\documentclass[12pt]{article}
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\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

\begin{document}

\hfil \textbf{Norme d'une forme linéaire} \hfil

Soit $E = \mathcal{C}^0 ([0,1], \R)$ l'espace des fonctions continues de $[0,1]$ dans $\R$ muni de la norme $||f||_{\infty} = \sup_{t \in [0,1]} |f(t)|$, et soit $w$ un élément de $E$. On considère l'application
\[
\begin{array}{cccc}
T_{w}\colon 
& 
E 
& 
\longrightarrow 
& 
\R 
\\
&
f
&
\longmapsto
&
\displaystyle \int_0^1 w f
\end{array}
\]

\begin{enumerate}
 
\item Montrer que $T_{w}$ est une forme linéaire continue sur $E$ et calculer sa norme d'opérateur. On pourra commencer par le cas où $w$ est une fonction polyn\^ome.

\item \`A quelle condition cette norme est-elle atteinte ?

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Série de fonctions 1} \hfil

On considère l'application

\[ \begin{array}{cccc}
f\colon 
& 
\R^{+*}
& 
\longrightarrow 
& 
\R 
\\
&
x
&
\longmapsto
&
\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\mbox{sh}(nx)}
\end{array} . \]

\begin{enumerate}

\item Quel est le domaine de définition de $f$ ? Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$.
 
\item Donner un équivalent de $f$ en $+\infty$, puis en $0^+$.

\item A quoi ressemble la courbe représentative de $f$ ?

\end{enumerate}

\newpage

\hfil \textbf{Série de fonctions 2} \hfil

On considère l'application

\[ \begin{array}{cccc}
f\colon 
& 
\R^{+*}
& 
\longrightarrow 
& 
\R 
\\
&
x
&
\longmapsto
&
\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{x + n}
\end{array} . \]

\begin{enumerate}

\item Quel est le domaine de définition de $f$ ? Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$.
 
\item Donner un développement asymptotique de $f$ en $0^+$, avec précision $o(1)$.

\item Donner un équivalent de $f$ en $+\infty$. On pourra commencer par prouver que $f$ est positive et décroissante, puis établir une relation liant $f(x)$ et $f(x+1)$.

\item A quoi ressemble la courbe représentative de $f$ ?

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Série de fonctions 3} \hfil

On considère l'application

\[ \begin{array}{cccc}
f\colon 
& 
\R
& 
\longrightarrow 
& 
\R 
\\
&
x
&
\longmapsto
&
\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{1-x^n}
\end{array} . \]

\begin{enumerate}

\item Quel est le domaine de définition de $f$ ? Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$.
 
\item Donner un équivalent de $f$ en $1^-$.

\item Montrer que $f$ est somme d'une série entière au voisinage de $0$. Quel est le rayon de convergence de cette série ?

\item Donner un équivalent des coefficients de cette série entière en moyenne de Cesàro. En déduire à nouveau le rayon de convergence de cette série.

\end{enumerate}

\newpage

\hfil \textbf{Rayon de convergence 1} \hfil

Soit $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R \in [0,+\infty]$. Quel est le rayon de convergence de 
$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n^2 z^n$ ?

\bigskip

\hfil \textbf{Rayon de convergence 2} \hfil

Déterminer le rayon de convergence de la série entière
\[ \sum_{n=1}^{+\infty} \left( 1 + \frac{(-1)^n}{n} \right)^{\! n^2} z^n . \]

\bigskip

\hfil \textbf{Rayon de convergence 3} \hfil

\begin{enumerate}

\item Soit $(a_n)_{n \in \N}$ une suite réelle (non nécessairement convergente). On pose
\[ \liminf_{n \rightarrow +\infty} a_n = \lim_{n \rightarrow +\infty} \inf_{k \geqslant n} a_k \qquad \mbox{et} \qquad \limsup_{n \rightarrow +\infty} a_n = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sup_{k \geqslant n} a_k .\]
Montrer que ces limites existent dans $\bar{\R}$. Donner des exemples. A quelle condition a-t-on $\displaystyle \liminf_{n \rightarrow +\infty} a_n = \limsup_{n \rightarrow +\infty} a_n$ ?
 
