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\begin{document}

\hfil \textbf{Un peu de combinatoire} \hfil

Soient $n$ un entier naturel non nul et $p$ un nombre premier. Calculer l'ordre de $GL_n(\Z/p\Z)$ et de $SL_n(\Z/p\Z)$.

\bigskip

\hfil \textbf{Lemme de Gauss et critère d'Eisenstein} \hfil

Lorsque $P \in \Z[X]$ est un polyn\^ome non nul à coefficients entiers, on appelle \textit{contenu} de $P$ et on note $c(P)$ le pgcd des coefficients de $P$.

\begin{enumerate}

\item Soient $P,Q \in \Z[X]$ tous non nuls. Montrer que $c(PQ) = c(P)c(Q)$. Ceci est le lemme de Gauss.

\item Soit $P \in \Z[X]$ un polynôme irréductible dans $\Z[X]$. Montrer qu'il est aussi irréductible dans $\Q[X]$.

\item Quel est le polynôme minimal sur $\Q$ de $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ ?

\item Soit $P=a_n X^n + \cdots + a_0 \in \Z[X]$. On suppose qu'il existe un nombre premier $p$ qui divise tous les $a_i$ sauf $a_n$, et dont le carré ne divise pas $a_0$ (on dit que $P$ est \textit{d'Eisenstein en $p$}). Montrer que $P$ est irréductible dans $\Q[X]$.

\end{enumerate}

\newpage

\hfil \textbf{Algorithme de Berlekamp} \hfil

Cet exercice établit un algorithme permettant la factorisation des polynômes à coefficients dans le corps fini $\F_p = \Z/p\Z$.

\begin{enumerate}

\item Soit $P \in \F_p[X]$ un polynôme unitaire. A quelle condition $P'$ est-il nul ?
 
\item On cherche à factoriser complètement $P$. Expliquer comment on peut tout d'abord savoir si $P$ a un facteur carré, et comment réagir dans ce cas. On prendra garde au cas où $P'$ est nul.

\item On suppose désormais $P$ sans facteur carré. On peut donc écrire
\[ P = \prod_{i=1}^{m} P_i, \]
les $P_i$ étant irréductibles unitaires et distincts deux-à-deux.

Soit $A$ la $\F_p$-algèbre $A = \F_p[X]/(P)$. Montrer qu'on a un isomorphisme de $\F_p$-algèbres
\[ A \simeq \prod_{i=1}^{m} \F_p[X]/(P_i). \]

\item On munit $A$ du \textit{morphisme de Frobenius} $Fr \colon A \rightarrow A, \ f \mapsto f^p$. Vérifier qu'il s'agit bien d'un endomorphisme de $A$, puis démontrer que
\[ \dim \ker (Fr-Id_A) = m. \]
Expliquer alors comment on peut déterminer si $P$ est irréductible.

\item Si $P$ est n'est pas irréductible, on souhaite pouvoir calculer les $P_i$. Expliquer pourquoi il existe un polynôme non-constant $Q \in \F_p[X]$, de degré strictement moindre que celui de $P$, qui soit tel que $P \vert Q^p-Q$. Montrer qu'on a alors une factorisation non-triviale
\[ P= \prod_{a \in \F_p} P \wedge (Q+a), \]
où $\wedge$ désigne le pgcd. En déduire comment trouver les $P_i$.

\end{enumerate}

\newpage

\hfil \textbf{Algèbre commutative} \hfil

Dans cet exercice, on \textit{admettra} et on utilisera librement le \textit{lemme de Zorn}, dont voici l'énoncé :

\medskip
\noindent$\triangleright$ Soit $E$ un ensemble non vide partiellement ordonné. Si $E$ est \textit{inductif}, c'est-à-dire si toute partie non vide totalement ordonnée de $E$ admet un majorant, alors $E$ admet (au moins) un élément maximal. $\triangleleft$
\medskip

Soit $A$ un anneau commutatif et unitaire.

\begin{enumerate}

\item On dit qu'un idéal $\mathfrak{P}$ de $A$ est \textit{premier} si
\[ \forall x,y \in A, \ xy \in \mathfrak{P} \Longrightarrow x \in \mathfrak{P} \mbox{ ou } y \in \mathfrak{P}. \]
Soit $I$ un idéal de $A$, montrer que $I$ est premier si et seulement si le quotient $A/I$ est intègre.

