\documentclass[12pt]{article}
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

\begin{document}

\hfil \textbf{Calcul du rayon de convergence} \hfil

\begin{enumerate}

\item Soit $(a_n)_{n \in \N}$ une suite réelle (non nécessairement convergente). On pose
\[ \liminf_{n \rightarrow +\infty} a_n = \lim_{n \rightarrow +\infty} \inf_{k \geqslant n} a_k \qquad \mbox{et} \qquad \limsup_{n \rightarrow +\infty} a_n = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sup_{k \geqslant n} a_k .\]
Montrer que ces limites existent dans $\overline{\R}$. Donner des exemples. A quelle condition a-t-on $\displaystyle \liminf_{n \rightarrow +\infty} a_n = \limsup_{n \rightarrow +\infty} a_n$ ?
 
\item Soit $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R \in [0,+\infty]$. Démontrer que
\[ R = \liminf_{n \rightarrow +\infty} |a_n|^{-1/n} . \]

\item Déterminer le rayon de convergence de la série entière
\[ \sum_{n=1}^{+\infty} e^{n \sin n} z^n . \]

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Calcul de $\zeta(2)$} \hfil

\begin{enumerate}

\item Démontrer que la série de fonctions
\[ t \longmapsto \sin t + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdots (2n)} \, \frac{\sin^{2n+1}t}{2n+1} \]
converge normalement vers l'identité sur $[-\pi/2,\pi/2]$.

\item En intégrant, en déduire la valeur de $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(2n+1)^2}$, puis celle de \newline
$\zeta(2) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$.

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Prescription des dérivées : théorème de Borel} \hfil

Soit $(a_n)_{n \in \N}$ n'importe quelle suite complexe. L'obectif de cet exercice est la construction d'une application $f \colon \R \longrightarrow \C$ de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ telle que $\forall n \in \N$, $f^{(n)}(0) = a_n$, et ce \textit{sans aucune réserve} sur la suite $(a_n)_{n \in \N}$.

\begin{enumerate}

\item Expliquer comment construire une application $\chi \colon \R \longrightarrow [0,1]$, de classe $\mathcal{C}^{\infty}$, valant identiquement $1$ sur $[-1/2,1/2]$, et nulle hors de $[-1,1]$\newline
De telles choses s'appellent \textit{fonctions plateau}.

\item Construire $f$ en utilisant $\chi$.

\end{enumerate}

\bigskip

%\hfil \textbf{Théorème d'Abel} \hfil
%
%\begin{enumerate}
%
%\item Soit $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ une série entière telle que $\sum a_n$ converge.\newline
%Montrer le \textit{théorème d'Abel} :
%\[ \lim_{x \rightarrow 1-} f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n . \]
%Que dire si $\sum a_n$ converge absolument ?
%
%\item La réciproque du théorème d'Abel est elle vraie ?
%
%\item (Application) Evaluer les sommes
%\[ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} \qquad \mbox{et} \qquad \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n+1} \ . \]
%
%\medskip
%
%\end{enumerate}

