%% Transcribed in LaTeX by David R. Wilkins, Trinity College, Dublin
%% (dwilkins@maths.tcd.ie)

%% Source: Mathematische Annalen, Vol. 5 (1872), 123--132

\documentclass[leqno]{article}
\usepackage[german]{babel}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}

\title{Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie\\
der trigonometrischen Reihen}
\author{Von {\sc G. Cantor} in {\sc Halle} a.~S.}
\date{[Math. Annalen {\bf 5}, 123--132 (1872).]}
\maketitle

Im folgenden werde ich eine gewisse Ausdehnung des Satzes, dass die
trigonometrischen Reihendarstellungen eindeutig sind, mittheilen.

Dass zwei trigonometrische Reihen:
\[{\textstyle\frac{1}{2}} b_0 + \sum (a_n \sin nx + b_n \cos nx)
   \hbox{ und }
   {\textstyle\frac{1}{2}} b_0' + \sum (a_n' \sin nx + b_n' \cos nx),\]
welche f\"{u}r jeden Werth von $x$ convergiren und dieselbe Summe
haben, in ihren Coefficienten \"{u}bereinstimmen, habe ich im
\glqq Journal f\"{u}r die reine und angewandte Mathematik, Bd.~72.
S.~139\grqq\ nachzuweisen versucht; in einer auf diese Arbeit sich
beziehenden Notiz habe ich a.~a.~O. ferner gezeigt, dass dieser
Satz auch erhalten bleibt, wenn man f\"{u}r eine endliche Anzahl
von Werthen des $x$ entweder die Convergenz oder die Uebereinstimmung
der Reihesummen aufgiebt.

% a. a. O. = am angef\"{u}hrten Orte (`in the place mentioned')

Die {\it hier\/} beabsichtigte Ausdehnung besteht darin, dass f\"{u}r
eine {\it unendliche\/} Anzahl von Werthen des $x$ im Intervalle
$(0 \ldots (2\pi))$ auf die Convergenz oder auf die Uebereinstimmung
der Reihensummen verzichtet wird, ohne dass die G\"{u}ltigkeit des
Satzes aufh\"{o}rt.

Zu dem Ende bin ich aber gen\"{o}thigt, wenn auch zum gr\"{o}ssten
Theile nur andeutungsweise, Er\"{o}rterungen voraufzuschicken, welche
dazu dienen m\"{o}gen, Verh\"{a}ltnisse in ein Licht zu stellen, die
stets auftreten, sobald Zahlengr\"{o}ssen in endlicher oder
unendlicher Anzahl gegeben sind; dabei werde ich zu gewissen
Definitionen hingeleitet, welche hier nur zum Behufe einer
m\"{o}glichst gedr\"{a}ngten Darstellung des beabsichtigten Satzes,
dessen Beweis im \S~3. gegeben wird, aufgestellt werden.

\begin{center}
\S~1.
\end{center}

Die rationalen Zahlen bilden die Grundlage f\"{u}r die Feststellung
des weiteren Begriffes einer Zahlengr\"{o}sse; ich will sie das
Gebiet~$A$ nennen (mit Einschluss der Null).

Wenn ich von einer Zahlengr\"{o}sse im weiteren Sinne rede, so
geschieht es zun\"{a}chst in dem Falle, dass eine durch ein Gesetz
gegebene unendliche Reihe von rationen Zahlen:
\begin{equation}
a_1, a_2,\ldots a_n,\ldots \tag{1}
\end{equation}
vorliegt, welche die Beschaffenheit hat, dass die Differenz
$a_{n+m} - a_n$ mit wachsenden $n$ unendlich klein wird, was auch die
positive ganze Zahl~$m$ sei, oder mit anderen Worten, dass bei
beliebig angennommenem (positiven, rationalen) $\varepsilon$ eine
ganze Zahl~$n_1$ vorhanden ist, so dass
$|a_{n+m} - a_n| < \varepsilon$, wenn $n \geq n_1$ und wenn $m$ eine
beliebige positive ganze Zahl ist.

Diese Beschaffenheit der Reihe (1) dr\"{u}cke ich in den Worten aus:
\glqq {\it Die Reihe (1) hat eine bestimmte Grenze~$b$.}\grqq

Es haben also diese Worte zun\"{a}chst keinen anderen Sinn als den
eines Ausdruckes f\"{u}r jene Beschaffenheit der Reihe, und
aus dem Umstande, dass wir mit der Reihe (1) ein besonderes
Zeichen~$b$ verbinden, folgt, dass bei verschiedenen derartigen Reihen
auch verschiedene Zeichen $b, b',b'',\ldots$ zu bilden sind.

