Beiträge zur Algebra und Geometrie Contributions to Algebra and Geometry Volume 38 (1997), No. 2, 385-398.

Teilverhältnisse in affinen Räumen über Moduln^{1}

Andrea K. Bach

Fachbereich Mathematik, Johannes-Gutenberg-Universität Mainz Staudingerweg 9, D-55128 Mainz e-mail: BACH@MAT.Mathematik.Uni-Mainz.DE

Abstract. A generalization of the ratio of points in an affine space over a module and a general fundamental theorem for ratio-preserving mappings between affine spaces over modules is obtained. Also we give a new proof of the general fundamental theorem for affine mappings. Keywords: ratio, affine space, module, affine mapping, ratio-preserving mapping, fundamental theorem

Einleitung

Im Klassischen lautet der Fundamentalsatz für affine Abbildungen (siehe [3]): Eine affine Abbildung, deren Bild eine Ebene enthält, wird von einer semilinearen Abbildung induziert und ist genau dann teilverhältnistreu, falls die induzierende Abbildung linear ist. Dabei ist eine semilineare Abbildung φ eine Funktion zwischen Vektorräumen, welche additiv ist und für die ein Automorphismus φ̇ zwischen den zugrundeliegenden Schiefkörpern existiert, so daß φ(λw) = φ̇(λ)φ(w) für alle λ aus dem entsprechenden Schiefkörper und w aus dem entsprechenden Vektorraum.

Simone Weller und Stefan E. Schmidt verallgemeinerten in [2] die erste Aussage des Fundamentalsatzes für den Fall eines affinen Raumes eines Moduls über einem allgemeinen unitären, assoziativen Ring. (W. Leißner bewies in [4] ein analoges Resultat für Barbilianebenen. Das Konzept der Barbilianebenen ist jedoch ein anderes als das der affinen Räume.)

1Diese Arbeit ist Teil einer zukünftigen Dissertation.

0138-4821/93 $ 2.50 \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} 1997 Heldermann Verlag

Die Bedingung, daß das Bild der affinen Abbildung eine Ebene enthält, mußte durch eine andere ersetzt werden, welche aber im Schiefkörperfalle genau der ursprünglichen entspricht.

In [3] wird der klassische Fundamentalsatz mit Hilfe der Teilverhältnisse von Punkten des affinen Raumes bewiesen. Dadurch ist eine Charakterisierung von teilverhältnistreuen Abbildungen möglich gewesen.

In der vorliegenden Arbeit wird der Begriff des Teilverhältnisses für Elemente eines Moduls definiert und eine Verallgemeinerung des Strahlensatzes und des Satzes von Pappos gegeben (für ein analoges Ergebnis im Falle einer Barbilianebene siehe [4]). Des weiteren wird der Fundamentalsatz von [2] mit Hilfe von Teilverhältnissen bewiesen. Anschließend werden teilverhältnistreue Abbildungen definiert und ein Fundamentalsatz für diese gezeigt. Er lautet: Enthält das Bild einer affinen Abbildung α, welche von einer semilinearen Abbildung φ induziert wird, zwei distante Punkte, so ist α genau dann teilverhältnistreu, falls der zu φ gehörige Ringhomomorphismus φ̇ idempotent ist und der Kern von φ̇ günstig zu allen Annullatoren der Urbildvektoren liegt. Ein Korollar hiervon ist die Aussage, daß α teilverhältnistreu ist, falls φ̇ idempotent ist und für alle μ ∈ Kern(φ̇) gilt, daß (μ + Ann(_{R}M)) ∩ Ann(_{R}Bild(φ)) ≠ ∅. Dabei bezeichnen Ann(_{R}M) und Ann(_{R}Bild(φ)) die Annullatoren der Moduln _{R}M beziehungsweise _{R}Bild(φ) über dem Ring R.

Zunächst einige grundlegende Begriffe (vergleiche [1]) :

Einleitende Definitionen

Es bezeichne_{R}M stets einen (unitären) Linksmodul über einem (unitären, assoziativen) Ring R. Für v ∈ M sei A(v) der Linksannullator von v. Dieser ist ein Linksideal von R, und es gilt immer Rv_{R}≅R/A(v). Ein v ∈ M heißt annullatorfrei, falls A(v) = 0, also ist Rv_{R}≅R. Es bezeichne Ann(_{R}M) den Annullator von _{R}M.

Eine Familie {v_{i} | i ∈ I} ⊂ M heiße schwach linear unabhängig, falls gilt: Ist λ_{i_{1}}v_{i_{1}} + ⋯ + λ_{i_{n}}v_{i_{n}} = 0 für eine Wahl {i_{1}, …, i_{n}} ⊆ I, n ∈ ℕ und λ_{i_{j}} ∈ R für alle j = 1, …, n, so gilt λ_{i_{j}} ∈ A(v_{i_{j}}) für alle j = 1, …, n. Eine Familie {v_{i} | i ∈ I} von Elementen aus M ist genau dann schwach linear unabhängig, falls der von den v_{i}, i ∈ I, erzeugte Untermodul gleich ⨁_{i∈I} Rv_{i} ist. Somit gilt für w_{i} ∈ Rv_{i}, i ∈ I, daß auch {w_{i} | i ∈ I} schwach linear unabhängig ist.

Sind v, w ∈ M schwach linear unabhängig, so gilt A(v + w) = A(v) ∩ A(w). In dem Fall ist also v + w genau dann annullatorfrei, falls A(v) ∩ A(w) = 0.

Eine Familie {v_{i} | i ∈ I} ⊂ M ist genau dann linear unabhängig, falls {v_{i} | i ∈ I} schwach linear unabhängig ist und alle v_{i}, i ∈ I, annullatorfrei sind.

Ein affiner Raum über _{R}M ist eine Menge A, auf der die additive Gruppe von _{R}M scharf transitiv operiert, das heißt, für alle p, q ∈ A existiert genau ein v ∈ M, so daß q aus der Operation durch v auf p hervorgeht. Schreibe dafür p + v = q und q − p = v. Die Elemente von A nennen wir (affine) Punkte.

