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\begin{document}

\hfil \textbf{Pour commencer} \hfil

Résoudre $y''+y= \tan t$ sur $]-\pi/2,\pi/2[$.

\bigskip

\hfil \textbf{Explosion en temps fini} \hfil

Existe-t-il une application $f$ positive non nulle de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R^+$ telle que $ \forall t \geqslant 0$, $f'(t) > f(t)^2$ ?

\bigskip

\hfil \textbf{Lemme de Gronwall} \hfil

\begin{enumerate}

\item Soient $\varphi$, $\psi$ et $y$ trois applications continues et positives sur un segment $[a,b]$ de $\R$. On suppose que
\[ \forall t \in [a,b], \quad y(t) \leqslant \varphi(t) + \int_a^t \psi(s) y(s) ds. \]
Montrer que
\[ \forall t \in [a,b], \quad y(t) \leqslant \varphi(t) + \int_a^t \varphi(s) \psi(s) \exp \left( \int_s^t \psi(u) du \right) ds. \]
Simplifier ce résultat dans le cas où $\varphi$ est constante.

\item Soit $q \colon \R^+ \longrightarrow \R^{+*}$ de classe $\mathcal{C}^1$ et croissante. Montrer que toute solution réelle de l'équation différentielle
\[ y''(t) + q(t) y(t) = 0 \]
est bornée sur $\R^+$.

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Théorème de Floquet} \hfil

On considère sur $\C^n$ un  système différentiel $(E)$ de forme $Y'(t) = A(t) Y(t)$, où $A \colon \R \longrightarrow \mathcal{M}_n(\C)$ est continue et $T$-périodique.

\begin{enumerate}

\item Montrer que l'existence d'une solution non nulle $\Phi$ de $(E)$ telle que
\[ \exists \lambda \in \C \colon \forall t \in \R, \quad V(t+T) = \lambda V(t). \]

\item Soit $M(t)$ une matrice dont les colonnes forment une base de l'espace des solutions de $(E)$. Montrer l'existence d'une matrice $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ telle que
\[ \forall t \in \R, \quad M(t+T) = M(t) A. \]
Montrer que $A$ est inversible.

\end{enumerate}

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\hfil \textbf{Autour du théorème de Sturm} \hfil

Soit $q \colon \R \longrightarrow \R$ une application continue. On considère l'équation différentielle
\[ (E) \quad y''(t)+q(t)y(t) = 0. \]
On suppose que ses solutions maximales sont définies sur $\R$.

\begin{enumerate}

\item On suppose dans cette question que $q$ est intégrable sur $\R$. Soit $y$ une solution bornée de $(E)$, étudier le comportement de $y'$ à l'infini. Montrer que $(E)$ admet des solutions non bornées.

\item Soit $y$ une solution non nulle de $(E)$. Montrer que
\begin{enumerate}
\item si $q$ est majorée sur $\R$ par une constante $M > 0$, alors deux éventuels zéros $t_1 \neq t_2$ de $y$ vérifient toujours $\vert t_1 - t_2 \vert \geqslant \frac{\pi}{\sqrt{M}}$,
\item si $q$ est minorée par une constante $m > 0$, alors $y$ s'annule au moins une fois sur tout segment d'amplitude $\frac{\pi}{\sqrt{m}}$.
\end{enumerate}

\item On suppose dans cette question que $q$ est strictement négative sur $\R$. Quelles sont les solutions réelles bornées de $(E)$ ?

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Quelques équations non linéaires} \hfil

On s'intéresse à certaines équations particulières.

\begin{itemize}

\item[1. (\'Equation de Bernouilli)] Soient $\alpha \in \R$ et $a,b$ deux applications continues sur un intervlle de $\R$. Comment résoudre
\[ y'(t) = a(t) y(t) + b(t) y(t)^\alpha \ ? \]
Quand peut-on faire des raccords avec la fonction nulle ?

\item[2. (\'Equation de Ricatti)] Soient $a$, $b$ et $c$ trois applications continues sur un intervalle de $\R$. Comment résoudre complétement l'équation différentielle
\[ y'(t) = a(t) y(t)^2 + b(t) y(t) + c(t) \]
si d'aventure on en connaît une solution $y_0$ ?

\item[3. (Application)] Quelles sont les solutions réelles maximales de \newline
$y'+y+y^2+1 = 0$ ?

\end{itemize}

\bigskip

\hfil \textbf{Stabilité asymptotique d'un système linéaire} \hfil

On considère un système linéaire sur $\R^n$
\[ (L) \quad \ Y'(t) = A(t) Y(t) \]
où $A : \R \longrightarrow \mathcal{M}_n(\R)$ est une application continue telle que la matrice symétrique $^tA(t) + A(t)$ soit négative pour tout $t$. On note $\langle \cdot , \cdot \rangle$ le produit scalaire canonique sur $\R^n$.

\begin{enumerate}

\item Montrer que $\langle Y_1(t), Y_2(t) \rangle$ converge lorsque $t \rightarrow + \infty$ pour tout couple de solutions $(Y_1,Y_2)$ de $(L)$.

