\documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}

\hfil \textbf{Chemins sur un cube} \hfil

Soit $n \in \N$. On considère un cube, dont on choisit deux sommets $A$ et $B$ éventuellement confondus. Calculer le nombre de chemins joignant $A$ à $B$ et formés de $n$ arêtes de ce cube.

\bigskip

\hfil \textbf{Représentation de groupes finis} \hfil

Soit $G$ un groupe fini. On appelle \textit{représentation de $G$} la donnée d'un couple $(V, \rho)$, où $V$ est un $\C$-espace vectoriel et $\rho$ un morphisme (pas forcément injectif ni surjectif) de $G$ dans $GL(V)$. On dit que $V$ est \textit{irréductible} si les seuls sous-espaces de $V$ stable par tous les $\rho(g)$ sont $\{ 0 \}$ et $V$ lui-même.

\begin{enumerate}

\item (Exemple) Construire une représentation non-triviale du groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$. Est-elle irréductible ?

\item Pour toute représentation $(V, \rho)$ de $G$, on note
\[ V^{G} = \{ x \in V \vert \forall g \in G, \rho(g)(x) = x \}. \]
Que dire de $V^G$ ? Montrer que l'endomorphisme de $V$
\[ \pi = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \rho(g) \]
est un projecteur d'image $V^G$. En déduire que
\[ dim \, V^G = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} Tr \, \rho(g). \]

\item \'Etant données deux représentations $(V_1, \rho_1)$ et $(V_2, \rho_2)$ d'un même groupe $G$, on appelle \textit{morphisme de représentations} toute application linéaire $\varphi \colon V_1 \longrightarrow V_2$ telle que pour tout $g \in G$, $\rho_2(g) \circ \varphi = \varphi \circ \rho_1(g)$. Montrer que si $V_1$ et $V_2$ sont irréductibles, alors $\varphi$ est soit nulle, soit bijective, puis montrer que si $(V_1, \rho_1)=(V_2, \rho_2)$ est irréductible, alors $\varphi$ est une homothétie.

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Exponentielle partielle} \hfil

Existe-t-il une partie $A \subseteq \N$ telle que, lorsque $x \rightarrow + \infty$,
\[ \sum_{n \in A} \frac{x^n}{n!} \sim \frac{e^x}{x^2} \ ? \]

\newpage

\hfil \textbf{Newton, polynômes et polygones} \hfil

\begin{enumerate}

\item Soit $K$ un corps commutatif. On se donne $n$ éléments $a_1, \cdots, a_n$ de $K$, et on pose
\[ P = \prod_{i = 1}^{n} (X-a_i) \in K[X] . \]
Pour tout entier naturel $k$, on appelle $S_k$ la $k$-ième \textit{somme de Newton}
\[ S_k = a_1^k + \cdots + a_n^k = \sum_{i=1}^n a_i^k, \]
et pour $1 \leqslant k \leqslant n$, on note $\sigma_k$ les \textit{fonctions symétriques élémentaires}
\[ \sigma_1 = \sum_{i=1}^n a_i, \ \sigma_2 = \sum_{i < j} a_i a_j, \ \cdots, \ \sigma_n = \prod_{i=1}^n a_i . \]

En considérant la \textit{série génératrice} $\displaystyle X^n P\left( \frac{1}{X} \right) \sum_{m=0}^{+\infty} S_m X^m$,\newline
démontrer les relations suivantes :

$\bullet \mbox{ Si } 1 \leqslant m \leqslant n, \ S_m-\sigma_1 s_{m-1} + \cdots + (-1)^{n-1} \sigma_{m-1} S_1 + (-1)^{n}\sigma_m m = 0$,

$\bullet \mbox{ Si }  m \geqslant n, \ S_m-\sigma_1 s_{m-1} + \cdots + (-1)^{m} \sigma_n S_{m-n} = 0$.

\item Soient $n+1$ nombres complexes $z_0,z_1,\cdots,z_n$ tels que tout polyn\^ome $P \in \C[X]$ satisfasse la relation
\[ P(z_0) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} P(z_i). \]
Montrer que les $z_1, \cdots, z_n$ sont les affixes des sommets d'un $n$-gone régulier dont le centre est d'affixe $z_0$.

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Polynôme surjectif sur $\Q$} \hfil

Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'un polynôme de $\C[X]$ induise une surjection de $\Q$ sur $\Q$.