Eine Punktmenge der Form p + U := {p + u | u ∈ U}, wobei _{R}U ein Untermodul von RM ist, heißt (affine) Linearmenge. Zwei Linearmengen p + U, q + V mit _{R}U,_{R}V ≤ _{R}M und p, q ∈ A heißen teilparallel — in Zeichen: p+U ⊆∥ q +V, falls U ⊆ V. Ist auch q +V ⊆∥ p+U, so heißen die beiden Linearmengen parallel — in Zeichen: p + U ∥ q + V. Gilt für zwei affine Linearmengen L_{1} und L_{2}, daß L_{1} ⊆ ∥ L_{2} und L_{1} ∩ L_{2} ≠ ∅, so ist L_{1} ⊆ L_{2}.

Der Schnitt beliebiger affiner Linearmengen ist eine affine Linearmenge. Sind p + U und q+V zwei affine Linearmengen, so bezeichne (p+U)∨(q+V) die kleinste affine Linearmenge, welche p + U und q + V enthält. Es gilt dann (p + U) ∨ (q + V) = p + W = q + W mit W = R(q − p) + U + V. Statt {p_{1}} ∨ … ∨ {p_{n}} für p_{1}, …, p_{n} ∈ A, n ∈ ℕ, schreiben wir p_{1} ∨ … ∨ p_{n}.

Die affine Linearmenge p + Rv mit p ∈ A und v ∈ M heißt (affine) Gerade. Durch zwei Punkte p ≠ q geht also eine kleinste Gerade p ∨ q, nämlich die Gerade p + R(q − p). Drei Punkte p, q, r ∈ A heißen balanciert, falls p ∨ r = r ∨ q = q ∨ p.

Genau dann ist eine Gerade p + Rv teilparallel zu einer Geraden q + Rw, falls ein λ ∈ R mit λv = w existiert.

Zwei Punkte p und q heißen distant — in Zeichen: p % q, falls q − p annullatorfrei ist. Eine Gerade p ∨ q heißt frei, falls p % q. Genau dann ist also eine Gerade p + Rv frei, wenn v annullatorfrei ist.

Zwei affine Linearmengen p + U und q + V heißen aparallel — in Zeichen: p + U ♯ q + V, falls z + U und z + V mit beliebigem z ∈ A sich nur in dem Punkt z schneiden. Genau dann sind zwei Geraden p + Rv und q + Rw aparallel, wenn v und w schwach linear unabhängig sind.

Zwei affine Linearmengen L_{1} und L_{2} heißen distant, falls für alle x ∈ L_{1} und y ∈ L_{2} gilt, daß x % y und L_{1} ♯ x ∨ y ♯ L_{2}. Genau dann sind zwei affine Linearmengen p + U und q + V distant, falls q − p annullatorfrei sowie schwach linear unabhängig zu allen u ∈ U und v ∈ V ist. Zwei affine Linearmengen heißen windschief, falls sie distant und aparallel sind.

Ein Punktequadrupel (p, q, r, s) heißt Parallelogramm, falls p ∨ q ∥ r ∨ s und q ∨ s ∥ p ∨ r. Sind vier Punkte p, q, r, s ∈ A mit q −p = s−r gegeben, so ist (p, q, r, s) ein Parallelogramm. Ist (p, q, r, s) ein Parallelogramm, und ist p ∨ q ♯ p ∨ r, so ist q − p = s − r.

Teilverhältnisse

Sei _{R}M Linksmodul über dem Ring R und A ein affiner Raum über _{R}M.

Definition 1. Für die Punkte q, q′, r, r′ ∈ A sei das Teilverhältnis

\frac{q′ − q}{r′ − r} := \{λ ∈ R | λ(r′ − r) = q′ − q\}.

Es gilt also \frac{q′−q}{r′−r} ≠ ∅ ⇔ q ∨ q′ ⊆ ∥ r ∨ r′. Ist \frac{q′−q}{r′−r} ≠ ∅, so ist \frac{q′−q}{r′−r} ∈ R/A(r′ − r) ≅ R(r′ − r).

Lemma 1.1. Seien Punkte p, r, s ∈ A mit p ∨ r ⊆ p ∨ s gegeben. Für die Komposition φ_{\frac{r−p}{s−p}} der linearen Abbildungen

R/A(r − p) ≅ R(r − p) ↪ R(s − p) ≅ R/A(s − p) : \frac{q − p}{r − p} ⟼ \frac{q − p}{s − p}

gilt dann

φ_{\frac{r−p}{s−p}} (\frac{q − p}{r − p}) = x · \frac{r − p}{s − p}

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für alle x ∈ \frac{q−p}{r−p}, wobei q ∈ p ∨ r. Schreibe deshalb

\frac{q − p}{r − p} ⊙ \frac{r − p}{s − p} für φ_{\frac{r−p}{s−p}} (\frac{q − p}{r − p}) .

Beweis. Die Aussage folgt aus dem kommutativen Diagramm

[figure: R(r − p); R; R(s − p),; R; ε_{r−p}; ε_{s−p}; ι; ·λ]

wobei λ ∈ \frac{r−p}{s−p}, ε_{r−p} und ε_{s−p} die natürlichen Epimorphismen und ι die Einbettung sind. □ Bemerkung.

a) Seien p, q, r ∈ A mit p ∨ q ⊆ p ∨ r. Dann gilt r ∨ q ⊆ r ∨ p, und für alle μ ∈ \frac{q−p}{r−p} ist 1 − μ ∈ \frac{q−r}{p−r}. Ebenso ist für λ ∈ \frac{q−r}{p−r} auch 1 − λ ∈ \frac{q−p}{r−p}. Schreibe deshalb \frac{q−r}{p−r} = 1 − \frac{q−p}{r−p}.

b) Seien p, q, r ∈ A mit p ∨ q = p ∨ r. Dann gilt für alle μ ∈ \frac{q−p}{r−p} und alle λ ∈ \frac{r−p}{q−p}, daß μλ ∈ \frac{q−p}{q−p} = 1 + A(q − p) und λμ ∈ \frac{r−p}{r−p} = 1 + A(r − p).

c) Seien p, q, r ∈ A balanciert. Dann gilt für alle μ ∈ \frac{q−p}{r−p} und alle ε ∈ \frac{p−r}{q−r}, daß ε(1 − μ) ∈

\frac{r−p}{r−p} = 1 + A(r − p). Satz 1.1 (Strahlensatz). Seien p, q, r, q′, r′ ∈ A mit p ∨ q ⊆ p ∨ r sowie p ∨ q′ ⊆ p ∨ r′ gegeben, und es gelte p ∨ r ♯ p ∨ r′. Dann ist

\frac{q′ − p}{r′ − p} ∩ \frac{q − p}{r − p} = \frac{q′ − q}{r′ − r} .

