\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsmath, amsthm}
\usepackage{amsfonts,amssymb}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[french]{babel}
\newcommand{\A}{\mathbb{A}}\newcommand{\B}{\mathbb{B}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}\newcommand{\I}{\mathbb{I}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}\newcommand{\LL}{\mathbb{L}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\V}{\mathbb{V}}\newcommand{\X}{\mathbb{X}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

\begin{document}

\hfil \textbf{Plus vite !} \hfil

Un candidat à l'X court le 100 mètres en 10 secondes. Montrer que si ses vitesses initiale et finale sont nulles, alors il y a un moment où son accélération est supérieure à $4 m.s^{-2}$.

\bigskip

\hfil \textbf{Des sommes pas vraiment de Riemann} \hfil

Soit $f \colon [0,1] \longrightarrow \R$ une application dérivable en $0$, telle que $f(0) = 0$.
Etudier $\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty} \sum_{k = 1}^{n} f\left( \frac{k}{n^2} \right)$, puis $\displaystyle\lim_{n \rightarrow + \infty} \sum_{k = 1}^{n} f\left( \frac{1}{n+k \alpha} \right)$, où $\alpha > 0$.

\bigskip

\hfil \textbf{Une autre somme} \hfil

\medskip

Donner un équivalent de $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \lfloor \sqrt{k} \rfloor$ quand $n \rightarrow + \infty$.

\bigskip

\hfil \textbf{Sommes de qui ?} \hfil

Soit $(u_n)_{n \in \N^*}$ la suite définie par $\displaystyle \forall n \in \N^*, \ u_n = \sum_{k = 1}^n \frac{n}{n^2 + k^2} \ .$

\begin{enumerate}

\item Montrer que $u_n$ converge. On note $\ell$ sa limite.

\item Donner un équivalent de $u_n - \ell$.

\item Généraliser.

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Et pourquoi pas un produit ?} \hfil

Soit $f$ une application continue de $[0,1]$ dans $\R$. Déterminer
\[ \lim_{n \rightarrow + \infty} \prod_{k = 1}^n \left( 1 + \frac{1}{n} f \left( \frac{k}{n} \right) \right) . \]

\bigskip

\hfil \textbf{Le monde à l'envers} \hfil

En utilisant des sommes de Riemann, calculer
\[ \int_0^\pi \log(1-2r \cos t + r^2) dt \]
pour $r \in \R - \{-1,1\}$.

\newpage

\hfil \textbf{Une équation intégrale} \hfil

Déterminer toutes les applications $f \colon [0,1] \longrightarrow \R$, continues par morceaux, telles que
\[ \exists a \in [0,1] \  \colon \forall x \in [0,1], \ f(x) = \int_0^{ax}f(t)dt . \]

\bigskip

\hfil \textbf{Une autre équation intégrale} \hfil

Déterminer toutes les applications $f$ continues de $\R$ dans $\R$ telles que, pour tous $x$ et $y$ réels,
\[ f(x)f(y) = \int_{x-y}^{x+y} \! f(t) dt . \]

\bigskip

\hfil \textbf{Moyennes mobiles} \hfil

Déterminer toutes les applications $f$ continues de $\R$ dans $\R$, telles que, pour tous $x \in \R$ et $a > 0$,
\[ f(x) = \frac{1}{2a} \int_{x-a}^{x+a} \! f(t) dt . \]

\bigskip

\hfil \textbf{Zone d'importance} \hfil

Soit $f \colon [a,b] \longrightarrow \R$ continue positive.

\begin{enumerate}

\item Montrer que $\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty} \left( \int_a^b f(t)^n dt \right)^{\frac{1}{n}} = \sup_{t \in [a,b]} f(t) .$

\item Soit $g \colon [a,b] \longrightarrow \R$ continue à valeurs strictement positives. Montrer qu'à nouveau $\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty} \left( \int_a^b f(t)^n g(t) dt \right)^{\frac{1}{n}} = \sup_{t \in [a,b]} f(t)$.

\item On suppose de plus que $f$ n'est pas identiquement nulle. On pose, pour tout $n \in \N$, $u_n = \displaystyle  \int_a^b f(t)^n g(t) dt$. Étudier la suite $\left( \frac{u_{n+1}}{u_n} \right)_{n \in \N}$.

%\item On suppose à présent que $f$ est à valeurs strictement positives. Etudier $\displaystyle \left( \int_a^b f(t)^{\alpha} dt \right)^{\frac{1}{\alpha}}$ quand $\alpha \rightarrow 0^{+}$.