On notera $Spec \, A$ l'ensemble des idéaux premiers de $A$.
 
\item On dit qu'un idéal $\mathfrak{M}$ de $A$ est \textit{maximal} s'il est maximal au sens de l'inclusion, autrement dit si
\[ \forall I \mbox{ idéal de } A, \ \mathfrak{M} \subseteq I \Longrightarrow I = \mathfrak{M} \mbox{ ou } I = A. \]
Soit $I$ un idéal de $A$, montrer que $I$ est maximal si et seulement si le quotient $A/I$ est un corps.

En utilisant le lemme de Zorn, montrer que tout idéal propre de $A$ est contenu dans un idéal maximal.

On notera $Specmax \, A$ l'ensemble des idéaux premiers de $A$.

\item Montrer que $Specmax \, A \subseteq Spec \, A$.

\item A tout idéal $I$ de $A$, on associe son \textit{radical}
\[ \sqrt{I} = \left\{ a \in A \ \vert \ \exists n \in \N \colon a^n \in I \right\}.  \]
Montrer que $\sqrt{I}$ est encore un idéal. Si $n \in \Z$, quel est le radical de l'idéal $n\Z$ de $\Z$ ? A l'aide du lemme de Zorn, démontrer l'identité
\[ \sqrt{I} = \bigcap_{\mathfrak{P} \in Spec \, A, \, \mathfrak{P} \, \supseteq \, I} \mathfrak{P}. \]

Soit $Nilrad \, A$ le \textit{nilradical} de $A$, c'est-à-dire l'ensemble des éléments nilpotents de $A$. Montrer que
\[ Nilrad \, A = \bigcap_{\mathfrak{P} \in Spec \, A} \mathfrak{P}. \]

\item En déduire quels sont les éléments inversibles de l'anneau de polynômes $A[X]$.

\item On considère le \textit{radical de Jacobson}
\[ Rad \, A = \left\{ a \in A \ \vert \ \forall x \in A, \ 1+ax \mbox{ est inversible} \right\} . \]
Montrer l'identité
\[ Rad \, A = \bigcap_{\mathfrak{M} \in Specmax \, A} \mathfrak{M}. \]

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Polyn\^omes cyclotomiques} \hfil

Lorsque $n \geqslant 1$ est un entier, on appelle $\Pi_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes primitives de l'unité, et on définit le \textit{$n$-ième polynôme cyclotomique} par
\[ \phi_n(X) = \prod_{\zeta \in \Pi_n} (X-\zeta) \in \C[X] .\]
Que vaut $\prod_{d \vert n} \phi_d$ ? En déduire qu'en fait $\phi_n \in \Z[X]$.

\bigskip

\hfil \textbf{Actions de groupes} \hfil

Soit $X$ un ensemble, et soit $G$ un groupe. On dit que $G$ \textit{agit} (ou \textit{opère}) sur $X$ si on s'est donné un morphisme (pas forcément injectif, et même éventuellement trivial) de $G$ dans le groupe des permutations $\mathfrak{S}(X)$. On note alors $g \cdot x \in X$ l'action d'un élément $g \in G$ sur un élément $x \in X$. Si $x \in X$, on dispose de son \textit{stabilisateur}
\[ Stab_x = \{ g \in G \ \vert \ g \cdot x = x \} \subseteq G \]
et de son \textit{orbite}
\[ G \cdot x = \{ g \cdot x, \ g \in G \} \subseteq X . \]
On note $\Omega$ l'ensemble des orbites.
Enfin, lorsque $g \in G$, on peut aussi considérer ses \textit{points fixes}
\[ Fix_g = \{ x \in X \ \vert \ g \cdot x = x \} \subseteq X .\]

On suppose dans cet exercice $G$ et $X$ finis.

\begin{enumerate}

\item Montrer la \textit{formule des classes} :
\[ \exists R \subseteq X \colon \quad Card \ X = \sum_{x \in R} \frac{Card \ G}{Card \ Stab_x}. \]

\item Démontrer la \textit{formule de Burnside} :
\[ Card \ \Omega = \frac{1}{Card \ G} \sum_{g \in G} Card \ Fix_g . \]
 
\item On note $\mathcal{Z}_G$ le centre de $G$, c'est-à-dire le sous-groupe formé des éléments de $G$ qui commutent avec tous les autres. Montrer qu'on a une identité de la forme
\[ \exists \Theta \subseteq G \colon \quad Card \ G = Card \ \mathcal{Z}_G + \sum_{g \in \Theta} \frac{Card \ G}{Card \ N_g} \]
où les $N_g$ sont des sous-groupes de $G$ que l'on précisera.