Insbesondere gilt

q′ ∨ q ⊆∥ r′ ∨ r ⟺ \frac{q′ − p}{r′ − p} ∩ \frac{q − p}{r − p} ≠ ∅.

Beweis. Sei zunächst λ ∈ \frac{q′−p}{r′−p} ∩ \frac{q−p}{r−p}, also λ(r′ − p) = q′ − p und λ(r − p) = q − p. Dann ist

λ(r′ − r) = λ(r′ − p + p − r) = λ(r′ − p) + λ(p − r) = (q′ − p) + (p − q)
= q′ − q

also q′ ∨ q ⊆∥ r′ ∨ r und λ ∈ \frac{q′−q}{r′−r}.

Umgekehrt sei nun q′ ∨ q ⊆∥ r′ ∨ r, das heißt, es existiert ein λ ∈ \frac{q′−q}{r′−r}. Dann folgt

λ(r′ − p) = λ(r′ − r + r − p) = λ(r′ − r) + λ(r − p)
= (q′ − q) + λ(r − p) = (q′ − p) + (p − q) + λ(r − p),

und somit

λ(r′ − p) − (q′ − p) = λ(r − p) − (q − p).

Da p ∨ q ⊆ p ∨ r und p ∨ q′ ⊆ p ∨ r′ ist, existiert ein x ∈ \frac{q′−p}{r′−p} und ein y ∈ \frac{q−p}{r−p}. So folgt

(λ − x)(r′ − p) = (λ − y)(r − p).

Nach Voraussetzung sind aber r − p und r′ − p schwach linear unabhängig, somit gilt λ − x ∈ A(r′ − p) und λ − y ∈ A(r − p), also λ ∈ \frac{q′−p}{r′−p} ∩ \frac{q−p}{r−p}. □

Axiom. Unter dem Satz von Pappos verstehen wir folgende Aussage für einen affinen Raum A über einem Linksmodul _{R}M: Für alle Punkte p, q, r, s, q′, r′, s′ ∈ A mit p∨s ♯ p∨s′ folgt aus q∨r′ ⊆∥ r∨s′ und q′∨r ⊆∥ r′∨s, daß q ∨ q′ ⊆∥ s ∨ s′.

Satz 1.2. In A gilt der Satz von Pappos genau dann, wenn für alle schwach linear unabhängigen v, w ∈ M und alle λ, μ ∈ R ein σ ∈ R existiert, so daß

σ = λμ mod A(v)
σ = μλ mod A(w).

Beweis. Seien p, q, r, s, q′, r′, s′ Punkte, welche die Voraussetzungen des Satzes von Pappos erfüllen. Nach dem Strahlensatz existieren dann

λ ∈ \frac{q − r′}{r − s′} = \frac{q − p}{r − p} ∩ \frac{r′ − p}{s′ − p} und
μ ∈ \frac{r − q′}{s − r′} = \frac{r − p}{s − p} ∩ \frac{q′ − p}{r′ − p} .

Es ist

λμ ∈ \frac{q − p}{r − p} ⊙ \frac{r − p}{s − p} = \frac{q − p}{s − p} und
μλ ∈ \frac{q′ − p}{r′ − p} ⊙ \frac{r′ − p}{s′ − p} = \frac{q′ − p}{s′ − p} .

Der Satz von Pappos gilt genau dann, falls

σ ∈ \frac{q − q′}{s − s′} = \frac{q − p}{s − p} ∩ \frac{q′ − p}{s′ − p} ,

existiert. Aber genau dann ist σ ∈ \frac{q−q′}{s−s′} = \frac{q−p}{s−p} ∩ \frac{q′−p}{s′−p}, falls λμ − σ ∈ A(s − p) und μλ − σ ∈ A(s′ − p). □

Bemerkung. Ist R kommutativ, so gilt der Satz von Pappos in jedem affinen Raum über einem Modul _{R}M. (Wähle für σ immer λμ = μλ.) Enthält _{R}M einen freien Modul vom Rang 2, so gilt der Satz von Pappos in A genau dann, wenn R kommutativ ist (vergleiche [4], Satz 12).

Affine Abbildungen

Seien A und A′ affine Räume über den Linksmoduln _{R}M beziehungsweise _{R′}M′.

Definition 2. Eine Abbildung α : A ⟶ A′, p ⟼ p^{α} heißt affin, falls für alle p, q, r, s ∈ A aus r ∨ s ⊆∥ p ∨ q folgt, daß r^{α} ∨ s^{α} ⊆∥ p^{α} ∨ q^{α}.

Eine Abbildung φ : M ⟶ M′, v ⟼ φ(v) heißt semilinear, falls sie additiv ist und ein (unitärer) Ringhomomorphismus φ̇ : R ⟶ R′, λ ⟼ φ̇(λ) existiert, so daß

φ(λv) = φ̇(λ)φ(v)

für alle λ ∈ R und v ∈ M.

Jede semilineare Abbildung φ : _{R}M ⟶ _{R′}M′ induziert affine Abbildungen α : A ⟶ A′ durch q ⟼ o′ + φ(q − o), wobei o ∈ A, o′ ∈ A′.

Eine affine Abbildung, welche von einer semilinearen Abbildung induziert wird, heiße affin-semilinear.

Bemerkung. Sei α : A ⟶ A′ von der semilinearen Abbildung φ induziert.

a) Für alle p ∈ A gilt q^{α} = p^{α} + φ(q − p) für alle q ∈ A, also ist q^{α} − p^{α} = φ(q − p) für alle p, q ∈ A.

b) Aus q − p = s − r folgt q^{α} − p^{α} = s^{α} − r^{α} für alle p, q, r, s ∈ A.

c) Aus \frac{q−p}{r−p} ∩ \frac{q′−p′}{r′−p′} ≠ ∅ folgt \frac{q^{α}−p^{α}}{r^{α}−p^{α}} ∩ \frac{q^{′α}−p^{′α}}{r^{′α}−p^{′α}} ≠ ∅ für alle p, q, r, p′, q′, r′ ∈ A mit p ∨ q ⊆ p ∨ r und p′ ∨ q′ ⊆ p′ ∨ r′.

