\documentclass[12pt]{article}
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

\begin{document}

\hfil \textbf{Différentielle de l'inverse} \hfil

Montrer que l'application 
\[
\begin{array}{cccl}
\mathcal{I} \colon 
& 
GL_n(\R)
& 
\longrightarrow 
& 
GL_n(\R)
\\
&
A
&
\longmapsto
&
A^{-1}
\end{array}
\]
est de classe $\mathcal{C}^1$, et calculer sa différentielle.

\bigskip

\hfil \textbf{Gradient du déterminant} \hfil

On munit le $\R$-espace vectoriel $M_n(\R)$ du produit scalaire
\[ \langle A \vert B \rangle = tr (^tA B). \]
Vérifier qu'il s'agit bien d'un produit scalaire. Montrer que le déterminant $M_n(\R) \longrightarrow \R$ est de classe $\mathcal{C}^1$, et calculer son gradient.

\bigskip

\hfil \textbf{Billard convexe compact} \hfil

Une courbe fermée de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ délimite un compact convexe $K$ de $\R^2$. Montrer que, pour tout entier naturel $n \geqslant 2$, il est possible de jouer au billard dans $K$ pour former une trajectoire périodique avec $n$ rebonds.

\bigskip

\hfil \textbf{Problème de Dirichlet} \hfil

Soit $U$ un ouvert borné de $\R^n$, et soit $f \in \mathcal{C}^0 ( \partial U, \R)$. Montrer que le \textit{problème de Dirichlet}
\[ \left\{
  \begin{array}{rcll}
    \Delta u & = & 0 & \mbox{sur } U \\
    u & = & f & \mbox{sur } \partial U \\
  \end{array}
\right. \]
admet au plus une solution $u \in \mathcal{C}^2 (U, \R) \cap \mathcal{C}^0 ( \overline{U}, \R)$.

\newpage

\hfil \textbf{Différentielle de l'exponentielle} \hfil

\begin{enumerate}

\item Soient $E,F,G$ trois espaces vectoriels normés, et $\varphi \colon E \times F \longrightarrow G$ une application bilinéaire continue. Montrer que $\varphi$ est différentiable sur $E \times F$, et calculer sa diférentielle. Généraliser au cas des applications multilinéaires continues.

On définit l'\textit{exponentielle de matrices} par

\[
\begin{array}{cccl}
\exp \colon 
& 
M_n(\C)
& 
\longrightarrow 
& 
M_n(\C)
\\
&
A
&
\longmapsto
&
\displaystyle e^A = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{A^k}{k!}.
\end{array}
\]

\item Vérifier que $\exp$ est bien définie.

\item Soit pour chaque $k \in \N$ l'application $f_k \colon M_n(\C) \longrightarrow M_n(\C), A \longmapsto A^k$. Montrer que $f_k$ est de classe $\mathcal{C}^1$, et calculer calculer sa différentielle.

\item En éconçant et en démontrant au passage un théorème sur les séries d'applications différentiables, montrer que $\exp$ est de classe $\mathcal{C}^1$, et calculer sa différentielle.

\item Pour $A \in M_n(\C)$, on note dorénavant $L_A$, $R_A$ et $ad_A$ les endomorphismes de $M_n(\C)$ définis par
\[ L_A \colon X \longmapsto AX, \quad R_A \colon H \longmapsto XA, \quad ad_A \colon X \longmapsto AX-XA. \]
Montrer que $\forall k \in \N$,
\[ \frac{(-ad_A)^k}{(k+1)!} = \sum_{p+q=k} \frac{(-1)^p}{p!(q+1)!} L_A^p \sum_{l=0}^q L_A^l R_A^{q-l} . \]
En déduire que $\ \displaystyle e^{-L_A} \circ d\exp(A) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-ad_A)^k}{(k+1)!}$.

\item Montrer que si $A$ est diagonalisable (resp. nilpotente), alors $ad_A$ aussi, et calculer ses valeurs propres. En déduire la décomposition de Dunford de $ad_A$ en fonction de celle de $A$.

\item Trouver une condition nécessaire et suffisante sur $A$ pour que $d\exp(A)$ soit inversible.

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Théorème des extréma liés} \hfil

Soit $U$ un ouvert de $\R^n$, et $f, g_1, \cdots, g_r \colon U \longrightarrow \R$ des fonctions
 de classe $\mathcal{C}^1$. On définit
 \[ \Gamma = \{ x \in U \, | \, g_1(x) = \cdots = g_r(x) = 0 \}. \]
Le but de cet exercice est de démontrer que si $f_{| \Gamma}$ atteint un extremum local en un point $a \in \Gamma$ où les différentielles $dg_1(a), \cdots, dg_r(a)$ sont linéairement indépendantes, alors il existe des réels $\lambda_1, \cdots, \lambda_r$, appelés \textit{multiplicateurs de Lagrange}, tels que
\[ dg(a) = \sum_{i=1}^r \lambda_i dg_i(a). \]

\begin{enumerate}

\item Expliquer pourquoi on peut immédiatement se ramener au cas $r < n$.

\item Montrer qu'il existe une base de $\R^n$ et un voisinage ouvert $V$ de $a$ contenu dans $U$ dans lesquels $\Gamma$ se présente sous la forme
\[ \Gamma \cap V = \{ (x_1,\cdots,x_n) \in V \, | \, (x_1,\cdots,x_r) = \varphi(x_{r+1},\cdots,x_n) \}, \]
où $\varphi$ est une application de classe $\mathcal{C}^1$ définie au voisinage de $\alpha = (a_{r+1},\cdots,a_n)$.

