\documentclass[12pt]{article}
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

\begin{document}

\hfil \textbf{Pour commencer, une intégrale !} \hfil

Déterminer la nature de l'intégrale
\[ \int_0^{+\infty} \! e^{it^2} dt . \]

\bigskip

\hfil \textbf{Puis une série !} \hfil

Nature et somme de $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \ln \left( 1 + \frac{2}{n(n+3)} \right)$.

\bigskip

\hfil \textbf{Un peu plus difficile} \hfil

Déterminer la nature de l'intégrale
\[ \int_1^{+\infty} \! \vert \sin x \vert^x dx . \]

\bigskip

\hfil \textbf{Le retour des séries} \hfil

Déterminer la nature des séries suivantes :

\begin{enumerate}

\item $\displaystyle  \sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{\alpha} + (-1)^n}$, où $\alpha > 0$;

\item $\displaystyle  \sum_{n \geqslant 2} \frac{e^{in\theta}}{\sqrt{n} + e^{in \varphi}}$, où $\theta$, $\varphi \in \R$;

\item $\displaystyle  \sum_{n \geqslant 2} \frac{e^{in\theta}}{n^{\alpha} + e^{in \varphi}}$, où  $\theta$, $\varphi \in \R$ et $\alpha > 0$.

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Comparaison série - intégrale} \hfil

\begin{enumerate}

\item Soit $f \colon ]0,+\infty[ \longrightarrow \C$ une application de classe $\mathcal{C}^1$ telle que $\int_1^{+\infty} \vert f'(t) \vert dt$ converge. Montrer que la suite $\displaystyle \left( \int_1^n f(t) dt \right)_{n \geqslant 1}$ et la série $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} f(n)$ ont même nature.

\item En déduire la nature de la série
\[ \sum_{n \geqslant 1} \frac{e^{i\sqrt{n}}}{n^{\alpha}} \]
en fonction du paramètre $\alpha \in \R$. On pourra commencer par le cas $\alpha > 1/2$.

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Série lentement convergente} \hfil

\begin{enumerate}

\item (Préliminaire) En considérant l'application
\[ \begin{array}{cccl} g \ \colon & [0,+\infty[ & \longrightarrow & \R \\ & x & \longmapsto & \displaystyle \int_0^1 \frac{e^{-(t^2+1)x^2}}{t^2+1} dt \end{array} ,\]
déterminer la valeur de l'\textit{intégrale de Gauss}
\[ \int_0^{+\infty} e^{-t^2} dt . \]

\item Soit $f \colon [0,+\infty[ \longrightarrow \R$ une fonction continue décroissante telle que l'intégrale $\int_0^{+\infty} f(t) dt$ converge et soit non nulle. Etablir, pour tout $t > 0$, la convergence de la série
\[ \sum_{n = 1}^{+\infty} f(nt) \ , \]
et donner un équivalent de sa somme lorsque $t \rightarrow 0^+$.

\item En déduire un équivalent, lorsque $x \rightarrow 1^-$, de
\[ \Theta(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} x^{n^2} . \]

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Développement asymptotique de la série harmonique} \hfil

On pose, pour tout $n$ entier naturel non nul, $\displaystyle H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$.
Calculer le développement asymptotique à quatre termes de $H_n$.
 
\bigskip

\hfil \textbf{Itération du sinus} \hfil

\medskip

Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite vérifiant $\displaystyle u_0 \in \left]0,\frac{\pi}{2} \right]$ et $\forall n \in \N , \ u_{n+1} = \sin u_n$.

\begin{enumerate}

\item Etudier la convergence de la suite $(u_n)_{n \in \N}$.

\item Donner un équivalent, puis un développement asymptotique à deux termes de $(u_n)_{n \in \N}$ lorsque $n \rightarrow + \infty$.
On pourra étudier $u_{n+1}^{\alpha} - u_n^{\alpha}$ pour $\alpha$ bien choisi.
 