Ist eine zweite Reihe:
\begin{equation}
a_1', a_2',\ldots a_n',\ldots \tag{1${}'$}
\end{equation}
gegeben, welche eine bestimmte Grenze $b'$ hat, so findet man, dass
die beiden Reihen ($1$) and ($1'$) eine von den folgenden 3 Beziehungen
stets haben, die sich gegenseitig ausschliessen: Entweder 1. wird
$a_n - a_n'$ unendlich klein mit wachsendem~$n$ oder 2. $a_n - a_n'$
bleibt von einem gewissen $n$ an stets gr\"{o}sser, als eine positive
(rationale) Gr\"{o}sse $\varepsilon$ oder 3. $a_n - a_n'$ bleibt von
einem gewissen $n$ an stets kleiner, als eine negative (rationale)
Gr\"{o}sse $-\varepsilon$.

Wenn die erste Beziehung stattfindet, setze ich:
\[b = b',\]
bei der zweiten $b > b'$, bei der dritten $b < b'$.

Ebenso findet man, dass eine Reihe (1), welche eine Grenze~$b$ hat,
zu einer rationalen Zahl~$a$ nur eine von den folgenden 3 beziehungen
hat.  Entweder:

1. wird $a_n - a$ unendlich klein mit wachsendem~$n$,
oder 2. $a_n - a$ bleibt von einem gewissen $n$ an immer
gr\"{o}sser, als eine positive (rationale) Gr\"{o}sse~$\varepsilon$
oder 3. $a_n - a$ bleibt von einem gewissen $n$ an immer kleiner, als
eine negative (rationale) Gr\"{o}sse $-\varepsilon$.

Um das Bestehen dieser Beziehungen auszudr\"{u}cken, setzen wir resp.:
\[b = a,\quad b > a,\quad b < a.\]
Aus diesen und den gleich folgenden Definitionen ergiebt sich als
{\it Folge}, dass, wenn $b$ die Grenze der Reihe (1) ist, alsdann
$b - a_n$ mit wachsendem $n$ unendlich klein wird, womit
{\it nebenbei\/} die Bezeichnung \glqq Grenze der Reihe (1)\grqq\ f\"{u}r $b$
eine gewisse Rechtfertigung findet.

Die Gesamtheit der Zahlengr\"{o}ssen~$b$ m\"{o}ge durch $B$ bezeichnet
werden.

Mittels obiger Festsetzungen lassen sich die Elementaroperationen,
welche mit rationalen Zahlen vorgenommen werden, ausdehnen auf die
beiden Gebiete $A$ und $B$ zusammengenommen.

Sind n\"{a}mlich $b, b', b''$ drei Zahlengr\"{o}ssen aus $B$, so
dienen die Formeln:
\[b \pm b' = b'',\quad bb' =b'',\quad \frac{b}{b'} = b''\]
als Ausdruck daf\"{u}r, dass zwischen den den Zahlen $b$, $b'$, $b''$
entsprechenden Reihen:
\begin{eqnarray*}
   & &a_1, a_2,\ldots \\
   & &a_1', a_2',\ldots \\
   & &a_1'', a_2'',\ldots
\end{eqnarray*}
resp.\ die Beziehungen bestehen:
\[\lim (a_n \pm a_n' - a_n'') = 0,\quad
  \lim (a_n  a_n' - a_n'') = 0,\]
\[\lim \left( \frac{a_n}{a_n'} - a_n'' \right) = 0,\]
wo ich auf die Bedeutung des Lim-Zeichens nach dem Vorhergehenden
nicht n\"{a}her einzugehen brauche.  Aehnliche Definitionen werden
f\"{u}r die F\"{a}lle aufgestellt, dass von den drei Zahlen eine
oder zwei dem Gebiete $A$ angeh\"{o}ren.

Allgemein wird sich daraus jede mittelst einer endliche Anzahl von
Elementaroperationen gebildete Gleichung:
\[F(b, b',\ldots b^{(\varrho)}) = 0\]
als der Ausdruck f\"{u}r eine bestimmte Beziehung ergeben, welche
unter den Reihen stattfindet, durch welche die Zahlengr\"{o}ssen
$b, b', b'',\ldots b^{(\varrho)}$ gegeben sind\footnote{Wenn z.~B.
eine Gleichung $\mu^{\rm ten}$ Grades mit ganzzahligen Coefficienten:
$f(x) = 0$, eine reelle Wurzel~$\omega$ besitzt, so heisst dies
im Allgemeinen {\it nichts anderes}, als dass eine Reihe:
\[a_1, a_2,\ldots a_n,\ldots\]
von der Beschaffenheit der Reihe (1) vorliegt, f\"{u}r deren Grenze
das Zeichen~$\omega$ gew\"{a}hlt ist, welche ausserdem die
Eigenschaft hat:
\[\lim f(a_n) = 0.\]}.

Das Gebiet $B$ ergab sich aus dem Gebiete~$A$; es erzeugt nun in
analoger Weise in Gemeinschaft mit dem Gebiete $A$ ein neues
Gebiet~$C$.