\item Montrer que si on pose $g = (g_1, \cdots, g_r)$, alors
\[ Ker \, dg(a) = \{ (h_1,\cdots,h_n) \in \R^n \, | \, (h_1,\cdots,h_r) = d\varphi(\alpha)(h_{r+1},\cdots,h_n) \}. \]

\item En déduire que $Ker \, dg(a) \subset Ker \, df(a)$, et conclure.

\item Soient un entier $n \geqslant 2$ et $n$ réels strictement positifs $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$. Calculer le diamètre pour la norme euclidienne de
\[ \Sigma = \left\{ (x_1,\cdots,x_n) \in \R^n \, \Big\vert \, \sum_{i=1}^n \frac{x_i^4}{\lambda_i^4} = 1 \right\}. \]

\end{enumerate}

\newpage

\hfil \textbf{Lemme de Morse} \hfil

\begin{enumerate}

\item Soit $A \in M_n(\R)$ une matrice symétrique inversible. On pose
\[ F = \{ U \in M_n(\R) \, | \, ^tUA = AU \}. \]
Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $M_n(\R)$, \newline que $\Omega = F \cap GL_n(\R)$ est un ouvert de $F$, et que
\[ \begin{array}{rcl}
\Omega & \longrightarrow & Sym_n(\R) \\
U & \longmapsto & ^tUAU
\end{array} \]
est un $\mathcal{C}^\infty$-difféomorphisme local en $U = I_n$.

\item Montrer qu'il existe un voisinage $V$ de $A$ dans $Sym_n(\R)$ et une application $f \colon V \longrightarrow GL_n(\R)$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ telle que $f(A) = I_n$ et $^tf(B)Af(B) = B$ pour tout $B \in V$.

\item Montrer qu'il existe une application $g \colon V \longrightarrow GL_n(\R)$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ telle que $^tg(B)Bg(B) $ soit diagonale, avec uniquement des $1$ et des $-1$ sur la diagonale.

\item (Lemme d'Hadamard) Soit $f \colon \R^n \longrightarrow \R$ une application de classe $\mathcal{C}^\infty$ telle que $f(0) = 0$ et $df(0) = 0$. Montrer qu'il existe des applications $f_{i,j} \in \mathcal{C}^\infty (\R^n, \R) \ (1 \leqslant i,j \leqslant n$ telles que
\[ \forall x = (x_1,\cdots,x_n) \in \R^n, \quad f(x) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n x_i x_j f_{i,j} (x). \]

\item (Lemme de Morse) Montrer que si la hessienne de $f$ en $0$ est inversible, alors il existe un $\mathcal{C}^\infty$-difféomorphisme $\varphi = (\varphi_1, \cdots, \varphi_n)$ défini sur un voisinage $W$ de $0$ dans $\R^n$ et un entier $r \leqslant n$ que l'on interprétra tels que
\[ \forall x \in W, \quad f(x) = \sum_{i=1}^r \varphi_i^2(x) - \sum_{i=r+1}^n \varphi_i^2(x). \]
 
\bigskip

\end{enumerate}

\newpage

\hfil \textbf{Différentiabilité d'une norme} \hfil

Soit $E$ l'espace des suites réelles convergeant vers $0$. On munit $E$ de la norme $\Vert \cdot \Vert_\infty$, déterminer en quels points elle est différentiable. Même question si $E$ est l'espace des suites réelles bornées.

\bigskip

\hfil \textbf{Différentiabilité de la distance à un fermé} \hfil

Soit $F$ un fermé non trivial de $\R^n$ euclidien, de complémentaire $U$. On définit sur $U$ l'application
\[ \begin{array}{rccl}
\delta \colon & U & \longrightarrow & \R^*_+ \\
& x & \longmapsto & \displaystyle \min_{y \in F} \Vert x-y \Vert^2.
\end{array} \]

\begin{enumerate}

\item Expliquer pourquoi $\delta$ est bien définie.

\item Pour $\varepsilon \geqslant 0$ et $x \in \R^n$, on introduit
\[ \begin{array}{rccl}
\varphi_{\varepsilon,x} \colon & \R^n & \longrightarrow & \R \\
& y & \longmapsto & \displaystyle \inf_{\underset{\Vert x-z \Vert \leqslant d(x,F) + \varepsilon}{z \in F}} \langle 2y, x-z \rangle
\end{array}. \]
Montrer que lorsque $\varepsilon \rightarrow 0^+$, $\varphi_{\varepsilon,x}$ converge uniformément vers $\varphi_{0,x}$ sur la sphère unité de $\R^n$. En déduire qu'il exsite une application \newline$c \colon \R^+ \longrightarrow \R^+$ vérifiant $\displaystyle \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} c(\varepsilon) = 0$ telle que
\[ \forall y \in \R^n, \quad \varphi_{0,x}(y) - c(\varepsilon) \Vert y \Vert \leqslant \varphi_{\varepsilon,x}(y) \leqslant \varphi_{0,x}(y). \]

\item On pose
\[ \begin{array}{rccl}
\psi \ \colon & U \times \R^n & \longrightarrow & \R \\
& (x,y) & \longmapsto & \displaystyle \min_{\underset{\Vert x-z \Vert = d(x,F)}{z \in F}} \langle 2y, x-z \rangle.
\end{array} \]
Est-ce bien défini ? Montrer que, lorsque $y \rightarrow 0$,
\[ \delta(x+y) = \delta(x) + \psi(x,y) + o(\Vert y \Vert). \]

\item En déduire que $d(\cdot, F)$ est différentiable en $x \in U$ si et seulement si la distance $d(x,F)$ est atteinte en un seul point de $F$. Quel est alors son gradient ? Faire un dessin !

\end{enumerate}

\bigskip

\end{document}