\documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}

\hfil \textbf{Compacité et séparabilité} \hfil

Montrer que tout espace métrique compact est séparable.

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\hfil \textbf{Somme de parties} \hfil

Soient $E$ un espace vectoriel normé, et $A$ et $B$ deux parties de $E$. On note
\[ A+B= \left\{ a+b \big\vert a \in A, b \in B \right\} .\]

\begin{enumerate}

\item On suppose $A$ ouvert. Montrer que $A+B$ est ouvert.

\item On suppose $A$ fermé et $B$ compact. Montrer que $A+B$ est fermé.

\item Est-ce encore vrai si $B$ est seulement fermé ?

\end{enumerate}

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\hfil \textbf{Théorème du point fixe, version compacte} \hfil

Soient $(X,d)$ un espace métrique compact et $f \colon X \longrightarrow X$ une application telle que
\[ \forall (x,y) \in X^2, x \neq y, d(f(x),f(y)) < d(x,y) . \]

\begin{enumerate}

\item Montrer que $f$ admet un unique point fixe.

\item Proposer une méthode d'approximation de ce point fixe.

\item Le résultat de la première question subsiste-t-il si on suppose seulement $X$ complet ? Et si $X$ est compact, mais $f$ n'est qu'$1$-lipschitzienne ?

\end{enumerate}

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\hfil \textbf{Théorème de Kakutani commutatif} \hfil

Soient $E$ un espace vectoriel normé, $K$ une partie compacte convexe de $E$, et $\left(f_i\right)_{i \in I}$ une famille d'applications affines continues de $K$ dans $K$ commutant deux à deux. Démontrer que les $f_i$ admettent un point fixe commun.

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\hfil \textbf{Compacité, continuité, injectivité...} \hfil

Soient $E$ et $F$ deux espaces métriques, et $f$ une application de $E$ dans $F$.

\begin{enumerate}

\item Dans cette question seulement, on suppose que $E$ est compact et que $f$ est une bijection continue. Montrer qu'alors $f$ est un homéomorphisme.

\item On suppose que l'image par $f$ de tout compact de $E$ est compacte. On suppose de plus que $f$ est injective. Montrer qu'alors $f$ est continue.

\item Que dire si $f$ n'est plus supposée injective ?

\end{enumerate}

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\hfil \textbf{L'algèbre des fonctions continues sur un compact} \hfil

Un idéal d'un anneau commutatif sera dit \emph{propre} s'il est différent de l'anneau tout entier, et \emph{maximal} s'il est maximal pour l'inclusion parmi les idéaux propres.

On pose $\K = \R$ ou $\C$. Soit $X$ un espace métrique compact. On note $\mathcal{C}(X,\K)$ la $\K$-algèbre des applications continues de $X$ dans $\K$.

\begin{enumerate}

\item Soit $\mathfrak{I}$ un idéal propre de $\mathcal{C}(X,\K)$. Démontrer que les éléments de $\mathfrak{I}$ ont (au moins) un zéro commun.

\item Quels sont les idéaux maximaux de $\mathcal{C}(X,\K)$ ?

\item Quels sont les morphismes d'algèbres de $\mathcal{C}(X,\K)$ dans $\K$ ?

\item On suppose à présent que $X$ et $X'$ sont deux compacts de $\K$. Montrer que tout morphisme d'algèbres de $\mathcal{C}(X,\K)$ dans $\mathcal{C}(X',\K)$  s'écrit \newline $f \mapsto f \circ \alpha$, où $\alpha$ est une application continue de $X'$ dans $X$.

\item En déduire qu'un tel morphisme est toujours continu pour la norme uniforme. En déduire aussi une condition nécessaire et suffisante pour que les algèbres $\mathcal{C}(X,\K)$ et $\mathcal{C}(X',\K)$ soient isomorphes.

\end{enumerate}

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\hfil \textbf{Distance de Hausdorff} \hfil

Soient $(X,d)$ un espace métrique, et $\mathcal{F}$ l'ensemble des parties fermées bornées non vides de $X$. Lorsque $A$ et $B$ sont dans $\mathcal{F}$, on note
\[ \delta (A,B) = \sup_{a \in A} \inf_{b \in B} d(a,b) \quad \mbox{et} \quad \Delta(A,B) = \max(\delta(A,B),\delta(B,A)) .\]

\begin{enumerate}

\item Interpréter $\Delta$, et montrer qu'il s'agit d'une distance sur $\mathcal{F}$. On considère désormais $\mathcal{F}$ comme l'espace métrique $(\mathcal{F}, \Delta)$.

\item Lorsque $n$ est un entier naturel non nul, on note $\mathcal{F}_n$ le sous-ensemble de $\mathcal{F}$ formé des éléments de cardinal supérieur ou égal à $n$. Montrer que ces $\mathcal{F}_n$ sont des ouverts de $\mathcal{F}$.

