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\begin{document}

\hfil \textbf{Rayon de convergence 1} \hfil

Soit $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R \in [0,+\infty]$. Quel est le rayon de convergence de 
$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n^2 z^n$ ?

\bigskip

\hfil \textbf{Rayon de convergence 2} \hfil

Déterminer le rayon de convergence et étudier la convergence au bord de la série entière
\[ \sum_{n=1}^{+\infty} \left( 1 + \frac{(-1)^n}{n} \right)^{\! n^2} z^n. \]

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\hfil \textbf{Rayon de convergence 3} \hfil

\begin{enumerate}

\item Soit $(a_n)_{n \in \N}$ une suite réelle (non nécessairement convergente). On pose
\[ \liminf_{n \rightarrow +\infty} a_n = \lim_{n \rightarrow +\infty} \inf_{k \geqslant n} a_k \qquad \mbox{et} \qquad \limsup_{n \rightarrow +\infty} a_n = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sup_{k \geqslant n} a_k .\]
Montrer que ces limites existent dans $\overline{\R}$. Donner des exemples. A quelle condition a-t-on $\displaystyle \liminf_{n \rightarrow +\infty} a_n = \limsup_{n \rightarrow +\infty} a_n$ ?
 
\item Soit $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R \in [0,+\infty]$. Démontrer que
\[ R = \liminf_{n \rightarrow +\infty} |a_n|^{-1/n} . \]

\item Déterminer le rayon de convergence de la série entière
\[ \sum_{n=1}^{+\infty} e^{n \sin n} z^n . \]

\end{enumerate}

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\hfil \textbf{Calcul de $\zeta(2)$} \hfil

\begin{enumerate}

\item Démontrer que la série de fonctions
\[ t \longmapsto \sin t + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdots (2n)} \, \frac{\sin^{2n+1}t}{2n+1} \]
converge normalement vers l'identité sur $[-\pi/2,\pi/2]$.

\item En intégrant, en déduire la valeur de $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(2n+1)^2}$, puis celle de \newline
$\zeta(2) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$.

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Quelques calculs de sommes} \hfil

Après avoir déterminé leur rayon de convergence, sommer les séries entières suivantes :

\begin{enumerate}

\item $\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} n^2 x^n$

\item $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{x^n}{n(n+2)}$

\item $\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{\cos n \theta}{n!}x^n, \ \theta \in \R.$

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Quelques développements} \hfil

Démontrer que les applications suivantes sont somme d'une série entière au voisinage de $0$, puis calculer les coefficients de cette série :

\begin{enumerate}

\item $f \colon ]-1,1[ \rightarrow \R , \ x \mapsto (\arcsin x)^2$

\item $f \colon ]0,1[ \rightarrow \R , \ x \mapsto \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}}$

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Série lacunaire} \hfil

Calculer $\displaystyle S = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(6n+1)!}$.
On pourra exprimer, pour tous $a \in \N^*$ et $b \in [\![0,a[\![$, $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} c_n z^{an+b}$ en fonction de $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} c_n z^n$.

\bigskip

\hfil \textbf{Prescription des dérivées : théorème de Borel} \hfil

Soit $(a_n)_{n \in \N}$ n'importe quelle suite complexe. L'obectif de cet exercice est la construction d'une application $f \colon \R \longrightarrow \C$ de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ telle que
\[ \forall n \in \N, \quad f^{(n)}(0) = a_n , \]
\textit{sans aucune réserve} sur la suite $(a_n)_{n \in \N}$.

\begin{enumerate}

\item Expliquer comment construire une application $\chi \colon \R \longrightarrow [0,1]$, de classe $\mathcal{C}^{\infty}$, valant identiquement $1$ sur $[-1/2,1/2]$, et nulle hors de $[-1,1]$ (De telles choses s'appellent \textit{fonctions plateau}).

\item Construire $f$ en utilisant $\chi$.

\end{enumerate}

\newpage

\hfil \textbf{Formule de Cauchy et théorème de Liouville} \hfil

Soit $\displaystyle f(z) = \sum_{n = 0}^{+\infty} a_n z^n$ la somme d'une série entière de rayon de convergence $R \in \overline{\R^+}$.

\begin{enumerate}

\item Montrer qu'on peut récupérer les coefficients $a_n$ grâce à la
\textit{formule de Cauchy} :
\[ \forall n \in \N, \ \forall r \in [0,R[, \quad a_n r^n = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(r e^{i\theta}) e^{-in\theta} d\theta . \]

\item Dans cette question, on suppose que $R = +\infty$. Montrer que si $f$ est bornée sur $\C$, alors elle est constante (C'est le théorème de Liouville). Que dire du sinus sur $\C$ ?

\item Dans cette question, on suppose à nouveau que $R = +\infty$. Montrer que s'il existe un entier $m$ tel que $f = O(|z|^m)$ lorsque $z \rightarrow \infty$, alors $f$ est un polynôme, de degré au plus $m$.

\item Dans cette question, on suppose que $R \geqslant 1$, et on suppose en outre que les coefficients $a_n$ sont tous entiers (relatifs). Montrer que si $f$ est bornée sur le disque unité ouvert, alors $f$ est un polynôme.

