\documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}

\hfil \textbf{Fonction dont tous les moments sont nuls} \hfil

Soient $a < b$ deux réels, et $f \colon [a,b] \longrightarrow \R$ une application continue, telle que pour tout entier naturel $n$, $\displaystyle \int_a^b t^n f(t) dt = 0$. Que dire de $f$ ?

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\hfil \textbf{Factorisation de fonctions lisses} \hfil

Soient $a < b$ deux réels, et $f \colon [a,b] \longrightarrow \R$ une application de classe $\mathcal{C}^{\infty}$. Lorsque $x$
 est un zéro de $f$, on dit que c'est un zéro d'ordre $m$ si $f(x) = f'(x) = \cdots = f^{(m-1)}(x) = 0$ et $f^{(m)}(x) \neq 0$. Soient $x_1, x_2, \cdots, x_n$ des zéros de $f$, d'ordres respectifs $m_1, m_2, \cdots, m_n$. Montrer qu'il existe une application $g \colon [a,b] \longrightarrow \R$, de classe $\mathcal{C}^{\infty}$, telle que
 \[ \forall x \in [a,b], \ f(x) = g(x) \prod_{i = 1}^{n} (x - x_i)^{m_i} . \]
 
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\hfil \textbf{Des sommes pas vraiment de Riemann} \hfil

Soit $f \colon [0,1] \longrightarrow \R$ une application dérivable en $0$, telle que $f(0) = 0$.
Etudier $\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty} \sum_{k = 1}^{n} f\left( \frac{k}{n^2} \right)$, puis $\displaystyle\lim_{n \rightarrow + \infty} \sum_{k = 1}^{n} f\left( \frac{1}{n+k \alpha} \right)$, où $\alpha > 0$.

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\hfil \textbf{Une autre somme} \hfil

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Donner un équivalent de $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \lfloor \sqrt{k} \rfloor$ quand $n \rightarrow + \infty$.

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\hfil \textbf{Sommes de qui ?} \hfil

Soit $(u_n)_{n \in \N^*}$ la suite définie par $\displaystyle \forall n \in \N^*, \ u_n = \sum_{k = 1}^n \frac{n}{n^2 + k^2} \ .$

\begin{enumerate}

\item Montrer que $u_n$ converge. On note $\ell$ sa limite.

\item Donner un équivalent de $u_n - \ell$.

\end{enumerate}

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\hfil \textbf{Et pourquoi pas un produit ?} \hfil

Soit $f$ une application continue de $[0,1]$ dans $\R$. Déterminer
\[ \lim_{n \rightarrow + \infty} \prod_{k = 1}^n \left( 1 + \frac{1}{n} f \left( \frac{k}{n} \right) \right) . \]

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\hfil \textbf{Une équation intégrale} \hfil

Déterminer toutes les applications $f \colon [0,1] \longrightarrow \R$, continues par morceaux, telles que
\[ \exists a \in [0,1] \  \colon \forall x \in [0,1], \ f(x) = \int_0^{ax}f(t)dt . \]

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\hfil \textbf{Une autre équation intégrale} \hfil

Déterminer toutes les applications $f$ continues de $\R$ dans $\R$ telles que, pour tous $x$ et $y$ réels,
\[ f(x)f(y) = \int_{x-y}^{x+y} \! f(t) dt . \]

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\hfil \textbf{Moyennes mobiles} \hfil

Déterminer toutes les applications $f$ continues de $\R$ dans $\R$, telles que, pour tous $x \in \R$ et $a > 0$,
\[ f(x) = \frac{1}{2a} \int_{x-a}^{x+a} \! f(t) dt . \]

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\hfil \textbf{Zone d'importance} \hfil

Soit $f \colon [a,b] \longrightarrow \R$ continue positive.

\begin{enumerate}

\item Montrer que $\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty} \left( \int_a^b f(t)^n dt \right)^{\frac{1}{n}} = \sup_{t \in [a,b]} f(t) .$

\item Soit $g \colon [a,b] \longrightarrow \R$ continue à valeurs strictement positives. Montrer qu'à nouveau $\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty} \left( \int_a^b f(t)^n g(t) dt \right)^{\frac{1}{n}} = \sup_{t \in [a,b]} f(t) .$

\item On suppose que $f$ est à valeurs strictement positives. Etudier $\displaystyle \left( \int_a^b f(t)^{\alpha} dt \right)^{\frac{1}{\alpha}}$ quand $\alpha \rightarrow 0^{+}$.

\end{enumerate}

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\hfil \textbf{Weierstrass violent} \hfil

Que dire d'une fonction $f$ limite uniforme sur $\R$ de polynômes ?

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\hfil \textbf{Une intégrale définie} \hfil

\[\mbox{Calculer l'intégrale } I = \int_{\pi / 2}^{3 \pi / 2} \! \frac{dx}{3 + \sin x} \ .\]

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\hfil \textbf{Une intégrale indéfinie} \hfil

\[\mbox{Calculer} \int \! \frac{x^2 dx}{x^6 - 1} \ .\]

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\hfil \textbf{Intégrale de Dirichlet} \hfil

\[\mbox{Calculer } \Delta = \int_{0}^{\pi / 2} \! \log ( \sin x) dx \ .\]

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\hfil \textbf{Une intégrale à paramètre} \hfil

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Calculer, pour $t > -1$, $\displaystyle I(t) = \int_{0}^{\pi / 2} \! \frac{\ln(1 + t \cos x)}{\cos x} dx$ .

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\hfil \textbf{Une autre intégrale à paramètre} \hfil

\medskip

Soit, pour $x \in \R \backslash \{-1,1\}$, $\displaystyle I(x) = \int_{0}^{\pi} \! \ln(1 - 2x \cos \theta + x^2) d\theta$ .

\begin{enumerate}

\item Comparer $I(x)$ et $I(x^2)$, et en déduire $I(x)$.

\item Retrouver ce résultat en utilisant des sommes de Riemann.

\end{enumerate}

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\hfil \textbf{Encore une intégrale ?} \hfil

Soient $a > 1$ et $b > 1$. Calculer
\[ \int_0^{\pi} \! \ln \left( \frac{b - \cos x}{a - \cos x} \right) dx . \]

\newpage

\hfil \textbf{Théorème de Fejér} \hfil

Soit $f \colon \R \rightarrow \C$ continue et $2 \pi$-périodique. On pose
\[\forall n \in \Z, \  c_n(f) = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} f(t) e^{-int} dt \quad \mbox{et} \quad \forall n \in \N, \  S_n(f)(t) = \sum_{k=-n}^{n} c_k(f) e^{ikt} . \]
Que cherche-t-on à faire ? Montrer qu'\textit{en moyenne de Cesàro}, $S_n(f)$ converge uniformément sur $\R$ vers $f$. Quel théorème retrouve-t-on ainsi ?

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\hfil \textbf{Théorème de Chudnovsky} \hfil

Soit $I$ un segment contenu dans $]0,1[$. On considère
\[ \begin{array}{cccl} \varphi \  \colon & ]0,1[ & \longrightarrow & ]0,1[ \\ & x & \longmapsto & 2x(1-x) \end{array} . \]

\begin{enumerate}

\item Etudier la suite de fonctions $(\varphi^n)_{n \in \N}$ sur $]0,1[$, où $\varphi^n = \underbrace{\varphi \circ \cdots \circ \varphi}_{\mbox{$n$ fois}}$.

\item En déduire que $\Z[X]$ est dense dans $\mathcal{C}(I,\R)$ pour la norme uniforme.

\end{enumerate}

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\end{document}