Liegt n\"{a}mlich eine unendliche Reihe:
\begin{equation}
b_1, b_2,\ldots b_n,\ldots \tag{2}
\end{equation}
von Zahlengr\"{o}ssen aus den Gebieten $A$ und $B$ vor, welche nicht
s\"{a}mmtlich dem Gebiete $A$ angeh\"{o}ren, und hat diese Reihe die
Beschaffenheit, dass $b_{n+m} - b_n$ mit wachsendem~$n$ unendlich
klein wird, was auch $m$ sei, eine Beschaffenheit, die nach den
vorangegangenen Definitionen begrifflich etwas ganz Bestimmtes ist, so
sage ich von dieser Reihe aus, dass sie eine bestimmte Grenze~$c$ hat.

Die Zahlengr\"{o}ssen $c$ constituieren das Gebiet~$C$.

Die Definitionen des Gleich-, Gr\"{o}sser- und Kleinerseins, sowie
der Elementaroperationen sowohl unter den Gr\"{o}ssen~$c$, wie auch
zwischen ihnen und den Gr\"{o}ssen der Gebiete $B$ und $A$ werden
dem Fr\"{u}heren analog gegeben.

W\"{a}hrend sich nun die Gebiete $B$ und $A$ so zueinander verhalten,
dass zwar jedes $a$ einem $b$, nicht aber umgekehrt jedes $b$ einem
$a$ gleichgesetzt werden k\"{o}nnen, stellt es sich hier heraus, dass
sowohl jedes $b$ einem $c$, wie auch umgekehrt jedes $c$ einem $b$
gleichgesetzt werden k\"{o}nnen.

Obgleich hierdurch die Gebiete $B$ und $C$ sich gewissermassen
gegenseitig decken, ist es bei der hier dargelegten Theorie (in
welcher die Zahlengr\"{o}sse, zun\"{a}chst an sich im Allgemeinen
gegenstandlos, nur als Bestandtheil von S\"{a}tzen erscheint, welchen
Gegenst\"{a}ndlichkeit zukommt, des Satzes z.~B., dass die
entsprechende Reihe die Zahlengr\"{o}sse zur Grenze hat)
wesentlich, an dem begrifflichen Unterschiede der beiden Gebiete $B$
und $C$ festzuhalten, indem ja schon die Gleichsetzung zweier
Zahlengr\"{o}ssen $b$, $b'$ aus $B$ ihre Identit\"{a}t nicht
einschliesst, sondern nur eine bestimmte Relation ausdr\"{u}ckt,
welche zwischen den Reihen stattfindet, auf welche sie sich beziehen.

Aus dem Gebiete~$C$ und den vorhergehenden geht analog ein Gebiet~$D$,
aus diesen ein $E$ hervor u.~s.~f.; durch $\lambda$ solcher
Ueberg\"{a}nge (wenn ich den Uebergang von $A$ zu $B$ als den
ersten ansehe) gelangt man zu einem gebiete~$L$ von
Zahlengr\"{o}ssen.  Dasselbe verh\"{a}lt sich, wenn man die Kette
von Definitionen f\"{u}r Gleich-, Gr\"{o}sser- und Kleinersein und
f\"{u}r die Elementaroperationen von Gebiet zu Gebiet vollzogen denkt,
zu den vorhergehenden, mit Ausschluss von $A$, so, dass eine
Zahlengr\"{o}sse~$l$ stets gleichgesetzt werden kann einer
Zahlengr\"{o}sse $k,i,\ldots c,b$ und umgekehrt.

Auf die Form solcher Gleichsetzungen lassen sich die Resultate der
Analysis (abgesehen von wenigen bekannten F\"{a}llen)
zur\"{u}ckf\"{u}hren, obgleich (was hier nur mit R\"{u}cksicht auf
jene Ausnahmen ber\"{u}hrt sein mag) der Zahlenbegriff, soweit er hier
entwickelt ist, den Keim zu einer in sich nothwendigen und absolut
unendlichen Erweiterung in sich tr\"{a}gt.

Es scheint sachgem\"{a}ss, wenn eine Zahlengr\"{o}sse im
Gebiete~$L$ gegeben ist, sich des Ausdruckes zu bedienen: {\it sie ist
als Zahlengr\"{o}sse, Werth oder Grenze $\lambda^{\rm ter}$ Art
gegeben}, woraus ersichtlich ist, dass ich mich der Worte
{\it Zahlengr\"{o}sse}, {\it Werth\/} und {\it Grenze} im
Allgemeinen in gleicher Bedeutung bediene.