Lemma 2.1. Sei α eine affine Abbildung zwischen den affinen Räumen A und A′. a) Sind p, q, r, s ∈ A, so daß p^{α}∨q^{α} ♯ p^{α}∨r^{α}, so folgt aus q−p = s−r, daß q^{α}−p^{α} = s^{α}−r^{α}.

b) Sind p, q, r, q′, r′ ∈ A, so daß p^{α} ∨ r^{α} ♯ p^{α} ∨ r′^{α}, so folgt aus \frac{q−p}{r−p} ∩ \frac{q′−p}{r′−p} ≠ ∅, daß \frac{q^{α}−p^{α}}{r^{α}−p^{α}} ∩ \frac{q′^{α}−p^{α}}{r′^{α}−p^{α}} ≠ ∅.

Beweis.

a) Ist q − p = s − r, so ist (p, q, r, s) ein Parallelogramm. Da α affin ist, ist auch (p^{α}, q^{α}, r^{α}, s^{α}) ein Parallelogramm. Aus der Aparallelität von p^{α} ∨ q^{α} mit p^{α} ∨ r^{α} folgt dann q^{α} − p^{α} = s^{α} − r^{α}.

b) Ist \frac{q−p}{r−p} ∩ \frac{q′−p}{r′−p} ≠ ∅, so ist q ∨ q′ ⊆∥ r ∨ r′. Da α affin ist, folgt sofort q^{α} ∨ q′^{α} ⊆∥ r^{α} ∨ r′^{α}. Aus der Aparallelität von p^{α} ∨ r^{α} und p^{α} ∨ r′^{α} folgt mit dem Strahlensatz, daß \frac{q^{α}−p^{α}}{r^{α}−p^{α}} ∩ \frac{q′^{α}−p^{α}}{r′^{α}−p^{α}} ≠ ∅. □

Lemma 2.2. Sei α : A ⟶ A′ affin, Bild(α) enthalte zwei distante Punkte o^{α} sowie t^{α}, und es gelte

(1) q − p = s − r ⟹ q^{α} − p^{α} = s^{α} − r^{α} für alle p, q, r, s ∈ A, sowie

(2) \frac{q−p}{r−p} ∩ \frac{q′−p′}{r′−p′} ≠ ∅ ⟹ \frac{q^{α}−p^{α}}{r^{α}−p^{α}} ∩ \frac{q^{′α}−p^{′α}}{r^{′α}−p^{′α}} ≠ ∅ für alle p, q, r, p′, q′, r′ ∈ A mit p ∨ q ⊆∥ p ∨ r und p′ ∨ q′ ⊆∥ p′ ∨ r′.

Dann ist α affin-semilinear.

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Beweis. Definiere

φ̇ : R ⟶ R′ : λ ⟼ φ̇(λ) ∈ \frac{(o + λ(t − o))^{α} − o^{α}}{t^{α} − o^{α}} .

φ̇ ist wohldefiniert, da t^{α} − o^{α} annullatorfrei ist. Nach (2) ist

φ̇(λ) ∈ \frac{(p + λ(q − p))^{α} − p^{α}}{q^{α} − p^{α}}

für alle p, q ∈ A. Definiere

φ : M ⟶ M′ : v ⟼ (o + v)^{α} − o^{α}.

Nach (1) gilt

φ(v) = q^{α} − p^{α}

für alle p, q ∈ A mit v = q − p.

(i) Es gilt φ(v + w) = φ(v) + φ(w) für alle v, w ∈ M:

Sei r := o + v und s := r + w. Dann ist

φ(v + w) = φ(s − o) = s^{α} − o^{α} = (r^{α} − o^{α}) + (s^{α} − r^{α})
= φ(r − o) + φ(s − r) = φ(v) + φ(w).

(ii) Es gilt φ(λv) = φ̇(λ)φ(v) für alle v ∈ M und λ ∈ R:

Sei r := o + v, q := o + λ(r − o) = o + λv. Dann ist

φ(λv) = φ(q − o) = q^{α} − o^{α} = φ̇(λ)φ(v),

da φ̇(λ) ∈ \frac{q^{α}−o^{α}}{r^{α}−o^{α}} und φ(v) = r^{α} − o^{α}. (iii) Es gilt φ̇(λ + μ) = φ̇(λ) + φ̇(μ) für alle λ, μ ∈ R:

Nach (i) und (ii) ist mit v := t − o

φ̇(λ + μ)φ(v) = φ((λ + μ)v) = φ(λv) + φ(μv) = (φ̇(λ) + φ̇(μ))φ(v). Da φ(v) annullatorfrei ist, folgt die Behauptung.

(iv) Es gilt φ̇(λ_{1}λ_{2}) = φ̇(λ_{1})φ̇(λ_{2}) für alle λ_{1}, λ_{2} ∈ R:

Seien

t′ := o + λ_{2}(t − o) und
t′′ := o + λ_{1}(t′ − o).

Dann gilt

φ̇(λ_{1}) ∈ \frac{t^{′′α} − o^{α}}{t^{′α} − o^{α}} ,

und damit

φ̇(λ_{1})φ̇(λ_{2}) ∈ \frac{t^{′′α} − o^{α}}{t^{′α} − o^{α}} ⊙ \frac{t^{′α} − o^{α}}{t^{α} − o^{α}} = \frac{t^{′′α} − o^{α}}{t^{α} − o^{α}} = \{φ̇(λ_{1}λ_{2})\}.

