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\begin{document}

\hfil \textbf{Endomorphismes normaux} \hfil

Soit $E$ un espace hermitien (par définition, de dimension finie). Un endomorphisme $u \in L(E)$ est dit \textit{normal} s'il commute avec son adjoint $u^*$.

\begin{enumerate}

\item Montrer qu'un endomorphisme se diagonalise dans une certaine base orthonormée si et seulement s'il est normal. Quel théorème retrouve-t-on ainsi ?

\item Comment se résuisent les antihermitiens ? Et les unitaires ?

On suppose à présent que $E$ est euclidien, et on veut essayer de réduire les endomorphismes normaux en restant dans $\R$.

\item On suppose dans cette question seulement que $E$ est de dimension $2$. Soit $u \in L(E)$ un endomorphisme n'admettant pas de valeur propre réelle. Montrer que, dans \textit{toute} base orthonormée, la matrice de $u$ est de forme
\[ \left( \begin{array}{cc} a & -b \\ b & a \end{array} \right) \quad (a,b \in \R). \]

\item Montrer alors que $u$ est normal si et seulement si il existe une base orthonormée de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est de forme
\[ \left( \begin{array}{cccrrcrr} \lambda_1 &&&&&&& \\ & \ddots &&&&& 0 & \\ && \lambda_r &&&&& \\ &&& a_1 & -b_1 &&& \\ &&& b_1 & a_1 &&& \\ &&&&& \ddots && \\ & 0 &&&&& a_s & -b_s \\ &&&&&& b_s & a_s \end{array} \right). \]

\item Comment se réduisent les endomorphismes antiautoadjoints ? Et les orthogonaux ?

\end{enumerate}

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\hfil \textbf{Représentation de groupes finis II} \hfil

Soit $G$ un groupe fini. On appelle \textit{représentation de $G$} la donnée d'un couple $(V, \rho)$, où $V$ est un $\C$-espace vectoriel et $\rho$ un morphisme (pas forcément injectif ni surjectif) de $G$ dans $GL(V)$. Si $(V, \rho)$ est une représentation de $G$, une \textit{sous-représentation} de $V$ est un couple $(W,\rho)$ où un sous-espace vectoriel $W \subseteq V$ stable par tous les $\rho(g)$. On dit que $V$ est \textit{irréductible} si ses seules sous-représentations sont $\{ 0 \}$ et $V$ lui-même.

\begin{enumerate}

\item On suppose dans cette question que $G$ est fini et abélien. Montrer que, pour toute représentation $(V, \rho)$, les éléments de $Im \, \rho$ sont alors codiagonalisables.

\item Soit $(V, \rho)$ une représentation irréductible de $G$, et soit un endomorphisme $\varphi \in L(V)$ commutant avec tous les $\rho(g)$. Montrer que $\varphi$ est une homothétie.

\item Soit $(V, \rho)$ une représentation de $G$. Montrer que toute sous-représentation $W$ admet un supplémentaire dans $V$ qui soit une sous-représentation. On pourra munir $V$ d'un produit scalaire pour lequel les $\rho(g)$ sont des isométries. Dans la suite, $V$ sera supposé muni d'un tel produit scalaire.

\item Pour toute représentation $(V, \rho)$ de $G$, on appelle \textit{caractère} de cette représentation la fonction $\chi = Tr \circ \rho \colon G \longrightarrow \C^*$, et on note
\[ V^{G} = \{ x \in V \vert \forall g \in G, \rho(g)(x) = x \}. \]
Que dire de $V^G$ ? Montrer que l'endomorphisme $\displaystyle \pi = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \rho(g)$ est un projecteur orthogonal d'image $V^G$. En déduire que
\[ dim \, V^G = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \chi(g). \]

\item \'Etant données deux représentations $(V_1, \rho_1)$ et $(V_2, \rho_2)$ d'un même groupe $G$, on appelle \textit{morphisme de représentations} toute application linéaire $\varphi \colon V_1 \longrightarrow V_2$ telle que pour tout $g \in G$, $\rho_2(g) \circ \varphi = \varphi \circ \rho_1(g)$. En considérant le noyau et l'image de $\varphi$, montrer que si $V_1$ et $V_2$ sont irréductibles, alors $\varphi$ est soit nulle, soit bijective.

Remarque : On a montré à la question $2$ que tout endomorphisme d'une représentation irréductible est une homothétie. Ceci est le lemme de Schur.

\item Une fonction $f \colon G \longrightarrow \C$ est dite \textit{centrale} si $\forall g,h \in G, \ f(gh) = f(hg)$. On note $\mathcal{C}(G)$ le $\C$-espace vectoriel des fonctions centrales sur $G$, et on le munit du produit scalaire hermitien
\[ <f,f'> = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} f(g) \overline{f'(g)}. \]
Rappeler pourquoi un caractère est central, puis, en utilisant le lemme de Schur montrer que les caractères associés aux représentations irréductibles de $G$, à isomorphisme de représentations près, forment un système orthonormal dans $\mathcal{C}(G)$. On pourra, étant données deux représentations $(V_1, \rho_1)$ et $(V_2, \rho_2)$ de $G$, considérer la représentation $(L(V_1,V_2),\rho)$, où
\[ \forall f \in L(V_1,V_2), \quad \rho(g)(f) = \rho_2(g) \circ f \circ \rho_1(g)^{-1}, \]
et étudier son caractère...

