\documentclass[12pt]{article}
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\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

\begin{document}

\hfil \textbf{La raison d'être de $\R$} \hfil

Montrer que $\Q$ n'est pas complet pour la distance usuelle.

\bigskip

\hfil \textbf{L'espace $\ell^2$} \hfil

On définit \textit{l'espace des suites réelles de carré sommable} par
\[ \ell^2 = \left\{ (u_n)_{n \in \N} \in \R^\N \bigg\vert \sum_{n=0}^{+ \infty} u_n^2 < +\infty \right\}. \]

On pose, pour $u \in \ell^2$,
\[ \|u\|_2 = \sqrt {\sum_{n=0}^{+ \infty} u_n^2} .\]

Montrer que $\ell^2$ muni de $\| \cdot \|_2$ est un espace vectoriel normé complet.

\bigskip

\hfil \textbf{Distances} \hfil

Soit $I$ l'espace métrique $] 0 ; 1]$ muni de la distance $d$ induite par $\R$.

\begin{enumerate}

\item $(I,d)$ est-il un espace métrique complet ?

\item Trouver une distance $d'$ sur $I$, topologiquement équivalente à $d$, telle que $(I,d')$ soit un espace métrique complet. $d$ et $d'$ sont-elles uniformément équivalentes ?

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{La norme $L^1$} \hfil

Soit $E = \mathcal{C}^0([0;1],\R)$ l'ensemble des applications continues de $[0,1]$ dans $\R$. On définit sur $E$ la \textit{norme $L^1$} par
\[
\|f\|_1 = \int_0^1 \! |f| .
\]
Vérifier que $(E,\| \cdot \|_1)$ est un espace vectoriel normé. Est-il complet ?

\medskip

\hfil \textbf{Norme sur les fonctions lipschitziennes} \hfil

Soit $L$ l'ensemble des fonctions lipschitziennes de $[0,1]$ dans $\R$. On définit
\[
\begin{array}{cccl}
N\colon 
& 
L
& 
\longrightarrow 
& 
\R
\\
&
f
&
\longmapsto
&
\sup_{x \in [0;1]} |f(x)| + \sup_{x \neq y} \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}.
\end{array}
\]

Montrer que $(E,N)$ est un espace vectoriel normé. Est-il complet ?

\newpage

\hfil \textbf{Complets dans un surespace} \hfil

\begin{enumerate}

\item Soit $X$ un  espace métrique complet. Quels sont les sous-espaces métriques de $X$ qui sont complets ?

\item Montrer qu'un espace métrique complet est fermé dans tout surespace.

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Un résultat de point fixe} \hfil

Soient $(X,d)$ un espace métrique complet et $f$ une application de $X$ dans $X$. On suppose qu'il existe un entier non nul $n \in \N^*$ tel que $f^{\circ n} = \underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f}_{\mbox{$n$ fois}}$ soit $k$-lipschitzienne, avec $0 < k < 1$. Montrer que $f$ admet un unique point fixe dans $X$.

\bigskip

\hfil \textbf{Image de fermés décroissants} \hfil

Soient $(E,d)$ et $(F,d')$ deux espaces métriques, et $f$ une application continue de $E$ dans $F$. On suppose que $E$ est complet. Soit $(E_n)_{n \in \N}$ une famille décroissante de fermés de $E$, avec $diam (E_n) \rightarrow 0$. Montrer que
\[ f \left( \bigcap_{n \in \N} \! \downarrow E_n \right) = \bigcap_{n \in \N} \! \downarrow f(E_n) . \]

\bigskip

%\hfil \textbf{Une norme bizarre, pour pas grand chose} \hfil

%Soit $E = \left\{ f \in \mathcal{C}^1([0;1],\R) \big\vert f(0) = 0 \right\}$.

%\begin{enumerate}

%\item On pose $N(f) = \|f + f'\|_{\infty}$. Montrer que $N$ fait de $E$ un espace de Banach.

%\item On définit $N'(f) = \|f\|_{\infty} + \|f'\|_{\infty}$. Montrer que $N$ et $N'$ sont équivalentes sur $E$.

%\end{enumerate}
 
%\bigskip

\hfil \textbf{Du temps perdu à la recherche} \hfil

\begin{enumerate}

\item Existe-t-il une norme sur $\R[X]$ le rendant complet ?

\item Soit $n \in \N$. Que dire dans le cas de $\R_n[X] = \left\{P \in \R[X] \bigg\vert deg P \leq n \right\}$ ?

\end{enumerate}

\newpage

\hfil \textbf{Complétion d'un espace métrique} \hfil

Soit $(X,d)$ un espace métrique non vide. On cherche à le plonger isométriquement dans un espace complet.