Eine mittelst einer endlichen Anzahl von Elementaroperationen aus
Zahlen $l, l',\ldots l^{(\varrho)}$ gebildete Gleichung
$F(l,l',\ldots l^{(\varrho)}) = 0$ erscheint bei der hier angedeuteten
Theorie genau genommen als der Ausdruck f\"{u}r eine bestimmte
Beziehung zwischen $\rho + 1$, {\it im Allgemeinen $\lambda$fach
unendlichen Reihen rationaler Zahlen\/}; es sind dies die Reihen,
welche aus den einfach unendlichen, auf die sich die Gr\"{o}ssen
$l, l',\ldots l^{(\varrho)}$ zun\"{a}chst beziehen, hervorgehen, indem
man in ihnen die Elemente durch ihre entsprechenden Reihen ersetzt,
die entstehenden, im Allgemeinen zweifach unendlichen Reihen ebenso
behandelt und diesen Prozess so lange fortf\"{u}hrt, bis man nur
rationale Zahlen vor sich sieht.

Es sei mir vorbehalten, auf diese Verh\"{a}ltnisse bei einer andern
Gelegenheit ausf\"{u}hrlicher zur\"{u}ckzukommen.  {\it Wie\/} die in
diesem~\S\ auftretenden Festsetzungen und Operationen mit Nutzen der
Infinitesimalanalysis dienen k\"{o}nnen, darauf einzugehen ist hier
gleichfalls nicht der Ort.  Auch das folgende, wo der Zusammenhang der
Zahlengr\"{o}ssen mit der Geometrie der geraden Linie dargelegt wird,
beschr\"{a}nkt sich fast nur auf die nothwendigen S\"{a}tze, aus
welchen, wenn ich nicht irre, das Uebrige mittels rein logischer
Beweisf\"{u}hrung abgeleitet werden kann.  Zum Vergleiche mit \S~1. und
\S~2. sei das 10. Buch der \glqq Elemente des Euklides\grqq\ erw\"{a}hnt,
welches f\"{u}r den darin behandelten Gegenstand massgebend bleibt.

\begin{center}
\S~2.
\end{center}

Die Punkte einer geraden Linie werden dadurch begrifflich bestimmt,
dass man unter Zugrundelegung einer Masseinheit ihre Entfernungen,
Abscissen, von einem festen Punkte $o$ der geraden Linie
mit dem $+$ oder $-$ Zeichen angiebt, jenachdem der betreffende Punkt
in dem (vorher fixierten) positiven oder negativen Theile der Linie
von~$o$ aus liegt.

Hat diese Entfernung zur Masseinheit ein rationales Verh\"{a}ltniss,
so wird sie durch eine Zahlengr\"{o}sse des Gebietes $A$
ausgedr\"{u}ckt; im andern Falle ist es, wenn der Punkt etwa durch
eine Construktion {\it bekannt\/} ist, immer m\"{o}glich, eine Reihe:
\begin{equation}
a_1, a_2,\ldots a_n,\ldots \tag{1}
\end{equation}
anzugeben, welche die in \S~1. ausgedr\"{u}ckte Beschaffenheit und zur
fraglichen Entfernung eine solche Beziehung hat, dass die Punkte
der Geraden, denen die Entfernungen $a_1, a_2,\ldots a_n,\ldots$
zukommen, dem zu bestimmenden Punkte mit wachsendem $n$ unendlich nahe
r\"{u}cken.

Dies dr\"{u}cken wir so aus, dass wir sagen: {\it Die Entfernung
des zu bestimmenden Punktes von dem Punkte $o$ ist gleich~$b$}, wo
$b$ die der Reihe~(1) entsprechende Zahlengr\"{o}sse ist.

Hierauf wird nachgewiesen, dass das Gr\"{o}sser-, Kleiner- und
Gleichsein von bekannten Entfernungen in Uebereinstimmung ist mit
dem in \S~1. definierten Gr\"{o}sser-, Kleiner- und Gleichsein der
entsprechenden Zahlengr\"{o}ssen, welche die Entfernungen angeben.

Dass nun ebsenso auch die Zahlengr\"{o}ssen der Gebiete
$C, D,\ldots$ bef\"{a}higt sind, bekannte Entfernungen zu bestimmen,
ergiebt sich ohne Schwierigkeit.  Um aber den in diesem \S\ dargelegten
Zusammenhang der Gebiete der in \S~1. definierten Zahlengr\"{o}ssen
mit der Geometrie der geraden Linie vollst\"{a}ndig zu machen, ist nur
noch ein {\it Axiom\/} hinzuzuf\"{u}gen, welches einfach darin
besteht, dass auch umgekehrt zu jeder Zahlengr\"{o}sse ein
bestimmter Punkt der Geraden geh\"{o}rt, dessen Coordinate gleich ist
jener Zahlengr\"{o}sse, und zwar in dem Sinne gleich, wie solches
in diesem \S\ erkl\"{a}rt wird.\footnote{Es geh\"{o}rt also zu
jeder Zahlengr\"{o}sse ein bestimmter Punkt, einem Punkte kommen
aber unz\"{a}hlig viele gleiche Zahlengr\"{o}ssen als Coordinaten
in obigen Sinne zu; denn es folgt, wie schon oben angedeutet wurde,
aus rein logischen Gr\"{u}nden, dass gleichen Zahlengr\"{o}ssen
{\it nicht\/} verschiedene Punkte entsprechen k\"{o}nnen und dass
ungleichen Zahlengr\"{o}ssen als Coordinaten {\it nicht\/} ein und
derselbe Punkt zukommen kann.}

Ich nenne diesen Satz ein {\it Axiom}, weil es in seiner Natur liegt,
nicht allgemein beweisbar zu sein.

