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\begin{document}

Tous les corps considérés dans ce sujet seront implicitement supposés commutatifs.

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\hfil \textbf{Puissances d'une matrice} \hfil

Soit $A = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right) \in M_3(\R)$. Calculer $A^n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.

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\hfil \textbf{Matrices de carré nul} \hfil

Soit $K$ un corps, et soit $n$ un entier naturel non nul. Montrer qu'une matrice $A$ de $M_n(K)$ vérifie $A^2 = 0$ si et seulement si il existe $r \leqslant n/2$, éventuellement nul, tel que $A$ soit semblable à $\left( \begin{array}{cc} 0 & I_r \\ 0 & 0 \end{array} \right)$.

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\hfil \textbf{Crochet de Lie dans $M_n(K)$} \hfil

Soit $K$ un corps de caractéristique nulle, et soit $n$ un entier naturel non nul.

\begin{enumerate}

\item Soient $A$ et $B$ deux matrices de $M_n(K)$. On pose
\[ [A,B] = AB-BA. \]
Quelle est la trace de $[A,B]$ ?

\item Montrer que réciproquement, si $M \in M_n(K)$ est de trace nulle, alors il existe des matrices $A$ et $B$ de $M_n(K)$ telles que $M = [A,B]$. On pourra commencer par montrer que $M$ est semblable à une matrice de diagonale nulle.

\end{enumerate}

\hfil \textbf{Bézout matriciel} \hfil

\begin{enumerate}

\item Soit $A$ un anneau commutatif unitaire. Pour tout entier naturel non nul $n$, on note $GL_n(A)$ le groupe des éléments inversibles de l'anneau $M_n(A)$ des matrices carrées de taille $n$ à coefficients dans $A$. Caractériser $GL_n(A)$.

\item Soient $n$ entiers relatifs $x_1, \cdots, x_n$ premiers entre eux dans leur ensemble. Montrer qu'il existe une matrice de $GL_n(\Z)$ dont la première colonne est
\[ \left( \begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) .\]
Peut-on la choisir dans $SL_n(\Z)$ ?

\end{enumerate}

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\hfil \textbf{Théorème de Frobenius-Zolotarev} \hfil

\begin{enumerate}

\item Soient $n$ et $m$ deux entiers naturels tous non nuls. Déterminer tous les morphismes de groupes de $GL_n(\R)$ vers $\mathfrak{S}_m$. (Cette question sert juste à donner des idées; à part ça, elle n'a rien à voir avec la suivante.)

\item Soit $p$ un nombre premier différent de $2$, et soit $n$ un entier naturel non nul. On note $\F_p = \Z / p \Z$ le coprs à $p$ éléments. Comme toute matrice $A$ de $GL_n(\F_p)$ définit une bijection de l'espace vectoriel $V = \F_p^n$ dans lui-même, on peut voir $GL_n(\F_p)$ comme un sous-groupe du groupe $\mathfrak{S}(V)$ des permutations de l'ensemble fini $V$. Montrer alors que $A \in GL_n(\F_p)$ est dans le groupe alterné $\mathfrak{A}(V)$ si et seulement si son déterminant est un carré dans $\F_p$.

\end{enumerate}

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\hfil \textbf{Matrice magique} \hfil

Soient $(a_1,\cdots,a_n)$ et $(b_1,\cdots,b_n)$ deux familles de $n$ réels. On suppose les $a_i$ et les $b_i$ tous distincts, et on note $M \in M_n(\R)$ la matrice de coefficients $a_i + b_j$. Montrer que si le produit des éléments d'une ligne de $M$ est une constante qui ne dépend pas de la ligne, alors il en va de même pour les colonnes de $M$.

