q et i = 1, ..., n. On définit les éléments E_{β_{1}}, ..., E_{β_{N}} par E_{β_{k}} = T_{i_{1}}...T_{i_{k−1}}(x_{i_{k}}). Pour k = 1, ..., N, on a β_{k} ∈ R^{+} et donc β_{k} s’exprime comme combinaison linéaire des racines simples à coefficients entiers positifs: β_{k} = ∑_{i=1}^{n} m_{ki}α_{i}, m_{ki} ∈ ℕ. On a alors les théorèmes bien connus:

Théorème 1.1. ([7])

i) ∀ k = 1, ..., N, E_{β_{k}} est une somme de monômes en les x_{i}, 1 ≤ i ≤ n, chacun contenant m_{ki} facteurs égaux à x_{i}.

ii) ∀k = 1, ..., N, si β_{k} = α_{i}, alors E_{β_{k}} = x_{i}.

Démonstration. On raisonne par récurrence sur k, de la même façon que dans la démonstration de la proposition 1.8 de ([7]). □

Théorème 1.2. ([8]) Comme ℂ-espace vectoriel, Ǔ_{q}(𝔟^{+}) a pour base:

{Ǩ_{1}^{b_{1}}...Ǩ_{n}^{b_{n}}E_{β_{1}}^{c_{1}}...E_{β_{N}}^{c_{N}} , b_{i} ∈ ℤ, c_{j} ∈ ℕ}.

Remarque 1.3.

\begin{matrix}1) Les éléments inversibles de Ǔ_{q}(𝔟^{+}) sont les aǨ_{1}^{i_{1}}...Ǩ_{n}^{i_{n}}, a ∈ ℂ^{⋆}, i_{k} ∈ ℤ, k ∈ [1, n]. \\ 2) Les relations (2) et le théorème (1.1 i) impliquent : \end{matrix}

Ǩ_{j}E_{β_{k}} = q^{m_{kj}d_{j}}E_{β_{k}} Ǩ_{j}, j ∈ [1, n], k ∈ [1, N].  (4)

2. Automorphismes d’algèbre

Soit θ ∈ Aut_{ℂ}(Ǔ_{q}(𝔟^{+})); Ǩ_{i} et donc θ(Ǩ_{i}) sont inversibles dans Ǔ_{q}(𝔟^{+}), d’où:

θ(Ǩ_{i}) = a_{i}Ǩ_{1}^{e_{1i}}...Ǩ_{n}^{e_{ni}} où e_{ji} ∈ ℤ, ∀ i, j ∈ [1, n].

Posons M_{θ} = (e_{ji})_{j,i}. Comme θ est un automorphisme, il vient que M_{θ} est inversible, puis det(M_{θ}) = ±1 = ε. Notons

θ(x_{1}) = ∑_{b,c} γ_{bc}Ǩ_{1}^{b_{1}}...Ǩ_{n}^{b_{n}}E_{β_{1}}^{c_{1}}E_{β_{2}}^{c_{2}}....E_{β_{N}}^{c_{N}} , où les c_{j} sont non tous nuls,

puisque ℂ[Ǩ_{1}^{±1}, ..., Ǩ_{n}^{±1}] est invariant par tout automorphisme.

Proposition 2.1. Soit θ ∈ Aut_{ℂ}(Ǔ_{q}(𝔟^{+})). Alors, M_{θ} ∈ GL(n, ℕ).

Démonstration. D’après (2), on a: Ǩ_{i}x_{1} = q^{δ_{i1}d_{1}}x_{1}Ǩ_{i}, ∀i = 1, ..., n. Donc θ(Ǩ_{i})θ(x_{1}) = q^{δ_{i1}d_{1}}θ(x_{1})θ(Ǩ_{i}) pour tout i. C’est-à-dire:

a_{i} ∑_{b,c} γ_{bc}Ǩ_{1}^{e_{1i}}...Ǩ_{n}^{e_{ni}} Ǩ_{1}^{b_{1}}...Ǩ_{n}^{b_{n}}E_{β_{1}}^{c_{1}}...E_{β_{N}}^{c_{N}} = q^{δ_{i1}d_{1}}a_{i} ∑_{b,c} γ_{bc}Ǩ_{1}^{b_{1}}...Ǩ_{n}^{b_{n}}E_{β_{1}}^{c_{1}}...E_{β_{N}}^{c_{N}} Ǩ_{1}^{e_{1i}}...Ǩ_{n}^{e_{ni}}.

On utilise ensuite (4) afin d’écrire le second membre de cette égalité comme une expression en fonction de la base décrite dans le théorème (1.2):

a_{i} ∑_{b_{k},c_{j}} γ_{bc}Ǩ_{1}^{e_{1i}+b_{1}}...Ǩ_{n}^{e_{ni}+b_{n}}E_{β_{1}}^{c_{1}}...E_{β_{N}}^{c_{N}} =

q^{δ_{i1}d_{1}}a_{i} ∑_{b_{k},c_{j}} γ_{bc}q^{(− ∑_{j=1}^{n}(∑_{k=1}^{N} e_{ji}d_{j}c_{k}m_{kj}))}Ǩ_{1}^{e_{1i}+b_{1}}...Ǩ_{n}^{e_{ni}+b_{n}}E_{β_{1}}^{c_{1}}....E_{β_{N}}^{c_{N}} .

D’où, par le théorème (1.2), pour tout i: 1 = q^{δ_{i1}d_{1}−∑_{j=1}^{n}(∑_{k=1}^{N} e_{ji}d_{j}c_{k}m_{kj})}. Or q est supposé non racine de l’unité, donc: ∀i, δ_{i1}d_{1} = ∑_{j=1}^{n} e_{ji}(∑_{k=1}^{N} d_{j}c_{k}m_{kj}). Posons A_{1} = d_{1} ∑_{k=1}^{N} c_{k}m_{k1}, ..., A_{n} = d_{n} ∑_{k=1}^{N} c_{k}m_{kn}. Alors, pour tout i, on peut écrire: e_{1i}A_{1} +...e_{ni}A_{n} = δ_{1i}d_{1}. On obtient ainsi un système de n équations à n inconnues A_{1}, ...., A_{n}, de déterminant det(^{t}M_{θ}) = ε ≠ 0. On le résout donc via les formules de Cramer:

A_{i} = \frac{1}{ε} \begin{matrix}e_{11} & … & e_{i−11} & d_{1} & e_{i+11} & … & e_{n1} \\ ⋮ & & ⋮ & 0 & ⋮ & & ⋮ \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ e_{1n} & … & e_{i−1n} & 0 & e_{i+1n} & … & e_{nn} \end{matrix} = \frac{1}{ε}d_{1}Δ_{i1}(M_{θ}),

où Δ_{i1}(M_{θ}) est le cofacteur de e_{i1}. Or, pour tous i, j, k, les d_{i}, c_{i}, m_{jk} appartiennent à ℕ; donc pour tout l, A_{l} ≥ 0, par définition de A_{l}. D’où, pour tout l ∈ [1, n], on a \frac{1}{ε}d_{1}Δ_{l1}(M_{θ}) ≥ 0, ou encore \frac{1}{ε}Δ_{l1}(M_{θ}) ≥ 0.