\end{enumerate}

\newpage

\hfil \textbf{Somme de sommes} \hfil

Soit $\sum u_n$ une série à termes strictement positifs.

\begin{enumerate}

\item On suppose dans cette question que $\sum u_n$ diverge, et on pose
\[ S_n = \sum_{k=0}^n u_k . \]
Discuter en fonction du paramètre $\alpha > 0$ la nature de la série $\sum \frac{u_n}{S_n^{\alpha}}$.

On suppose à présent que $u_n = o(S_n)$ lorsque $n \rightarrow +\infty$. Exprimer en fonction de $S_n$ et de $\alpha$ un équivalent des sommes partielles de la série $\sum \frac{u_n}{S_n^{\alpha}}$ lorsqu'elle diverge, et de ses restes lorsqu'elle converge.
 
\item On suppose dans cette question que $\sum u_n$ converge, et on pose
\[ R_n = \sum_{k=n}^{+\infty} u_k . \]
Discuter en fonction du paramètre $\alpha > 0$ la nature de la série $\sum \frac{u_n}{R_n^{\alpha}}$.

On suppose à présent que $u_n = o(R_n)$ lorsque $n \rightarrow +\infty$. Exprimer en fonction de $R_n$ et de $\alpha$ un équivalent des sommes partielles de la série $\sum \frac{u_n}{R_n^{\alpha}}$ lorsqu'elle diverge, et de ses restes lorsqu'elle converge.

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Zone d'importance 1} \hfil

On considère l'intégrale à paramètre
\[ \begin{array}{cccl} I \ \colon & ]0,+\infty[ & \longrightarrow & \R \\ & t & \longmapsto & \displaystyle
\int_1^{+\infty} \! \frac{e^{-tx}}{\sqrt[3]{x^3+1}} dx \end{array} .\]
Vérifier qu'elle est bien définie, et en donner un équivalent lorsque $t \rightarrow 0^+$.
 
\bigskip

\hfil \textbf{Zone d'importance 2 : phase stationnaire} \hfil

Donner un équivalent lorsque $t \rightarrow +\infty$ de l'intégrale à paramètre
\[ \begin{array}{cccl} I \ \colon & \R & \longrightarrow & \C \\ & t & \longmapsto & \displaystyle
\int_{0}^{1} \! \cos x \ e^{it \, ch x} dx \end{array} .\]

\newpage

\hfil \textbf{Méthode de Laplace} \hfil

On rappelle que la \textit{fonction gamma}, définie par
\[ \begin{array}{cccl} \Gamma \ \colon & ]0,+\infty[ & \longrightarrow & \R \\ & x & \longmapsto & \displaystyle
\int_{0}^{+\infty} \! t^{x-1} e^{-t} dt \end{array} ,\]
vérifie $\forall n \in \N$,  $\Gamma(n+1) = n!$ , ainsi que $\Gamma \! \left(\frac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi}$.
Le but de ce problème est de trouver un équivalent en $+\infty$ d'intégrales à paramètre de forme
\[ \int_0^{+\infty} \! f(x) e^{tg(x)} dx \]
où les fonctions $f$ et $g$ vérifient certaines conditions.
 
\begin{enumerate}

\item (Préliminaire) Soient $\alpha > -1$, $\beta > 0$, $c > 0$ et $b \in ]0,+\infty]$. On pose, pour tout $t > 0$,
\[ J(t) = \int_0^b x^{\alpha} e^{-tcx^{\beta}} dx . \]
Montrer que lorsque $t \rightarrow +\infty$,
\[ J(t) \sim \frac{1}{\beta} \, \Gamma \left( \frac{\alpha + 1}{\beta} \right) (ct)^{-(\alpha+1)/\beta} .\]

Soient à présent $f$ et $g$ deux applications localement continues par morceaux de $]0,+\infty[$ dans $\R$ telles que

(i) L'intégrale $\int_0^{+\infty} \! \vert f(x) \vert e^{g(x)} dx$ converge,

(ii) $\exists \delta_0 > 0 \colon \forall \delta \in ]0,\delta_0[, \forall x \geqslant \delta, g(x) \leqslant g(\delta)$,

(iii) On ait en $0^+$ les développements asymptotiques $f(x) \sim Ax^{\alpha}$ et $g(x) = a - c x^{\beta} + o(x^{\beta})$, avec
$\alpha > 1$, $c>0$ et $\beta > 0$.

