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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

\begin{document}

\hfil \textbf{Tout d'abord, une intégrale} \hfil

Que pensez vous de l'intégrale
\[ \int_0^{+\infty} \! \frac{\ln(x)}{1+x^2} dx \quad ? \]

\bigskip

\hfil \textbf{Ensuite, quelques séries} \hfil

Quelle est la nature des séries suivantes ?

\begin{enumerate}

\item $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \frac{e^{in\theta}}{n}$ , où $\theta \in \C$ ,

\item $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^n}{n} \sum_{k = 1}^n \frac{(-1)^k}{k}$ ,

\item $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \frac{\cos(\ln(n))}{n}$ .

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Un peu plus difficile} \hfil

Déterminer la nature de l'intégrale
\[ \int_1^{+\infty} \! \vert \sin x \vert^x dx . \]

\bigskip

\hfil \textbf{Le retour des séries} \hfil

Déterminer la nature des séries suivantes :

\begin{enumerate}

\item $\displaystyle  \sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{\alpha} + (-1)^n}$, où $\alpha > 0$;

\item $\displaystyle  \sum_{n \geqslant 2} \frac{e^{in\theta}}{\sqrt{n} + e^{in \varphi}}$, où $\theta$, $\varphi \in \R$;

\item $\displaystyle  \sum_{n \geqslant 2} \frac{e^{in\theta}}{n^{\alpha} + e^{in \varphi}}$, où  $\theta$, $\varphi \in \R$ et $\alpha > 0$.

\end{enumerate}

\newpage

\hfil \textbf{Comparaison série - intégrale} \hfil

\begin{enumerate}

\item Soit $f \colon ]0,+\infty[ \longrightarrow \C$ une application de classe $\mathcal{C}^1$ telle que $\int_1^{+\infty} \vert f'(t) \vert dt$ converge. Montrer que la suite $\displaystyle \left( \int_1^n f(t) dt \right)_{n \geqslant 1}$ et la série $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} f(n)$ ont même nature.

\item En déduire la nature de la série
\[ \sum_{n \geqslant 1} \frac{e^{i\sqrt{n}}}{n^{\alpha}} \]
en fonction du paramètre $\alpha \in \R$. On pourra commencer par le cas $\alpha > 1/2$.

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Un calcul de somme} \hfil

Pour tout $n$ entier naturel, on note $\nu(n)$ le nombre de $1$ dans l'écriture de $n$ en base $2$. Justifier la convergence et sommer
\[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\nu(n)}{n(n+1)} . \]
\bigskip

\hfil \textbf{Equivalent d'intégrales} \hfil

\begin{enumerate}

\item Donner un équivalent, lorsque $x \rightarrow +\infty$, de
\[ \int_0^x e^{t^2} dt . \]

\item Quelle est la nature de l'intégrale
\[ \int_0^{+\infty} e^{it^2} dt \ ? \]
Donner un équivalent de son reste en $+\infty$.

\end{enumerate}

\newpage

\hfil \textbf{Séries de Dirichlet} \hfil

Soit $E = \C^{\N^*}$ l'espace les suites complexes. Lorsque $(a_n)_{n \in \N^*}$ est un élément de $E$ et $s \in \R$, on définit (sous réserve de convergence)
\[ A(s) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_n}{n^s} .\]
On pose aussi
\[ \sigma(a) = \sigma(A) = \inf \left\{ s \in \R \bigg\vert \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_n}{n^s} \mbox{ converge absolument } \right\} \in \bar \R . \]

\begin{enumerate}

\item Que vaut $\sigma(a)$ si $a$ est la suite constante égale à $1$ ? Donner des exemples de suites $a$ telles que $\sigma(a) = -\infty$ et $+ \infty$. Peut-il exister $\varepsilon > 0$ telle que la série $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_n}{n^s}$ converge encore pour $s \in ]\sigma(a) - \varepsilon, \sigma(a)]$ alors que $\sigma(a) \in \R$ ?

\item Lorsque $a$ et $b$ sont deux éléments de $E$, on définit leur \textit{produit de convolution} $a \star b \in E$ par
\[ \forall n \in \N^* \ , \  (a \star b)_n = \sum_{d \vert n} a_d \ b_{\frac{n}{d}} . \]
Montrer que $\star$ est associatif et commutatif. Admet-il un élément neutre ? Montrer que $(E,+,\star)$ est une $\C$-algèbre unitaire. Quels sont ses inversibles ?