Zudem ist

p^{α} = o^{α} + (p^{α} − o^{α}) = o^{α} + φ(p − o)

für alle p ∈ A. Insgesamt ist α eine von der semilinearen Abbildung φ induzierte affine Abbildung. □

Theorem 2.1 (Fundamentalsatz für affine Abbildungen). Seien A und A′ affine Räume über den Linksmoduln _{R}M beziehungsweise _{R′}M′, α : A ⟶ A′ eine Abbildung. Es mögen affine Linearmengen L_{1} und L_{2} von A durch einen Punkt o mit L_{1} ∨ L_{2} = A derart existieren, daß gilt:

(1) Für alle x_{i} ∈ L_{i}, i = 1, 2, ist o^{α} ∨ x_{1}^{α} ♯ o^{α} ∨ x_{2}^{α}.

(2) In L_{j}^{α} existiert ein Punkt t_{j}^{α}, der distant zu allen o^{α} ∨ x_{i}^{α} ∨ y_{i}^{α} (x_{i}, y_{i} ∈ L_{i}, i ≠ j) ist.

Dann ist α genau dann affin, wenn α affin-semilinear ist.

Bemerkung. Im Falle, daß α von einer semilinearen Abbildung φ induziert wird, läßt sich die im Fundamentalsatz geforderte Reichhaltigkeitsbedingung in eine äquivalente algebraische Voraussetzung umformulieren: Es mögen Untermoduln M_{1} und M_{2} von _{R}M mit M_{1} + M_{2} = M derart existieren, daß gilt:

(1) Für alle v_{i} ∈ M_{i}, i = 1, 2, ist φ(v_{1}) schwach linear unabhängig zu φ(v_{2}).

(2) In φ(M_{j}) existiert ein Vektor φ(t_{j}), der annullatorfrei und schwach linear unabhängig zu jedem v ∈ R′φ(v_{i}) + R′φ(w_{i}) ist, wobei v_{i}, w_{i} ∈ M_{i} (i ≠ j).

Beweis. A) Für alle Punkte p, q, r, s mit q − p = s − r gilt q^{α} − p^{α} = s^{α} − r^{α}:

(i) Seien Punkte q_{1}, r_{1}, s_{1} aus L_{1} gegeben, so daß q_{1} − o = s_{1} − r_{1}. Nach Voraussetzung existiert ein t_{2} ∈ L_{2}, so daß t_{2}^{α} distant zu o^{α} ∨ q_{1}^{α} ∨ r_{1}^{α} ist. Also ist o^{α} ∨ t_{2}^{α} ♯ o^{α} ∨ q_{1}^{α} und r_{1}^{α} ∨ t_{2}^{α} ♯ r_{1}^{α} ∨ s_{1}^{α}. (Beachte dabei, daß s_{1}^{α} ∈ o^{α} ∨ q_{1}^{α} ∨ r_{1}^{α}, da α affin ist.) Sei nun t′_{2} := t_{2} + (q_{1} − o), womit t′_{2} − t_{2} = q_{1} − o = s_{1} − r_{1}. Dann folgt nach dem Lemma 2.1, daß q_{1}^{α} − o^{α} = t′_{2}^{α} − t_{2}^{α} = s_{1}^{α} − r_{1}^{α} gilt. Analoges gilt für Punkte q_{2}, r_{2}, s_{2} aus L_{2}.

(ii) Seien nun Punkte q, r, s aus A mit q−o = s−r gegeben. Nach Voraussetzung existieren nun q_{i}, r_{i} ∈ L_{i} für i = 1, 2 mit

q − o = (q_{1} − o) + (q_{2} − o) und
r − o = (r_{1} − o) + (r_{2} − o).

Damit bilden die Punkte o, q_{1}, q_{2}, q ein Parallelogramm, und es folgt, da α affin ist, daß die Bildpunkte o^{α}, q_{1}^{α}, q_{2}^{α}, q^{α} ein Parallelogramm bilden. Da nach Voraussetzung o^{α} ∨ q_{1}^{α} ♯ o^{α} ∨ q_{2}^{α} ist, folgt nach dem Lemma 2.1, daß q_{1}^{α} − o^{α} = q^{α} − q_{2}^{α} und somit ist

q^{α} − o^{α} = (q_{1}^{α} − o^{α}) + (q_{2}^{α} − o^{α}).

Analog kann

r^{α} − o^{α} = (r_{1}^{α} − o^{α}) + (r_{2}^{α} − o^{α}), und
s^{α} − o^{α} = (s_{1}^{α} − o^{α}) + (s_{2}^{α} − o^{α})

gefolgert werden, wobei s_{i} := r_{i} + (q_{i} − o). Nach dem schon Bewiesenen gilt

q_{1}^{α} − o^{α} = s_{1}^{α} − r_{1}^{α} und q_{2}^{α} − o^{α} = s_{2}^{α} − r_{2}^{α},

insgesamt also q^{α} − o^{α} = s^{α} − r^{α}. (iii) Seien nun beliebige Punkte p, q, r, s ∈ A mit q − p = s − r gegeben. Dann gilt

q^{α} − p^{α} = (o + (q − p))^{α} − o^{α} = (o + (s − r))^{α} − o^{α} = s^{α} − r^{α}.

Bemerkung. Aus A) folgt, daß die im Fundamentalsatz geforderten Reichhaltigkeitsbedingungen nicht nur für o, sondern für alle p ∈ A gelten, genauer: Für p ∈ A und i = 1, 2 sei L_{i}^{p} die parallele Linearmenge zu L_{i} durch p. Dann folgt für t_{i}^{p} := p + (t_{i} − o), daß: a)) Für alle x_{i} ∈ L_{i}^{p}, i = 1, 2, ist p^{α} ∨ x_{1}^{α} ♯ p^{α} ∨ x_{2}^{α}. b)) In (L_{j}^{p})^{α} existiert der Punkt (t_{j}^{p})^{α}, der distant zu allen p^{α} ∨ x_{i}^{α} ∨ y_{i}^{α}

(x_{i}, y_{i} ∈ L_{i}^{p}, i ≠ j) ist. Ebenfalls aus A) folgt, daß \frac{q^{α}−p^{α}}{s^{α}−r^{α}} = \frac{q^{′α}−p^{′α}}{s^{′α}−r^{′α}}, falls q − p = q′ − p′ und s − r = s′ − r′, für alle p, q, r, s, p′, q′, r′, s′ ∈ A mit p ∨ q ⊆∥ r ∨ s und p′ ∨ q′ ⊆∥ r′ ∨ s′.