\newpage

\hfil \textbf{Lemme de Gauss et critère d'Eisenstein} \hfil

Lorsque $P \in \Z[X]$ est un polyn\^ome non nul à coefficients entiers, on appelle \textit{contenu} de $P$ et on note $c(P)$ le pgcd des coefficients de $P$.

\begin{enumerate}

\item Soient $P,Q \in \Z[X]$ tous non nuls. Montrer que $c(PQ) = c(P)c(Q)$. Ceci est le lemme de Gauss.

\item Soit $P \in \Z[X]$ un polynôme irréductible dans $\Z[X]$. Montrer qu'il est aussi irréductible dans $\Q[X]$.

\item Quel est le polynôme minimal sur $\Q$ de $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ ?

\item Soit $P=a_n X^n + \cdots + a_0 \in \Z[X]$. On suppose qu'il existe un nombre premier $p$ qui divise tous les $a_i$ sauf $a_n$, et dont le carré ne divise pas $a_0$ (on dit que $P$ est \textit{d'Eisenstein en $p$}). Montrer que $P$ est irréductible dans $\Q[X]$.

\item Montrer que $X^{p-1} + \cdots + X + 1$ est irréductible dans $\Q[X]$ pour $p$ premier.

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Anneaux de polynômes} \hfil

\begin{enumerate}

\item Montrer que l'anneau $\C[X,Y] / (Y-X^2)$ est isomorphe à $\C[X]$.

\item Soit $A$ un anneau commutatif unitaire intègre, et soit $S$ une partie de $A$ telle que $1 \in S$, $0 \notin S$ et $s,s' \in S \Longrightarrow ss' \in S$. On pose $S^{-1}A = \{ \frac{a}{s} \vert a \in A, \, s \in S \} \subseteq Frac(A)$. Vérifier que c'est un anneau. Montrer que si $A$ est principal, alors $S^{-1}A$ aussi.

\item En déduire que $\C[X,Y]/(XY-1)$ est principal.

\item Soit $A$ un anneau commutatif unitaire. Montrer que $A[X]$ est intègre et principal si et seulement si $A$ est un corps.

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Matrice magique} \hfil

Soient $(a_1,\cdots,a_n)$ et $(b_1,\cdots,b_n)$ deux familles de $n$ réels. On suppose les $a_i$ et les $b_i$ tous distincts, et on note $M \in M_n(\R)$ la matrice de coefficients $a_i + b_j$. Montrer que si le produit des éléments d'une ligne de $M$ est une constante qui ne dépend pas de la ligne, alors il en va de même pour les colonnes de $M$.

\bigskip

\hfil \textbf{Exponentielles de matrices} \hfil

\medskip

On pose, pour $A \in M_n(\R)$, $\displaystyle \exp A = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{A^n}{n!}$. Pour quelles valeurs de $A$ est-ce défini ? Montrer que pour toute $A$, $\exp A$ est un polynôme en $A$.

\newpage

\hfil \textbf{Bézout matriciel} \hfil

\begin{enumerate}

\item Soit $A$ un anneau commutatif unitaire. Pour tout entier naturel non nul $n$, on note $GL_n(A)$ le groupe des éléments inversibles de l'anneau $M_n(A)$ des matrices carrées de taille $n$ à coefficients dans $A$. Caractériser $GL_n(A)$.

\item Soient $n$ entiers relatifs $x_1, \cdots, x_n$ premiers entre eux dans leur ensemble. Montrer qu'il existe une matrice de $GL_n(\Z)$ dont la première colonne est
\[ \left( \begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) .\]
Peut-on la choisir dans $SL_n(\Z)$ ?

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Théorème de Frobenius-Zolotarev} \hfil

\begin{enumerate}

\item Soient $n$ et $m$ deux entiers naturels tous non nuls. Déterminer tous les morphismes de groupes de $GL_n(\R)$ vers $\mathfrak{S}_m$. (Cette question sert juste à donner des idées; à part ça, elle n'a rien à voir avec la suivante.)

\item Soit $p$ un nombre premier différent de $2$, et soit $n$ un entier naturel non nul. On note $\F_p = \Z / p \Z$ le coprs à $p$ éléments. Comme toute matrice $A$ de $GL_n(\F_p)$ définit une bijection de l'espace vectoriel $V = \F_p^n$ dans lui-même, on peut voir $GL_n(\F_p)$ comme un sous-groupe du groupe $\mathfrak{S}(V)$ des permutations de l'ensemble fini $V$. Montrer alors que $A \in GL_n(\F_p)$ est dans le groupe alterné $\mathfrak{A}(V)$ si et seulement si son déterminant est un carré dans $\F_p$.

