\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsmath, amsthm}
\usepackage{amsfonts,amssymb}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[french]{babel}
\newcommand{\A}{\mathbb{A}}\newcommand{\B}{\mathbb{B}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}\newcommand{\I}{\mathbb{I}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}\newcommand{\LL}{\mathbb{L}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\V}{\mathbb{V}}\newcommand{\X}{\mathbb{X}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

\begin{document}

\hfil \textbf{Racines carrées de matrices} \hfil

\medskip

Calculer une racine carrée dans $M_2(\C)$ de $\left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$. Quant à $\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$, y admet-elle une racine carrée ?

\bigskip

\hfil \textbf{Chemins sur un cube} \hfil

Soit $n \in \N$. On considère un cube, dont on choisit deux sommets $A$ et $B$ éventuellement confondus. Calculer le nombre de chemins joignant $A$ à $B$ et formés de $n$ arêtes de ce cube.

\bigskip

\hfil \textbf{Représentation de groupes finis} \hfil

Soit $G$ un groupe fini. On appelle \textit{représentation de $G$} la donnée d'un couple $(V, \rho)$, où $V$ est un $\C$-espace vectoriel et $\rho$ un morphisme (pas forcément injectif ni surjectif) de $G$ dans $GL(V)$. On dit que $V$ est \textit{irréductible} si les seuls sous-espaces de $V$ stable par tous les $\rho(g)$ sont $\{ 0 \}$ et $V$ lui-même.

\begin{enumerate}

\item (Exemple) Construire une représentation non-triviale du groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$. Est-elle irréductible ?

\item Pour toute représentation $(V, \rho)$ de $G$, on note
\[ V^{G} = \{ x \in V \vert \forall g \in G, \rho(g)(x) = x \}. \]
Que dire de $V^G$ ? Montrer que l'endomorphisme $\displaystyle \pi = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \rho(g)$ est un projecteur d'image $V^G$. En déduire que
\[ dim \, V^G = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} Tr \, \rho(g). \]

\item \'Etant données deux représentations $(V_1, \rho_1)$ et $(V_2, \rho_2)$ d'un même groupe $G$, on appelle \textit{morphisme de représentations} toute application linéaire $\varphi \colon V_1 \longrightarrow V_2$ telle que pour tout $g \in G$, $\rho_2(g) \circ \varphi = \varphi \circ \rho_1(g)$. Montrer que si $V_1$ et $V_2$ sont irréductibles, alors $\varphi$ est soit nulle, soit bijective, puis montrer que si $(V_1, \rho_1)=(V_2, \rho_2)$ est irréductible, alors $\varphi$ est une homothétie.

\item On suppose que $G$ est fini et abélien. Montrer que les éléments de $Im \, \rho$ sont alors codiagonalisables.

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Déterminant circulant} \hfil

Soient $a_1, a_2, \cdots, a_n$ $n$ nombres complexes. On considère la \textit{matrice circulante}
\[ A = \left( \begin{array}{cccc} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ a_n & a_1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & a_2 \\ a_2 & \cdots & a_n & a_1 \end{array} \right) \in M_n(\C). \]
Réduire $A$, et en déduire $\det A$. On pourra exprimer $A$ en fonction de
\[ J = \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & & & \ddots & 1 \\ 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \end{array} \right) \in M_n(\C). \]

\bigskip

\hfil \textbf{Le polynôme minimal est caché quelque part} \hfil

Soient $K$ un corps commutatif, $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie, et $f \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme de $E$. On note $\mu_f \in K[X]$ le polynôme minimal de $f$, et, pour tout $x \in E$, on note $P_x$ le polynôme unitaire de $K[X]$ de plus bas degré tel que $P_x(f)(x) = 0$, et $E_x = \{P(f)(x), P \in K[X] \}$.

\begin{enumerate}

\item Montrer que $P_x$ est toujours bien défini et qu'il divise toujours $\mu_f$.

\item Montrer que $E_x$ est un sous-espace vectriel de $E$. Quelle est sa dimension ?

\item Montrer que si $E_x \cap E_y = \{ 0 \}$, alors $P_{x+y} = P_x \vee P_y$. Généraliser au cas de plusieurs vecteurs $x_1, \cdots, x_k$.

\item Montrer que si $P_x \wedge P_y = 1$, alors $E_{x+y} = E_x \oplus E_y$. Généraliser au cas de plusieurs vecteurs.

\item Soit $\Pi$ un facteur irréductible de $\mu_f$, de multiplicité $\alpha$. Montrer qu'il existe $x \in \mbox{Ker } \Pi^{\alpha} (f)$ tel que $P_x = \Pi^{\alpha}$.

\item Que peut-on en déduire ?

\end{enumerate}

\newpage

\hfil \textbf{Réduction et topologie} \hfil

\begin{enumerate}

\item Montrer que les matrices diagonalisables sont denses dans $M_n(\C)$. Que dire de $M_n(\R)$ ?