Durch ihn wird denn auch nachtr\"{a}glich f\"{u}r die
Zahlengr\"{o}ssen eine gewisse Gegenst\"{a}ndlichkeit gewonnen,
von welcher sie jedoch ganz unabh\"{a}ngig sind.

{\it Dem Obigen gem\"{a}ss betrachte ich einen Punkt der Geraden
als bestimmt, wenn seine Entfernung von $o$ mit dem geh\"{o}rigen
Zeichen versehen, als Zahlengr\"{o}sse, Werth oder Grenze
$\lambda^{\rm ter}$ Art gegeben ist}.

\begin{center}
\vrule height.2pt depth0pt width72pt
\end{center}

Wir wollen nun, unserm eigentlichen Gegenstande n\"{a}her tretend,
Beziehungen betrachten, welche auftreten, sobald Zahlengr\"{o}ssen
in endlicher oder unendlicher Anzahl gegeben sind.

Nach dem Vorhergehenden k\"{o}nnen die Zahlengr\"{o}ssen den
Punkten einer Geraden zugeordnet gedacht werden.  Der Anschaulichkeit
wegen, (nicht dass es wesentlich zur Sache geh\"{o}rte) bedienen
wir uns dieser Vorstellung im Folgenden und haben, wenn wir von
Punkten sprechen, stets Werthe im Auge, durch welche sie gegeben sind.

Eine gegebene endliche oder unendliche Anzahl von Zahlengr\"{o}ssen
nenne ich der K\"{u}rze halber eine {\it Werthmenge} und dem
entsprechend eine gegebene endliche oder unendliche Anzahl von Punkten
einer Geraden eine {\it Punktmenge}.  Was im folgenden von Punktmengen
ausgesprochen wird, l\"{a}sst sich dem gesagten gem\"{a}ss
unmittelbar auf Werthmengen \"{u}bertragen.

Wenn in einem endlichen Intervalle eine Punktmenge gegeben ist, so ist
mit ihr im Allgemeinen eine zweite Punktmenge, mit dieser im
Allgemeinen eine dritte etc.\ gegeben, welche f\"{u}r die Auffassung
der Natur der ersten Punktmenge wesentlich sind.

Um diese abgeleiteten Punktmengen zu definieren, haben wir den Begriff
{\it Grenzpunkt einer Punktmenge\/} vorauszuschicken.

Unter einem Grenzpunkt einer Punktmenge~$P$ verstehe ich einen
Punkt der Geraden von solcher Lage, dass in jeder Umgebung
desselben {\it unendlich\/} viele Punkte aus $P$ sich befinden, wobei
es vorkommen kann, dass er ausserdem selbst zu der Menge
geh\"{o}rt.  Unter Umgebung eines Punktes sie aber hier ein jedes
Intervall verstanden, welches den Punkt {\it in seinem Innern\/} hat.
Darnach ist es leicht zu beweisen, dass eine aus einer unendlichen
Anzahl von Punkten bestehende Punktmenge stets zum wenigsten {\it
einen\/} Grenzpunkt hat.

Es is nun ein bestimmtes Verhalten eines jeden Punktes der Geraden zu
einer gegebenen Menge~$P$, entweder ein Grenzpunkt derselben oder kein
solcher zu sein, und es ist daher mit der Punktmenge~$P$ die Menge
ihre Grenzpunkte begrifflich mit gegeben, welche ich mit $P'$
bezeichnen und die {\it erste abgeleitete Punktmenge\/} von $P$
nennen will.

Besteht die Punktmenge $P'$ nicht aus einer bloss endlichen Anzahl
von Punkten, so hat sie gleichfalls eine abgeleitete Punktmenge $P''$,
ich nenne sie {\it die zweite abgeleitete von\/} $P$.  Man findet
durch $\nu$ solcher Ueberg\"{a}nge den Begriff der $\nu^{\rm ten}$
abgeleiteten Punktmenge $P^{(\nu)}$ von $P$.