B) Für Punkte p, q, r, p′, q′, r′ aus A mit p∨q ⊆∥ p∨r und p′∨q′ ⊆∥ p′∨r′ folgt aus \frac{q−p}{r−p}∩\frac{q′−p′}{r′−p′} ≠ ∅, daß auch \frac{q^{α}−p^{α}}{r^{α}−p^{α}} ∩ \frac{q^{′α}−p^{′α}}{r^{′α}−p^{′α}} ≠ ∅:

(i) Seien r, r′ ∈ L_{1}, q, q′ ∈ A mit o ∨ q ⊆ o ∨ r und o ∨ q′ ⊆ o ∨ r′. Dann sind auch q, q′ ∈ L_{1}. Nach den Voraussetzungen existiert ein t_{2} ∈ L_{2}, so daß t_{2}^{α}%o^{α} und t_{2}^{α} ∨ o^{α} zu o^{α} ∨ x_{1}^{α} ∨ y_{1}^{α} für alle x_{1}, y_{1} ∈ L_{1} aparallel ist. Ist nun \frac{q−o}{r−o} ∩ \frac{q′−o}{r′−o} ≠ ∅, so wähle ein λ ∈ \frac{q−o}{r−o} ∩ \frac{q′−o}{r′−o} und definiere t′_{2} := o + λ(t_{2} − o), so daß

\frac{t′_{2} − o}{t_{2} − o} ∩ \frac{q − o}{r − o} ≠ ∅ und
\frac{t′_{2} − o}{t_{2} − o} ∩ \frac{q′ − o}{r′ − o} ≠ ∅.

Da o^{α} ∨ t_{2}^{α} zu o^{α} ∨ r^{α} und o^{α} ∨ r^{′α} apparallel ist, gilt nach dem Lemma 2.1, daß

\frac{t_{2}^{′α} − o^{α}}{t_{2}^{α} − o^{α}} ∩ \frac{q^{α} − o^{α}}{r^{α} − o^{α}} ≠ ∅ und
\frac{t_{2}^{′α} − o^{α}}{t_{2}^{α} − o^{α}} ∩ \frac{q^{′α} − o^{α}}{r^{′α} − o^{α}} ≠ ∅.

Weil t_{2}^{α} − o^{α} annullatorfrei ist, existiert genau ein μ ∈ \frac{t_{2}^{′α}−o^{α}}{t_{2}^{α}−o^{α}}. Damit gilt

μ ∈ \frac{q^{α} − o^{α}}{r^{α} − o^{α}} ∩ \frac{q^{′α} − o^{α}}{r^{′α} − o^{α}} ≠ ∅.

Analoges gilt für Punkte q, r, q′, r′ ∈ L_{2}. (ii) Seien nun beliebige Punkte q, r, q′, r′ aus A mit o∨q ⊆ o∨r und o∨q′ ⊆ o∨r′ gegeben.

Nach Voraussetzung existieren r_{i}, r′_{i} ∈ L_{i}, i = 1, 2, mit

r − o = (r_{1} − o) + (r_{2} − o) und
r′ − o = (r′_{1} − o) + (r′_{2} − o).

Da r_{1}^{α} − o^{α} und r_{2}^{α} − o^{α} schwach linear unabhängig sind, gilt

r^{α} − o^{α} = (r_{1}^{α} − o^{α}) + (r_{2}^{α} − o^{α}),

ebenso

r^{′α} − o^{α} = (r_{1}^{′α} − o^{α}) + (r_{2}^{′α} − o^{α}),

und damit A(r^{α} − o^{α}) = A(r_{1}^{α} − o^{α}) ∩ A(r_{2}^{α} − o^{α}) und A(r^{′α} − o^{α}) = A(r_{1}^{′α} −o^{α})∩A(r_{2}^{′α} −o^{α}). Sei nun \frac{q−o}{r−o} ∩ \frac{q′−o}{r′−o} ≠ ∅, λ ∈ \frac{q−o}{r−o} ∩ \frac{q′−o}{r′−o}. Setze q_{1} := o+λ(r_{1} −o) und q_{2} := o + λ(r_{2} − o). Dann gilt q_{i} ∈ L_{i}, i = 1, 2. Analog seien q′_{1} ∈ L_{1} und q′_{2} ∈ L_{2} definiert. Es ist dann

λ ∈ \frac{q_{1} − o}{r_{1} − o} ∩ \frac{q′_{1} − o}{r′_{1} − o} und
λ ∈ \frac{q_{2} − o}{r_{2} − o} ∩ \frac{q′_{2} − o}{r′_{2} − o} .

Nach dem schon Bewiesenen gilt

\frac{q_{1}^{α} − o^{α}}{r_{1}^{α} − o^{α}} ∩ \frac{q_{1}^{′α} − o^{α}}{r_{1}^{′α} − o^{α}} ⊇ \frac{t_{2}^{′α} − o^{α}}{t_{2}^{α} − o^{α}} und
\frac{q_{2}^{α} − o^{α}}{r_{2}^{α} − o^{α}} ∩ \frac{q_{2}^{′α} − o^{α}}{r_{2}^{′α} − o^{α}} ⊇ \frac{t_{1}^{′α} − o^{α}}{t_{1}^{α} − o^{α}} ,

wobei t′_{1} := o + λ(t_{1} − o) und t′_{2} := o + λ(t_{2} − o). Es ist dann

\frac{t′_{1} − o}{t_{1} − o} ∩ \frac{t′_{2} − o}{t_{2} − o} ≠ ∅.

Da o^{α} ∨ t_{1}^{α} ♯ o^{α} ∨ t_{2}^{α}, folgt nach dem Lemma 2.1, daß

\frac{t_{1}^{′α} − o^{α}}{t_{1}^{α} − o^{α}} ∩ \frac{t_{2}^{′α} − o^{α}}{t_{2}^{α} − o^{α}} ≠ ∅,

also

\frac{t_{1}^{′α} − o^{α}}{t_{1}^{α} − o^{α}} = \frac{t_{2}^{′α} − o^{α}}{t_{2}^{α} − o^{α}} ,

und damit

\frac{q_{1}^{α} − o^{α}}{r_{1}^{α} − o^{α}} ∩ \frac{q_{1}^{′α} − o^{α}}{r_{1}^{′α} − o^{α}} ∩ \frac{q_{2}^{α} − o^{α}}{r_{2}^{α} − o^{α}} ∩ \frac{q_{2}^{′α} − o^{α}}{r_{2}^{′α} − o^{α}} ≠ ∅.