\item Soit $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R \in [0,+\infty]$. Démontrer que
\[ R = \liminf_{n \rightarrow +\infty} |a_n|^{-1/n} . \]

\item Déterminer le rayon de convergence de la série entière
\[ \sum_{n=1}^{+\infty} e^{n \sin n} z^n . \]

\end{enumerate}

\newpage

\hfil \textbf{Convergence des séries de Dirichlet} \hfil

Soit $(a_n)_{n \in \N}$ une suite complexe. On considère la \emph{série de Dirichlet} associée
\[ \begin{array}{cccl} f \  \colon & \C & \longrightarrow & \C \\ & s & \longmapsto & \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_n}{n^s} \end{array} . \]

\begin{enumerate}

\item Soit $s_0 \in \C$ un point où la série définissant $f$ converge. Montrer que pour tout $\theta \in [0,\pi/2[$, cette série converge uniformément dans le domaine
\[ \left\lbrace s_0 + \rho e^{i \alpha} \  \big\vert \ \rho \geqslant 0, \vert \alpha \vert \leqslant \theta \right\rbrace . \]

\item Quelle forme a le domaine de définition de $f$ ? Quelle y est la régularité de $f$ ? Peut-on faire un parallèle avec la notion de rayon de convergence d'une série entière ? Application à la fonction $\zeta$.

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{\'Etude de continuité} \hfil

Soit $\sum a_n$ une série complexe convergente. On pose
\[ \begin{array}{cccl} f \  \colon & \R^* & \longrightarrow & \C \\ & x & \longmapsto & \displaystyle a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \left( \frac{\sin nx}{nx} \right) \end{array} . \]
Montrer l'existence et la continuité de $f$ . La fonction $f$ admet-elle une limite en $0$ ?

\bigskip

\hfil \textbf{Calcul de $\zeta(2)$} \hfil

\begin{enumerate}

\item Démontrer que la série de fonctions
\[ t \longmapsto \sin t + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdots (2n)} \, \frac{\sin^{2n+1}t}{2n+1} \]
converge normalement vers l'identité sur $[-\pi/2,\pi/2]$.

\item En intégrant, en déduire la valeur de $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(2n+1)^2}$, puis celle de \newline
$\displaystyle \zeta(2) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$.

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Théorème de Fejér} \hfil

Soit $f \colon \R \rightarrow \C$ continue et $2 \pi$-périodique. On pose
\[\forall n \in \Z, \  c_n(f) = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} f(t) e^{-int} dt \quad \mbox{et} \quad \forall n \in \N, \  S_n(f)(t) = \sum_{k=-n}^{n} c_k(f) e^{ikt} . \]
Que cherche-t-on à faire ? Montrer qu'\textit{en moyenne de Cesàro}, $S_n(f)$ converge uniformément sur $\R$ vers $f$. Quel théorème retrouve-t-on ainsi ?
\bigskip

\hfil \textbf{Théorème de Chudnovsky} \hfil

Soit $I$ un segment contenu dans $]0,1[$. On considère
\[ \begin{array}{cccl} \varphi \  \colon & ]0,1[ & \longrightarrow & ]0,1[ \\ & x & \longmapsto & 2x(1-x) \end{array} . \]

\begin{enumerate}

\item Etudier la suite de fonctions $(\varphi^{\circ n})_{n \in \N}$ sur $]0,1[$.

\item En déduire que $\Z[X]$ est dense dans $\mathcal{C}(I,\R)$ pour la norme uniforme.

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Lemme de Tate} \hfil

Soit $E$ un ensemble. On se donne $\varphi \colon E \rightarrow E$ et $f \colon E \rightarrow \R$, et on suppose qu'il existe $\alpha > 1$ tel que
\[ f(\varphi(x)) = \alpha f(x) + \mathcal{O}(1). \]
Montrer qu'il existe $F \colon E \rightarrow \R$ telle que $F = f + \mathcal{O}(1)$ et $F(\varphi(x)) = \alpha F(x)$.

\newpage

\hfil \textbf{Factorisation eulérienne du sinus} \hfil

\begin{enumerate}

\item Soit $z \in \C$. Montrer que pour tout $n \in \N^*$,
\[ \left( 1 + \frac{iz}{2n} \right)^{2n} \!\! - \ \left( 1 - \frac{iz}{2n} \right)^{2n} = 
2iz \, \prod_{k=1}^{n-1} \left( 1 - \frac{z^2}{4n^2 \tan^2 \frac{k \pi}{2n}} \right) .\]

\item En déduire que pour tout $z \in \C$,
\[ \sin z =  z \, \prod_{k=1}^{+\infty} \left( 1 - \frac{z^2}{k^2 \pi^2} \right) . \]

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{L'astuce d'Herglotz} \hfil

L'objectif de cet exercice est d'établir le \textit{développement eulérien de la cotangente}
\[ \forall x \in \R \setminus \Z, \qquad \pi \cot \pi x = \lim_{N \rightarrow +\infty} \sum_{n = -N}^{N} \frac{1}{x+n} . \]
A cet effet, on pose $f(x) = \pi \cot \pi x$ et $g(x) = \lim_{N \rightarrow +\infty} \sum_{n = -N}^{N} \frac{1}{x+n}$.

\begin{enumerate}

\item Montrer que $f$ et $g$ sont définies et continues sur $\R \setminus \Z$.