%\hfil \textbf{Réciproque du théorème d'Abel : théorème taubérien de Hardy-Littlewood} \hfil
%
%Soit $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ une série entière de rayon de convergence au moins $1$. On suppose que $a_n = O(1/n)$ et que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1-} f(x)$ existe et est nulle. Le but de l'exercice est de montrer que $\sum a_n$ converge et que sa somme est nulle. Il s'agit donc d'une réciproque du théorème d'Abel, sous la condition $a_n = O(1/n)$.
%On notera $\Phi$ l'ensemble des fonctions $\varphi \colon [0,1] \rightarrow \R$ telles que $\sum a_n \varphi(x^n)$ converge simplement sur $[0,1[$, avec $\lim_{x \rightarrow 1^-} \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \varphi(x^n) = 0$.
%
%\begin{enumerate}
%
%\item Vérifier que toute fonction polynôme nulle en $0$ est dans $\Phi$.
%
%\item Montrer que pour toute fonction polynôme $P$, la limite
%\[ \lim_{x \rightarrow 1^-} (1-x) \sum_{n=0}^{+\infty} x^n P(x^n) \]
%existe. Que vaut-elle ?
%
%\item Soit $g$ l'application de $[0,1]$ dans $\R$ valant $0$ sur $[0,1/2[$ et $1$ sur $[1/2,1]$. Montrer que pour tout $\varepsilon > 0$, il existe deux fonctions polynômes $P$ et $Q$ telles que $P(0) = Q(0) = 0$, $P(1) = Q(1) = 1$, $P \leqslant g \leqslant Q$ sur $[0,1]$ et $\displaystyle \int_0^1 \frac{Q(x)-P(x)}{x(1-x)} dx < \varepsilon$.
%
%\item En déduire que $g \in \Phi$, et conclure.
%
%\end{enumerate}
%
%\bigskip

\hfil \textbf{Partitions de $\N$} \hfil

\begin{enumerate}

\item Est-il possible de partitionner $\N$ en un nombre fini (mais supérieur ou égal à deux) de progressions arithmétiques de raisons toutes distinctes ?

\item Existe-t-il une partition de $\N$ en deux ensembles $A$ et $B$ telle que tout entier naturel $n$ s'écrive d'autant de façons comme somme de deux éléments distincts de $A$ à l'ordre près que comme somme de deux éléments distincts de $B$ à l'ordre près ?

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Involutions} \hfil

Soit, pour $n \in \N^*$, $I_n$ le nombre d'involutions d'un ensemble à $n$ éléments. On pose
\[ f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{I_n}{n!}x^n. \]
Calculer $f$, et en déduire une expression de $I_n$.

\hfil \textbf{Une identité amusante} \hfil

Démontrer l'identité suivante :
\[ \int_{0}^{1} t^{-t} dt = \sum_{n=1}^{+\infty} n^{-n}. \]
On ne manquera pas de justifier la convergence de l'intégrale.

\bigskip

\newpage

\hfil \textbf{Fonction caractéristique de la loi de Cauchy} \hfil

Calculer, pour tout $x \in \R$,
\[ \Phi(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{itx}}{1+t^2} dt \ . \]

\hfil \textbf{Intégrale à paramètre 1} \hfil

\medskip

Calculer $\displaystyle I(x) = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-t}}{\sqrt{t}} \cos(xt) dt$ pour $x$ réel.

\bigskip

\hfil \textbf{Intégrale à paramètre 2} \hfil

\medskip

On considère $\displaystyle I \colon x \longmapsto \int_0^{+\infty} \frac{1-e^{-xt^2}}{t^2} dt$.

Quel est son domaine de définition ? Où est-elle dérivable ? Calculer $I(x)$.

\bigskip

\bigskip

\hfil \textbf{Intégrale à paramètre 3} \hfil

\medskip

On pose, pour $t > 0$, $\displaystyle I(t) = \int_0^{+\infty} \frac{\sin tx}{e^x-1} dx$.

Déterminer $\displaystyle \lim_{t \rightarrow +\infty} I(t)$. On pourra exprimer $I$ comme somme d'une série de fonctions.

\bigskip

\hfil \textbf{Une (mauvaise) blague} \hfil

\begin{enumerate}

\item On considère la fonction
\[ f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{tx-t^2} dt . \]
Sur quel domaine de $\R$ $f$ est-elle définie ? Montrer qu'elle est de classe $\mathcal{C}^2$. Rechercher une équation différentielle satistaite par $f$, et en déduire une expression de $f$.

\item Tout ceci était-il bien nécessaire ?

