\documentclass[12pt]{article}
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\newcommand{\F}{\mathbb{F}}\newcommand{\I}{\mathbb{I}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}\newcommand{\LL}{\mathbb{L}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\V}{\mathbb{V}}\newcommand{\X}{\mathbb{X}}

\begin{document}

\hfil \textbf{Norme sur les fonctions lipschitziennes} \hfil

\begin{enumerate}
\item Soit $L$ l'ensemble des fonctions lipschitziennes de $\R$ dans $\R$. Vérifier que c'est un espace vectoriel sur $\R$.

\item On définit
\[
\begin{array}{cccl}
N\colon & L & \longrightarrow & \R\\
& f & \longmapsto & \displaystyle \sup_{x \neq y} \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}.
\end{array}
\]
$N$ fait-elle de $L$ un espace vectoriel normé ?

\item On pose $L_0 = \left\{ f \in L | f(0)=0 \right\}$. Vérifier que c'est un sous-espace vectoriel de $L$. $N$ est-elle une norme sur $L_0$ ?

\item Montrer que si $f \in L_0$ est de classe $\mathcal{C}^1$, on a $N(f) = \sup_{t \in \R} |f'(t)|$.
\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Topologie des matrices inversibles} \hfil

Soit $n \in \N^*$. On voit $M_n(\R)$ comme $\R^{n^2}$, et on en profite pour le munir de la norme produit. Montrer que $GL_n(\R) \subset M_n(\R)$ est un ouvert dense.

\bigskip

\hfil \textbf{Encore des matrices inversibles !} \hfil

On reprend les mêmes conventions que celle en vigeur dans l'exercice précédent. Soit $(A_n)_{n \in \N} \in GL_n(\R)^\N$ une suite de matrices inversibles. On suppose que $A_n \rightarrow A$ et $A^{-1}_n \rightarrow B$. Montrer que $A$ est inversible, quel peut bien être son inverse ?
Ce résultat est-il encore valable si on ne suppose plus que $(A^{-1}_n)_{n \in \N}$ converge ?

\bigskip

\hfil \textbf{Projecteurs en dimension finie} \hfil

Toujours les mêmes conventions. Montrer que l'ensemble des projecteurs de $\R^n$ est une partie fermée de $L(\R^n)$.

\bigskip

\hfil \textbf{Fonctions positives} \hfil

Soient $F = C^0([0,1],\R)$, et $F^+ = C^0([0,1],\R^+) \subseteq F$. Calculer $\overline{F^+}$ et $\overset{\circ}{F^+}$ lorque $F$ est muni de la norme $\Vert f \Vert_{\infty} = \sup_{t \in [0,1]} |f(t)|$, puis lorqu'il est muni de  $\Vert f \Vert_1 = \int_0^1 |f|$.

\newpage

\hfil \textbf{Continuité de la dérivation et de l'intégration} \hfil

Soit $E = \mathcal{C}^{\infty} ([0,1], \R)$ l'espace des fonctions de $[0,1]$ dans $\R$ de classe $\mathcal{C}^{\infty}$, muni de la norme $||f||_{\infty} = \sup_{t \in [0,1]} |f(t)|$. On considère les applications
\[
\begin{array}{cccl}
I\colon & E & \longrightarrow & E \\
& f & \longmapsto & \left( I(f) \colon x \mapsto \displaystyle \int_0^x f(t) dt \right)
\end{array}
\]
et
\[
\begin{array}{cccc}
I\colon & E & \longrightarrow & E \\
& f & \longmapsto & f'
\end{array}.
\]
Lesquelles sont continues ?

\bigskip

\hfil \textbf{Droites dans le plan} \hfil

Le plan est-il réunion dénombrable de droites ?

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\hfil \textbf{Fonction irrationnelle} \hfil

Existe-t-il une fonction continue de $\R$ dans $\R$ par laquelle l'image de tout rationnel est irrationnelle, alors que l'image de tout irrationnel est rationnelle ?

\bigskip

\hfil \textbf{Cardinal de l'ensemble des applications continues} \hfil

Soit $E = \mathcal{C}^0 (\R, \R)$ l'espace des fonctions continues de $\R$ dans $\R$. Calculer son cardinal; autrement dit, trouver un ensemble simple (comme $\varnothing$, $[|1,18|]$, $\N$, $\R$, $\R^{\R}, ...$) avec lequel $E$ soit en bijection.