En écrivant de même que θ doit conserver les relations (2) pour x_{2} ..., x_{n}, on montre que, pour tous i, j ∈ [1, n], on a: \frac{1}{ε}Δ_{ij}(M_{θ}) ≥ 0, où Δ_{ij}(M_{θ}) est le cofacteur de e_{ij}. Et donc finalement M_{θ^{−1}} ∈ GL(n, ℕ). En raisonnant de même sur θ^{−1}, il vient: M_{θ} ∈ GL(n, ℕ). □

Lemme 2.2. Si M est une matrice de GL(n, ℕ) telle que M^{−1} appartient aussi à GL(n, ℕ), alors c’est une matrice de permutation; i.e. M = (δ_{iσ(j)})_{i,j} où δ représente le symbole de Kronecker et σ est une permutation dans le groupe symétrique S_{n}.

Démonstration. Soient M = (m_{ij})_{i,j} et N = M^{−1} = (n_{ij})_{i,j} vérifiant les hypothèses. Soit i dans [1, n] quelconque fixé. Alors MN = I_{n} implique en particulier ∑_{k=1}^{n} m_{ik}n_{ki} = 1. Or pour tout k, m_{ik} et n_{ki} sont des entiers positifs par hypothèse; donc il existe un unique indice k_{i} dans [1, n] tel que m_{ik_{i}} = 1 = n_{k_{i}i}. De plus, MN = I_{n} implique aussi ∀ j ≠ i, ∑_{k=1}^{n} m_{jk}n_{ki} = 0 et comme n_{k_{i}i} = 1, on obtient: ∀ j ≠ i, m_{jk_{i}} = 0. Alors, i ≠ j implique k_{i} ≠ k_{j} puisque m_{jk_{i}} = 0 et m_{jk_{j}} = 1. On a ainsi construit une permutation σ : [1, n] ⟶ [1, n], i ⟼ k_{i} telle que la k_{i}’ème colonne de M est de la forme (0, …, 0, 1, 0, …, 0), où le 1 est en i’ème position. □

Corollaire 2.3. Soit θ ∈ Aut_{ℂ}(Ǔ_{q}(𝔟^{+})). Alors, pour tout i, on a:

θ(Ǩ_{i}) = a_{i}Ǩ_{σ(i)}, où σ ∈ S_{n} et a_{i} ∈ ℂ^{⋆}.

Démonstration. D’après la proposition (2.1) et le lemme (2.2), il vient que M_{θ} est une matrice de permutation et donc θ(Ǩ_{i}) = a_{i}Ǩ_{σ(i)}. □

Proposition 2.4. Soit θ ∈ Aut_{ℂ}(Ǔ_{q}(𝔟^{+})). Alors, pour tout i, on a:

θ(x_{i}) = γ_{i}Ǩ_{1}^{b_{1i}}...Ǩ_{n}^{b_{ni}}x_{σ(i)} où γ_{i} ∈ ℂ^{⋆} et b_{ji} ∈ ℤ (j = 1, ..., n).

Démonstration. D’après (2), on a, pour tout l ≠ 1, Ǩ_{l}x_{1} = x_{1}Ǩ_{l}, ce qui implique: ∀l ≠ 1, Ǩ_{σ(l)}θ(x_{1}) = θ(x_{1})Ǩ_{σ(l)}. D’où, pour tout l ≠ 1,

∑_{b,c} γ_{bc}Ǩ_{σ(l)}Ǩ_{1}^{b_{1}}...Ǩ_{n}^{b_{n}}E_{β_{1}}^{c_{1}}E_{β_{2}}^{c_{2}}...E_{β_{N}}^{c_{N}} = ∑_{b,c} γ_{bc}Ǩ_{1}^{b_{1}}...Ǩ_{n}^{b_{n}}E_{β_{1}}^{c_{1}}E_{β_{2}}^{c_{2}}...E_{β_{N}}^{c_{N}} Ǩ_{σ(l)}.  (5)

Puis, comme

∑_{b,c} γ_{bc}Ǩ_{1}^{b_{1}}...Ǩ_{n}^{b_{n}}E_{β_{1}}^{c_{1}}E_{β_{2}}^{c_{2}}...E_{β_{N}}^{c_{N}} Ǩ_{σ(l)} = ∑_{b,c} γ_{bc}q^{−(∑_{i=1}^{N} c_{i}m_{iσ(l)}d_{σ(l)})}Ǩ_{σ(l)}Ǩ_{1}^{b_{1}}...Ǩ_{n}^{b_{n}}E_{β_{1}}^{c_{1}}E_{β_{2}}^{c_{2}}...E_{β_{N}}^{c_{N}} ,

il vient alors (5) ⟺ (∀ l ≠ 1, ∑_{i=1}^{N} c_{i}m_{iσ(l)}d_{σ(l)} = 0), car q non racine de l’unité. Donc, pour tout l ≠ 1, ∑_{i=1}^{N} c_{i}m_{iσ(l)} = 0. Et puisque c_{i} et m_{iσ(l)} ≥ 0, pour tous l ≠ 1, i ∈ [1, N], on a c_{i}m_{iσ(l)} = 0. Cela s’écrit encore:

∀ i ∈ [1, N] : ∀ l ≠ 1, (c_{i} = 0 ou m_{iσ(l)} = 0).
D’où (5) ⟺ (∀ i ∈ [1, N] : (c_{i} = 0 ou ∀ l ≠ 1, m_{iσ(l)} = 0)).
⟺ \{ \begin{matrix}∀ i ∈ [1, N] : \\ c_{i} = 0 ou si c_{i} ≠ 0, β_{i} = ∑_{j=1}^{n} m_{ij}α_{j} = m_{iσ(1)}α_{σ(1)}. \end{matrix}
⟺ (∀ i ∈ [1, N] : (c_{i} = 0 ou si c_{i} ≠ 0, β_{i} = α_{σ(1)}))

(En effet, si α et β ∈ R^{+}, et si β est proportionnel à α, alors β = α.) On en déduit que le seul E_{β_{i}} apparaissant dans θ(x_{1}) correspond à β_{i} = α_{σ(1)}; et ce E_{β_{i}} est en fait x_{σ(1)} d’après le théorème (1.1 ii).