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\hfil \textbf{Déterminant de Cauchy} \hfil

Soient $K$ un corps, $n$ un entier naturel non nul, et $a_1, \cdots, a_n, b_1, \cdots, b_n$ $2n$ éléments de $K$ tels que $a_i + b_j$ ne soit jamais nul.
Calculer le \textit{déterminant de Cauchy}
\[ \left| \begin{array}{ccc} \frac{1}{a_1+b_1} & \hdots & \frac{1}{a_1+b_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{1}{a_n+b_1} & \hdots & \frac{1}{a_n+b_n} \end{array} \right| . \]
En cas de besoin, on pourra considérer la fraction rationnelle
\[ R(X) = \frac{(b_1-X) \cdots (b_{n-1}-X)}{(X+a_1) \cdots (X+a_n)} \in K(X). \]

\newpage

\hfil \textbf{Déterminant de Hurwitz} \hfil

Soit $K$ un corps, et soient $a,b,x_1,\cdots,x_n$ des éléments de $K$. On cherche à calculer le déterminant de taille $n$
\[ \Delta = \left| \begin{array}{ccccc} x_1 & a & \cdots & \cdots & a \\ b & x_2 & \ddots & & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & & \ddots & x_{n-1} & a \\ b & \cdots & \cdots & b & x_n \end{array} \right|. \]

\begin{enumerate}

\item Dans cette question, on suppose $a \neq b$. En considérant le déterminant $\Delta(X)$ obtenu en ajoutant $X$ à tous les coefficients de $\Delta$, calculer $\Delta$.

\item Si mantenant $a = b$, calculer $\Delta$ en remplaçant $b$ par l'indéterminée $X$ et en travaillant dans le corps $K(X)$.

\item Soit $E$ l'ensemble $\{1,\cdots,n\}$. On suppose qu'il existe $p$ parties $E_1, \cdots, E_p$ de $E$ deux-à-deux distinctes telles qu'il existe un $c \in \N$ tel que pour tous $i \neq j$, $card \ E_i \cap E_j = c$. En considérant la matrice $(\mathbf{1}_{i \in E_j}) \in M_{n,p}(\Q)$, montrer que $p \leqslant n$.

\end{enumerate}

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\hfil \textbf{Déterminant de Schmidt} \hfil

Calculer pour tout entier naturel non nul $n$ les déterminants des matrices $(d_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}$ et $(\delta_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}$, où $d_{i,j}$ est le nombre de diviseurs communs à $i$ et à $j$ et $\delta_{i,j}$ est le pgcd de $i$ et de $j$.

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\hfil \textbf{Lemme de Gauss et critère d'Eisenstein} \hfil

Lorsque $P \in \Z[X]$ est un polyn\^ome non nul à coefficients entiers, on appelle \textit{contenu} de $P$ et on note $c(P)$ le pgcd des coefficients de $P$.

\begin{enumerate}

\item Soient $P,Q \in \Z[X]$ tous non nuls. Montrer que $c(PQ) = c(P)c(Q)$. Ceci est le lemme de Gauss.

\item Soit $P \in \Z[X]$ un polynôme irréductible dans $\Z[X]$. Montrer qu'il est aussi irréductible dans $\Q[X]$.

\item Quel est le polynôme minimal sur $\Q$ de $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ ?

\item Soit $P=a_n X^n + \cdots + a_0 \in \Z[X]$. On suppose qu'il existe un nombre premier $p$ qui divise tous les $a_i$ sauf $a_n$, et dont le carré ne divise pas $a_0$ (on dit que $P$ est \textit{d'Eisenstein en $p$}). Montrer que $P$ est irréductible dans $\Q[X]$.

\end{enumerate}

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\hfil \textbf{Divination} \hfil

Soit $A$ un anneau unitaire, non supposé commutatif. Soient $a,b \in A$ tels que $1-ab$ est inversible. $1-ba$ est-il nécessairement inversible ?

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\hfil \textbf{Newton, polynômes et polygones} \hfil

\begin{enumerate}

\item Soit $K$ un corps. On se donne $n$ éléments $a_1, \cdots, a_n$ de $K$, et on pose
\[ P = \prod_{i = 1}^{n} (X-a_i) \in K[X] . \]
Pour tout entier naturel $k$, on appelle $S_k$ la $k$-ième \textit{somme de Newton}
\[ S_k = a_1^k + \cdots + a_n^k = \sum_{i=1}^n a_i^k, \]
et pour $1 \leqslant k \leqslant n$, on note $\sigma_k$ les \textit{fonctions symétriques élémentaires}
\[ \sigma_1 = \sum_{i=1}^n a_i, \ \sigma_2 = \sum_{i < j} a_i a_j, \ \cdots, \ \sigma_n = \prod_{i=1}^n a_i . \]

En considérant la \textit{série génératrice} $\displaystyle X^n P\left( \frac{1}{X} \right) \sum_{m=0}^{+\infty} S_m X^m$,\newline
démontrer les relations suivantes :

$\bullet \mbox{ Si } 1 \leqslant m \leqslant n, \ S_m-\sigma_1 s_{m-1} + \cdots + (-1)^{n-1} \sigma_{m-1} S_1 + (-1)^{n}\sigma_m m = 0$,

$\bullet \mbox{ Si }  m \geqslant n, \ S_m-\sigma_1 s_{m-1} + \cdots + (-1)^{m} \sigma_n S_{m-n} = 0$.