\item Montrer que tous les groupes d'ordre $p^2$, avec $p$ premier, sont abéliens.

\item On souhaite démontrer le \textit{théorème de Wedderburn}, qui affirme que tout corps fini est commutatif.
Soit donc $K$ un corps fini. On pose $q-1 = Card \ \mathcal{Z}_{K^*}$. Montrer qu'on peut écrire
\[ q^n - 1 = q - 1 + \sum_{d \vert n} \lambda_d \, \frac{q^n - 1}{q^d - 1}, \]
où $n$ et les $\lambda_d$ sont entiers. Conclure en utilisant l'exercice précédent.

\end{enumerate}

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\hfil \textbf{Symbole de Legendre} \hfil

Soit $p$ un nombre premier impair fixé une fois pour toutes. Afin d'alléger les notations, on appelle $\F_p$ le corps $\Z/p\Z$, et on pose $p' = (p-1)/2$. On note aussi $(\F_p^*)^2$ l'ensemble des carrés de $\F_p^*$. Enfin, si $x$ est réel, on note $\lfloor x \rfloor$ sa partie entière.

\begin{enumerate}

\item Quel est le cardinal de $(\F_p^*)^2$ ?

\item Si $x \in \Z$ n'est pas divisible par $p$, on définit le \textit{symbole de Legendre}
\[ \left( \frac{x}{p} \right) = 1 \mbox{ si } x \in (\F_p^*)^2 \mbox{, } -1  \mbox{ sinon.} \]
Montrer que $\left( \frac{x}{p} \right) \equiv x^{p'} \mod p$. En déduire la valeur de $\left( \frac{-1}{p} \right)$, puis montrer que $\left( \frac{xy}{p} \right) = \left( \frac{x}{p} \right) \left( \frac{y}{p} \right)$.

\item On souhaite montrer que $\left( \frac{2}{p} \right) = (-1)^{\frac{p^2-1}{8}}$. Pour cela, on considère $\alpha$ une racine huitième primitive de l'unité de $\F_p$ dans la clôture algébrique de celui-ci. Que vaut $\alpha^4$ ? On pose $\beta = \alpha + \alpha^{-1}$. Montrer que $2 \in (\F_p^*)^2$ si et seulement si $\beta \in \F_p$, et conclure.

\item Notre objectif est à présent de démontrer la \textit{loi de réciprocité quadratique}, qui affire que si $p$ et $q$ sont premiers impairs distincts, alors
\[ \left( \frac{p}{q} \right) = (-1)^{p'q'} \left( \frac{q}{p} \right). \]
Ceci nous permettrait de calculer le sybole de Legendre efficacement. Pour s'en convaincre, \textit{en admettant teporarement la loi de réciprocité quadratique}, déterminer si $19$ est un carré modulo $283$.

\item On pose $S = \{ 1,2,\cdots,p' \} \subset \F_p^*$, et on fixe $a \in \Z$ non-divisible par $p$. Vérifier que pour tout $s \in S$, on peut écrire $as = \epsilon_a(s) s_a$ avec $s_a \in S$ et $\epsilon_a(s) = \pm 1$, et montrer que l'application ainsi définie $S \rightarrow S$, $s \mapsto s_a$ est bijective.

\item Soit $\mu_a = Card \ \{ s \in S \vert \epsilon_a(s) = -1 \}$. Montrer que $\left( \frac{a}{p} \right) = (-1)^{\mu_a}$.

\item On pose
\[ S_{p,q} = \sum_{s = 1}^{p'} \left\lfloor \frac{sq}{p} \right\rfloor \quad \mbox{et} \quad S_{q,p} = \sum_{s = 1}^{q'} \left\lfloor \frac{sp}{q} \right\rfloor . \]
En considérant un rectangle de côtés $p$ et $q$, démontrer que $S_{p,q} + S_{q,p} = p' q'$.

\item Montrer que $S_{p,q} \equiv \mu_q \mod 2$, et conclure.

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Une petite dernière pour la route} \hfil

Existe-t-il un polynôme $P \in \R[X]$ tel que $\forall x \in [0,1], \ P(x) = \cos x$ ?

\bigskip

\end{document}