\end{enumerate}

\newpage

\hfil \textbf{Intégrale de Dirichlet} \hfil

Le but de cet exercice est de calculer l'\textit{intégrale de Dirichlet} $\int_0^{+ \infty} \! \frac{\sin x}{x} dx$.
Pour ce faire, on pose, pour tout $t$ réel positif,
\[ I(t) = \int_0^{+ \infty} \! \frac{\sin x}{x+t} dx \ \mbox{et} \ J(t)= \int_0^{+ \infty} \! \frac{e^{-tx}}{1+x^2} dx .\]

\begin{enumerate}

\item Montrer que $I$ et $J$ sont bien définies, continues sur $\R^+$, et de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\R^{+*}$.

\item Trouver une équation différentielle linéaire d'ordre deux vérifiée par $I$ sur $\R^{+*}$, puis faire de même pour $J$.

\item Conclure.

\end{enumerate}

%\bigskip

\hfil \textbf{Transformée de Fourier sur l'espace de Schwartz} \hfil

On considère, sur \textit{l'espace de Schwartz des fonctions lisses de $\R$ dans $\C$ à décroissance rapide ainsi que leurs dérivées}
\[ \mathcal{S} = \left\{ f \in \mathcal{C}^{\infty}(\R,\C) \ \vert \ \forall (k,n) \in \N^2, \ x^n f^{(k)}(x) \mbox{ est bornée sur } \R \right\}, \]
la \textit{transformée de Fourier}
\[
\begin{array}{cccl}
\mathcal{F}\colon 
& 
\mathcal{S}
& 
\longrightarrow 
& 
\mathcal{S}
\\
&
f
&
\longmapsto
&
\displaystyle \left( \widehat{f} \ \colon y \mapsto \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{-ixy} dx \right)
\end{array}.
\]

\begin{enumerate}

\item Montrer que $\mathcal{F}$ est bien définie.

\item On considère, pour $\sigma$ réel,
\[
\begin{array}{cccl}
g_{\sigma} \colon 
& 
\R
& 
\longrightarrow 
& 
\R
\\
&
x
&
\longmapsto
&
e^{-x^2 / 2 \sigma^2}
\end{array}.
\]
Pour quelles valeurs de $\sigma$ a-t-on $g_{\sigma} \in \mathcal{S}$ ? Calculer alors $\widehat{g_{\sigma}}$.

\item Démontrer la \textit{formule d'inversion de Fourier} :
\[ \forall f \in S, \ \forall x \in \R, \qquad \widehat{\widehat{f}}(x) = f(-x) .\]
On pourra considérer $\widehat{\widehat{f} g_{n}}$ pour $n \in \N^*$, et \textit{on admettra} qu'on peut intervertir à volonté les intégrales.

\item Résoudre dans $\mathcal{S}$ les équations $f^{(4)} + 2 f^{(3)} - f' + f = 0$ et $\widehat{f} = 2 \pi f$.

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Transformée de Laplace} \hfil

Soit $f \colon \R^+ \longrightarrow \C$ continue telle que\newline
$\forall x > 0$, $\displaystyle \mathcal{L}f(x) := \int_0^{+\infty} f(t) e^{-xt} dt $ existe.

\begin{enumerate}

\item On suppose que $\displaystyle \int_0^{+\infty} f(t) dt$ converge. \'Etudier $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} \mathcal{L}f(x)$.

\item La réciproque est-elle vraie ?

\item Et si on suppose qu'en $+\infty$, $f(t) = o(t)$ ?

\item Montrer que si $\mathcal{L}f$ est identiquement nulle sur $\R^+_*$, alors $f$ est identiquement nulle.

\item On suppose que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} \mathcal{L}f(x)$ existe. Montrer que $\displaystyle \int_0^{+\infty} f(t) dt$ converge si et seulement si $\displaystyle \int_0^T t f(t) dt = o_{T \rightarrow +\infty} (T)$.

On pourra considérer $\displaystyle g(t) = \frac{1}{t^2} \int_0^t uf(u)du$...

\end{enumerate}

\bigskip

\end{document}