\item Montrer que $f$ et $g$ sont 1-périodiques et impaires.

\item Montrer que $f$ et $g$ vérifient la même \textit{équation fonctionnelle} \newline
$\varphi(\frac{x}{2}) + \varphi(\frac{x+1}{2}) = 2 \varphi(x)$.

\item Montrer que $f-g$ se prolonge par continuité en une fonction $h$ nulle sur $\Z$.

\item Conclure.

\item En déduire le résultat de l'exercice précédent lorsque $z = x$ est réel.

\end{enumerate}

Remarque : Un argument d'analyticité montre que l'identité demeure pour $z$ complexe.

%\newpage
%
%\hfil \textbf{Intégrales eulériennes} \hfil
%
%On considère les deux applications suivantes :
%\[ \begin{array}{cccc}
%\Gamma\colon 
%& 
%\R^{+*}
%& 
%\longrightarrow 
%& 
%\R 
%\\
%&
%x
%&
%\longmapsto
%&
%\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \! t^{x-1} e^{-t} dt
%\end{array} \quad
%\mbox{ et } \quad
%\begin{array}{cccc}
%B\colon 
%& 
%\R^{+*} \times \R^{+*}
%& 
%\longrightarrow 
%& 
%\R 
%\\
%&
%(x,y)
%&
%\longmapsto
%&
%\displaystyle \int_{0}^{1} t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt
%\end{array} \]
%
%\begin{enumerate}
%
%\item Montrer que $\Gamma$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ et est logarithmiquement convexe sur $\R^{+*}$.
%
%\item Montrer que $\Gamma$ vérifie l'équation fonctionnelle $\forall x > 0, \ \Gamma(x+1) = x \Gamma(x)$. Que vaut $\Gamma(n)$ pour $n \in \N^*$ ?
%
%\item Donner un équivalent de $\Gamma$ en $0^+$, et tracer sa courbe représentative.
%
%\item Montrer que $B$ vérifie les équations fonctionnelles suivantes :
%\[ \forall x,y > 0, \ B(x,y)=B(y,x) \qquad \mbox{et} \qquad B(x+1,y)=\frac{x}{x+y}B(x,y) . \]
%
%\item Montrer que la suite de fonctions
%\[ \begin{array}{cccc}
%I_n \colon 
%& 
%\R^{+*}
%& 
%\longrightarrow 
%& 
%\R 
%\\
%&
%x
%&
%\longmapsto
%&
%\displaystyle \int_{0}^{n} \left( 1 - \frac{t}{n} \right)^n t^{x-1} dt
%\end{array} \]
%converge simplement vers $\Gamma$. En utilisant la fonction $B$, en déduire la \textit{formule d'Euler}
%\[ \forall x > 0, \ \Gamma(x) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n^x n!}{\displaystyle \prod_{k=0}^n (x + k)} . \]
%
%\item Montrer que pour $x,y > 0$ fixés, $B(x+n+1,y) \sim \Gamma(y) / n^y$ lorsque $n \rightarrow +\infty$. En déduire la formule
%\[ \forall x,y > 0, \qquad B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \ ,\]
%puis calculer $\Gamma(1/2)$.
%
%\item Démontrer la \textit{formule de Weierstrass}
%\[ \forall x > 0, \qquad \Gamma(x) = \frac{e^{- \gamma x}}{x} \, \prod_{n=1}^{+\infty} \frac{e^{x/n}}{1+\frac{x}{n}}, \]
%où  $\gamma$ désigne la constante d'Euler-Mascheroni.
%
%\item Montrer que
%\[ \forall x > 0, \qquad \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)} = -\gamma - \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x}{n(x+n)} .\]
%En déduire la valeur de l'intégrale
%\[ \int_0^{+\infty} \! e^{-t} \ln t \, dt . \]
%
%\item Démontrer la \textit{formule de duplication}
%\[ \forall x > 0, \qquad 2^{2x-1} \Gamma(x)\Gamma \left( x+\frac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi} \, \Gamma(2x) .\]
%
%\item On \textit{admet} (voir l'exercice à ce sujet) la \textit{factorisation eulérienne du sinus}
%\[ \forall x \in \R, \qquad \sin x =  x \, \prod_{k=1}^{+\infty} \left( 1 - \frac{x^2}{k^2 \pi^2} \right) .\]
%Démontrer la \textit{formule des compléments}
%\[ \forall x \in \, ]0,1[ \, , \qquad \Gamma(x) \Gamma(1-x) = \frac{\pi}{\sin \pi x} . \]
%
%\end{enumerate}
%
%\bigskip

\end{document}