On pose alors, pour $t \geqslant 1$, 
\[ I(t) = \int_0^{+\infty} \! f(x) e^{tg(x)} dx .\]

L'objet des prochaines questions est de prouver que, lorsque $t \rightarrow +\infty$,
\[ I(t) \sim \frac{A}{\beta} \, \Gamma \left( \frac{\alpha + 1}{\beta} \right) e^{at} (ct)^{-(\alpha+1)/\beta} .\]

\item Expliquer comment on peut se ramener au cas $a = 0$ et $A = 1$.

On fixe à présent $\varepsilon \in ]0,1[$, et on pose, pour alléger le calcul,
\[ \varphi(t) = \frac{1}{\beta} \, \Gamma \left( \frac{\alpha + 1}{\beta} \right) (ct)^{-(\alpha+1)/\beta}. \]

\item  Montrer que $\exists \delta \in ]0,\delta_0[, \exists t_1 > 0 \colon \forall t \geqslant t_1$,
\[ (1-\varepsilon)^2 (1+\varepsilon)^{-(\alpha+1)/\beta} \varphi(t) \leqslant
\int_0^{\delta} \! f(x) e^{tg(x)} dx \leqslant
(1+\varepsilon)^2 (1-\varepsilon)^{-(\alpha+1)/\beta} \varphi(t) . \]

\item Montrer que, $\delta$ et $t_1$ étant ainsi fixés, il existe aussi $t_2 > 0$ tel que
\[\forall t \geqslant t_2 \, , \int_{\delta}^{+\infty} \! \vert f(x) \vert e^{tg(x)} dx \leqslant \varepsilon \varphi(t), \]
et conclure.

\item (Corollaire) Soient $-\infty \leqslant a < b \leqslant +\infty$, et soient $f$ et $g$ deux fonctions de $]a,b[$ dans $\R$, f étant localement continue par morceaux et $g$ étant de classe $\mathcal{C}^2$, vérifiant

(i) L'intégrale $\int_a^b \! \vert f(x) \vert e^{g(x)} dx$ converge, et

(ii) $g'$ ne change de signe qu'en un seul point $c \in ]a,b[$, où de plus $g$ atteint son maximum, avec $f(c) \neq 0$ et $g''(c) < 0$.

Montrer que, lorsque $t \rightarrow +\infty$,
\[ \int_a^b \! f(x) e^{tg(x)} dx \sim \sqrt{\frac{2 \pi}{\vert g''(c) \vert t}} f(c) e^{tg(c)} . \]

\item (Application) Montrer la \textit{formule de Stirling généralisée} :

Lorsque $x \rightarrow + \infty$, $\Gamma(x+1) \sim \sqrt{2 \pi} x^{x + 1/2} e^{-x}$ .

\item  (Application) Donner un équivalent, lorsque $t \rightarrow +\infty$, de la \textit{transformée de Mellin}
\[ \mathcal{M}\{\sin\} \colon t \longmapsto \int_0^{\pi} \! x^{t-1} \sin x \, dx . \]

\item (Application) Soit $\alpha \in ]0,1[$. Donner un équivalent, lorsque $t \rightarrow 0^+$, de
\[ I(t) = \int_0^{+\infty} \! \exp \left( \frac{x^{\alpha}}{\alpha} - tx \right) dx . \]

\end{enumerate}

\bigskip

\end{document}