\documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}

\hfil \textbf{Une intégrale} \hfil

Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels. Justifier l'existence de l'intégrale
\[ I_{m,n} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin \frac{(2m+1)t}{2}\sin \frac{(2n+1)t}{2}}{\left( \sin \frac{t}{2} \right)^2} dt \]
et la calculer.

\bigskip

\hfil \textbf{Une développement} \hfil

\medskip

Développer $\displaystyle x \mapsto \frac{1+\cos x}{4 - 2 \cos x}$ en série de Fourier.

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\hfil \textbf{Série de Fourier divergente} \hfil

\begin{enumerate}

\item On définit la fonction
\[
\begin{array}{cccl}
f \ \colon & [0,\pi] & \longrightarrow & \R \\& x & \longmapsto & \displaystyle \sum_{m=1}^{+\infty} \frac{1}{m^2} \sin \left[ \left( 2^{m^3} + 1 \right) \frac{x}{2} \right],
\end{array}
\]
et on la prolonge à $\R$ par parité puis par $2\pi$-périodicité. Montrer que $f$ est alors bien définie et continue sur $\R$.

\item Soient $n,N,k \in \N$. On pose
\[ a_{n,k} = \int_0^\pi \cos nt \sin \frac{(2k+1)t}{2} dt \qquad \mbox{et} \qquad s_{N,k} = \sum_{n=0}^N a_{n,k}. \]
Calculer explicitement les $a_{n,k}$, et en déduire que les $s_{n,k}$ sont tous positifs. Monter qu'il existe une constante $C > 0$ telle que $\forall k \in \N^*$, $s_{k,k} > C \ln k$.

\item Montrer que la série de Fourier de $f$ diverge en $0$.

\end{enumerate}

\newpage

\hfil \textbf{\'Etude de convergence} \hfil

Soit $(\lambda_n)_{n \in \N}$ une suite réelle décroissant vers $0$.

\begin{enumerate}

\item Montrer que la série de fonctions $\sum \lambda_n \sin(nx)$ converge simplement sur $\R$. Soit $f$ sa limite simple, montrer que $f$ est continue sur $]0,2\pi[$.

\item Montrer que si $\lambda_n = o(1/n)$ quand $n \rightarrow \infty$, alors $\sum \lambda_n \sin(nx)$ converge uniformément sur $\R$ vers $f$.

\item Montrer que réciproquement, si $\sum \lambda_n \sin(nx)$ converge uniformément sur $\R$, alors $\lambda_n = o(1/n)$.

\item Plus généralement, montrer que s'équivalent :

(i) $\lambda_n = o(1/n)$,

(ii) $\sum \lambda_n \sin(nx)$ converge uniformément sur $\R$,

(iii) $f$ est continue sur $\R$,

\end{enumerate}

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\hfil \textbf{Formule sommatoire de Poisson} \hfil

Soit $f \colon \R \longrightarrow \C$ une application de classe $\mathcal{C^1}$ telle que, lorsque $|x| \rightarrow \infty$, $f(x) = O(1/x^2)$ et $f'(x) = O(1/x^2)$.

\begin{enumerate}

\item Pour tout entier relatif $n$, on pose
\[ \widehat{f}(n) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{2i\pi n t} dt. \]
Démontrer la \textit{formule sommatoire de Poisson} :
\[ \forall x \in \R, \qquad \sum_{n \in \Z} f(x+n) = \sum_{n \in \Z} \widehat{f}(n) e^{2i \pi n x}. \]

\item On considère la \textit{fonction thêta de Jacobi}
\[
\begin{array}{cccl}
\Theta \  \colon & ]0,1[ & \longrightarrow & \R \\ & x & \longmapsto & \displaystyle \sum_{n \in \Z} x^{n^2} .
\end{array}
\]
Montrer l'identité $\forall s > 0$, $\sqrt{s} \ \Theta(e^{-s\pi}) = \Theta(e^{-\pi/ s})$, et en déduire un équivalent de $\Theta(x)$ lorsque $x \rightarrow 1^{-}$.

\end{enumerate}

\newpage

\hfil \textbf{Solutions périodiques d'une équation différentielle autonome} \hfil

\begin{enumerate}

\item Soit $f \colon \R \longrightarrow \C$ une application continue par morceaux et $T$-périodique. Montrer que
\[ \iint_{[0,T]^2} \vert f(u) - f(v) \vert^2 dudv = 2 \sum_{n \in \Z^*} \left\vert \int_0^T f(x) e^{2i\pi n x / T} dx \right\vert^2 . \]

\item Soit $f \colon \R \longrightarrow \C$ une application $T$-périodique de classe $\mathcal{C}^1$. Montrer que
\[ \iint_{[0,T]^2} \vert f'(u) - f'(v) \vert^2 dudv \geqslant \left( \frac{2 \pi}{T} \right)^2 \iint_{[0,T]^2} \vert f(u) - f(v) \vert^2 dudv . \]

\item Soit $F \colon \R \longrightarrow \R$ une application $K$-lipschitzienne. Montrer que si $\varphi \in \mathcal{C}^1 (\R,\R)$ est une solution périodique non constante de l'\textit{équation différentielle autonome}
\[ \varphi'(t) = F(\varphi(t)), \]
alors le générateur positif $T$ du groupe des périodes de $\varphi$ ne peut être arbitrairement petit, et en expliciter un minorant.