Weil nun A(r^{α} − o^{α}) = A(r_{1}^{α} − o^{α}) ∩ A(r_{2}^{α} − o^{α}) und A(r^{′α} − o^{α}) = A(r_{1}^{′α} − o^{α}) ∩ A(r_{2}^{′α} − o^{α}), ist

\frac{q^{α} − o^{α}}{r^{α} − o^{α}} = \frac{q_{1}^{α} − o^{α}}{r_{1}^{α} − o^{α}} ∩ \frac{q_{2}^{α} − o^{α}}{r_{2}^{α} − o^{α}} und
\frac{q^{′α} − o^{α}}{r^{′α} − o^{α}} = \frac{q_{1}^{′α} − o^{α}}{r_{1}^{′α} − o^{α}} ∩ \frac{q_{2}^{′α} − o^{α}}{r_{2}^{′α} − o^{α}} ,

womit folgt, daß \frac{q^{α}−o^{α}}{r^{α}−o^{α}} ∩ \frac{q^{′α}−o^{α}}{r^{′α}−o^{α}} ≠ ∅. (iii) Da die entsprechenden Reichhaltigkeitsbedingungen für alle p ∈ A gelten, gilt für alle

p ∈ A, daß

\frac{q^{α} − p^{α}}{r^{α} − p^{α}} ∩ \frac{q^{′α} − p^{α}}{r^{′α} − p^{α}} ≠ ∅

für alle q, r, q′, r′ ∈ A mit \frac{q−p}{r−p} ∩ \frac{q′−p}{r′−p} ≠ ∅. Seien p, q, r, p′, q′, r′ ∈ A mit \frac{q−p}{r−p} ∩ \frac{q′−p′}{r′−p′} ≠ ∅ gegeben. Für q′′ := p + (q′ − p′) und r′′ := p + (r′ − p′) gilt nach A)

\frac{q^{′′α} − p^{α}}{r^{′′α} − p^{α}} = \frac{q^{′α} − p^{′α}}{r^{′α} − p^{′α}} .

Damit ist

\frac{q^{α} − p^{α}}{r^{α} − p^{α}} ∩ \frac{q^{′α} − p^{′α}}{r^{′α} − p^{′α}} = \frac{q^{α} − p^{α}}{r^{α} − p^{α}} ∩ \frac{q^{′′α} − p^{α}}{r^{′′α} − p^{α}} ≠ ∅.

Nach dem Lemma 2.2 folgt, daß α von einer semilinearen Abbildung induziert wird. □

Teilverhältnistreue affine Abbildungen

Seien _{R}M und _{R}M′ Linksmoduln über einem Ring R, sowie A und A′ affine Räume über RM beziehungsweise _{R}M′.

Definition 3. Eine affine Abbildung α : A ⟶ A′ heiße teilverhältnistreu, falls für alle p, q, r, s ∈ A mit p ∨ q ⊆∥ r ∨ s gilt, daß

\frac{q − p}{s − r} ∩ \frac{q^{α} − p^{α}}{s^{α} − r^{α}} ≠ ∅.

Bemerkung. Sei α : A ⟶ A′ eine affine Abbildung, welche von der semilinearen Abbildung φ induziert wird. Der zugehörige Ringhomomorphismus sei φ̇.

a) Da für Punkte p, q, r, s mit p ∨ q ⊆∥ r ∨ s gilt, daß p ∨ q ⊆ p ∨ (p + (s − r)) und

\frac{q − p}{s − r} = \frac{q − p}{((p + (s − r)) − p)} ,

und da für α gilt, daß q^{α} − p^{α} = s^{α} − r^{α} für Punkte p, q, r, s ∈ A mit q − p = s − r, ist α genau dann teilverhältnistreu, falls für alle p, q, r ∈ A mit p ∨ q ⊆ p ∨ r folgt, daß

\frac{q − p}{r − p} ∩ \frac{q^{α} − p^{α}}{r^{α} − p^{α}} ≠ ∅.

b) Die Abbildung φ ist genau dann linear, falls

{λ − φ̇(λ) | λ ∈ R} ⊆ Ann(_{R}Bild(φ)).

Ist φ̇ idempotent, so ist demnach φ genau dann linear, falls Kern(φ̇) ⊆ Ann(_{R}Bild(φ)). Insbesondere ist φ linear, falls φ̇ die Identität auf R ist. Da gilt

λ ∈ \frac{q − p}{r − p} ⟹ φ̇(λ) ∈ \frac{q^{α} − p^{α}}{r^{α} − p^{α}}

für alle p, q, r ∈ A mit p ∨ q ⊆ p ∨ r, ist α teilverhältnistreu, falls φ linear ist.

c) Die Abbildung α ist nach Definition genau dann teilverhältnistreu, falls für alle λ ∈ R gilt, daß (λ + A(w)) ∩ (φ̇(λ) + A(φ(w))) ≠ ∅ für alle w ∈ M ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn für alle λ ∈ R gilt, daß ((λ − φ̇(λ)) + A(w)) ∩ A(φ(w)) ≠ ∅ für alle w ∈ M ist, was äquivalent zu A(w) ∩ ((φ̇(λ) − λ) + A(φ(w))) ≠ ∅ für alle w ∈ M ist.

Lemma 3.1. Sei α : A ⟶ A′ affin-semilinear, φ die induzierende semilineare Abbildung und φ̇ der zugehörige Ringhomomorphismus.

a) Ist φ̇ idempotent, so ist die Abbildung α genau dann teilverhältnistreu, falls für alle μ ∈ Kern(φ̇) gilt, daß (μ + A(w)) ∩ A(φ(w)) ≠ ∅ für alle w ∈ M. Dies gilt dann und nur dann, wenn A(w) ∩ (μ + A(φ(w))) ≠ ∅ für alle μ ∈ Kern(φ̇) und w ∈ M ist.

b) Existieren in Bild(α) zwei distante Punkte t^{α} und o^{α}, o, t ∈ A, und ist α teilverhältnistreu, so ist φ̇ idempotent.

c) Für alle p, q ∈ A mit p^{α}%q^{α} ist A(q −p) ⊆ Kern(φ̇). Insbesondere gilt: Enthält Bild(α) zwei distante Punkte, so ist Ann(_{R}M) ⊆ Kern(φ̇).