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Une intégrale définie} \hfil

\[\mbox{Calculer l'intégrale } I = \int_{\pi / 2}^{3 \pi / 2} \! \frac{dx}{3 + \sin x} \ .\]

\bigskip

\hfil \textbf{Une intégrale indéfinie} \hfil

\[\mbox{Calculer} \int \! \frac{x^2 dx}{x^6 - 1} \ .\]

\bigskip

\hfil \textbf{Intégrale de Dirichlet} \hfil

\[\mbox{Calculer } \Delta = \int_{0}^{\pi / 2} \! \log ( \sin x) dx \ .\]

\bigskip

\hfil \textbf{Pour calculer} \hfil

\[\mbox{Etudier } \lim_{x \rightarrow +\infty} x \exp \left( - \int_0^x \frac{dt}{3+\sqrt{t^2+4t}} \right) \ .\]

\bigskip

\hfil \textbf{Estimation du maximum d'un polyn\^ome} \hfil

On définit pour $n \in \N$ les fonctions polyn\^omes
\[ P_n(x) = \prod_{i=0}^n (x-i), \]
et on pose $M_n = \sup_{0 \leqslant x \leqslant n} \vert P_n(x) \vert$. Le but de l'exerice est d'obtenir un équivalent de $M_n$.

\begin{enumerate}

\item En comparant
\[ H_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} \quad \mbox{et} \quad \int \frac{dt}{t}, \]
démontrer que $H_n \sim \log(n)$.

\item Montrer que, pour $x \in [1,n-1]$, on a
\[ \vert P_n(x) \vert \leqslant \frac{(n-1)!}{2}. \]

\item  Calculer la \emph{dérivée logarithmique} $\frac{P'_n}{P_n}$. En déduire que sur chaque segment $[i,i+1]$, $0 \leqslant i < n$, $P_n$ a un unique extremum local.

\item Soit $a_n \in \ ]0,1[$ l'abscisse du premier extremum local de $P_n$. Montrer que $a_n \sim \frac{1}{\log n}$.

\item En déduire un équivalent de $M_n$.

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Inégalité de Wirtinger} \hfil

Soit $E$ l'ensemble des applications de classe $\mathcal{C}^1$ de $[0,1]$ dans $\R$ nulles en $0$ et en $1$.

\begin{enumerate}

\item Soit $f \in E$. On pose
\[ I_1 = \int_0^1 f(t) f'(t) \cot(\pi t) dt \qquad \mbox{et} \qquad I_2 = \int_0^1 \frac{f(t)^2}{\tan(\pi t)^2} (1+ \tan(\pi t)^2) dt .\]
Vérifier que les intégrandes se prolongent par continuité et donc que $I_1$ et $I_2$ sont bien définies. Comparer $I_1$ et $I_2$.

\item En déduire l'\emph{inégalité de Wirtinger} :
\[ \forall f \in E, \quad \int_0^1 f'^2 \geqslant \pi^2 \int_0^1 f^2 . \]

\item Quels sont les cas d'égalité ?

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Méthode de Simpson} \hfil

\begin{enumerate}

\item Soit $f \colon [a,b] \longrightarrow \R$ une application continue. On cherche à approximer $\int_a^b f(t) dt$. Pour ce faire, la \emph{méthode de Simpson} procède comme suit : On fixe $n \in \N^*$, on coupe le segment $[a,b]$ en $2n$ morceaux de tailles égales par la subdivision $a = x_0 < \cdots < x_{2n} = b$, où $x_i = a + i \frac{b-a}{n}$, puis, sur chaque segment $[x_{2i},x_{2i+2}]$, on approxime $f$ par la fonction du second degré coïncidant avec elle en les trois points $x_{2i}$, $x_{2i+1}$ et $x_{2i+2}$; enfin, on calcule l'intégrale de cette fonction sur $[x_{2i},x_{2i+2}]$, et on somme sur $0 \leqslant i < n$.

Justifier. Calculer explicitement l'approximation de $\int_a^b f(t) dt$ ainsi obtenue. On notera $I(f)$ cette approximation.