Ainsi, θ(x_{1}) ∈ ℂ[Ǩ_{1}^{±1}, …, Ǩ_{n}^{±1}, x_{σ(1)}] et de même, on montre que, pour tout i:

θ(x_{i}) ∈ ℂ[Ǩ_{1}^{±1}, ..., Ǩ_{n}^{±1}, x_{σ(i)}].

Donc

θ(x_{i}) = ∑_{k=1}^{D} P_{k}x_{σ(i)}^{k} et θ^{−1}(x_{σ(i)}) = ∑_{j=1}^{D′} Q_{j}x_{i}^{j},

où, pour tous k, j, on a P_{k}, Q_{j} ∈ Ǔ_{o} et P_{D} et Q_{D′} ≠ 0. D’où x_{i} = θ^{−1}(∑_{k=1}^{D} P_{k}x_{σ(i)}^{k}) = ∑_{k=1}^{D} θ^{−1}(P_{k})(∑_{j=1}^{D′} Q_{j}x_{i}^{j})^{k}. Or (2) implique: ∀k ∈ ℕ, ∀P ∈ Ǔ_{o}, x_{i}^{k}P = Rx_{i}^{k} où (R ≠ 0) ⟺ (P ≠ 0).

Donc x_{i} = ∑_{k=1}^{D} θ^{−1}(P_{k})(∑_{j=1}^{D′k} R_{j}x_{i}^{j}) et R_{D′D} ≠ 0.

Alors x_{i} = ∑_{k=1}^{D} ∑_{j=1}^{D′k} θ^{−1}(P_{k})R_{j}x_{i}^{j} et donc DD′ = 1, soit D = D′ = 1. Il vient alors: θ(x_{i}) = P_{i}x_{σ(i)} et θ^{−1}(x_{i}) = Q_{i}x_{σ^{−1}(i)}, où P_{i}, Q_{i} ∈ Ǔ_{o}. D’où x_{i} = θ(Q_{i})P_{σ^{−1}(i)}x_{i}, i.e. θ(Q_{i})P_{σ^{−1}(i)} = 1; ce qui implique, d’après la remarque (1.3) que P_{σ^{−1}(i)} est un monôme en les Ǩ_{j}^{±1}; et ce, pour tout i. Finalement, pour tout i ∈ [1, n], on a

θ(x_{i}) = γ_{i}Ǩ_{1}^{b_{1i}}...Ǩ_{n}^{b_{ni}}x_{σ(i)} où γ_{i} ∈ ℂ^{⋆}, b_{ji} ∈ ℤ (j = 1, ..., n).  □

Lemme 2.5. Soient θ ∈ Aut(Ǔ_{q}(𝔟^{+})) et σ la permutation qui lui est associée. Alors:

∀i ∈ [1, n], d_{i} = d_{σ(i)}.

Démonstration. Avec les notations des corollaire (2.3) et proposition (2.4), on a:

θ(Ǩ_{i}x_{j}) = q^{δ_{ij}d_{i}}θ(x_{j}Ǩ_{i}) ⟺ Ǩ_{σ(i)}Ǩ_{1}^{b_{1j}}...Ǩ_{n}^{b_{nj}}x_{σ(j)} = q^{δ_{ij}d_{i}} Ǩ_{1}^{b_{1j}}...Ǩ_{n}^{b_{nj}}x_{σ(j)}Ǩ_{σ(i)},

soit encore

Ǩ_{σ(i)}Ǩ_{1}^{b_{1j}}...Ǩ_{n}^{b_{nj}}x_{σ(j)} = q^{δ_{ij}d_{i}}q^{−δ_{ij}d_{σ(i)}} Ǩ_{1}^{b_{1j}}...Ǩ_{n}^{b_{nj}} Ǩ_{σ(i)}x_{σ(j)}.

Cette égalité implique le résultat cherché. □

Théorème 2.6. Soient α_{i} et α_{j} deux racines simples distinctes. Alors:

{t ∈ ℤ | α_{i} + tα_{j} ∈ R} = [0, −a_{ji}].

Démonstration: cf. ([5])

Lemme 2.7. Soient θ ∈ Aut(Ǔ_{q}(𝔟^{+})) et σ la permutation qui lui est associée. Alors:

∀ i, j ∈ [1, n], a_{ij} ≤ a_{σ(i)σ(j)}.

Démonstration. Pour tous i ≠ j, a_{ij} et a_{σ(i)σ(j)} peuvent prendre les valeurs 0,-1,-2, -3. Montrons qu’on ne peut avoir a_{ij} > a_{σ(i)σ(j)}; supposons par l’absurde qu’il existe i, j, tels que a_{ij} > a_{σ(i)σ(j)}.

1^{er} cas: a_{ij} = 0 et a_{σ(i)σ(j)} = −1

Dans ce cas, (3) donne x_{i}x_{j} = x_{j}x_{i} et donc θ(x_{i})θ(x_{j}) = θ(x_{j})θ(x_{i}). D’où, avec les notations de la proposition (2.4), on a:

Ǩ_{1}^{b_{1i}}...Ǩ_{n}^{b_{ni}}x_{σ(i)}Ǩ_{1}^{b_{1j}}...Ǩ_{n}^{b_{nj}}x_{σ(j)} = Ǩ_{1}^{b_{1j}}...Ǩ_{n}^{b_{nj}}x_{σ(j)}Ǩ_{1}^{b_{1i}}...Ǩ_{n}^{b_{ni}}x_{σ(i)},

soit encore, en redressant:

q^{−b_{σ(i)j}d_{σ(i)}} Ǩ_{1}^{b_{1i}+b_{1j}}...Ǩ_{n}^{b_{ni}+b_{nj}}x_{σ(i)}x_{σ(j)} = q^{−b_{σ(j)i}d_{σ(j)}} Ǩ_{1}^{b_{1i}+b_{1j}}...Ǩ_{n}^{b_{ni}+b_{nj}}x_{σ(j)}x_{σ(i)}.