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\hfil \textbf{Une forme linéaire sur l'espace des suites} \hfil

Soit $E = \R^{\N}$ l'espace des suites réelles, et soit $A \in E^*$ une forme linéaire sur $E$. On suppose que pour toute suite $u$ de $E$, il existe un entier $n(u)$, \textit{dépendant} a priori \textit{de u}, tel que $A(u) = u_{n(u)}$. Que dire alors de $A$ ?

\newpage

\hfil \textbf{Ensemble triadique de Cantor} \hfil

On de place dans $I = [0,1]$ muni de la distance induite par $\R$. On définit une suite $(K_n)_{n \in \N}$ de parties de $I$ par récurrence : on pose $K_0 = I$, puis, $K_n$ étant réunion disjointe de $2^n$ segments de longueurs $3^{-n}$, on coupe chacun de ces segments en trois parties égales, dont on ne conserve que les deux extr\^emes, et on définit $K_{n+1}$ comme la réunion des $2^{n+1}$ segments obtenus. On pose enfin
\[ K = \bigcap_{n \in \N} \downarrow K_n. \]

\begin{enumerate}

\item Donner une condition nécessaire et suffisante sur $x \in I$ pour que $x \in K$.

\item Quel est le cardinal de $K$ ?

\item Calculer $\overline{K}$ et $\overset{\circ}{K}$. $K$ est-il ouvert ? Fermé ?

\item Donner un exemple de fonction continue de $I$ dans $\R$, non identiquement nulle, avec un nombre non dénombrable de zéros.

\item Soit $A$ une partie de $I$. On appelle \emph{mesure} de $A$ la quantité
\[ mes(A) = \inf_{\underset{\bigcup_{i = 1}^r \, ]a_i,b_i[ \, \supseteq A}{r \in \N}} \sum_{i = 1}^r |b_i-a_i|. \]
Déterminer les bornes supérieure et inférieure de $mes$. Sont-elles atteintes ? $mes(A) = 0$ implique-t-il $A = \varnothing$ ? Calculer $mes(K)$, commentaires ?

\item Calculer $mes(\Q)$.

\end{enumerate}

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\hfil \textbf{Bijection non bicontinue} \hfil

Exhiber deux espaces métriques $X$ et $Y$ ainsi qu'une bijection continue $f \colon X \rightarrow Y$ telle que $f^{-1}$ ne soit pas continue.

\newpage

\hfil \textbf{La convergence simple n'est pas métrisable} \hfil

Soit $X$ un ensemble. Etant données une suite $(f_n)_{n \in \N}$ de fonctions de $X$ dans $\R$ et une fonction $f$ de $X$ dans $\R$, on dit que $(f_n)_{n \in \N}$ \emph{converge simplement} vers $f$ si pour tout $x \in X$, $f_n(x) \rightarrow f(x)$ dans $\R$.

\begin{enumerate}

\item On suppose $X$ infini. Montrer que la convergence simple n'est pas métrisable; autrement dit, montrer qu'il nexiste pas de distance sur l'espace de toutes les fonctions de $X$ dans $\R$ pour laquelle les suites convergentes soient exactement les suites convergeant simplement.

\emph{Indication} : On pourra, étant donnée une suite injective $(x_n)_{n \in \N}$ de points de $X$, considérer les suites de fonctions $(\delta_{x_n})_{n \in \N}$ et $\displaystyle \left( \sum_{i = 0}^n \delta_{x_i} \right)_{n \in \N}$, où $\delta_x(y) = 1$ si $x=y$, $0$ sinon.

\item Que dire si $X$ est fini (non vide) ?

\end{enumerate}

\bigskip

\hfil \textbf{Norme d'une forme linéaire} \hfil

Soit $E = \mathcal{C}^0 ([0,1], \R)$ l'espace des fonctions continues de $[0,1]$ dans $\R$ muni de la norme $||f||_{\infty} = \sup_{t \in [0,1]} |f(t)|$, et soit $\omega$ un élément de $E$ n'ayant qu'un nombre fini de zéros. On considère l'application
\[
\begin{array}{cccc}
T_{\omega}\colon 
& 
E 
& 
\longrightarrow 
& 
\R 
\\
&
f
&
\longmapsto
&
\displaystyle \int_0^1 \omega f
\end{array}
\]

\begin{enumerate}
 
\item Montrer que $T_{\omega}$ est une forme linéaire continue sur $E$ et calculer sa norme d'opérateur.

\item A quelle condition cette norme est-elle atteinte ?

\end{enumerate}

\newpage

\hfil \textbf{Pour être discret, il ne faut pas être trop gros} \hfil

Soit $A$ une partie discrète de $\R$. Montrer que $A$ est au plus dénombrable.