\end{enumerate}

\newpage

\hfil \textbf{Déterminants de Gram et théorème de Müntz} \hfil

Soit $E$ un espace préhilbertien (réel ou complexe, de dimension finie ou infinie), et soient $x_1, \cdots, x_n$ $n$ vecteurs de $E$. On appelle \textit{matrice de Gram} de $x_1, \cdots, x_n$ la matrice $(<x_i, x_j>)_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \in M_n(\K)$, et \textit{déterminant de Gram} le déterminant de cette matrice, que l'on note $Gram(x_1, \cdots, x_n)$.

\begin{enumerate}

\item Soit $M$ une matrice carré de taille $n$. Montrer que $M$ est hermitienne positive si et seulement si c'est une matrice de Gram. A quel condition est-elle définie ?

\item On suppose que la famille $x_1, \cdots, x_n$ est libre. Soit $V$ le sous-espace de $E$ qu'elle engendre, et soit $x \in E$. Démontrer la formule
\[ d(x,V)^2 = \frac{Gram(x_1,\cdots,x_n,x)}{Gram(x_1,\cdots,x_n)}. \]

\item Soit $E = \mathcal{C}^0 ([0,1], \R)$ l'espace des fonctions continues sur $[0,1]$. On le munit du produit scalaire
\[ <f,g> \, = \int_0^1 f(t) g(t) dt . \]
Soit $(\alpha_n)_{n \in \N}$ une suite croissante de réels, avec $\alpha_0 = 1$. Pour tout $n \in \N$, on note $f_n : x \mapsto x^{\alpha_n} \in E$, et $V_n = Vect(f_0, \cdots, f_n)$. Soit $f : x \mapsto x^{\beta} \in E$, où $\beta > 0$. Calculer $d(f,V_n)$.

\item En déduire une condition pour que $V = \bigcup_{n = 0}^{+\infty} V_n$ soit dense dans $E$.

\end{enumerate}

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\hfil \textbf{Polynômes orthogonaux} \hfil

Soit $f \colon [0,1] \longrightarrow \R^+$ non nulle.

\begin{enumerate}

\item Montrer qu'on définit un produit scalaire sur $\R[X]$ en posant
\[ <P,Q> = \int_0^1 f(t) P(t) Q(t) dt . \]

\item Montrer qu'il existe une base orthonormée $(P_n)_{n \in \N}$ de $\R[X]$ telle que $\forall n, \  \deg P_n = n$.

\item Montrer que pour tout $n$, $P_n$ est scindé à racines simples sur $\R$, et que ses racines sont toutes dans $]0,1[$.

\end{enumerate}

\newpage

\hfil \textbf{Projection orthogonale} \hfil

Soit $E$ un espace préhilbertien réel, et soit $F \subseteq E$ un sous-espace vectoriel.

\begin{enumerate}

\item Soit $x \in E$. On note $F_x = \{ y \in F \vert \Vert x-y \Vert = d(x,F) \}$. Montrer que $y \in F_x$ si et seulement si $x-y \in F^\perp$.

\item Montrer que $F_x$ a \textit{au plus} un seul élément.

\item On suppose dans cette question que $F$ est complet. Montrer qu'alors $F_x$ n'est pas vide; on note $x_F$ son élément. Montrer que $E = F \oplus F^\perp$, et que $x \mapsto x_F$ n'est autre que la projection orthogonale sur $F$. Que vaut $(F^\perp)^\perp$ ?

\item On prend ici $E = \mathcal{C}^0 ([0,1], \R)$ et $F = \{f \in E \vert f(0) = 0 \}$. Que vaut $F^\perp$ ? Conclure.

\end{enumerate}

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\hfil \textbf{Connexités} \hfil


\begin{enumerate}

\item Montrer qu'un espace métrique connexe et localement connexe par arcs est connexe par arcs.

\item Donner un exemple d'espace métrique connexe mais pas connexe par arcs.

\end{enumerate}

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\hfil \textbf{Valeurs d'adhérence} \hfil

Soit $(X,d)$ un espace métrique, et soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite à valeurs dans $X$, telle que $\lim_{n \rightarrow +\infty} d(u_n, u_{n+1}) = 0$. Montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérences de $u$ est connexe.

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\hfil \textbf{Groupes topologiques} \hfil

On appelle \textit{groupe topologique} tout espace métrique muni en outre d'une structure de groupe telle que la loi de groupe et l'inversion du groupe soient continues. Montrer que la \textit{composante neutre}, c'est-à-dire la composante connexe du neutre, est un sous-groupe distingué. Quelle est la composante neutre de $GL_n(\R)$ ?

\end{document}