\end{enumerate}

\newpage

\hfil \textbf{\'Equation de la chaleur} \hfil

Soit $L >0$. On cherche à résoudre sur $[0,L] \times \R^+$ l'\textit{équation de la chaleur}
\[ \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} \qquad (x \in [0,L], t \in \R^+, T \in \mathcal{C}^1([0,L] \times \R^+)) \]
avec les \textit{conditions au bord}
\[ \forall t \in \R^+, T(0,t)=T(L,t)=0 \quad \mbox{et} \quad \forall x \in [0,L], T(x,0) = T_0(x), \]
où $T_0$ est une application de classe $\mathcal{C}^1$ de $[0,L]$ dans $\R$ telle que\newline$T_0(0) = T_0(L) = 0$.

\begin{enumerate}

\item On prolonge $T_0$ et les $T(\cdot,t)$ à $[-L,L]$ par imparité, puis à $\R$ par $2L$-périodicité. Quelle est alors la régularité de $T_0$ ? Que peut-on en déduire ?

\item On recherche une solution sous la forme
\[ T(x,t) = \sum_{n \in \Z} b_n(t) \sin(2 \pi x / L). \]
Commenter la logique de cette démarche, puis, en dérivant formellement, trouver une équation différentielle satisfaite par les $b_n(t)$, et la résoudre. Vérifer alors que la solution ainsi obtenue convient. Que peut-on dire de sa régularité ? Et de son passé ($t<0$) ?

\item On veut démontrer que cette solution est en fait la seule. Pour cela, montrer que si $f$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ de $[0,L] \times [0,T]$ dans $\R$, telle que $\frac{\partial f}{\partial t} - \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} < 0$, alors le maximum de $f$ est atteint en\newline$(x=0,t=0)$ ou en $(x=L,t=0)$, puis montrer que c'est encore le cas si on suppose seulement que 
$\frac{\partial f}{\partial t} - \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \leqslant 0$, et enfin conclure.

\end{enumerate}

\newpage

\hfil \textbf{Phénomène de Gibbs} \hfil

On désigne par $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ $2\pi$-périodique normalisée coïncidant avec l'identité sur $]0,2\pi[$.

\begin{enumerate}

\item Donner l'allure du graphe de $f$, et calculer ses coefficients de Fourier $(c_n)_{n \in \Z}$.

\item On considère les sommes partielles
\[ S_n \colon x \longmapsto \sum_{k=-n}^{n} c_k e^{ikx} . \]
\'Etudier les extrema de $S_n$.

\item Soit $m_n$ le premier minimum local de $S_n$ sur $[0, 2 \pi]$. Etudier la suite $(m_n)_{n \in \N}$. Donner une interprétation graphique et commenter.

\end{enumerate}

\hfil \textbf{Projection orthogonale} \hfil

Soit $E$ un espace préhilbertien réel, et soit $F \subseteq E$ un sous-espace vectoriel.

\begin{enumerate}

\item Soit $x \in E$. On note $F_x = \{ y \in F \vert \Vert x-y \Vert = d(x,F) \}$. Montrer que $y \in F_x$ si et seulement si $x-y \in F^\perp$.

\item Montrer que $F_x$ a \textit{au plus} un seul élément.

\item On suppose dans cette question que $F$ est complet. Montrer qu'alors $F_x$ n'est pas vide; on note $x_F$ son élément. Montrer que $E = F \oplus F^\perp$, et que $x \mapsto x_F$ n'est autre que la projection orthogonale sur $F$. Que vaut $(F^\perp)^\perp$ ?

\item On prend ici $E = \mathcal{C}^0 ([0,1], \R)$ et $F = \{f \in E \vert f(0) = 0 \}$. Que vaut $F^\perp$ ? Conclure.

\end{enumerate}

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\hfil \textbf{Théorème de Wiener} \hfil

On notera $(c_n(f))_{n \in \Z}$ les coefficients de Fourier de toute fonction continue et $2\pi$-périodique $f \colon \R \longrightarrow \C$.

\begin{enumerate}

\item Soit $\mathcal{A}$ l'ensemble des fonctions continues et $2\pi$-périodiques dont la série de Fourier est sommable
\[ \mathcal{A} = \left\{ f \in \mathcal{C}^0_{2\pi}(\R,\C) \ \bigg\vert \ \sum_{n \in \Z} |c_n(f)| < + \infty  \right\} .\]
On munit $\mathcal{A}$ de
\[ \| f \| =  \sum_{n \in \Z} |c_n(f)|. \]
Montrer que $\mathcal{A}$ est un $\C$-espace vectoriel, puis montrer que toute $f \in \mathcal{A}$ est somme de sa série de Fourier.

\item Montrer que $\| \cdot \|$ confère à $\mathcal{A}$ une structure de $\C$-algèbre de Banach commutative.

\item On note $Spec(\mathcal{A})$ l'ensemble des morphismes de $\C$-algèbres continus de $\mathcal{A}$ dans $\C$. Montrer que pour tout $\varphi \in Spec(\mathcal{A})$, $Ker \, \varphi$ est un idéal maximal de $\mathcal{A}$.

\item On admet que toute $\C$-algèbre de Banach commutative qui est un corps est isomorphe à $\C$, et on admet également que tout idéal propre (c'est-à-dire différent de $\mathcal{A}$) de $\mathcal{A}$ est inclus dans un idéal maximal. Soit $\mathfrak{M}$ un idéal maximal de $\mathcal{A}$, montrer qu'il existe un élément $\varphi$ de $Spec(\mathcal{A})$ tel que $\mathfrak{M} = Ker \, \varphi$. En déduire que $a \in \mathcal{A}$ est inversible si et seulement si $\forall \varphi \in Spec(\mathcal{A})$, $\varphi (a) \neq 0$.

\item Soit $f \in \mathcal{C}^0(\R,\C)$, $2 \pi$ périodique, ne s'annulant pas et dont la série de Fourier est absolument sommable. Montrer que la série de Fourier de $\frac{1}{f}$ est absolument sommable.

\end{enumerate}

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\end{document}