Et par conséquent, on a:

x_{σ(i)}x_{σ(j)} = q^{b_{σ(i)j}d_{σ(i)}−b_{σ(j)i}d_{σ(j)}}x_{σ(j)}x_{σ(i)}.  (6)

On va maintenant exprimer les 2 membres de cette égalité en fonction des termes de la base de P.B.W. du théorème (1.2) et arriver à une contradiction dans l’égalité elle-même. D’après le théorème (2.6), l’égalité a_{σ(i)σ(j)} = −1 implique α_{σ(j)} + α_{σ(i)} ∈ R^{+}. Donc il existe k ∈ [1, N] tel que α_{σ(i)} + α_{σ(j)} = β_{k}. Et le théorème (1.1 i) donne:

E_{β_{k}} = cx_{σ(i)}x_{σ(j)} + c′x_{σ(j)}x_{σ(i)},

où c, c′ ∈ ℂ et c, c′ ne sont pas nuls simultanément. Supposons α_{σ(i)} < α_{σ(j)} pour l’ordre convexe mis sur R^{+} (la démonstration serait analogue si α_{σ(j)} < α_{σ(i)}). On a donc α_{σ(i)} < β_{k} < α_{σ(j)}. De plus, c′ ≠ 0 sinon E_{β_{k}} et x_{σ(i)}x_{σ(j)} sont linéairement dépendants; ce qui est contradictoire avec le théorème (1.2). D’où x_{σ(j)}x_{σ(i)} = c′^{−1}E_{β_{k}} − c′^{−1}cx_{σ(i)}x_{σ(j)}, et alors, en redressant:

(6) ⟺ x_{σ(i)}x_{σ(j)} = q^{b_{σ(i)j}d_{σ(i)}−b_{σ(j)i}d_{σ(j)}} [c′^{−1}E_{β_{k}} − c′^{−1}cx_{σ(i)}x_{σ(j)}]

et par conséquent, on a: (...)x_{σ(i)}x_{σ(j)} − q^{b_{σ(i)j}d_{σ(i)}−b_{σ(j)i}d_{σ(j)}}c′^{−1}E_{β_{k}} = 0; ce qui est impossible d’après le théorème (1.2), puisque le cœfficient de E_{β_{k}} est non nul.

2^{e} cas: a_{ij} = 0 et a_{σ(i)σ(j)} = −2

Les cas concernés sont les types B_{n}, C_{n}, F_{4} et dans ces cas, (a_{ij} = 0 ⟹ a_{ji} = 0) et (a_{σ(i)σ(j)} = −2 ⟹ a_{σ(j)σ(i)} = −1). Quitte à échanger i et j, on est ainsi ramené au 1^{er} cas.

3^{e} cas: a_{ij} = −1 et a_{σ(i)σ(j)} = −2

Dans ce cas, (3) ⟺ x_{i}^{2}x_{j} − (q^{d_{i}} + q^{−d_{i}})x_{i}x_{j}x_{i} + x_{j}x_{i}^{2} = 0. La conservation de cette égalité par θ donne:

Ǩ_{1}^{b_{1i}}...Ǩ_{n}^{b_{ni}}x_{σ(i)}Ǩ_{1}^{b_{1i}}...Ǩ_{n}^{b_{ni}}x_{σ(i)}Ǩ_{1}^{b_{1j}}...Ǩ_{n}^{b_{nj}}x_{σ(j)}+Ǩ_{1}^{b_{1j}}...Ǩ_{n}^{b_{nj}}x_{σ(j)}Ǩ_{1}^{b_{1i}}...Ǩ_{n}^{b_{ni}}x_{σ(i)}Ǩ_{1}^{b_{1i}}...Ǩ_{n}^{b_{ni}}x_{σ(i)}

−(q^{d_{i}} + q^{−d_{i}})Ǩ_{1}^{b_{1i}}...Ǩ_{n}^{b_{ni}}x_{σ(i)}Ǩ_{1}^{b_{1j}}...Ǩ_{n}^{b_{nj}}x_{σ(j)}Ǩ_{1}^{b_{1i}}...Ǩ_{n}^{b_{ni}}x_{σ(i)} = 0.

D’où, en redressant:

q^{−b_{σ(i)i}d_{σ(i)}−2b_{σ(i)j}d_{σ(i)}}x_{σ(i)}^{2}x_{σ(j)} + q^{−2b_{σ(j)i}d_{σ(j)}−b_{σ(i)i}d_{σ(i)}}x_{σ(j)}x_{σ(i)}^{2}
−(q^{d_{i}} + q^{−d_{i}})q^{−b_{σ(i)j}d_{σ(i)}−b_{σ(i)i}d_{σ(i)}−b_{σ(j)i}d_{σ(j)}}x_{σ(i)}x_{σ(j)}x_{σ(i)} = 0

ou encore:

x_{σ(i)}^{2}x_{σ(j)} − (q^{d_{i}} + q^{−d_{i}})q^{A}x_{σ(i)}x_{σ(j)}x_{σ(i)} + q^{2A}x_{σ(j)}x_{σ(i)}^{2} = 0,  (7)

avec A := b_{σ(i)j}d_{σ(i)} − b_{σ(j)i}d_{σ(j)}. L’idée est alors la même que pour le 1^{er} cas: il s’agit d’exprimer cette égalité en termes de P.B.W. et d’y lire ensuite une contradiction. D’après le théorème (2.6), l’égalité a_{σ(i)σ(j)} = −2 implique que α_{σ(j)} +α_{σ(i)} et α_{σ(j)} +2α_{σ(i)} ∈ R^{+}, i.e. il existe k et l dans [1, N], tels que β_{k} = α_{σ(i)} + α_{σ(j)} et β_{l} = β_{k} + α_{σ(i)}. Et, d’après le théorème (1.1), on a:

E_{β_{k}} = cx_{σ(i)}x_{σ(j)} + c′x_{σ(j)}x_{σ(i)} et E_{β_{l}} = sE_{β_{k}}x_{σ(i)} + s′x_{σ(i)}E_{β_{k}},

où c et c′ (resp. s et s′) ne sont pas simultanément nuls. Supposons par exemple α_{σ(i)} < α_{σ(j)}. Donc α_{σ(i)} < β_{k} < β_{l} < α_{σ(j)} par convexité de l’ordre mis sur R^{+}. De plus, c′ ≠ 0 et s ≠ 0; sinon E_{β_{k}} et x_{σ(i)}x_{σ(j)} (resp. E_{β_{l}} et x_{σ(i)}E_{β_{k}}) seraient linéairement dépendants, ce qui est impossible puis que ce sont 2 éléments distincts de la base P.B.W du théorème (1.2). On a:

x_{σ(j)}x_{σ(i)} = c′^{−1}E_{β_{k}} − c′^{−1}cx_{σ(i)}x_{σ(j)} et E_{β_{k}}x_{σ(i)} = s^{−1}E_{β_{l}} − s^{−1}s′x_{σ(i)}E_{β_{k}}.

Il s’agit maintenant d’exprimer l’égalité (7) à l’aide de termes de la forme x_{σ(i)}^{a}E_{β_{k}}^{b}E_{β_{l}}^{c}x_{σ(j)}^{d}.