Beweis.

a) folgt aus Teil c) der vorangegangenen Bemerkung.

b) Sei v := t − o, λ ∈ R. Ist α teilverhältnistreu, so gilt

\frac{λv}{v} ∩ \frac{φ̇(λ)φ(v)}{φ(v)} ≠ ∅,

also φ̇(λ) ∈ \frac{λv}{v}, da A(φ(v)) = \{0\}. Damit ist φ̇(λ)v = λv und

φ̇(φ̇(λ)) ∈ \frac{φ(φ̇(λ)v)}{φ(v)} = \frac{φ(λv)}{φ(v)} = \frac{φ̇(λ)φ(v)}{φ(v)} = \{φ̇(λ)\},

also φ̇(φ̇(λ)) = φ̇(λ) für alle λ ∈ R.

c) Seien p, q ∈ A mit p^{α}%q^{α} gegeben, das heißt, für v := q − p ist φ(v) annullatorfrei. Für μ ∈ A(v) ist 0 = φ(μv) = φ̇(μ)φ(v), also φ̇(μ) = 0. □

Aus diesem Lemma erhält man direkt das

Korollar. Ist φ̇ idempotent und gilt für alle μ ∈ Kern(φ̇), daß

(μ + Ann(_{R}M)) ∩ Ann(_{R}Bild(φ)) ≠ ∅,

so ist α teilverhältnistreu. Insbesondere ist α teilverhältnistreu, falls φ̇ idempotent mit Kern(φ̇) ⊆ Ann(_{R}M) ist.

Beweis. Es ist

Ann(_{R}M) ⊆ A(w) und
Ann(_{R}Bild(φ)) ⊆ A(φ(w))

für alle w ∈ M. Daraus folgt die erste Behauptung.

Ist Kern(φ̇) ⊆ Ann(_{R}M), so gilt für alle μ ∈ Kern(φ̇), daß μ + Ann(_{R}M) = Ann(_{R}M) und damit 0 ∈ Ann(_{R}M) ∩ Ann(_{R}Bild(φ)) = μ + Ann(_{R}M) ∩ Ann(_{R}Bild(φ)) ≠ ∅. □

Bemerkung. Ist _{R}M ein Modul mit Ann(_{R}M) = 0 und erfüllt φ̇ die Bedingungen des Korollars, so gilt Kern(φ̇) ⊆ Ann(_{R}Bild(φ)), und φ ist linear, das heißt, φ ist semilinear mit der Identität als zugehörigem Ringhomomorphismus.

Satz 3.1. Sei α : A ⟶ A′ eine affine Abbildung, welche von einer semilinearen Abbildung φ induziert wird, und in A existieren zwei distante Punkte t und o, welche von α auf zwei distante Punkte t^{α} und o^{α} abgebildet werden. Dann gilt, daß α genau dann teilverhältnistreu ist, wenn φ linear ist.^{1}

Beweis. Ist φ linear, so ist α teilverhältnistreu. Ist α teilverhältnistreu, so gilt für v := t − o und λ ∈ R, daß

∅ ≠ \frac{λv}{v} ∩ \frac{φ̇(λ)φ(v)}{φ(v)} = \{λ\} ∩ \{φ̇(λ)\},

da sowohl v als auch φ(v) annullatorfrei sind. Also ist φ̇(λ) = λ für alle λ ∈ R, und damit ist φ̇ die Identität und φ linear. □

Satz 3.1 folgt auch aus dem Theorem 3.1 (Fundamentalsatz für teilverhältnistreue Abbildungen). Seien A und A′ affine Räume über den Moduln _{R}M beziehungsweise _{R}M′, α : A ⟶ A′ affinsemilinear mit zugehöriger semilinearer Abbildung φ und zugehörigem Ringhomomorphismus φ̇. Ferner enthalte Bild(α) zwei distante Punkte. Dann ist α genau dann teilverhältnistreu, falls φ̇ idempotent ist und für alle μ ∈ Kern(φ̇) gilt, daß

1Im bekannten Falle, daß R ein Schiefkörper ist, ist jede nicht von der Nullabbildung induzierte affinsemilineare Abbildung genau dann teilverhältnistreu, falls die induzierende Abbildung linear ist.

(μ + A(w)) ∩ A(φ(w)) ≠ ∅

für alle w ∈ M ist.

Bemerkung. Die Bedingung, daß (μ + A(w)) ∩ A(φ(w)) ≠ ∅ für alle μ ∈ Kern(φ̇) und w ∈ M gilt, ist zu der Aussage, daß A(w) ∩ (μ + A(φ(w))) ≠ ∅ für alle μ ∈ Kern(φ̇) und w ∈ M ist, äquivalent.

Beweis: folgt sofort aus Lemma 3.1. □

Bemerkung. Ist φ̇ idempotent, so gilt R = Kern(φ̇) ⊕ Bild(φ̇), wobei Kern(φ̇) ein zweiseitiges Ideal und Bild(φ̇) ein Unterring von R ist. Ist also φ̇ idempotent, so induziert φ bezüglich des Ringes S := Bild(φ̇) eine S-lineare Abbildung _{S}M ⟶_{S} M′.

References

[1] Schmidt, S. E.: Grundlegungen zu einer allgemeinen affinen Geometrie. Birkhäuser Verlag, Basel 1995.

[2] Weller, S.; Schmidt, S. E.: Fundamentalsatz für affine Räume über Moduln. Results Math. 30 (1996), 151–159.

[3] Herzer, A.: Geometrie I. Vorlesungsskript, Johannes-Gutenberg-Universität Mainz, SS 1991.

[4] Leißner, W.: Affine Barbilian-Ebenen I,II. J. Geom. 6 (1975), 31–57, 105–129.

Received August 29, 1996; revised version January 22, 1997