\item Soient $n+1$ nombres complexes $z_0,z_1,\cdots,z_n$ tels que tout polyn\^ome $P \in \C[X]$ satisfasse la relation
\[ P(z_0) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} P(z_i). \]
Montrer que les $z_1, \cdots, z_n$ sont les affixes des sommets d'un $n$-gone régulier dont le centre est d'affixe $z_0$.

\end{enumerate}

\newpage

\hfil \textbf{Symbole de Legendre} \hfil

Soit $p$ un nombre premier impair fixé une fois pour toutes. Afin d'alléger les notations, on appelle $\F_p$ le corps $\Z/p\Z$, et on pose $p' = (p-1)/2$. On note aussi $(\F_p^*)^2$ l'ensemble des carrés de $\F_p^*$. Enfin, si $x$ est réel, on note $\lfloor x \rfloor$ sa partie entière.

\begin{enumerate}

\item Quel est le cardinal de $(\F_p^*)^2$ ?

\item Si $x \in \Z$ n'est pas divisible par $p$, on définit le \textit{symbole de Legendre}
\[ \left( \frac{x}{p} \right) = 1 \mbox{ si } x \in (\F_p^*)^2 \mbox{, } -1  \mbox{ sinon.} \]
Montrer que $\left( \frac{x}{p} \right) \equiv x^{p'} \mod p$. En déduire la valeur de $\left( \frac{-1}{p} \right)$, puis montrer que $\left( \frac{xy}{p} \right) = \left( \frac{x}{p} \right) \left( \frac{y}{p} \right)$.

\item On souhaite montrer que $\left( \frac{2}{p} \right) = (-1)^{\frac{p^2-1}{8}}$. Pour cela, on considère $\alpha$ une racine huitième primitive de l'unité de $\F_p$ dans la clôture algébrique de celui-ci. Que vaut $\alpha^4$ ? On pose $\beta = \alpha + \alpha^{-1}$. Montrer que $2 \in (\F_p^*)^2$ si et seulement si $\beta \in \F_p$, et conclure.

\item Notre objectif est à présent de démontrer la \textit{loi de réciprocité quadratique}, qui affire que si $p$ et $q$ sont premiers impairs distincts, alors
\[ \left( \frac{p}{q} \right) = (-1)^{p'q'} \left( \frac{q}{p} \right). \]
Ceci nous permettrait de calculer le sybole de Legendre efficacement. Pour s'en convaincre, \textit{en admettant teporarement la loi de réciprocité quadratique}, déterminer si $19$ est un carré modulo $283$.

\item On pose $S = \{ 1,2,\cdots,p' \} \subset \F_p^*$, et on fixe $a \in \Z$ non-divisible par $p$. Vérifier que pour tout $s \in S$, on peut écrire $as = \epsilon_a(s) s_a$ avec $s_a \in S$ et $\epsilon_a(s) = \pm 1$, et montrer que l'application ainsi définie $S \rightarrow S$, $s \mapsto s_a$ est bijective.

\item Soit $\mu_a = Card \ \{ s \in S \vert \epsilon_a(s) = -1 \}$. Montrer que $\left( \frac{a}{p} \right) = (-1)^{\mu_a}$.

\item On pose $\displaystyle S_{p,q} = \sum_{s = 1}^{p'} \left\lfloor \frac{sq}{p} \right\rfloor$ et $\displaystyle S_{q,p} = \sum_{s = 1}^{q'} \left\lfloor \frac{sp}{q} \right\rfloor$.
En considérant un rectangle de côtés $p$ et $q$, montrer que $S_{p,q} + S_{q,p} = p' q'$.

\item Montrer que $S_{p,q} \equiv \mu_q \mod 2$, et conclure.

\end{enumerate}

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\end{document}