(7) devient:

x_{σ(i)}^{2}x_{σ(j)} −(q^{d_{i}} +q^{−d_{i}})q^{A}x_{σ(i)}[c′^{−1}E_{β_{k}} −c′^{−1}cx_{σ(i)}x_{σ(j)}]+q^{2A}[c′^{−1}E_{β_{k}} −c′^{−1}cx_{σ(i)}x_{σ(j)}] x_{σ(i)} = 0

i.e.

(...)x_{σ(i)}^{2}x_{σ(j)} − (q^{d_{i}} + q^{−d_{i}})q^{A}c′^{−1}x_{σ(i)}E_{β_{k}} + q^{2A}c′^{−1}E_{β_{k}}x_{σ(i)} − q^{2A}c′^{−1}cx_{σ(i)}x_{σ(j)}x_{σ(i)} = 0,

où il faut encore redresser E_{β_{k}}x_{σ(i)} et x_{σ(j)}x_{σ(i)}. En redressant, on obtient:

(...)x_{σ(i)}^{2}x_{σ(j)} − (q^{d_{i}} + q^{−d_{i}})q^{A}c′^{−1}x_{σ(i)}E_{β_{k}} + q^{2A}c′^{−1} [s^{−1}E_{β_{l}} − s^{−1}s′x_{σ(i)}E_{β_{k}}]
−q^{2A}c′^{−1}cx_{σ(i)} [c′^{−1}E_{β_{k}} − c′^{−1}cx_{σ(i)}x_{σ(j)}] = 0,

et en ordonnant les termes,

(...)x_{σ(i)}^{2}x_{σ(j)} − (...)x_{σ(i)}E_{β_{k}} + q^{2A}c′^{−1}s^{−1}E_{β_{l}} = 0.

On obtient alors une combinaison linéaire nulle de trois termes distincts, linéairement indépendants d’après (1.2). Donc q^{2A}c′^{−1}s^{−1} = 0; ce qui n’est pas possible.

4^{e} cas: a_{ij} = −1 et a_{σ(i)σ(j)} = −3

Alors (3) s’écrit x_{i}^{2}x_{j} − (q^{3} + q^{−3})x_{i}x_{j}x_{i} + x_{j}x_{i}^{2} = 0. Le calcul fait dans le 3^{e} cas implique alors:

x_{σ(i)}^{2}x_{σ(j)} − (q^{3} + q^{−3})q^{A}x_{σ(i)}x_{σ(j)}x_{σ(i)} + q^{2A}x_{σ(j)}x_{σ(i)}^{2} = 0. (7)

De plus, a_{σ(i)σ(j)} = −3 donc le théorème (2.6) implique α_{σ(j)} + α_{σ(i)}, α_{σ(j)} + 2α_{σ(i)} ∈ R^{+}. Et la démonstration de l’impossibilité de ce 4^{e} cas se termine comme pour le 3^{e}. On en déduit que, pour tous i ≠ j, on ne peut avoir a_{ij} > a_{σ(i)σ(j)}. □

Théorème 2.8.

∀ i, j ∈ [1, n], a_{ij} = a_{σ(i)σ(j)}.

Démonstration. Ce résultat est évident lorsque i = j car alors a_{ij} = a_{σ(i)σ(j)} = 2. Si i ≠ j, les seules valeurs possibles pour a_{ij} sont 0, −1, −2, −3. Considérons tous les couples (i, j) pour lesquels a_{ij} = 0. Alors le lemme (2.7) implique a_{σ(i)σ(j)} ≥ 0. Or puisque i ≠ j et comme σ est une permutation, on a σ(i) ≠ σ(j). Or 0 est la valeur maximale que peut prendre a_{kl} pour k ≠ l, donc a_{σ(i)σ(j)} = 0; et ce, pour tout (i, j) tel que a_{i,j} = 0. Considérons maintenant tous les couples (i, j) tels que a_{ij} = −1. Alors le lemme (2.7) implique a_{σ(i)σ(j)} = −1 ou 0. Mais si a_{σ(i)σ(j)} = 0, en appliquant ce qui précède avec σ^{−1}, on a a_{ij} = 0. Donc nécessairement, si a_{ij} = −1, on a a_{σ(i)σ(j)} = −1. On raisonne de même si a_{ij} = −2 ou −3. □

Corollaire 2.9. Soit θ un automorphisme et σ sa permutation associée. Alors σ induit un automorphisme du graphe de Dynkin de 𝔤.

Démonstration. D’après le théorème (2.8), pour tous i, j, on a a_{σ(i)σ(j)}a_{σ(j)σ(i)} = a_{ij}a_{ji}. Par conséquent, le nombre d’arêtes joignant les sommets i et j est conservé par σ. D’autre part, par définition des entiers d_{i}, on a: ∀ i, j, d_{i}a_{ij} = d_{j}a_{ji}. Donc, puisque a_{ij} = \frac{2(α_{i},α_{j})}{(α_{i},α_{i})} (où (.,.) est la forme de Killing de 𝔤), alors:

∀ i, j, \frac{d_{i}}{(α_{i}, α_{i})} = \frac{d_{j}}{(α_{j}, α_{j})}.

En particulier, d’après le lemme (2.5), pour tout i, \frac{d_{i}}{(α_{i},α_{i})} = \frac{d_{σ(i)}}{(α_{σ(i)},α_{σ(i)})} = \frac{d_{i}}{(α_{σ(i)},α_{σ(i)})}. D’où, pour tout i, (α_{i}, α_{i}) = (α_{σ(i)}, α_{σ(i)}). Et par conséquent, le poids affecté au sommet i est lui aussi conservé par σ. □

Proposition 2.10. Avec les notations de la proposition (2.4), on a:

∀i, j = 1, ..., n, d_{i}b_{σ(i)j} = d_{j}b_{σ(j)i}.

Démonstration. Si a_{ij} = 2, alors i = j, et on a évidemment d_{i}b_{σ(i)j} = d_{j}b_{σ(j)i}.

Si a_{ij} = 0, on a vu dans le 1^{er} cas de la démonstration du lemme (2.7) qu’alors:

x_{σ(i)}x_{σ(j)} = q^{d_{σ(i)}b_{σ(i)j}−d_{σ(j)}b_{σ(j)i}}x_{σ(j)}x_{σ(i)}. (6)

D’autre part, d’après le théorème (2.8), l’égalité a_{ij} = 0 implique a_{σ(i)σ(j)} = 0, égalité qui elle-même donne l’équation de Serre (3): x_{σ(i)}x_{σ(j)} = x_{σ(j)}x_{σ(i)}. D’où, puisque q n’est pas racine de l’unité, et avec (6), on a: d_{σ(i)}b_{σ(i)j} = d_{σ(j)}b_{σ(j)i}.