Besteht beispielsweise die Menge $P$ aus allen Punkten der Geraden,
denen rationale Abscissen zwischen $0$ und $1$, die Grenzen ein- oder
ausgeschlossen, zukommen, so besteht die abgeleitete Menge $P'$ aus
{\it allen\/} Punkten des Intervalles $(0 \ldots 1)$, die Grenzen $0$
und $1$ mit eingeschlossen.  Die folgenden Mengen $P'', P''',\ldots$
stimmen hier mit $P'$ \"{u}berein.  Oder, besteht die Menge $P$ aus den
Punkten, welchen die Abscissen
$\displaystyle 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3},\ldots \frac{1}{n}, \ldots$
zukommen, so besteht die Menge $P'$ aus dem einen Punkte~$0$
und hat selbst keine Abgeleitete.

Es kann eintreffen, und dieser Fall ist es, welcher uns hier
ausschliesslich interessiert, dass nach $\nu$ Ueberg\"{a}ngen die
Menge $P^{(\nu)}$ aus einer endlichen Anzahl von Punkten besteht,
mithin selbst keine abgeleitete Menge hat; in diesem Falle wollen wir
die urspr\"{u}ngliche Punktmenge $P$ {\it von der $\nu^{\rm ten}$
Art} nennen, woraus folgt, dass alsdann $P', P'',\ldots$ von den
$\overline{\nu - 1}^{\rm ten}, \overline{\nu - 2}^{\rm ten},\ldots$ Art
sind.

Es wird also bei dieser Auffassungsweise das Gebiet aller Punktmengen
bestimmter Art als ein besonderes Genus innerhalb des Gebietes aller
denkbaren Punktmengen betrachtet, von welchem Genus die sogenannten
Punktmengen $\nu^{\rm ter}$ Art eine besondere Art ausmachen.

Ein Beispiel einer Punktmenge $\nu^{\rm ter}$ Art beitet schon ein
einzelner Punkt dar, wenn seine Abscisse als Zahlengr\"{o}sse
$\nu^{\rm ter}$ Art, welche gewissen, leicht festzustellenden
Bedingungen gen\"{u}gt, gegeben ist.  L\"{o}st man n\"{a}mlich alsdann
diese Zahlengr\"{o}sse in die Glieder ($\overline{\nu - 1}^{\rm ter}$
Art) der ihr entsprechenden Reihe auf, diese Glieder wieder in die sie
constituierenden Glieder ($\overline{\nu - 2}^{\rm ter}$ Art) u.~s.~f.\ so
erh\"{a}lt man zuletzt eine unendliche Anzahl rationaler Zahlen; denkt
man sich die diesen Zahlen entspechende Punktmenge, so ist dieselbe
von der $\nu^{\rm ten}$ Art.\footnote{Dass dies nicht stets
der Fall ist, m\"{o}chte vielleicht noch ausdr\"{u}cklich
hervorgehoben zu werden verdienen.  In Allgemeinen kann die auf jene
Weise aus einer Zahlengr\"{o}sse $\nu^{\rm ter}$ Art
hervorgehenende Punktmenge sowohl von niederer wie auch von
h\"{o}herer als der $\nu^{\rm ten}$ Art oder selbst gar nicht von
bestimmter Art sein.}

Nach diesen Vorbereitungen sind wie nun im Stande, den beabsichtigen
Satz im folgenden \S\ kurz anzugeben und zu beweisen.

\begin{center}
\S~3.
\end{center}

{\bf Theorem}.  {\it Wenn eine Gleichung besteht von der Form:
\begin{equation}
0 = C_0 + C_1 + \cdots + C_n + \cdots, \tag{I}
\end{equation}
wo $C_0 = \frac{1}{2} d_0$; $C_n = c_n \sin nx + d_n \cos nx$, f\"{u}r
alle Werthe von $x$ mit Ausnahme derjenigen, welche den Punkten einer
im Intervalle $(0 \ldots (2\pi))$ gegebenen Punktmenge~$P$ der
$\nu^{\rm ten}$ Art entsprechen, wobei $\nu$ eine beliebig grosse
ganze Zahl bedeutet, so ist\/}:
\[d_0 = 0,\quad c_n = d_n = 0.\]

{\it Beweis\/}: In diesem Beweise hat man, wie durch den Fortgang
ersichtlich wird, wenn von $P$ die Rede ist, nicht bloss die
gegebene Menge $\nu^{\rm ter}$ Art der Ausnahmepunkte im Intervalle
$(0 \ldots (2\pi))$, sondern diejenige Menge im Auge, welche auf der
ganzen, unendlichen Linie aus der periodischen Wiederholung jener
hervorgeht.

Betrachten wir nun die Function:
\[F(x) = C_0 \frac{xx}{2} - C_1 - \frac{C_2}{4} - \cdots
      - \frac{C_n}{nn} - \cdots \]
Aus der Natur einer Punktmenge $\nu^{\rm ter}$ Art ergiebt sich leicht,
dass ein Intervall $(\alpha \ldots \beta)$ vorhanden sein muss, in
welchem kein Punkt der Menge $P$ liegt; f\"{u}r alle Werthe von~$x$ in
diesem Intervalle wird also wegen der vorausgesetzten Convergenz
unserer Reihe (I) sein:
\[\lim (c_n \sin nx + d_n \cos nx) = 0,\]
mithin ist einem bekannten Satze gem\"{a}ss (S. diese Annalen Bd.~IV.
Seite~139):
\[\lim c_n = 0,\quad \lim d_n = 0.\]
Die Function $F(x)$ hat also (siehe Riemann: Ueber die
Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe,
\S~8.) folgende Eigenschaften:

1) sie ist stetig in der N\"{a}he eines jeden Werthes von~$x$.