\item On cherche à présent à vérifier la convergence de cette méthode, et à estimer sa vitesse de convergence. Soient $\alpha > 0$ et $g \colon [-\alpha, \alpha] \longrightarrow \R$ une application impaire 5 fois dérivable. Établir l'existence d'un $\theta \in ]0,\alpha[$ tel que
\[ g(\alpha) = \frac{\alpha}{3}(g'(\alpha)+2g'(0))-\frac{\alpha^5}{180}g^{(5)}(\theta). \]

\item En déduire que si $f \in \mathcal{C}^5([a,b],\R)$, alors il existe un $\theta \in ]a,b[$ tel que
\[ f(b) - f(a) = \frac{b-a}{6} \left[f'(a)+f'(b)+4f \left( \frac{a+b}{2} \right) \right] - \frac{(b-a)^5}{2880} f^{(5)} (\theta). \]

\item En déduire que si $f$ est de classe $\mathcal{C}^4$, alors
\[ \left\vert \int_a^b f(t) dt - I(f) \right\vert \leqslant \frac{(b-a)^5 \Vert f^{(4)} \Vert_{\infty}}{2880 n^4}. \]

\textit{Remarque} : La méthode de Simpson converge donc en $\mathcal{O}\left(\frac{1}{n^4}\right)$. A titre de comparaison, la méthode des rectangles (autrement dit les sommes de Riemann) converge en $\mathcal{O}\left(\frac{1}{n}\right)$ (voir \textbf{Sommes de qui ?}), et la méthode des trapèzes, en $\mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right)$.

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Méthode de Gauss} \hfil

\begin{enumerate}

\item Pour tout $n \in \N^*$, on note $L_n$ le $n$-ième \emph{polyn\^ome de Legendre}
\[ L_n(X) = \frac{d^n}{dX^n}(X^2-1)^n. \]
Montrer que pour tout polyn\^ome $Q$ de degré au plus $n-1$, on a
\[ \int_{-1}^1 L_n(x) Q(x) dx = 0. \]

\textit{Remarque} : Ceci signifie que, si on munit $\R[X]$ du produit scalaire $(P,Q) = \int_{-1}^1 PQ$, alors $L_n$ est orthogonal au sous-espace $\R_{n-1}[X]$. En particulier, les $L_n$ forment une base orthogonale de $\R[X]$.

\item Montrer que les $L_n$ sont scindés à racines simples dans $\R$, et que toutes leurs racines se trouvent dans $]-1,1[$.

\item Soient $x_1, \cdots, x_n$ les racines de $L_n$. Montrer qu'il existe des réels $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ tels que pour tout polyn\^ome $Q$ de degré au plus $2n-1$, on ait
\[  \int_{-1}^1 Q(x) dx = \sum_{i=1}^n \alpha_i Q(x_i). \]

\textit{Remarque} : On en déduit l'approximation
\[  \int_{-1}^1 f(x) dx \approx \sum_{i=1}^n \alpha_i f(x_i). \]

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Un problème d'optimisation} \hfil

Soit $a \in \R$. Déterminer la borne inférieure de
\[ \int_0^1 f''(t)^2 dt \]
pour les $f\in \mathcal{C}^2([0,1],\R)$ telles que $f(0)=f(1)=0$ et $f'(0)=a$. Est-elle atteinte ? Si oui, par quelles fonctions ?

\bigskip

\hfil \textbf{Inégalité de Van der Corput} \hfil

\begin{enumerate}

\item Soit $\varphi$ une application continue de $[a,b]$ dans $\R$. Quelle est \textit{a priori} la meilleure majoration possible pour
\[ \left\vert \int_a^b e^{i \varphi(x)} dx \right\vert \]
si on ne suppose rien d'autre sur $\varphi$ ? Quelle(s) information(s) permettraient d'espérer une meilleure majoration ?

\item Montrer qu'il existe une constante $C_1 > 0$ telle que pour tous $a < b$, pour tout $\lambda > 0$, et pour toute $\varphi \in \mathcal{C}^2([a,b],\R)$ telle que $\vert \varphi' \vert \geqslant \lambda$ et $\varphi'$ monotone, 
\[ \left\vert \int_a^b e^{i \varphi(x)} dx \right\vert \leqslant \frac{C_1}{\lambda}. \]

\item Plus généralement, montrer qu'il existe une suite de réels strictement positifs $(C_k)_{k \geqslant 2}$ telle que pour tout $k \geqslant 2$, pour tous $a$ et $b$, pour tout $\lambda > 0$, et pour toute $\varphi \in \mathcal{C}^{k+1}([a,b],\R)$ telle que $\vert \varphi^{(k)} \vert \geqslant \lambda$,
\[ \left\vert \int_a^b e^{i \varphi(x)} dx \right\vert \leqslant \frac{C_k}{\lambda^\frac{1}{k}}. \]

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Rectangles semi-entiers} \hfil

Un rectangle du plan est dit \emph{semi-entier} si au moins un de ses c\^otés est de longueur entière. Un rectangle pavé par des rectangles semi-entiers est-il lui-m\^eme nécessairement semi-entier ?

\bigskip

\end{document}