Si a_{ij} = −1, le 3^{e} cas de la démonstration du lemme (2.7) menait à l’égalité:

x_{σ(i)}^{2}x_{σ(j)} − (q^{d_{i}} + q^{−d_{i}})q^{A}x_{σ(i)}x_{σ(j)}x_{σ(i)} + q^{2A}x_{σ(j)}x_{σ(i)}^{2} = 0 (7),

où A = d_{σ(i)}b_{σ(i)j} −d_{σ(j)}b_{σ(j)i}. D’autre part, puisque a_{σ(i)σ(j)} = a_{ij} = −1, l’équation (3) s’écrit:

x_{σ(i)}^{2}x_{σ(j)} − (q^{d_{σ(i)}} + q^{−d_{σ(i)}})x_{σ(i)}x_{σ(j)}x_{σ(i)} + x_{σ(j)}x_{σ(i)}^{2} = 0 (3′).

En soustrayant (3′) à (7) et en notant que q^{d_{i}} + q^{−d_{i}} = q^{d_{σ(i)}} + q^{−d_{σ(i)}}, on obtient:

(q^{d_{i}} + q^{−d_{i}})(1 − q^{A})x_{σ(i)}x_{σ(j)}x_{σ(i)} + (q^{2A} − 1)x_{σ(j)}x_{σ(i)}^{2} = 0,

d’où

(1 − q^{A}) [(q^{d_{i}} + q^{−d_{i}})x_{σ(i)}x_{σ(j)} − (q^{A} + 1)x_{σ(j)}x_{σ(i)}] = 0.  (8)

Par ailleurs, en supposant α_{σ(i)} < α_{σ(j)} et en notant β_{k} = α_{σ(i)} + α_{σ(j)}, on obtient E_{β_{k}} = cx_{σ(i)} + c′x_{σ(j)}x_{σ(i)}, avec c, c′ ∈ ℂ et c′ ≠ 0. D’où l’on tire x_{σ(j)}x_{σ(i)} = c′^{−1}E_{β_{k}} − c′^{−1}cx_{σ(i)}x_{σ(j)} et on aboutit ainsi à une nouvelle écriture de l’égalité (8):

(1 − q^{A}) [(...)x_{σ(i)}x_{σ(j)} − (q^{A} + 1)c′^{−1}E_{β_{k}}] = 0.

Et comme (q^{A} + 1)c′^{−1} ≠ 0, on a 1 − q^{A} = 0 et donc A = 0.

Si a_{ij} = −2, les matrices de Cartan concernées sont celles des systèmes de racines de type B_{n}, C_{n}, F_{4}. Et dans tous ces cas, si a_{ij} = −2, alors a_{ji} = −1 et on est donc ramené au 2^{e} cas.

Si a_{ij} = −3, alors a_{ji} = −1 (le seul type concerné étant G_{2}) et on est encore ramené au 2^{e} cas. Dans tous les cas, on a montré que, pour tous i et j, d_{σ(i)}b_{σ(i)j} = d_{σ(j)}b_{σ(j)i}; d’après le lemme (2.5), on a d_{σ(i)} = d_{i}, ce qui termine la preuve. □

Théorème 2.11. Soit θ ∈ Aut_{ℂ}(Ǔ_{q}(𝔟^{+})). Alors:

∀i, θ(Ǩ_{i}) = a_{i}Ǩ_{σ(i)} et θ(x_{i}) = γ_{i}Ǩ_{1}^{b_{1i}}...Ǩ_{n}^{b_{ni}}x_{σ(i)},

où a_{i}, γ_{i} ∈ ℂ^{⋆}, σ automorphisme du graphe de Dynkin, (b_{ij}) ∈ M_{n}(ℤ) et pour tout j, d_{i}b_{σ(i)j} = d_{j}b_{σ(j)i}.

Démonstration. En conséquence de tout ce qui précède, les automorphismes sont nécessairement de cette forme; et on vérifie aisément que les relations définissant Ǔ_{q}(𝔟^{+}) sont effectivement conservées par une telle transformation. □

Notations: Soit Γ le groupe des automorphismes du graphe de Dynkin. Soit G le sous-groupe des automorphismes θ_{(σ,B)} de Aut(Ǔ_{q}(𝔟^{+})) définis par:

θ_{(σ,B)}(x_{i}) = Ǩ_{1}^{b_{1i}}...Ǩ_{n}^{b_{ni}}x_{σ(i)} et θ_{(σ,B)}(Ǩ_{i}) = Ǩ_{σ(i)},

où σ ∈ Γ et B = (b_{ij})_{i,j} ∈ M_{n}(ℤ) avec pour tous i, j, d_{i}b_{σ(i)j} = d_{j}b_{σ(j)i}. Soit aussi H le sous-groupe des automorphismes θ_{a,γ} de Aut(Ǔ_{q}(𝔟^{+})) définis par:

θ_{a,γ}(x_{i}) = γ_{i}x_{i} et θ_{a,γ}(Ǩ_{i}) = a_{i}Ǩ_{i}, où γ = (γ_{i})_{i}, a = (a_{i})_{i} ∈ (ℂ^{⋆})^{n}.

Remarque. Evidemment, H ≃ (ℂ^{⋆})^{2n}.

Lemme 2.12. Aut(Ǔ_{q}(𝔟^{+})) ≃ G ⋉ ((ℂ^{⋆})^{2n}

Démonstration. Soit en effet l’application ψ : G ⟶ Aut(H) qui à θ_{(σ,B)} associe ψ(θ_{(σ,B)}) : θ_{a,γ} ⟼ θ_{a_{σ},γ_{σ}}, où a_{σ} et γ_{σ} désignent respectivement (a_{σ(i)})_{i} et (γ_{σ(i)})_{i}. On vérifie facilement que ψ est un morphisme de groupes et le lemme est démontré avec la remarque. □

Notations: Pour tous σ ∈ Γ et B = (b_{ij}) ∈ M_{n}(ℤ), on notera dans la suite ^{σ}B la matrice (b_{σ^{−1}(i)j})_{ij} et B^{σ} la matrice (b_{iσ(j)})_{ij}.

Lemme 2.13. Soit S le sous-groupe de M_{n}(ℤ) des matrices symétrisables par les entiers d_{i}, i.e. S = {B = (b_{ij}) ∈ M_{n}(ℤ) | ∀i, j, d_{i}b_{ij} = d_{j}b_{ji}}. Alors

G ≃ Γ⋉_{φ}S,

avec φ : Γ ⟶ Aut(S) défini par φ(σ)(B) = ^{σ}B^{σ^{−1}}.