\item Montrer que $(L)$ admet une solution non identiquement nulle convergeant vers $0$ en $+\infty$ si et seulement si
\[ \lim_{t \rightarrow +\infty} \int_0^t tr(A(u)) du = -\infty. \]

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Théorème de Lyapunov} \hfil

Soit $f \colon \R^n \longrightarrow \R^n$ une application de classe $\mathcal{C}^1$ nulle en $0$. On considère l'équation différentielle
\[ (E) \left\{ \begin{array}{rcl} y' & = & f(y) \\ y(0) & = & y_0 \in \R^n \end{array} \right .. \]
On suppose qu'il existe un voisinage $V$ de $0$ dans $\R^n$ tel que si $y_0 \in V$, alors la solution maximale de $(E)$ est définie au moins sur $\R^+$ tout entier. Notre but est de montrer que, sous certaines conditions,
\[ \lim_{t \rightarrow +\infty} y(t) = 0 \]
dès que $y_0$ est dans un voisinage $W \subseteq V$ de $0$.

\begin{enumerate}

\item On suppose tout d'abord que $(E)$ est linéaire à coefficents constants : $f \in \mathcal{L}(\R^n)$. Conjecturer une condition nécessaire et suffisante sur les valeurs propres (dans $\C$) de $f$ pour que toute solution de $(E)$ tende vers $0$ à l'infini, puis démontrer cette conjecture.

\emph{Indication : on pourra utiliser la décomposition de Dunford.}

\item On revient au cas général où $f$ n'est pas linéaire. On dorénavant suppose que la différentielle $df(0)$ de $f$ vérifie la condition de la question précédente. On définit sur $\R^n$
\[ \varphi(x,y) = \int_{0}^{+\infty} \langle e^{t \, df(0)} x, e^{t \, df(0)} y \rangle dt \]
où $\langle \cdot, \cdot \rangle$ désigne le produit scalaire canonique sur $\R^n$. Vérifier que $\varphi$ définit un produit scalaire sur $\R^n$. On note $q$ son carré scalaire.

\item \'Etudier $q(y(t))$ pour $y$ solution de $(E)$, et conclure.

\emph{Des dessins seront les bienvenus.}

\end{enumerate}

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\hfil \textbf{Intégration numérique} \hfil

Soient $T > 0$, $I = [0,T]$, et $f \colon I \times \R^n \longrightarrow \R^n$ de classe $\mathcal{C}^1$, $L$-lipschtzienne en la seconde variable :
\[ \forall t \in I, \, \forall x,y \in \R^n, \ \Vert f(t,x) - f(t,y) \Vert \leqslant \Vert x - y \Vert . \]
On suppose  que l'équation différentielle $y'(t) = f(t,y(t))$ admet une solution sur $I$, et on cherche à l'approximer numériquement par la méthode d'Euler. On prend donc un entier $n \in \N^*$, et on pose $h = T/n$, $t_k = kh$, $y_0 = y(0)$ et $y_{k} = y_{k-1} + h f(t_{k-1}, y_{k-1})$. On se propose de majorer les erreurs
\[ e_k = \Vert y_k - y(t_k) \Vert. \]

\begin{enumerate}

\item Montrer que $y$ est de classe $\mathcal{C}^2$. On pose $\varepsilon_k = y(t_k) - y(t_{k-1}) - h f(t_{k-1}, y_{k-1})$; montrer que pour tout $k \leqslant n$, $\Vert \varepsilon_k \Vert \leqslant Mh^2/2$, où $M = \Vert y'' \Vert_{\infty}$.

\item En déduire que pour tout $k \leqslant n$, $\Vert e_k \Vert \leqslant \frac{Mh}{2L} e^{Lt_k}$.

\end{enumerate}

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\hfil \textbf{Retour sur les explosions en temps fini} \hfil

Soient $-\infty \leqslant a < b \leqslant + \infty$ et $f \colon ]a,b[ \times \R^n \longrightarrow \R^n$ une application continue et localement lipschitzienne en la seconde variable. On considère une solution maximale $\varphi \colon ]\alpha,\beta[ \longrightarrow \R^m$ de l'équation différentielle $y'(t) = f(t,y(t))$. Montrer que si $\beta < b$, alors $\varphi$ n'est pas bornée en $\beta$.

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\hfil \textbf{Retour sur la périodicité} \hfil

Soit $f \colon \R \longrightarrow \R$ une application continue. Montrer que l'équation différentielle $y''- y = f$ admet au plus une solution périodique.

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\hfil \textbf{Et pour finir...} \hfil

Déterminer tous les sous-espaces de dimension $2$ de $\mathcal{C}^0(\R,\R)$ stables par les opérateurs de translation
\[ \tau_a \colon f \longmapsto (x \mapsto f(x-a)) \qquad (a \in \R). \]

\bigskip

\end{document}