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Déterminant de Schmidt} \hfil

Calculer pour tout entier naturel non nul $n$ les déterminants des matrices $(d_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}$ et $(\delta_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}$, où $d_{i,j}$ est le nombre de diviseurs communs à $i$ et à $j$ et $\delta_{i,j}$ est le pgcd de $i$ et de $j$.

\bigskip

\hfil \textbf{Divination} \hfil

Soit $A$ un anneau unitaire, non supposé commutatif. Soient $a,b \in A$ tels que $1-ab$ est inversible. $1-ba$ est-il nécessairement inversible ?

\newpage

\hfil \textbf{Théorème de Kakutani} \hfil

Soient $E$ un espace vectoriel normé, $K$ une partie compacte convexe de $E$, et $\left(f_i\right)_{i \in I}$ une famille d'applications affines continues de $K$ dans $K$ commutant deux à deux. Démontrer que les $f_i$ admettent un point fixe commun.

\bigskip

\hfil \textbf{Autour du théorème de Riesz} \hfil

Soit $E$ un espace vectoriel normé.

\begin{enumerate}

\item On suppose $E$ de dimension infinie. Expliquer ``intuitivement'' pourquoi la boule unité de $E$ ne peut pas être compacte, puis démontrer ce fait.

\item Que dire si la sphère unité de $E$ est compacte ?

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Norme d'une forme linéaire} \hfil

Soit $E = \mathcal{C}^0 ([0,1], \R)$ l'espace des fonctions continues de $[0,1]$ dans $\R$ muni de la norme $||f||_{\infty} = \sup_{t \in [0,1]} |f(t)|$, et soit $\omega$ un élément de $E$ n'ayant qu'un nombre fini de zéros. On considère l'application
\[
\begin{array}{cccc}
T_{\omega}\colon 
& 
E 
& 
\longrightarrow 
& 
\R 
\\
&
f
&
\longmapsto
&
\displaystyle \int_0^1 \omega f
\end{array}
\]

\begin{enumerate}
 
\item Montrer que $T_{\omega}$ est une forme linéaire continue sur $E$ et calculer sa norme d'opérateur.

\item A quelle condition cette norme est-elle atteinte ?

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Une intégrale à paramètre} \hfil

\medskip

Calculer, pour $t > -1$, $\displaystyle I(t) = \int_{0}^{\pi / 2} \! \frac{\ln(1 + t \cos x)}{\cos x} dx$ .

\bigskip

\hfil \textbf{Une autre intégrale à paramètre} \hfil

\medskip

Soit, pour $x \in \R \backslash \{-1,1\}$, $\displaystyle I(x) = \int_{0}^{\pi} \! \ln(1 - 2x \cos \theta + x^2) d\theta$ .

\begin{enumerate}

\item Comparer $I(x)$ et $I(x^2)$, et en déduire $I(x)$.

\item Retrouver ce résultat en utilisant des sommes de Riemann.

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Une intégrale sans paramètre} \hfil

\[\mbox{Calculer l'intégrale } I = \int_{\pi / 2}^{3 \pi / 2} \! \frac{dx}{3 + \sin x} \ .\]

\newpage

\hfil \textbf{Factorisation eulérienne du sinus} \hfil

\begin{enumerate}

\item Soit $z \in \C$. Montrer que pour tout $n \in \N^*$,
\[ \left( 1 + \frac{iz}{2n} \right)^{2n} \!\! - \ \left( 1 - \frac{iz}{2n} \right)^{2n} = 
2iz \, \prod_{k=1}^{n-1} \left( 1 - \frac{z^2}{4n^2 \tan^2 \frac{k \pi}{2n}} \right) .\]

\item En déduire que pour tout $z \in \C$, $\displaystyle \sin z =  z \, \prod_{k=1}^{+\infty} \left( 1 - \frac{z^2}{k^2 \pi^2} \right)$.