\item Soient $1$ la suite constante égale à $1$, $\delta$ la suite valant $1$ en $1$ et $0$ ailleurs, $Id$ la suite identité, $\varphi$ l'indicatrice d'Euler et $\mu$ la fonction de Möbius. On rappelle que $\mu$ est définie ainsi :
\[ \mu(n) = 0 \mbox{ si n a un facteur carré, } \mu \left(\prod_{i = 1}^{r} p_i \right) = (-1)^r \ , p_i \mbox{ premiers distincts, sinon.} \] 
Calculer $\mu \star 1$, et en déduire que $\varphi = \mu \star Id$.

\item Soient $a$ et $b$ deux éléments de $E$. Montrer que pour $s > \max (\sigma(a), \sigma(b))$, on a la relation
\[ A(s)B(s) = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{(a \star b)_n}{n^s} .\]

\item Donner un équivalent, lorsque $n \rightarrow +\infty$, de
\[ \sum_{k=1}^{n} \varphi(k) . \]

\end{enumerate}
 
\bigskip

\hfil \textbf{Somme de puissances} \hfil

Donner un équivalent, quand $n \rightarrow +\infty$, de
\[ \sum_{k=1}^{n} k^n . \]

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\hfil \textbf{Arithmétique et séries} \hfil

Pour tout entier naturel non nul $n$, on note $\Pi(n)$ son plus grand facteur premier. Démontrer la convergence de la série
\[ \sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{n \Pi(n)} . \]

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\hfil \textbf{Théorème de Fejér} \hfil

Soit $f \colon \R \rightarrow \C$ continue et $2 \pi$-périodique. On pose
\[\forall n \in \Z, \  c_n(f) = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} f(t) e^{-int} dt \quad \mbox{et} \quad \forall n \in \N, \  S_n(f)(t) = \sum_{k=-n}^{n} c_k(f) e^{ikt} . \]
Que cherche-t-on à faire ? Montrer qu'\textit{en moyenne de Cesàro}, $S_n(f)$ converge uniformément sur $\R$ vers $f$. Quel théorème retrouve-t-on ainsi ?

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\hfil \textbf{Zone d'importance 1} \hfil

On considère l'intégrale à paramètre
\[ \begin{array}{cccl} I \ \colon & ]0,+\infty[ & \longrightarrow & \R \\ & t & \longmapsto & \displaystyle
\int_1^{+\infty} \! \frac{e^{-tx}}{\sqrt[3]{x^3+1}} dx \end{array} .\]
Vérifier qu'elle est bien définie, et en donner un équivalent lorsque $t \rightarrow 0^+$.
 
\bigskip

\hfil \textbf{Zone d'importance 2 : phase stationnaire} \hfil

Donner un équivalent, lorsque $t \rightarrow +\infty$, de l'intégrale à paramètre
\[ \begin{array}{cccl} I \ \colon & \R & \longrightarrow & \C \\ & t & \longmapsto & \displaystyle
\int_{0}^{1} \! \cos x \ e^{it \, ch x} dx \end{array} .\]

\newpage

\hfil \textbf{Méthode de Laplace} \hfil

On rappelle que la \textit{fonction gamma}, définie par
\[ \begin{array}{cccl} \Gamma \ \colon & ]0,+\infty[ & \longrightarrow & \R \\ & x & \longmapsto & \displaystyle
\int_{0}^{+\infty} \! t^{x-1} e^{-t} dt \end{array} ,\]
vérifie $\forall n \in \N$,  $\Gamma(n+1) = n!$ , ainsi que $\Gamma \! \left(\frac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi}$.
Le but de ce problème est de trouver un équivalent en $+\infty$ d'intégrales à paramètre de forme
\[ \int_0^{+\infty} \! f(x) e^{tg(x)} dx \]
où les fonctions $f$ et $g$ vérifient certaines conditions.
 
\begin{enumerate}

\item (Préliminaire) Soient $\alpha > -1$, $\beta > 0$, $c > 0$ et $b \in ]0,+\infty]$. On pose, pour tout $t > 0$,
\[ J(t) = \int_0^b x^{\alpha} e^{-tcx^{\beta}} dx . \]
Montrer que lorsque $t \rightarrow +\infty$,
\[ J(t) \sim \frac{1}{\beta} \, \Gamma \left( \frac{\alpha + 1}{\beta} \right) (ct)^{-(\alpha+1)/\beta} .\]