2) es ist
$\displaystyle \lim \frac{F(x + \alpha) + F(x - \alpha) - 2F(x)}{
   \alpha \alpha} = 0$,
wenn $\lim \alpha = 0$, f\"{u}r alle Werthe von $x$, mit Ausnahme der
den Punkten der Menge~$P$ entsprechenden Werthe.

3) es ist
$\displaystyle \lim \frac{F(x + \alpha) + F(x - \alpha) - 2F(x)}{
   \alpha} = 0$,
wenn $\lim \alpha = 0$, f\"{u}r jeden Werth von $x$, ohne Ausnahme.

Ich will nun zeigen, dass $F(x) = cx + c'$ ist.

Dazu betrachte ich zuerst irgend ein Intervall $(p\ldots q)$, in
welchem nur eine endliche Anzahl von Punkten der Menge~$P$ liegt:
diese Punkte seien $x_0, x_1,\ldots x_r$, ihrer Aufeinanderfolge nach
geschrieben.

Ich behaupte, dass $F(x)$ im Intervalle $(p \ldots q)$
linear ist; denn $F(x)$ ist wegen der Eigenschaften 1) und
2) eine lineare Function in jedem der Intervalle, in welche
$(p \ldots q)$ durch die Punkte $x_0, x_1,\ldots, x_r$ getheilt wird;
da n\"{a}mlich in keines dieser Intervalle Ausnahmepunkte fallen, so
gelten hier die im Aufsatze (siehe Journal f.\ r.\ u.\ a.\
Math.\ Bd.~72, S.~139) angewandten Schl\"{u}sse; es bleibt daher nur
\"{u}brig, die Identit\"{a}t dieser linearen Functionen nachzuweisen.

Ich will dies f\"{u}r je zwei benachbarte thun und w\"{a}hle dazu die
in den beiden Intervallen $(x_0 \ldots x_1)$ und $(x_1 \ldots x_2)$.

In $(x_0 \ldots x_1)$ sie $F(x) = kx + l$.

In $(x_1 \ldots x_2)$ sie $F(x) = k'x + l'$.

Wegen 1) ist $F(x_1) = k x_1 + l$; ferner ist f\"{u}r hinreichend
kleine Werthe von $\alpha$:
\[F(x_1 + \alpha) = k'(x_1 + \alpha) + l';\quad
  F(x_1 - \alpha) = k (x_1 - \alpha) + l.\]
Wegen 3) hat man also:
\[\lim \frac{(k' - k) x_1 + l' - l + \alpha (k' - k)}{\alpha} = 0,
   \hbox{ f\"{u}r } \lim \alpha = 0,\]
was nicht anders m\"{o}glich ist, als wenn:
\[k = k',\quad l = l'.\]

Wir wollen der Uebersicht wegen das Resultat besonders hervorheben:

(A) {\it \glqq Ist $(p \ldots q)$ irgend ein Intervall, in welchem nur
eine endliche Anzahl von Punkten der Menge~$P$ liegt, so ist $F(x)$ in
diesem Intervalle linear.\grqq}

Weiter betrachte ich irgend ein Intervall $(p' \ldots q')$, welches
nur eine endliche Anzahl von Punkten $x_0', x_1',\ldots x_r'$
der ersten abgeleiteten Menge $P'$ enth\"{a}lt;---und behaupte
zun\"{a}chst, dass in jedem der Theilintervalle, in welche
$(p \ldots q)$ durch die Punkte $x_0', x_1',\ldots$ zerf\"{a}llt,
die Function $F(x)$ linear ist, z.~B. in $(x_0' \ldots x_1')$.

\[\vbox{\halign{&\hfil\hbox to 0pt{\hss $#$\hss}\hfil\cr
 & & \cr
 & & &  & &    & &s& &t& &    & &  \cr
 \omit \vrule width12pt height 0.4pt depth 0.0pt
&\omit \vrule width 0.4pt height 3.4pt depth 3.0pt
&\omit \vrule width24pt height 0.4pt depth 0.0pt
&\omit \vrule width 0.4pt height 3.4pt depth 3.0pt
&\omit \vrule width24pt height 0.4pt depth 0.0pt
&\omit \vrule width 0.4pt height 3.4pt depth 3.0pt
&\omit \vrule width12pt height 0.4pt depth 0.0pt
&\omit \vrule width 0.4pt height 3.4pt depth 3.0pt
&\omit \vrule width24pt height 0.4pt depth 0.0pt
&\omit \vrule width 0.4pt height 3.4pt depth 3.0pt
&\omit \vrule width12pt height 0.4pt depth 0.0pt
&\omit \vrule width 0.4pt height 3.4pt depth 3.0pt
&\omit \vrule width24pt height 0.4pt depth 0.0pt
&\omit \vrule width 0.4pt height 3.4pt depth 3.0pt \cr
 &o& &p'& &x_0'& & & & & &x_1'& &q'\cr}}\]