Démonstration. Soient θ_{(σ,B)}, θ_{(σ′,B′)} dans G. Alors un rapide calcul donne:

θ_{(σ,B)}θ_{(σ′,B′)}(x_{i}) = Ǩ_{1}^{b_{1σ′(i)}+b_{σ^{−1}(1)i}′}...Ǩ_{n}^{b_{nσ′(i)}+b_{σ^{−1}(n)i}′}x_{σσ′(i)} et θ_{(σ,B)}θ_{(σ′,B′)}(Ǩ_{i}) = Ǩ_{σσ′(i)}.

D’où  θ_{(σ,B)}θ_{(σ′,B′)} = θ_{(σσ′,^{σ}B′+B^{σ′})}.  (∗)

Soit G = {(σ, B) ∈ Γ × M_{n}(ℤ) | ∀i, j, d_{i}b_{σ(i)j} = d_{j}b_{σ(j)i}} = {(σ, B) ∈ Γ × M_{n}(ℤ) | ^{σ^{−1}}B ∈ S}.

D’après (∗), G muni du produit (σ, B)(σ′, B′) = (σσ′,^{σ}B′ + B^{σ′}), est un groupe et G et G sont clairement isomorphes via θ_{(σ,B)} ⟼ (σ, B). Attachons-nous à l’étude de G. Montrons que Γ × S est muni d’une structure de produit semi-direct, auquel G, et donc G, est isomorphe. Soit φ : Γ ⟶ Aut(S) défini par φ(σ)(B) = ^{σ}B^{σ^{−1}}. L’application φ est bien définie car

d_{i}(^{σ}B^{σ^{−1}})_{ij} = d_{i}b_{σ^{−1}(i)σ^{−1}(j)} = d_{σ^{−1}(i)}b_{σ^{−1}(i)σ^{−1}(j)},

puisque pour tous τ ∈ Γ, i ∈ [1, n], on a d_{i} = d_{τ(i)}. Et comme B ∈ S, on a d_{σ^{−1}(i)}b_{σ^{−1}(i)σ^{−1}(j)} = d_{σ^{−1}(j)}b_{σ^{−1}(j)σ^{−1}(i)} et de nouveau, puisque d_{σ^{−1}(j)} = d_{j}, on obtient finalement d_{i}b_{σ^{−1}(i)σ^{−1}(j)} = d_{j}b_{σ^{−1}(j)σ^{−1}(i)}, ce qui signifie que ^{σ}B^{σ^{−1}} ∈ S. En outre, φ est évidemment un morphisme de groupes, d’où la structure de produit semidirect sur Γ × S.

Soit maintenant ψ : G ⟶ Γ⋉_{φ}S défini par (σ, B) ⟼ (σ,^{σ^{−1}}B); ψ est évidemment bijectif et c’est un homomorphisme. En effet:

ψ((σ, B)(σ′, B′)) = ψ((σσ′,^{σ}B′ + B^{σ′})) = (σσ′,^{σ′^{−1}}B′ +^{σ′^{−1}σ^{−1}}B^{σ′})

et

ψ((σ, B))ψ((σ′, B′)) = (σ,^{σ^{−1}}B)(σ′,^{σ′^{−1}}B′) = (σσ′, φ(σ′^{−1})(^{σ^{−1}}B) +^{σ′^{−1}}B′)
= (σσ′,^{σ′^{−1}σ^{−1}}B^{σ′} +^{σ′^{−1}}B′).

D’où l’on a G ≃ Γ⋉_{φ}S. □

Théorème 2.14. On a l’isomorphisme:

Aut_{ℂ}(Ǔ_{q}(𝔟^{+})) ≃ (Γ⋉_{φ}S) ⋉ (ℂ^{⋆})^{2n}.

En particulier, Aut_{ℂ}(Ǔ_{q}(𝔟^{+})) est un groupe résoluble.

Démonstration. C’est un simple corollaire des lemmes (2.12) et (2.13).

3. Automorphismes d’algèbre de Hopf de Ǔ_{q}(𝔟^{+})

Proposition 3.1. Soient θ ∈ Aut_{Hopf}(Ǔ_{q}(𝔟^{+})) et σ l’automorphisme du graphe de Dynkin qui lui est associé. Alors

θ(Ǩ_{i}) = Ǩ_{σ(i)} et θ(x_{i}) = γ_{i}x_{σ(i)}.

Démonstration. Soit θ ∈ Aut_{Hopf}(Ǔ_{q}(𝔟^{+})), vérifiant les notations du théorème (2.11):

∀i, θ(Ǩ_{i}) = a_{i}Ǩ_{σ(i)} et θ(x_{i}) = γ_{i}Ǩ_{1}^{b_{1i}}...Ǩ_{n}^{b_{ni}}x_{σ(i)}.

(θ ⊗ θ)(Δ(Ǩ_{i})) = Δ(θ(Ǩ_{i})) ⟺ (θ ⊗ θ)(Ǩ_{i} ⊗ Ǩ_{i}) = Δ(a_{i}Ǩ_{σ(i)}). Donc a_{i}^{2}Ǩ_{σ(i)} ⊗ Ǩ_{σ(i)} = a_{i}Ǩ_{σ(i)} ⊗ Ǩ_{σ(i)} soit encore a_{i} = 1. D’où, pour tout i, on a: θ(Ǩ_{i}) = Ǩ_{σ(i)} et aussi θ(K_{i}) = K_{σ(i)}.

Δ(θ(x_{i})) = Δ(γ_{i}Ǩ_{1}^{b_{1i}}...Ǩ_{n}^{b_{1n}})Δ(x_{σ(i)}) = γ_{i}(Ǩ_{1}^{b_{1i}}...Ǩ_{n}^{b_{1n}} ⊗ Ǩ_{1}^{b_{1i}}...Ǩ_{n}^{b_{1n}})Δ(x_{σ(i)})
= γ_{i}Ǩ_{1}^{b_{1i}}...Ǩ_{n}^{b_{1n}}x_{σ(i)} ⊗ Ǩ_{1}^{b_{1i}}...Ǩ_{n}^{b_{1n}} + γ_{i}Ǩ_{1}^{b_{1i}}...Ǩ_{n}^{b_{1n}}K_{σ(i)} ⊗ Ǩ_{1}^{b_{1i}}...Ǩ_{n}^{b_{1n}}x_{σ(i)}
= θ(x_{i}) ⊗ Ǩ_{1}^{b_{1i}}...Ǩ_{n}^{b_{1n}} + Ǩ_{1}^{b_{1i}}...Ǩ_{n}^{b_{1n}}K_{σ(i)} ⊗ θ(x_{i}).

D’autre part,

(θ ⊗ θ)(Δ(x_{i})) = (θ ⊗ θ)(x_{i} ⊗ 1 + K_{i} ⊗ x_{i})
= θ(x_{i}) ⊗ 1 + θ(K_{i}) ⊗ θ(x_{i}) = θ(x_{i}) ⊗ 1 + K_{σ(i)} ⊗ θ(x_{i}).