\item On suppose dorénavant $X$ compact. Montrer que toute suite de Cauchy \textit{décroissante} $(Y_n)_{n \in \N}$ de $\mathcal{F}$ converge vers sa \textit{borne inférieure} \newline $Y = \displaystyle \bigcap_{n \in \N} \downarrow Y_n$. En déduire que $\mathcal{F}$ est complet.

\item Montrer que $\mathcal{F}$ est compact.

\end{enumerate}

\newpage

\hfil \textbf{Compacité et isométries} \hfil

Soient $X$ un espace métrique compact, et $f$ une isométrie de $X$ dans lui-même. Montrer que $f$ est bijective. En déduire que, lorsque $X$ et $Y$ sont deux espaces métriques compacts, si $f \colon X \longrightarrow Y$ et $g \colon Y \longrightarrow X$ sont des isométries, elles sont bijectives.

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\hfil \textbf{Recouvrement ouvert} \hfil

Soit $X$ un espace métrique compact, et soit $\left(\Omega_{\lambda}\right)_{\lambda \in \Lambda}$ un recouvrement ouvert de $X$. Montrer qu'il existe un réel $\alpha$ strictement positif tel que toute boule ouverte de rayon $\alpha$ de $X$ soit contenue dans un des $\Omega_{\lambda}$.

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\hfil \textbf{Autour du théorème de Riesz} \hfil

Soit $E$ un espace vectoriel normé.

\begin{enumerate}

\item On suppose $E$ de dimension infinie. Expliquer ``intuitivement'' pourquoi la boule unité de $E$ ne peut pas être compacte, puis démontrer ce fait.

\item Que dire si la sphère unité de $E$ est compacte ?

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Distance entre deux parties} \hfil

Soit $(X,d)$ un espace métrique.

\begin{enumerate}

\item Soient $F_1$ et $F_2$ deux fermés disjoints de $X$. A-t-on nécessairement $d(F_1,F_2) \neq 0$ ? Et si $F_1$ est compact ?

\item Soient $K_1$ et $K_2$ deux compacts de $X$. Montrer que la distance de $K_1$ à $K_2$ est atteinte. Est-ce encore vrai si $K_1$ est seulement fermé ?

\item On suppose que $X = \R^n$. Soient $K$ un compact et $F$ un fermé de $X$. Montrer que la distance de $K$ à $F$ est atteinte.

\end{enumerate}

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\hfil \textbf{Applications propres} \hfil

\begin{enumerate}

\item Soient $X$ et $Y$ deux espaces métriques et $f \colon X \longrightarrow Y$ une application continue par laquelle l'image réciproque de tout compact est compacte (on dit que $f$ est \textit{propre}). Montrer que $f$ est fermée. Existe-t-il des applications continues non fermées ?

\item Soit $n$ un entier naturel non nul fixé une fois pour toutes. On note
\[ \R_n[X] = \left\{P \in \R[X] \bigg\vert deg P \leq n \right\} .\]
Montrer que l'ensemble $\Gamma_n \subseteq \R_n[X]$ des polynômes unitaires scindés de degré $n$ est un fermé de $\R_n[X]$.

\end{enumerate}

\newpage

\hfil \textbf{Opérateurs compacts $\bigstar$} \hfil

Soit $E$ un espace de Banach. On note $L_c(E)$ l'algèbre des endomorphismes continus, ou opérateurs, de $E$, et $B \subset E$ la boule unité fermée de $E$.
Un opérateur $T \in L_c(E)$ est dit \emph{compact} si $\overline{T(B)} \subset E$ est compact.
On note $K(E)$ l'ensemble des opérateurs compacts de $E$, et $RF(E) \subseteq L_c(E)$ l'ensemble des opérateurs continus de rang fini de $E$.

\begin{enumerate}

\item Montrer qu'un opérateur compact est continu.

\item Montrer que $RF(E)$ est un idéal bilatère de $L_c(E)$. Est-il fermé ?

\item Montrer que $K(E)$ est un idéal bilatère de $L_c(E)$. Est-il fermé ?

\item Montrer l'inclusion $\overline{RF(E)} \subseteq K(E)$.

\item On suppose pour finir que $E$ est un espace de Hilbert. Montrer que $\overline{RF(E)} = K(E)$.

\end{enumerate}

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\hfil \textbf{Factorisation de fonction} \hfil

Soient $n \geqslant 2$ un entier, $a < b$ deux réels, et $f : [a,b] \longrightarrow \R$ une application de classe $\mathcal{C}^n$. \\ On suppose que $f$ admet (au moins) $n$ zéros $(x_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$. Montrer que pour tout $x \in [a,b]$, il existe $u \in [a,b]$ tel que
\[ f(x) = \frac{f^{(n)}(u)}{n !} \prod_{i = 1}^n (x-x_i) . \]

\bigskip

\hfil \textbf{Plus vite !} \hfil

Un candidat à l'X court le 100 mètres en 10 secondes. Montrer que si ses vitesses initiale et finale sont nulles, alors il y a un moment où son accélération est supérieure à $4 m.s^{-2}$.

\end{document}