\medskip

\noindent $\bullet$ \textbf{Première partie : Un premier plongement (méthode d'Arens-Fells)}

Soit $x_0 \in X$ fixé une fois pour toutes. Pour chaque $x \in X$, on considère l'application
\[
\begin{array}{cccl}
f_x\colon 
& 
X
& 
\longrightarrow 
& 
\R
\\
&
y
&
\longmapsto
&
d(x,y) - d(x_0,y).
\end{array}
\]

\begin{enumerate}

\item Calculer $\|f_x\|_{\infty}$, puis $\|f_x - f_{x'}\|_{\infty}$ où $x$ et $x'$ désignent des éléments de $X$.

\item En déduire une isométrie de $X$ sur une partie d'un espace métrique complet. Est-ce un homéomorphisme sur son image ?

\end{enumerate}

\medskip

\noindent $\bullet$ \textbf{Deuxième partie : Un autre plongement}

On note $\mathcal{C}$ l'ensemble des suites de Cauchy de $X$.

\begin{enumerate}

\item Soient $u = (u_n)_{n \in \N}$ et $v = (v_n)_{n \in \N}$ dans $\mathcal{C}$. Montrer que $d(u_n, v_n)$ converge. On note $\delta(u,v)$ sa limite. Montrer que $\delta$ est symétrique et vérifie l'inégalité triangulaire. Est-ce une distance sur $\mathcal{C}$ ?

\item On considère sur $\mathcal{C}$ la relation binaire
\[ u \sim v \Longleftrightarrow \delta(u,v) = 0 \ .\]
Vérifier qu'il s'agit d'une relation d'équivalence. On note $\widehat{X}$ l'ensemble quotient $\mathcal{C} / \sim$ et $\widehat{u}$ la classe d'équivalence d'une suite $u$ de $\mathcal{C}$. Quelle est la classe d'une suite convergente dans $X$ vers un $x \in X$ donné ? En donner un représentant canonique.

\item Montrer que $\delta$ \textit{passe au quotient}, c'est-à-dire que $\delta(\widehat{u}, \widehat{v})$ a un sens pour $u, \, v 
\in  \mathcal{C}$. Montrer que l'application ainsi définie est une distance sur $\widehat{X}$.

\item Montrer que $X$ s'injecte isométriquement dans $\widehat{X}$, et que son image est dense.

\item Montrer que $\widehat{X}$ est complet.

\end{enumerate}

\medskip

\noindent $\bullet$ \textbf{Troisième partie : Conclusion}

Comparer ces deux méthodes de \textit{complétion de $X$}. En quoi la seconde est-elle meilleure ? Enoncer et démontrer un résultat d'unicité concernant la seconde méthode.

\newpage

\hfil \textbf{Séries de Fourier et algèbres de Banach} \hfil

\begin{enumerate}

\item Soit $\mathcal{A}$ l'ensemble des séries de Fourier absolument sommables
\[ \mathcal{A} = \left\{ \sum_{n \in \Z} a_n e^{i n t} \bigg\vert \  a_n \in \C ,   \ \sum_{n \in \Z} |a_n| < + \infty  \right\} .\]
On munit $\mathcal{A}$ de
\[ \left\|\sum_{n \in \Z} a_n e^{i n t} \right\| =  \sum_{n \in \Z} |a_n|. \]
Montrer que $\| \cdot \|$ confère à $\mathcal{A}$ une structure de $\C$-algèbre de Banach commutative.

\item On note $Spec(\mathcal{A})$ l'ensemble des morphismes de $\C$-algèbres continus de $\mathcal{A}$ dans $\C$. Montrer que pour tout $\varphi \in Spec(\mathcal{A})$, $Ker \, \varphi$ est un idéal maximal de $\mathcal{A}$.

\item On admet que toute $\C$-algèbre de Banach commutative qui est un corps est isomorphe à $\C$, et on admet également que tout idéal propre (c'est-à-dire différent de $\mathcal{A}$ tout entier) de $\mathcal{A}$ est inclus dans un idéal maximal. Soit $\mathfrak{M}$ un idéal maximal de $\mathcal{A}$, montrer qu'il existe un élément $\varphi$ de $Spec(\mathcal{A})$ tel que $\mathfrak{M} = Ker \, \varphi$. En déduire que $a \in \mathcal{A}$ est inversible si et seulement si $\forall \varphi \in Spec(\mathcal{A})$, $\varphi (a) \neq 0$.

\item Soit $f \in \mathcal{C}^0(\R,\C)$, $2 \pi$ périodique, ne s'annulant pas et dont la série de Fourier est absolument sommable. Montrer que la série de Fourier de $\frac{1}{f}$ est absolument sommable.

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Développement limité de la fonction tangente} \hfil

Calculer le développement limité de $\tan$ en $0$ à l'ordre $10$.

\bigskip

\hfil \textbf{Une intégrale définie} \hfil

\[\mbox{Calculer l'intégrale } I = \int_{\pi / 2}^{3 \pi / 2} \! \frac{dx}{3 + \sin x} \ .\]

\bigskip

\hfil \textbf{Une intégrale indéfinie} \hfil


\[\mbox{Calculer} \int \! \frac{x^2 dx}{x^6 - 1} \ .\]

\bigskip

\end{document}