Soient à présent $f$ et $g$ deux applications localement continues par morceaux de $]0,+\infty[$ dans $\R$ telles que

(i) L'intégrale $\int_0^{+\infty} \! \vert f(x) \vert e^{g(x)} dx$ converge,

(ii) $\exists \delta_0 > 0 \colon \forall \delta \in ]0,\delta_0[, \forall x \geqslant \delta, g(x) \leqslant g(\delta)$,

(iii) On ait en $0^+$ les développements asymptotiques $f(x) \sim Ax^{\alpha}$ et $g(x) = a - c x^{\beta} + o(x^{\beta})$, avec
$\alpha > 1$, $c>0$ et $\beta > 0$.

On pose alors, pour $t \geqslant 1$, 
\[ I(t) = \int_0^{+\infty} \! f(x) e^{tg(x)} dx .\]

L'objet des prochaines questions est de prouver que, lorsque $t \rightarrow +\infty$,
\[ I(t) \sim \frac{A}{\beta} \, \Gamma \left( \frac{\alpha + 1}{\beta} \right) e^{at} (ct)^{-(\alpha+1)/\beta} .\]

\item Expliquer comment on peut se ramener au cas $a = 0$ et $A = 1$.

On fixe à présent $\varepsilon \in ]0,1[$, et on pose, pour alléger le calcul,
\[ \varphi(t) = \frac{1}{\beta} \, \Gamma \left( \frac{\alpha + 1}{\beta} \right) (ct)^{-(\alpha+1)/\beta}. \]

\item  Montrer que $\exists \delta \in ]0,\delta_0[, \exists t_1 > 0 \colon \forall t \geqslant t_1$,
\[ (1-\varepsilon)^2 (1+\varepsilon)^{-(\alpha+1)/\beta} \varphi(t) \leqslant
\int_0^{\delta} \! f(x) e^{tg(x)} dx \leqslant
(1+\varepsilon)^2 (1-\varepsilon)^{-(\alpha+1)/\beta} \varphi(t) . \]

\item Montrer que, $\delta$ et $t_1$ étant ainsi fixés, il existe aussi $t_2 > 0$ tel que
\[\forall t \geqslant t_2 \, , \int_{\delta}^{+\infty} \! \vert f(x) \vert e^{tg(x)} dx \leqslant \varepsilon \varphi(t), \]
et conclure.

\item (Corollaire) Soient $-\infty \leqslant a < b \leqslant +\infty$, et soient $f$ et $g$ deux fonctions de $]a,b[$ dans $\R$, f étant localement continue par morceaux et $g$ étant de classe $\mathcal{C}^2$, vérifiant

(i) L'intégrale $\int_a^b \! \vert f(x) \vert e^{g(x)} dx$ converge, et

(ii) $g'$ ne change de signe qu'en un seul point $c \in ]a,b[$, où de plus $g$ atteint son maximum, avec $f(c) \neq 0$ et $g''(c) < 0$.

Montrer que, lorsque $t \rightarrow +\infty$,
\[ \int_a^b \! f(x) e^{tg(x)} dx \sim \sqrt{\frac{2 \pi}{\vert g''(c) \vert t}} f(c) e^{tg(c)} . \]

\item (Application) Montrer la \textit{formule de Stirling généralisée} :

Lorsque $x \rightarrow + \infty$, $\Gamma(x+1) \sim \sqrt{2 \pi} x^{x + 1/2} e^{-x}$ .

\item  (Application) Donner un équivalent, lorsque $t \rightarrow +\infty$, de la \textit{transformée de Mellin}
\[ \mathcal{M}\{\sin\} \colon t \longmapsto \int_0^{\pi} \! x^t \sin x \, \frac{dx}{x} . \]

\item (Application) Soit $\alpha \in ]0,1[$. Donner un équivalent, lorsque $t \rightarrow 0^+$, de
\[ I(t) = \int_0^{+\infty} \! \exp \left( \frac{x^{\alpha}}{\alpha} - tx \right) dx . \]

\end{enumerate}

\bigskip

\end{document}