\end{enumerate}

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\hfil \textbf{Théorème d'Abel} \hfil

\begin{enumerate}

\item Soit $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ une série entière de rayon de convergence au moins $1$ telle que $\sum a_n$ converge.
Montrer le \textit{théorème d'Abel} :
\[ \lim_{x \rightarrow 1-} f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n . \]
Que dire si $\sum a_n$ converge absolument ?

\item La réciproque du théorème d'Abel est elle vraie ?

\item (Application) Evaluer les sommes
\[ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} \qquad \mbox{et} \qquad \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n+1} \ . \]

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\end{enumerate}

\hfil \textbf{Bieberbach réel} \hfil

Soit $f(z) = z + \sum_{n=2}^{+\infty} a_n x^n$ une série entière de rayon de convergence au moins $1$, \emph{à coefficients réels}, et injective sur le disque unité ouvert de $\C$.

\begin{enumerate}

\item Soit $|z| < 1$. Montrer que $f(z)$ est réel si et seulement si $z$ l'est. En déduire que $\Im f(z)$ a le m\^eme signe que $\Im z$.

\item Montrer la majoration $\forall n \in \N, \ \forall x \in \R, \ |\sin nx | \leqslant n | \sin x |$. En calculant $\int_0^\pi \Im f(r e^{i t}) \sin nt dt$ pour $r \in ]0,1[$ et $n \in \N^*$, en déduire que $|a_n| \leqslant n$ pour tout $n$.

\item Cette inégalité est-elle optimale ?

\end{enumerate}

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\hfil \textbf{Equivalent au bord} \hfil

Soient $(a_n)_{n \in \N}$ une suite complexe et $(b_n)_{n \in \N}$ une suite à termes strictement positifs telle que $\sum b_n$ diverge. On pose
\[ a(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n, \ b(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} b_n x^n, \]
\[ A_n = \sum_{k=0}^n a_k , \ B_n = \sum_{k=0}^n b_k,\]
et on suppose que le rayon de convergence des séries entières définissant $a$ et $b$ ont toutes deux un rayon de convergence supérieur à $1$.

\begin{enumerate}

\item Montrer que s'il existe $\ell \in \C$ tel que $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{a_n}{b_n} = \ell$, alors
\[ \lim_{x \rightarrow 1^-} \frac{a(x)}{b(x)} = \ell . \]

\item Montrer que si on suppose seulement que $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{A_n}{B_n} = \ell$, alors on a encore
\[ \lim_{x \rightarrow 1^-} \frac{a(x)}{b(x)} = \ell . \]

\item (Application) Montrer que lorsque $x \rightarrow 1^-$, on a les équivalents
\[ \sum_{n=0}^{+\infty} x^{a^n} \sim - \frac{\ln (1-x)}{\ln a} \ (a \in \N, \ a \geqslant 2 ) \qquad \mbox{et} \qquad \sum_{n=0}^{+\infty} x^{n^2} \sim \frac{\sqrt{\pi}}{2 \sqrt{1-x}} .\]

\end{enumerate}

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\hfil \textbf{Faites de la monnaie} \hfil

\begin{enumerate}

\item De combien de façons différentes peut-on former la somme d'un million d'euro avec des pièces de $1$, de $2$ et de $5$ ?

\item Plus généralement, imaginons un lointain pays où les $r$ différentes pièces de monnaie ont pour valeur respective $v_1, \cdots, v_r$. Naturellement, dans ce lointain pays, les $v_i$ sont premiers entre eux dans leur ensemble (pourquoi est-ce forcément le cas ?). On note $N_n$ le nombre de façons de former la somme $n$ (en la monnaie locale). Donner alors un équivalent des $N_n$.

\item Montrer que tout entier naturel $n$ s'écrit exactement d'autant de façons sous forme de somme d'entiers impairs que comme somme d'entiers distincts.

\end{enumerate}

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\hfil \textbf{Partitions de $\N$} \hfil

\begin{enumerate}

\item Est-il possible de partitionner $\N$ en un nombre fini (mais supérieur ou égal à deux) de progressions arithmétiques de raisons toutes distinctes ?

\item Existe-t-il une partition de $\N$ en deux ensembles $A$ et $B$ telle que tout entier naturel $n$ s'écrive d'autant de façons comme somme de deux éléments distincts de $A$ à l'ordre près que comme somme de deux éléments distincts de $B$ à l'ordre près ?

\end{enumerate}

\newpage

\hfil \textbf{Connexité par arcs dans un groupe topologique} \hfil

Soit $G$ un groupe topologique, c'est-à-dire un groupe qui est aussi un espace métrique de sorte que la multiplication et l'inversion du groupe soient continues. Montrer que la composante connexe par arc du neutre de $G$ est un sous-groupe distingué.

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\hfil \textbf{Il y bien un chemin quelquepart...} \hfil

\begin{enumerate}

\item Une partie codénombrable de $\R^2$ est-elle nécessairement connexe par arcs ?

\item Montrer que, dans un espace vectoriel normé de dimension infinie, le complémentaire de tout compact est connexe par arcs. Est-ce encore vrai en dimension finie ?

\end{enumerate}

\bigskip

\end{document}