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{L'astuce d'Herglotz} \hfil

L'objectif de cet exercice est d'établir le \textit{développement eulérien de la cotangente}
\[ \forall x \in \R \setminus \Z, \qquad \pi \cot \pi x = \lim_{N \rightarrow +\infty} \sum_{n = -N}^{N} \frac{1}{x+n} . \]
A cet effet, on pose $f(x) = \pi \cot \pi x$ et $g(x) = \lim_{N \rightarrow +\infty} \sum_{n = -N}^{N} \frac{1}{x+n}$.

\begin{enumerate}

\item Montrer que $f$ et $g$ sont définies et continues sur $\R \setminus \Z$, et qu'elles sont $1$-périodiques et impaires.

\item Montrer que $f$ et $g$ vérifient la même \textit{équation fonctionnelle} \newline
$\varphi(\frac{x}{2}) + \varphi(\frac{x+1}{2}) = 2 \varphi(x)$.

\item Montrer que $f-g$ se prolonge par continuité en une fonction $h$ nulle sur $\Z$.

\item Conclure.

\item En déduire le résultat de l'exercice précédent lorsque $z = x$ est réel.

\end{enumerate}

Remarque : Un argument d'analyticité montre que l'identité demeure pour $z$ complexe.

\bigskip

\hfil \textbf{Calcul de $\zeta(2)$} \hfil

\begin{enumerate}

\item Démontrer que la série de fonctions
$t \longmapsto \sin t + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdots (2n)} \, \frac{\sin^{2n+1}t}{2n+1}$ converge normalement vers l'identité sur $[-\pi/2,\pi/2]$.

\item En intégrant, en déduire la valeur de $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(2n+1)^2}$, puis celle de \newline
$\zeta(2) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$.

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Théorème d'Abel} \hfil

\begin{enumerate}

\item Soit $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ une série entière de rayon de convergence au moins $1$ telle que $\sum a_n$ converge.
Montrer le \textit{théorème d'Abel} :
\[ \lim_{x \rightarrow 1-} f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n . \]
Que dire si $\sum a_n$ converge absolument ?

\item La réciproque du théorème d'Abel est elle vraie ?

\item (Application) Evaluer les sommes
\[ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} \qquad \mbox{et} \qquad \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n+1} \ . \]

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Réciproque du théorème d'Abel : théorème taubérien de Hardy-Littlewood} \hfil

Soit $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ une série entière de rayon de convergence au moins $1$. On suppose que $a_n = O(1/n)$ et que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1-} f(x)$ existe et est nulle. Le but de l'exercice est de montrer que $\sum a_n$ converge et que sa somme est nulle. Il s'agit donc d'une réciproque du théorème d'Abel, sous la condition $a_n = O(1/n)$.
On notera $\Phi$ l'ensemble des fonctions $\varphi \colon [0,1] \rightarrow \R$ telles que $\sum a_n \varphi(x^n)$ converge simplement sur $[0,1[$, avec $\lim_{x \rightarrow 1^-} \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \varphi(x^n) = 0$.

\begin{enumerate}

\item Vérifier que toute fonction polynôme nulle en $0$ est dans $\Phi$.

\item Montrer que pour toute fonction polynôme $P$, la limite
\[ \lim_{x \rightarrow 1^-} (1-x) \sum_{n=0}^{+\infty} x^n P(x^n) \]
existe. Que vaut-elle ?

\item Soit $g$ l'application de $[0,1]$ dans $\R$ valant $0$ sur $[0,1/2[$ et $1$ sur $[1/2,1]$. Montrer que pour tout $\varepsilon > 0$, il existe deux fonctions polynômes $P$ et $Q$ telles que $P(0) = Q(0) = 0$, $P(1) = Q(1) = 1$, $P \leqslant g \leqslant Q$ sur $[0,1]$ et $\displaystyle \int_0^1 \frac{Q(x)-P(x)}{x(1-x)} dx < \varepsilon$.

\item En déduire que $g \in \Phi$, et conclure.

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Equivalent au bord} \hfil

Soient $(a_n)_{n \in \N}$ une suite complexe et $(b_n)_{n \in \N}$ une suite à termes strictement positifs telle que $\sum b_n$ diverge. On pose
\[ a(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n, \ b(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} b_n x^n, \]
\[ A_n = \sum_{k=0}^n a_k , \ B_n = \sum_{k=0}^n b_k,\]
et on suppose que le rayon de convergence des séries entières définissant $a$ et $b$ ont toutes deux un rayon de convergence supérieur à $1$.

\begin{enumerate}

\item Montrer que s'il existe $\ell \in \C$ tel que $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{a_n}{b_n} = \ell$, alors
\[ \lim_{x \rightarrow 1^-} \frac{a(x)}{b(x)} = \ell . \]