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\hfil \textbf{Pour être sommable, \textit{idem}} \hfil

Soit $(x_i)_{i \in I}$ une famille de réels positifs. On pose
\[ \sum_{i \in I} x_i = \sup_{\displaystyle J \mbox{ fini} \subseteq I} \sum_{i \in J} x_i \in [0,+\infty]. \]
Montrer que si $\displaystyle \sum_{i \in I} x_i < +\infty$, alors le \emph{support}
\[ supp(x_i) = \{i \in I \, | \, x_i \neq 0\} \]
est au plus dénombrable.

\bigskip

\hfil \textbf{Fermés disjoints} \hfil

Soit $X$ un espace métrique, et soient $A$ et $B$ deux fermés disjoints de $X$. Montrer qu'il existe deux ouverts disjoints $U$ et $V$ de $X$ tels que $A \subset U$ et $B \subset V$.

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\hfil \textbf{Fermés contre ouverts 1} \hfil

Soit $E$ un espace vectoriel normé. Montrer que tout ouvert de $E$ est réunion dénombrable de fermés.

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%\hfil \textbf{Fermés contre ouverts 2} \hfil

%Un intervalle ouvert non vide $I$ de $\R$ peut-il être partitionné en intervalles fermés non-triviaux, c'est-à-dire non réduits à des singletons ?

%\bigskip

\hfil \textbf{Fermés contre ouverts 3 $\bigstar$} \hfil

Un rectangle ouvert non vide $R$ de $\R^2$ peut-il être partitionné en segments de droite fermés non triviaux, c'est-à-dire non réduits à un point ?

\newpage

\hfil \textbf{Topologie des points extrémaux d'un convexe $\bigstar$} \hfil

Si $C$ est une partie convexe de $\R^n$, on dira qu'on point $x$ de $C$ est extrémal si $C - \{x\}$ est encore convexe.

\begin{enumerate}

\item (Quelques exemples) On se place pour commencer dans le plan $\R^2$. Quels sont les points extrémaux d'un carré plein (intérieur + frontière) ? D'un disque fermé ? D'un disque ouvert ?

\item L'ensemble des points extrémaux d'une partie convexe du plan est-il toujours fermé ?

\item L'ensemble des points extrémaux d'une partie convexe \textit{fermée} du plan est-il toujours fermé ?

\item L'ensemble des points extrémaux d'une partie convexe \textit{fermée} de l'espace $\R^3$ est-il toujours fermé ?

\end{enumerate}

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%\hfil \textbf{Points de condensation} \hfil

%Soient $X$ un espace métrique, et $A$ une partie de $X$. On dit que $x \in X$ est un point de condensation de $A$ si l'intersection de $A$ avec tout voisinage de $x$ est non dénombrable. Si $X = \R$, et si $A$ n'est pas dénombrable, montrer que l'ensemble des points de condensation de $A$ n'est pas vide. 

%\newpage

%\hfil \textbf{Adhérence et complémentaire $\bigstar$} \hfil

%Soit $X$ un espace métrique, et $A$ une partie de $X$. Bien que $\bar A$ puisse être différent de $A$, on sait que $\bar {\bar A}$ est toujours égal à $\bar A$ (en langage technique, le passage à l'adhérence est \textit{idempotent d'ordre 2}). De même, si $A'$, le complémentaire de $A$, n'est jamais égal à $A$, on a toujours $A'' = A$ (le passage au complémentaire est \textit{involutif}). Ainsi, l'itération du passage à l'adhérence ou au complémentaire est peu intéressante. Mais que se passe-t-il si on mélange les deux ?
%A partir d'une partie $A$ de $X$, combien de parties différentes peut-on former uniquement en prenant l'adhérence et en passant au complémentaire ?

%\bigskip

\hfil \textbf{Points fixes simultanés} \hfil

Soit l'espace métrique $I = [0,1]$ muni de la distance usuelle, et soit $G$ un sous-groupe du groupe des homéomorphismes de $I$. Les éléments de $G$ ont-ils nécessairement un point fixe commun ? Et si on suppose $G$ abélien ?

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\hfil \textbf{Développement limité de la fonction tangente} \hfil

Calculer le développement limité de $\tan$ en $0$ à l'ordre $10$.

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\hfil \textbf{Un développement asymptotique} \hfil

Soit $(u_n)_{n \in \N}$ la suite réelle définie par relation de récurrence $u_{n} = \sqrt{n + u_{n-1}}$ et la condition initiale $u_0 = 0$. Donner un équivalent puis un développement asyptotique à trois termes de $u_n$.

\end{document}