Denn jenes dieser Theilintervalle enth\"{a}lt zwar in Allgemeinen
unendlich viele Punkte aus $P$, so dass das Resultat (A) nicht
unmittelbar auf dasselbe Anwendung findet; dagegen enth\"{a}lt jedes
Intervall $(s \ldots t)$, welches ganz innerhalb $(x_0' \ldots x_1')$
f\"{a}llt, nur eine endliche Anzahl von Punkten aus $P$ (weil sonst
zwischen $x_0'$ und $x_1'$ noch andere Punkte der Menge $P'$ fallen
w\"{u}rden), und die Function ist also in $(s \ldots t)$ wegen (A)
linear.  Indem man aber die Endpunkte $s$ und $t$ den punkten $x_0'$
und $x_1'$ beliebig nahe bringen kann, wird ohne weiteres geschlossen,
dass die stetige Function $F(x)$ auch linear ist in
$(x_0' \ldots x_1')$.

Nachdem dies f\"{u}r jedes der Theilintervalle von $(p' \ldots q')$
nachgewiesen ist, erh\"{a}lt man durch dieselben Schl\"{u}sse wie
diejenigen, welche das Resultat (A) erzielten,
Folgendes:

(A${}'$) {\it \glqq Ist $(p' \ldots q')$ irgend ein Intervall, in welchem
nur eine endliche Anzahl von Punkten der Menge $P'$ liegt, so ist
$F(x)$ in diesem Intervalle linear.\grqq}

Der Beweis geht in diesem Sinne fort.  {\it Steht n\"{a}mlich einmal
fest, dass $F(x)$ eine lineare Function ist in irgend einem
Intervalle $(p^{(k)} \ldots q^{(k)})$, welches nur eine endliche
Anzahl von Punkten aus der $k^{\rm ten}$ abgeleiteten Punktmenge
$P^{(k)}$ von $P$ enth\"{a}lt, so folgert man ebenso wie bei dem
Ueberg\"{a}nge von\/ {\rm (A)} zu\/ {\rm (A${}'$)} weiter, dass
$F(x)$ auch eine lineare Function ist in irgend einem Intervalle
$(p^{(k+1)} \ldots q^{(k+1)})$, welches nur eine endliche Anzahl von
Punkten der $(k+1)^{\rm ten}$ abgeleiteten Punktmenge $P^{(k+1)}$ in
sich fasst.}

Wir schliessen so durch eine endliche Anzahl von
Ueberg\"{a}ngen, dass $F(x)$ in jedem Intervalle, welches nur
eine endliche Anzahl von Punkten der Menge $P^{(\nu)}$ enth\"{a}lt,
linear ist.  Nun ist aber die Menge $P$ von der $\nu^{\rm
ten}$ Art, wie vorausgesetzt wurde, es enth\"{a}lt mithin
\"{u}berhaupt ein beliebig in der Geraden angenommenes Intervall
$(a \ldots b)$ nur eine endliche Anzahl Punkte aus $P^{(\nu)}$.  Es
ist also $F(x)$ linear in jedem willk\"{u}rlich angennommenen
Intervalle $(a \ldots b)$, und daraus folgt, wie leicht zu sehen,
f\"{u}r $F(x)$ die Form: $F(x) = cx + c'$ f\"{u}r alle Werthe des $x$.
Nachdem dies dargethan ist, geht der Beweis in der n\"{a}mlichen Weise
weiter, wie in der schon zweimal citierten Abhandlung von dem Momente
an, wo darin ebenfalls f\"{u}r $F(x)$ die lineare Form nachgewiesen
ist.

Dem hier bewiesenen Satze kann auch die folgende Fassung gegeben
werden:

{\it \glqq Eine unstetige Function $f(x)$, welche f\"{u}r alle Werthe von
$x$, welche den Punkten einer im Intervalle $(0 \ldots (2\pi))$ gegeben
Punktmenge~$P$ der $\nu^{\rm ten}$ Art entsprechen, von Null
verschieden, oder unbestimmt, f\"{u}r alle \"{u}brigen Werthe des $x$
aber gleich Null ist, kann durch eine trigonometrische Reihe nicht
dargestellt werden.\grqq}

\vspace*{12pt}

Halle, den 8.\ Nov.\ 1871.

\end{document}