\item Montrer que si on suppose seulement que $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{A_n}{B_n} = \ell$, alors on a encore
\[ \lim_{x \rightarrow 1^-} \frac{a(x)}{b(x)} = \ell . \]

\item (Application) Montrer que lorsque $x \rightarrow 1^-$, on a les équivalents
\[ \sum_{n=0}^{+\infty} x^{a^n} \sim - \frac{\ln (1-x)}{\ln a} \ (a \in \N, \ a \geqslant 2 ) \qquad \mbox{et} \qquad \sum_{n=0}^{+\infty} x^{n^2} \sim \frac{\sqrt{\pi}}{2 \sqrt{1-x}} .\]

\end{enumerate}

\newpage

\hfil \textbf{Intégrales eulériennes} \hfil

On considère les deux applications suivantes :
\[ \begin{array}{cccc}
\Gamma\colon 
& 
\R^{+*}
& 
\longrightarrow 
& 
\R 
\\
&
x
&
\longmapsto
&
\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \! t^{x-1} e^{-t} dt
\end{array} \quad
\mbox{ et } \quad
\begin{array}{cccc}
B\colon 
& 
\R^{+*} \times \R^{+*}
& 
\longrightarrow 
& 
\R 
\\
&
(x,y)
&
\longmapsto
&
\displaystyle \int_{0}^{1} t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt
\end{array} \]

\begin{enumerate}

\item Montrer que $\Gamma$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ et est logarithmiquement convexe sur $\R^{+*}$.

\item Montrer que $\Gamma$ vérifie l'équation fonctionnelle $\forall x > 0, \ \Gamma(x+1) = x \Gamma(x)$. Que vaut $\Gamma(n)$ pour $n \in \N^*$ ?

\item Donner un équivalent de $\Gamma$ en $0^+$, et tracer sa courbe représentative.

\item Montrer que $B$ vérifie les équations fonctionnelles suivantes :
\[ \forall x,y > 0, \ B(x,y)=B(y,x) \qquad \mbox{et} \qquad B(x+1,y)=\frac{x}{x+y}B(x,y) . \]

\item Montrer que la suite de fonctions
\[ \begin{array}{cccc}
I_n \colon 
& 
\R^{+*}
& 
\longrightarrow 
& 
\R 
\\
&
x
&
\longmapsto
&
\displaystyle \int_{0}^{n} \left( 1 - \frac{t}{n} \right)^n t^{x-1} dt
\end{array} \]
converge simplement vers $\Gamma$. En utilisant la fonction $B$, en déduire la \textit{formule d'Euler}
\[ \forall x > 0, \ \Gamma(x) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n^x n!}{\displaystyle \prod_{k=0}^n (x + k)} . \]

\item Montrer que pour $x,y > 0$ fixés, $B(x+n+1,y) \sim \Gamma(y) / n^y$ lorsque $n \rightarrow +\infty$. En déduire la formule
\[ \forall x,y > 0, \qquad B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \ ,\]
puis calculer $\Gamma(1/2)$.

\item Démontrer la \textit{formule de Weierstrass}
\[ \forall x > 0, \qquad \Gamma(x) = \frac{e^{- \gamma x}}{x} \, \prod_{n=1}^{+\infty} \frac{e^{x/n}}{1+\frac{x}{n}}, \]
où  $\gamma$ désigne la constante d'Euler-Mascheroni.

\item Montrer que
\[ \forall x > 0, \qquad \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)} = -\gamma - \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x}{n(x+n)} .\]
En déduire la valeur de l'intégrale
\[ \int_0^{+\infty} \! e^{-t} \ln t \, dt . \]

\item Démontrer la \textit{formule de duplication}
\[ \forall x > 0, \qquad 2^{2x-1} \Gamma(x)\Gamma \left( x+\frac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi} \, \Gamma(2x) .\]

\item On \textit{admet} (voir l'exercice à ce sujet) la \textit{factorisation eulérienne du sinus}
\[ \forall x \in \R, \qquad \sin x =  x \, \prod_{k=1}^{+\infty} \left( 1 - \frac{x^2}{k^2 \pi^2} \right) .\]
Démontrer la \textit{formule des compléments}
\[ \forall x \in \, ]0,1[ \, , \qquad \Gamma(x) \Gamma(1-x) = \frac{\pi}{\sin \pi x} . \]

\end{enumerate}

\bigskip

\end{document}