Il vient: θ(x_{i}) ⊗ 1 + K_{σ(i)} ⊗ θ(x_{i}) = θ(x_{i}) ⊗ Ǩ_{1}^{b_{1i}}...Ǩ_{n}^{b_{1n}} + Ǩ_{1}^{b_{1i}}...Ǩ_{n}^{b_{ni}}K_{σ(i)} ⊗ θ(x_{i}). Et par conséquent, pour tout j, on a b_{ji} = 0; et ce, pour tout i. On vérifie alors que toutes les autres conditions pour que θ soit un automorphisme d’algèbre de Hopf sont satisfaites. □

Théorème 3.2. On a l’isomorphisme:

Aut_{Hopf}(Ǔ_{q}(𝔟^{+})) ≃ Γ ⋉ (ℂ^{⋆})^{n}.

Démonstration. Soit H_{1} = {θ_{σ} ∈ Aut_{Hopf}(Ǔ_{q}(𝔟^{+})) | θ_{σ}(Ǩ_{i}) = Ǩ_{σ(i)} et θ_{σ}(x_{i}) = x_{σ(i)} ; σ ∈ Γ}.

Soit H_{2} = \{ \begin{matrix}θ_{δ} ∈ Aut_{Hopf}(Ǔ_{q}(𝔟^{+})) | θ_{δ}(Ǩ_{i}) = Ǩ_{i} et θ_{δ}(x_{i}) = δ_{i}x_{i} ; \\ δ = (δ_{1}, ..., δ_{n}) ∈ (ℂ^{⋆})^{n} \end{matrix} \}.

Evidemment, on a H_{1} ≃ Γ et H_{2} ≃ (ℂ^{⋆})^{n}. Considérons ψ : H_{1} ⟶ Aut(H_{2}) défini par ψ(θ_{σ})(θ_{δ}) = θ_{δ_{σ}}, où δ_{σ} := (δ_{σ(i)})_{i}. On vérifie aisément que ψ est un morphisme de groupes.□

Additif aux épreuves:

1. P. Polo nous a communiqué une alternative concernant la mise en évidence du groupe des automorphismes Γ. Il s’agit de remarquer que l’action de Aut(Ǔ_{q}(𝔟^{+})) sur Ǔ_{o} induit un morphisme π : Aut(Ǔ_{q}(𝔟^{+})) ⟶ Aut(P). On montre alors que Imπ = Γ, en considérant les dimensions des sous- espaces propres de Ǔ_{q}(𝔟^{+}) (qui doivent être conservées par l’action de Aut(Ǔ_{q}(𝔟^{+}))) vu comme Ǔ_{o}-module libre. Cette méthode qui s’appuie essentiellement sur l’action du groupe Aut(Ǔ_{q}(𝔟^{+})) sur Ǔ_{o}, explique la possibilité de le déterminer explicitement, en contraste avec le calcul probablement plus difficile du groupe des automorphismes de Ǔ_{q}(𝔫^{+}), partie positive de Ǔ_{q}(𝔤).

2. En réponse à une question de P. Caldero, on indique ci-dessous des bases explicites de S pour chaque type d’algèbre de Lie simple (S est un ℤ-module libre de rang \frac{n(n+1)}{2}).

Type Base de S
A_{n} E_{ij} + E_{ji} (1 ≤ i < j ≤ n), E_{ii} (1 ≤ i ≤ n)
B_{n} E_{ij} + E_{ji} (1 ≤ i < j < n), E_{ii} (1 ≤ i ≤ n), E_{ni} + 2E_{in} (1 ≤ i < n)
C_{n} E_{ij} + E_{ji} (1 ≤ i < j < n), E_{ii} (1 ≤ i ≤ n), 2E_{ni} + E_{in} (1 ≤ i < n)
D_{n} E_{ij} + E_{ji} (1 ≤ i < j ≤ n), E_{ii} (1 ≤ i ≤ n)
E_{6} E_{ij} + E_{ji} (1 ≤ i < j ≤ 6), E_{ii} (1 ≤ i ≤ 6)
E_{7} E_{ij} + E_{ji} (1 ≤ i < j ≤ 7), E_{ii} (1 ≤ i ≤ 7)
E_{8} E_{ij} + E_{ji} (1 ≤ i < j ≤ 8), E_{ii} (1 ≤ i ≤ 8)
F_{4} E_{12} + E_{21}, E_{34} + E_{43}, E_{ii} (1 ≤ i ≤ 4), E_{ij} + 2E_{ji} (j = 1, 2 et i = 3, 4)
G_{2} E_{12} + 3E_{21}, E_{11}, E_{22}

E_{ij} désigne la matrice élémentaire (δ_{ik}δ_{jl})_{k,l} de M_{n}(ℤ).

Références

[1] Alev, J.; Chamarie, M.: Dérivations et automorphismes de quelques algèbres quantiques. Comm. Algebra 20 (1992), 1787–1802.

[2] Alev, J.; Dumas, F.: Rigidité des plongements des quotients primitifs minimaux de U_{q}(sl(2)) dans l’algèbre quantique de Weyl-Hayashi. Prépublication de l’Université de Reims, Département de Mathématiques, 94.7.

[3] Caldero, P.: Algèbres enveloppantes quantifiées: Action adjointe et représentations. Université de Paris VI, Thèse de Doctorat, 1993.

[4] De Concini, C.; Procesi, C.: Quantum Groups. Preprints di matematica–n.6 , Scuola Normale Superiore Pisa, 2 (1993).

[5] Jacobson, N.: Lie algebras. Tracts in Math. 10, Wiley Interscience Publishers, New York 1966.

[6] Joseph, A.: A wild automorphism of U(sl(2)). Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 80 (1976), 61–65.

[7] Lusztig, G.: Finite dimensional Hopf algebras arising from quantized enveloping algebras. J. Amer. Math. Soc. 3 (1990), 257–296.

[8] Lusztig, G.: Introduction to Quantum Groups. Progr. Math. 110, Birkhäuser, Boston 1993.

[9] Nagata, M.: On the automorphism group of k[X, Y]. Kyoto Univ. Lectures in Math. 5, Kyoto University, Kinokuniya–Tokyo, 1972.

[10] Polo, P.: Dynkin diagrams and enveloping algebras of semisimple Lie algebras. Prépublication.

[11] Smith, M. K.: Automorphisms of Enveloping algebras. Comm. Algebra 11 (1983), No. 16.

[12] van der Kulk, W.: On polynomial rings in two variables. Nieuw Arch. Wisk. 3 (1953), No. 1, 33–41.

Received November 5, 1996