\item Soit $M \in M_n(\C)$. On pose $\Gamma_M = \{ P M P^{-1}, P \in GL_n(\C) \}$. Montrer que $M$ est diagonalisable si et seulement si $\Gamma_M$ est fermé dans $M_n(\C)$.

\item Quel est l'intérieur de l'ensemble des matrices diagonalisables de $M_n(\C)$ dans $M_n(\C)$ ?

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Une identité sur le polynôme caractéristique} \hfil

Soit $K$ un corps commutatif. Si $A$ est une matrice de $M_n(K)$, on note $\chi_A \in K[X]$ son polynôme caractéristique. Soient $A,B \in M_n(K)$.

\begin{enumerate}

\item On suppose dans cette question que $K = \R$ ou $\C$. Montrer que $\chi_{AB} = \chi_{BA}$.

\item Montrer que c'est encore vrai si le corps $K$ est infini.

\item Est-ce toujours vrai si $K$ est fini ?

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Décomposition de Dunford} \hfil

Soit $K$ un corps commutatif, et soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie. Si $f$ est un endomorphisme de $E$, on note $\chi_f \in K[X]$ son polynôme caractéristique. On veut montrer que, sous certaines réserves, tout $f \in \mathcal{L}(E)$ s'écrit \textit{de manière unique} $f = d + n$, où $d \in \mathcal{L}(E)$ est diagonalisable, $n \in \mathcal{L}(E)$ est nipotent, et $n$ et $d$ commutent.

\begin{enumerate}

\item Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ $F \in K[X]$ un polynôme annulateur de $f$, se factorisant dans $K[X]$ en
\[ F = \prod_{i=1}^{s} F_i^{\alpha_i}, \]
les $F_i$ étant distincts et irréductibles sur $K[X]$. Pour chaque $i$, on définit le \textit{sous-espace caractéristique}
\[ N_i = \mbox{Ker } F_i^{\alpha_i}(f). \]
Pourquoi a-t-on
\[ E = \bigoplus_{i = 1}^{s} N_i \ ? \]
Soit $p_i$ le projecteur de $E$ sur $N_i$ parallèlement à $\bigoplus_{j \neq i} N_j$. Quelle relation a-t-on entre les $p_i$ ?

\item En considérant les polynômes
\[ Q_i = \prod_{j \neq i} F_j^{\alpha_j} \, , \]
montrer que les $p_i = P_i(f)$ sont des polynômes en $f$.

\item On suppose dorénavant que $\chi_f$ est scindé sur $K$. Montrer que $f$ s'écrit $f = d+n$ avec $d$ et $n$ comme dans l'énoncé.

\item En considérant $\frac{1}{\chi_f} \in K(X)$, donner un moyen de calcul pratique des polynômes $P_i$ tels que $p_i = P_i(f)$.

\item Démontrer la clause d'unicité.

\item On suppose à présent que $K = \R$ ou $\C$, et on définit l'\textit{exponentielle de matrice} par 
\[ \forall A \in M_n(K), \quad \exp(A) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{A^n}{n!} \, \in M_n(K). \]
Comment calcule-t-on l'exponentielle d'une matrice si celle-ci est diagonalisable ? Expliquer en détail comment la décomposition de Dunford vient à notre secours lorsque ce n'est pas le cas.

\item Calculer l'exponentielle de la matrice
\[ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 4 & -2 \\ 0 & 6 & -3 \\ -1 & 4 & 0 \end{array} \right) \in M_3(\R). \]

\end{enumerate}

\newpage

\hfil \textbf{Théorème de Perron-Frobenius et \textit{PageRank} de Google} \hfil

Soit $A = (a_{i,j}) \in M_n(\R)$ une matrice carrée. On note $A \geqslant 0$ si $\forall i,j, a_{i,j} \geqslant 0$; $A > 0$ si $A \geqslant 0$ et $A \neq 0$; et enfin $A \gg 0$ si $\forall i,j, a_{i,j} > 0$. On définit les mêmes notations pour les vecteurs $X \in R^n$, et on écrira $A \geqslant B$ si $A-B \geqslant 0$, \textit{etc}.

On se donne une matrice $A \gg 0$.

\begin{enumerate}

\item On pose
\[ \mathcal{S} =\left\{ \left( \begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) \in \R^n \, \colon X \geqslant 0 \mbox{ et } \sum_{i=1}^n x_i = 1 \right\}, \]
et on définit $\Lambda_A = \left\{ \lambda \in \R \mid \exists X \in \mathcal{S} \colon AX \geqslant \lambda X \right\}$. Montrer que $\Lambda_A$ est majoré et que son supremum $\lambda_0$ est une valeur propre de $A$, associée à un vecteur propre $X_0 \gg 0$. Montrer que le sous-espace propre associé à $\lambda_0$ est une droite vectorielle.

\item Montrer qu'une éventuelle autre valeur propre $\lambda \in \C$, $\lambda \neq \lambda_0$ de $A$ vérifie $\vert \lambda \vert < \lambda_0$.

\item Proposer une méthode restant efficace même si $n$ est très grand pour approximer $X_0$.

\end{enumerate}

\bigskip

\end{document}